2.1.2圆的一般方程 讲义（含解析）

编号：011 课题:§2.1.2 圆的一般方程
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并探求圆的一般方程．
2、理解并掌握二元二次方程与圆的关系．
3、理解并掌握圆的一般方程的求法．
4、理解并掌握动点的轨迹方程.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
本节重点难点
重点：圆的一般方程的求法；
难点：二元二次方程与圆的关系．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程左边配方，并将常数项移到右边得＋＝ ______ .
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为 _________ ，半径为 ________ 的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点 ___________ ；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
【思考】
　根据一般方程怎么求圆心和半径？
2．圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的 _____ 方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
【思考】
(1)圆的一般方程特点．
(2)点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
【课前基础演练】
题1．已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为 ( )
A.x2+y2-4x+6y+8=0
B.x2+y2-4x+6y-8=0
C.x2+y2-4x-6y=0
D.x2+y2-4x+6y=0
题2.已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为,则它的半径为 ( )
A.3 B. C.5 D.4
题3（多选题）．已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列选项正确的是(　　)
A．关于点(2，0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
题4．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为____________．
题5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是 ,半径是 .
题6.若圆x2-2x+y2=0与圆C关于直线x+y=0对称,则圆C的方程为 .
题7. 已知△ABC顶点的坐标为A,B,C,求其外接圆的一般方程.
【当堂巩固训练】
题8．方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是 ( )
A.一个点 B.一个圆
C.一条直线 D.不存在
题9.若曲线x2+y2+2x+my+2=0表示圆,则m的取值范围是 ( )
A.(2,+∞)
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
题10.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-2,0)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.[-2,0]
D.(-∞,-2]∪[0,+∞)
题11.在△ABC中,若点B,C的坐标分别是和,中线AD的长是3,则点A的轨迹方程是 ( )
A.x2+y2=3 B.x2+y2=4
C.x2+y2=9 D.x2+y2=9
题12（多选题）．已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A(0，－5)，则(　　)
A．圆C的半径为2
B．点A在圆C外
C．点A与圆C上任一点距离的最大值为3
D．点A与圆C上任一点距离的最小值为
题13(多选题)．方程x2＋y2－ax＋2y＋1＝0表示圆，则实数a的可取值为(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
题14. 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
题15．公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿氏圆.已知直角坐标系中A,B,则满足PA=2PB的点P的轨迹的圆心为 ,面积为 .
题16．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼奥斯圆．已知直角坐标系中A，B，则满足PA＝2PB的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
题17.已知坐标平面上动点M与两个定点P,Q,且MP=5MQ.求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
题18．已知圆C经过(－1，3)，(5，3)，(2，0)三点．
(1)求圆C的方程；
(2)设点A在圆C上运动，点B，且点M满足＝，求点M的轨迹方程．
题19．求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的一般方程.
题20. 设定点M,动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
【课堂跟踪拔高】
题21．若圆(x-1)2+y2=2与直线x-y+λ=0相切,则实数λ的值为 ( )
A.-1±2 B.-1或3 C.1±2 D.1或-3
题22.已知直线2x-y+3=0与圆C:x2+y2+ay-1=0相切,则实数a的值为 ( )
A.-1 B.4 C.-1或4 D.-1 或2
题23.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是 ( )
A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3]
题24.设圆x2+y2-4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y-3=0的距离为d,则d的取值范围是 ( )
A.[0,3] B.[2,4] C.[2,5] D.[3,5]
题25.经过点P(2,-3)作圆C:x2+y2+2x=24的弦AB,使得点P平分弦AB,则弦AB所在直线的方程为 ( )
A.x-y-5=0 B.x+y-5=0
C.x-y+5=0 D.x+y+5=0
题26(多选题).已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y+1=0,则 ( )
A.圆C关于直线x+y+1=0对称
B.过点(3,0)有且仅有一条直线与圆C相切
C.圆C的面积为4π
D.直线x+y=0被圆C所截得的弦长为
题27(多选题).若圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,则r可以取值 ( )
A. B.5 C. D.6
题28.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则AB= .
题29.已知圆的方程为x2+y2+2x-8y+8=0,过点P(1,0)作该圆的一条切线,切点为A,那么线段PA的长度为 .
题30.已知圆C的圆心在直线y=-2x上,且过点(2,-1),(0,-3).
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
题31．设定点M，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
题32.已知直线l:4x+ay-5=0与直线l':x-2y=0相互垂直,圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称,且圆C过点M(-1,-1).
(1)求直线l与圆C的方程.
(2)过点M作两条直线分别与圆C交于P,Q两点,若直线MP,MQ的斜率满足kMP+kMQ=0,求证:直线PQ的斜率为1.
编号：011 课题:§2.1.2 圆的一般方程
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并探求圆的一般方程．
2、理解并掌握二元二次方程与圆的关系．
3、理解并掌握圆的一般方程的求法．
4、理解并掌握动点的轨迹方程.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
本节重点难点
重点：圆的一般方程的求法；
难点：二元二次方程与圆的关系．
教学过程赏析
基础知识积累
1. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程左边配方，并将常数项移到右边得＋＝ .
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为 ，半径为 的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点 ；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
【思考】
　根据一般方程怎么求圆心和半径？
提示：配方法．
＋＝，
所以圆心为，半径为.
2．圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的 一般 方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
【思考】
(1)圆的一般方程特点．
提示：①x2和y2系数相等，都为1；
②没有xy项．
(2)点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系怎么判断？
提示：①圆内：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0；
②圆上：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；
③圆外：x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.
【课前基础演练】
题1．已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为 ( )
A.x2+y2-4x+6y+8=0
B.x2+y2-4x+6y-8=0
C.x2+y2-4x-6y=0
D.x2+y2-4x+6y=0
【解析】选D.易知圆C的半径为,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.
题2.已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为,则它的半径为 ( )
A.3 B. C.5 D.4
【解析】选D.由题得-=5,所以a=-5,
题3（多选题）．已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列选项正确的是(　　)
A．关于点(2，0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
【解析】选ABC.圆x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，它的圆心为(2，0)，半径等于，故圆关于点(2，0)对称，且关于经过(2，0)的直线对称．
题4．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1，0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为____________．
【解析】设M(x，y)，则Q(2x＋1，2y)，因为Q在圆x2＋y2＝4上，所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
所以轨迹C的方程是＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
所以圆的半径为==4.
题5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是 ,半径是 .
【解析】由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,所以圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为.
答案:(-2,1)
题6.若圆x2-2x+y2=0与圆C关于直线x+y=0对称,则圆C的方程为 .
【解析】圆x2-2x+y2=0的标准方程为(x-1)2+y2=1,其圆心为(1,0),半径为r=1,因为(1,0)关于直线x+y=0对称的点为(0,-1),所以圆C的方程为x2+(y+1)2=1,即x2+y2+2y=0.
答案:x2+y2+2y=0
题7. 已知△ABC顶点的坐标为A,B,C,求其外接圆的一般方程.
【思路导引】方法一:把三个点的坐标代入圆的一般方程,解方程组;
方法二:AB,AC的垂直平分线过圆心,圆心到点A的距离为半径,从而求出圆的方程;
方法三:可以判断出这是一个直角三角形,因此斜边为直径.
【解析】方法一(待定系数法):设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
解得
因此其外接圆的一般方程为
x2+y2-6x-2y+5=0.
方法二(几何法):
AB的垂直平分线方程y-=x-,
即y=x-2;AC的垂直平分线方程y-=
-,即y=-x+4.由得圆心(3,1),半径=.
所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5,
即x2+y2-6x-2y+5=0.
方法三(几何法):
因为AB,AC的斜率满足kAB·kAC=×=-1,所以AB⊥AC,△ABC为直角三角形.
所以BC为外接圆的直径.外接圆圆心(3,1),半径为BC==,所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5,即x2+y2-6x-2y+5=0.
【当堂巩固训练】
题8．方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是 ( )
A.一个点 B.一个圆
C.一条直线 D.不存在
【解析】选A.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化为x2+y2-2x+4y+5=0,
即+=0,
所以方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点.
题9.若曲线x2+y2+2x+my+2=0表示圆,则m的取值范围是 ( )
A.(2,+∞)
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
【解析】选C.曲线x2+y2+2x+my+2=0表示圆,整理得(x+1)2+( y+) 2=1+-2=-1,
由于-1>0,整理得m的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
题10.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-2,0)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.[-2,0]
D.(-∞,-2]∪[0,+∞)
【解析】选B.由x2+y2+2ax-4ay-10a=0,得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a,由该曲线表示圆,可知5a2+10a>0,解得a>0或a<-2.
题11.在△ABC中,若点B,C的坐标分别是和,中线AD的长是3,则点A的轨迹方程是 ( )
A.x2+y2=3 B.x2+y2=4
C.x2+y2=9 D.x2+y2=9
【解析】选C.由AD=3知点A在以D为圆心,半径为3的圆上,不包括圆与x轴的交点.
所以轨迹方程为x2+y2=9(y≠0).
题12（多选题）．已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A(0，－5)，则(　　)
A．圆C的半径为2
B．点A在圆C外
C．点A与圆C上任一点距离的最大值为3
D．点A与圆C上任一点距离的最小值为
【解析】选BCD.由已知，圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝2，则圆心C(2，－3)，半径r＝，A不正确；因点A(0，－5)，则＝2>r，点A在圆C外，B正确；因点A在圆C外，在圆C上任取点P，则≤＋＝r＋＝3，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“＝”，C正确；在圆C上任取点M，则≥－＝－r＝，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“＝”，D正确．
题13(多选题)．方程x2＋y2－ax＋2y＋1＝0表示圆，则实数a的可取值为(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
【解析】选BCD.方程x2＋y2－ax＋2y＋1＝0转换为标准方程是＋(y＋1)2＝，由于该方程表示圆，故a≠0.
题14. 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
【解析】依题意,设圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0,
若过(0,0),(-1,1),(4,0),
则,解得,
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,
即(x-2)2+(y-3)2=13;
若过(0,0),(4,0),(4,2),
则,解得,
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,
即(x-2)2+(y-1)2=5;
若过(0,0),(-1,1),(4,2),
则,解得,
所以圆的方程为x2+y2-x-y=0,
即+=;
若过(-1,1),(4,0),(4,2),
则,解得,
所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0,
即+(y-1)2=.
答案:(x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5或+=或+(y-1)2=,答案不唯一,任意一个即可)
题15．公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿氏圆.已知直角坐标系中A,B,则满足PA=2PB的点P的轨迹的圆心为 ,面积为 .
【思路导引】设点P(x,y),然后代入PA=2PB,化简即可求出圆的方程.
【解析】设点P(x,y),代入PA=2PB得
=2,
整理得3x2+3y2-20x+12=0.
配方得+y2=.
所以点P的轨迹的圆心为,半径为.
圆的面积为π.
答案: π
题16．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼奥斯圆．已知直角坐标系中A，B，则满足PA＝2PB的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
【解析】设点P(x，y)，代入PA＝2PB得
＝2，
整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0.
配方得2＋y2＝.
所以点P的轨迹的圆心为，半径为.
圆的面积为π.
答案：　π
题17.已知坐标平面上动点M与两个定点P,Q,且MP=5MQ.求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
【解析】由题意得
=5
整理得x2+y2-2x-2y-23=0,
所以点M的轨迹方程是+=25.
轨迹是以为圆心,5为半径的圆.
题18．已知圆C经过(－1，3)，(5，3)，(2，0)三点．
(1)求圆C的方程；
(2)设点A在圆C上运动，点B，且点M满足＝，求点M的轨迹方程．
【解析】(1)设圆C的方程为2＋2＝r2，
将，，三点分别代入得
，
即，
解得，
所以圆C的方程为2＋2＝9；
(2)设M，A，由＝得，
，得，
又点A在圆C上运动，所以2＋2＝9，即2＋2＝9，整理得2＋2＝，
所以点M的轨迹方程为2＋2＝.
题19．求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的一般方程.
【解析】方法一(几何法):设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,
所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,
即
=,
解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=,
故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.
方法二(待定系数法):设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意得
解得a=-1,b=-2,r2=10,
故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.
题20. 设定点M,动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
【思路导引】方法一:由平行四边形性质可知MP=ON=2,满足圆的定义,注意去掉不满足条件的点;
方法二:根据对角线互相平分,利用代入法可求出轨迹方程.
【解析】方法一(定义法):MP=ON=2,所以动点P在以M为圆心,半径为2的圆上.
又因为四边形MONP为平行四边形,
所以O,M,P不共线.当点P在直线OM上时有x=-,y=或x=-,y=.
因此所求轨迹为圆+=4,
除去点和点.
方法二(代入法):如图所示,
设P,N,
则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分,故=,
=,从而
又点N在圆上,
故+=4.
当点P在直线OM上时,有x=-,y=或x=-,y=.
因此所求轨迹为圆+=4,
除去点和点.
【课堂跟踪拔高】
题21．若圆(x-1)2+y2=2与直线x-y+λ=0相切,则实数λ的值为 ( )
A.-1±2 B.-1或3 C.1±2 D.1或-3
【解析】选D.若圆(x-1)2+y2=2与直线x-y+λ=0相切,
则圆心(1,0)到直线x-y+λ=0的距离为=,
解得λ=1,或λ=-3.
题22.已知直线2x-y+3=0与圆C:x2+y2+ay-1=0相切,则实数a的值为 ( )
A.-1 B.4 C.-1或4 D.-1 或2
【解析】选C.圆C:x2+y2+ay-1=0的标准方程为x2+=1+,可知圆心坐标为(0,-),半径为.
因为直线2x-y+3=0与圆C相切,所以=.化简得a2-3a-4=0,解得a=4,或a=-1.
题23.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是 ( )
A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3]
【解析】选A.因为直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,
所以A(-2,0),B(0,-2),则=2.
因为点P在圆(x-2)2+y2=2上,
圆心为(2,0),半径r=,
圆心到直线距离d1==2>r,故点P到直线x+y+2=0的距离d的范围为[,3],则S△ABP=AB·d=d∈[2,6].
题24.设圆x2+y2-4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y-3=0的距离为d,则d的取值范围是 ( )
A.[0,3] B.[2,4] C.[2,5] D.[3,5]
【解析】选B.由题意得,圆x2+y2-4x+4y+7=0,即(x-2)2+(y+2)2=1,圆心为(2,-2),半径r=1,由于圆心到直线的距离为=3,所以圆上动点到直线的最小距离为3-1=2,最大距离为3+1=4,即d的取值范围是[2,4].
题25.经过点P(2,-3)作圆C:x2+y2+2x=24的弦AB,使得点P平分弦AB,则弦AB所在直线的方程为 ( )
A.x-y-5=0 B.x+y-5=0
C.x-y+5=0 D.x+y+5=0
【解析】选A.由题意,圆C:x2+y2+2x=24,得圆心坐标为C(-1,0),点P(2,-3)在圆C内,则过点P且被点P平分的弦所在的直线和圆心与点P的连线垂直,又由kCP==-1,所以所求直线的斜率为1,且过点P(2,-3),所以弦AB所在直线方程为y-(-3)=x-2,即x-y-5=0.
题26(多选题).已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y+1=0,则 ( )
A.圆C关于直线x+y+1=0对称
B.过点(3,0)有且仅有一条直线与圆C相切
C.圆C的面积为4π
D.直线x+y=0被圆C所截得的弦长为
【解析】选ACD.圆C的方程为x2+y2-2x+4y+1=0,即(x-1)2+(y+2)2=4,圆心C(1,-2),半径r=2,
对A:因为圆心C(1,-2)在直线x+y+1=0上,所以圆C关于直线x+y+1=0对称,故选项A正确;
对B:因为(3-1)2+(0+2)2>4,所以点(3,0)在圆C外,所以过点(3,0)有且仅有2条直线与圆C相切,故选项B错误;
对C:因为圆C的半径为2,所以圆C的面积为π×22=4π,故选项C正确;
对D:因为圆心C(1,-2)到直线x+y=0的距离d==,所以直线x+y=0被圆C所截得的弦长为2=2=,故选项D正确.
题27(多选题).若圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,则r可以取值 ( )
A. B.5 C. D.6
【解析】选ABC.圆心(0,0)到直线4x-3y+25=0的距离d==5,半径为r,若圆上恰有一个点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,则r=4或r=6,故当圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,则r∈(4,6).
题28.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则AB= .
【解析】由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.
所以圆心C(0,-1),半径r=2.
圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==,
所以AB=2=2=2.
答案:2
题29.已知圆的方程为x2+y2+2x-8y+8=0,过点P(1,0)作该圆的一条切线,切点为A,那么线段PA的长度为 .
【解析】圆x2+y2+2x-8y+8=0,
即(x+1)2+(y-4)2=9,故点C(-1,4)为圆心、半径R=3,由切线长定理可得,切线长PA===.
答案:
题30.已知圆C的圆心在直线y=-2x上,且过点(2,-1),(0,-3).
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
【解析】(1)圆C的圆心在直线y=-2x上,设所求圆心坐标为(a,-2a),因为过点(2,-1),(0,-3),
所以,解得a=1,r=,
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2
①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,
此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件;
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,
由于直线l被圆C截得的弦长为2,故圆心到直线l的距离为d=1,
故由点到直线的距离公式得d==1,
解得k=-,所以直线l的方程为y=-x,
综上所述,直线l的方程为x=0或y=-x.
题31．设定点M，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
【解析】方法一：(定义法)MP＝ON＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上．
又因为四边形MONP为平行四边形，
所以O，M，P不共线．当点P在直线OM上时有x＝－，
y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆2＋2＝4，
除去点和点.
方法二：(代入法)如图所示，设P，
N，
则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，
＝，从而
又点N在圆上，
故2＋2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆2＋2＝4，
除去点和点.
题32.已知直线l:4x+ay-5=0与直线l':x-2y=0相互垂直,圆C的圆心与点(2,1)关于直线l对称,且圆C过点M(-1,-1).
(1)求直线l与圆C的方程.
(2)过点M作两条直线分别与圆C交于P,Q两点,若直线MP,MQ的斜率满足kMP+kMQ=0,求证:直线PQ的斜率为1.
【解析】(1)因直线l:4x+ay-5=0与直线l':x-2y=0相互垂直,
则4·1+a·(-2)=0,解得a=2,所以直线l的方程为4x+2y-5=0,
设圆C的圆心C(a,b),则点A (,)必在直线l上,且直线AC斜率为,所以,解得,
即点C(0,0),圆C半径|CM|=,
所以圆C的方程为x2+y2=2;
(2)设直线MP的斜率为k,则直线MQ的斜率为-k,直线MP的方程:y+1=k(x+1),
而直线MP与圆C交于点P,由消去y得(k2+1)x2+2k(k-1)x+k2-2k-1=0,
而圆C过点M(-1,-1),设点P(x1,y1),
于是x1·(-1)=,即x1=-,
设点Q(x2,y2),
同理,将-k变k得x2=-,
于是得直线PQ的斜率kPQ==
==
==1,
所以直线PQ的斜率为1.