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高中数学
人教新课标A版
选修2-2
第一章 导数及其应用
本章复习与测试
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学选修2-2双基限时练:第一章+导数及其应用(14套,含解析)
文档属性
名称
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学选修2-2双基限时练:第一章+导数及其应用(14套,含解析)
格式
zip
文件大小
394.0KB
资源类型
教案
版本资源
人教新课标A版
科目
数学
更新时间
2014-12-10 10:10:12
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文档简介
本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(一)
1.已知函数f(x)=x2-2x上两点A,B的横坐标分别为xA=0,xB=1,则直线AB的斜率为( )【来源:21·世纪·教育·网】
A.1 B.-1
C.2 D.-2
解析 斜率k===-1.
答案 B
2.物体的运动规律是s=s(t),物体在t至t+Δt这段时间内的平均速度是( )
A.= B.=
C.= D.Δt→0时,=
解析 ==.
答案 C
3.如果质点M按规律s=3t2运动,那么在t=3时的瞬时速度为( )
A.6 B.18
C.54 D.81
解析 =
==6t+3Δt.
∴当Δt→0时,=6t=6×3=18.
答案 B
4.某质点A沿直线运动的方程为y=-2x2+1,则该质点从t=1到t=2时的平均速度为( )
A.-4 B.-8
C.-6 D.6
解析 ==-6.
答案 C
5.下表为某大型超市一个月的销售收入情况表,则本月销售收入的平均增长率为( )
日期 5 10 15 20 25 30
销售收入(万元) 20 40 90 160 275 437.5
A.一样 B.越来越大
C.越来越小 D.无法确定
解析 计算每5天的平均增长率,然后加以比较知,平均增长率越来越大.
答案 B
6.设C是成本,q是产量,且C(q)=3q2+10,若q=q0,则产量增加量为10时,成本增加量为________.21世纪教育网版权所有
解析 ΔC=C(q0+10)-C(q0)
=3(q0+10)2+10-(3q+10)
=3(q+20q0+100)-3q
=60q0+300.
答案 60q0+300
7.函数y=x2在x0到x0+Δx之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )平均变化率为k1,在x0-Δx到x0的平均变化为k2,则k1与k2的大小关系是________.(填k1>k2,k1
解析 k1==2x0+Δx.
k2==2x0-Δx.
∵k1-k2=2Δx,而Δx符号不确定,故k1与k2的大小不确定.
答案 不确定
8.已知曲线y=-1上两点A,
B,当Δx=1时,割线AB的斜率为________.
解析 ∵Δx=1,∴2+Δx=3,Δy=-=-.∴kAB==-.
答案 -
9.求函数y=-2x2+5在区间[2,2+Δx]内的平均变化率.
解 ∵Δy=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,
∴函数在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为==-8-2Δx.
10.比较函数f(x)=2x与g(x)=3x,当x∈[1,2]时,平均增长率的大小.
解 设f(x)=2x在x∈[1,2]时的平均增长率为k1,则
k1==2,
设g(x)=3x在x∈[1,2]时的平均增长率为k2,则
k2==6.
∵k1
11.在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度(单位:弧度)由函数φ(t)=4t-0.3t2(单位:秒)给出.21教育网
(1)求t=2秒时,P点转过的角度;
(2)求在2≤t≤2+Δt时间段内P点转过的平均角速度,其中①Δt=1,②Δt=0.1,③Δt=0.01.www.21-cn-jy.com
解 (1)当t=2时,φ(2)=4×2-0.3×22
=8-1.2=6.8(弧度).
(2)∵=
=
=4-1.2-0.3Δt=2.8-0.3Δt,
∴①当Δt=1时,平均角速度为=2.8-0.3×1=2.5(弧度/秒);
②当Δt=0.1时,平均角速度为=2.8-0.3×0.1=2.77(弧度/秒);
③当Δt=0.01时,平均角速度为=2.8-0.3×0.01=2.797(弧度/秒).
12.已知三个函数f1(x)=2x,f2(x)=x2,f3(x)=2x.
(1)指出三个函数在[0,+∞)上的单调性;
(2)取x1=0,x2=2,x3=4,x4=6,Δx=2.
求三个函数分别在区间[xi,xi+Δx](i=1,2,3,4)上的平均变化率(列成表格即可);
(3)分析三个函数在[xi,xi+Δx](i=1,2,3,4,…)上随自变量的增加,其平均变化率的变化情况.21cnjy.com
解 (1)根据一次函数、二次函数和指数函数性质可知.函数f1(x)=2x,f2(x)=x2,f3(x)=2x在[0,+∞)上都是增函数.
(2)列表:
函数区间 [0,2] [2,4] [4,6] [6,8]
f1(x)=2x 2 2 2 2
f2(x)=x2 2 6 10 14
f3(x)=2x 6 24 96
(3)由上表可知:函数f1(x)=2x随着 ( http: / / www.21cnjy.com )自变量的增大,在自变量增量Δx都是2的条件下,各区间上的函数平均变化率都相等,这说明函数呈匀速增长状态.函数f2(x)=x2在各区间上的平均变化率不相等,并且越来越大,这说明函数值随自变量增长的速度越来越快.函数f3(x)=2x在各区间上的平均变化率不相等,并且越来越大,这说明f3(x)的函数值随自变量增长的速度越来越快,并且比f2(x)的增长速度快的多.2·1·c·n·j·y
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双基限时练(三)
1.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( )
A.不存在 B.与x轴垂直
C.与x轴平行 D.与x轴平行或重合
答案 D
2.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s=t2,则当t=2时,此木块在水平方向的瞬时速度为( )21cnjy.com
A. 2 B. 1
C. D.
解析 s′= =
= = (t+Δt)=t.
∴当t=2时,s′=.
答案 C
3.若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处切线方程为2x+y+1=0,则( )
A.h′(a)<0 B.h′(a)>0
C.h′(a)=0 D.h′(a)的符号不定
解析 由2x+y+1=0,得h′(a)=-2<0.
∴h′(a)<0.
答案 A
4.曲线y=在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )
A.45° B.60°
C.135° D.120°
解析 k=y′= =
= =-.
∴当x=3时,tanα=-1.∴α=135°.
答案 C
5.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是( )
A.(0,0) B.(2,4)
C.(,) D.(,)
解析 y′= =
= = (2x+Δx)=2x.
令2x=tan=1,∴x=,y=.
故所求的点是(,).
答案 D
6.已知曲线y=2x2上一点A(2,8),则过点A的切线的斜率为________.
解析 k=f′(2)=
= = (8+2Δx)=8.
答案 8
7.若函数f(x)在x0处的切线的斜率为k,则极限 =________.
解析
=- =-k.
答案 -k
8.已知函数f(x)在区 ( http: / / www.21cnjy.com )间[0,3]上图象如图所示,记k1=f′(1),k2=f′(2),k3=f′(3),则k1,k2,k3之间的大小关系为________.(请用“>”连接)21·cn·jy·com
解析 由f(x)的图象及导数的几何意义知,k1>k2>k3.
答案 k1>k2>k3
9.已知曲线y=2x2上的点(1,2),求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程.
解 ∵f′(1)= =4,∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k,则4k=-1,k=-.www.21-cn-jy.com
∴所求的直线方程为y-2=-(x-1),
即x+4y-9=0.
10.已知曲线y=上两点P(2,-1),Q.求:
(1)曲线在点P处、点Q处的切线的斜率;
(2)曲线在点P,Q处的切线方程.
解 将P(2,-1)代入y=得t=1,∴y=.
∴y′= = = =.
(1)曲线在点P处的切线的斜率为y′|x=2==1;
曲线在点Q处的切线的斜率为y′|x=-1==.
(2)曲线在点P处的切线方程为
y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.
曲线在点Q处的切线方程为
y-=(x+1),即x-4y+3=0.
11.已知点M(0,-1),F(0,1),过点M的直线l与曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线平行.21教育网
(1)求直线l的方程;
(2)求以点F为焦点,l为准线的抛物线C的方程.
解 (1)∵f′(2)=
=0,
∴直线l的斜率为0,其直线方程为y=-1.
(2)∵抛物线以点F(0,1)为焦点,y=-1为准线,∴设抛物线的方程为x2=2py,则-=-1,p=2.故抛物线C的方程为x2=4y.
12.已知曲线y=x2+1,问是否存 ( http: / / www.21cnjy.com )在实数a,使得经过点(1,a)能作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.2·1·c·n·j·y
解 存在.
理由如下:
∵y=x2+1,
∴y′= = =
=2x.
设切点坐标为(t,t2+1),
∵y′=2x,∴切线的斜率为k=y′|x=t=2t.
于是可得切线方程为y-(t2+1)=2t(x-t).
将(1,a)代入,得a-(t2+1)=2t(1-t),
即t2-2t+a-1=0.
∵切线有两条,∴方程有两个不同的解.
故Δ=4-4(a-1)>0.∴a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2).21世纪教育网版权所有
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双基限时练(九)
1.把长度为8的线段分成四段,围成一个矩形,矩形面积的最大值为( )
A.2 B.4
C.8 D.以上都不对
解析 由经验知,矩形的周长一定时,正方形面积最大,所以最大面积为2×2=4.
答案 B
2.正三棱柱体积是V,当其表面积最小时,底面边长a为( )
A. B.
C. D.2
解析 设正三棱柱的高为h,则
V=a2sin60°·h=a2h,∴h=.
则正三棱柱的表面积S=2·a2+3ah
=a2+3a·=a2+,
∴S′=a-,
令S′=0,得a=.
答案 C
3.某公司生产某种产品,固定成本为20 ( http: / / www.21cnjy.com )000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R(x)=则总利润最大时,每年生产的产量是( )www-2-1-cnjy-com
A.100 B.150
C.200 D.300
解析 当0≤x≤400时,
Q(x)=400x-x2-20000-100x
=-x2+300x-20000.
Q′(x)=-x+300.
令Q′(x)=0,得x=300.
答案 D
4.一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积为S,为使窗户周长最小,用料最省,圆的半径应为( )2-1-c-n-j-y
A. B.
C. D.2
解析 设圆半径为x,矩形的高记作h,那么窗户面积S=x2+2hx.
窗户周长为
l(x)=πx+2x+2h=x+2x+.
令l′(x)=+2-=0,
解得x= (舍去负值),
∵l(x)只有一个极值,因此x= 为最小值点.
答案 C
5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测 ( http: / / www.21cnjy.com ),存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能够全部贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则存款利率为多少时,银行可获得最大收益为( )21教育网
A.0.012 B.0.024
C.0.032 D.0.036
解析 由题意知,存款量g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048).【来源:21·世纪·教育·网】
设银行可获得收益为y,则y=0.048kx-kx2.
于是y′=0.048k-2kx.
令y′=0,得x=0.024.
依题意知,y在x=0.024处取得最大值.
答案 B
6.四川地震灾区在党的领 ( http: / / www.21cnjy.com )导下积极恢复生产,重建家园时,某工厂需要建一个面积为512 m2矩形堆料场.一边可以利用原有的墙壁,其它三面需要砌新的墙壁,当砌墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为________. 21*cnjy*com
解析 设矩形堆料场的长为x m,则宽为 m,所用材料f(x)=x+,f′(x)=1-.
令f′(x)=0,得x=32,宽为16.
答案 32 m 16 m
7.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润( ( http: / / www.21cnjy.com )单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________.
解析 设甲地销售x辆,则乙地销售(15-x)辆.
总利润L=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(x≥0).
令L′=-0.3x+3.06=0,得x=10.2.
∴当x=10时,L有最大值45.6.
答案 45.6万元
8.某公司规定:对于小于或等于 ( http: / / www.21cnjy.com )150件的订购合同,每件售价为200元,对于多于150件的订购合同,每超过一件则每件售价比原来减少1元,当公司的收益最大时订购件数为________.
解析 设销售额为y,销售件数为x,则
y=
令g(x)=x·[200-(x-150) ( http: / / www.21cnjy.com )]=350x-x2,g′(x)=350-2x.解y′(x)=0,得x=175.易知,当x=175时,g(x)有最大值30625.
答案 175
9.某商场从生产厂家以每件20元 ( http: / / www.21cnjy.com )购进一批商品.若该商品零售价定为p元,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8300-170p-p2.问该商品零售价定为多少时毛利润L最大,并求出最大毛利润.(毛利润=销售收入-进货支出)21cnjy.com
解 设毛利润为L(p),由题意知
L(p)=p·Q-20Q=Q(p-20)
=(8300-170p-p2)(p-20)
=-p3-150p2+11700p-166000,
L′(p)=-3p2-300p+11700,
令L′(p)=0,解得p=30,或p=-130(舍去).
此时,L(30)=23000.
因为在p=30附近的左侧L ( http: / / www.21cnjy.com )′(p)>0,右侧L′(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.21世纪教育网版权所有
答:该商品零售价定为每件30元时,毛利润最大,最大毛利润为23000元.
10.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使体积最大,求圆锥的高.
解 如图.设圆锥底面半径为r,高为h,于是
h2+r2=202,
∴r=.
∴V=πr2h=π(400-h2)·h=π(400h-h3).
∴V′=π(400-3h2).
令V′=0,解得h=.
当0
0.
当h>时,V′<0.
∴h=时,圆锥形漏斗体积最大.
11.某单位用2160万元购得一块空 ( http: / / www.21cnjy.com )地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房,经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,那么每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)21·cn·jy·com
解 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,
则f(x)=(560+48x)+=560+48x+.
f′(x)=48-.
令f′(x)=0,得x=15.
当x>15时,f′(x)>0,当0
答:为了楼房每平方米的综合费用最少,该楼房应建为15层.
12.某地建一座桥,两端的桥 ( http: / / www.21cnjy.com )墩已建好,这两桥墩相距m米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.2·1·c·n·j·y
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
解 (1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,则n=-1,
∴y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+(2+)x=m+m+2m-256.21·世纪*教育网
(2)由(1)知,f′(x)=-+mx-=(x-512).
令f′(x)=0,得x=512,所以x=64.
当0
当64
0,f(x)在区间(64,640)内为增函数.
∴f(x)在x=64处取得最小值.此时n=-1=-1=9.
故需新建9个桥墩才能使y最小.
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双基限时练(五)
1.函数y=cosnx的复合过程正确的是( )
A.y=un,u=cosxn
B.y=t,t=cosnx
C.y=tn,t=cosx
D.y=cost,t=xn
答案 C
2.下列函数在x=0处没有切线的是( )
A.y=3x2+cosx B.y=xsinx
C.y=+2x D.y=
解析 因为y=+2x在x=0处没意义,所以y=+2x在x=0处没有切线.
答案 C
3.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是( )
A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0
解析 设切点为(x0,x),则斜率k=2x0=2,
∴x0=1,∴切点为(1,1).
故切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
答案 D
4.y=loga(2x2-1)的导数是( )
A. B.
C. D.
解析 y′=(2x2-1)′=.
答案 A
5.已知函数f(x)=,且f′(1)=2,则a的值为( )
A.a=1 B.a=2
C.a= D.a>0
解析 f′(x)=(ax2-1)-·(ax2-1)′=·2ax=.
由f′(1)=2,得=2,∴a=2.
答案 B
6.曲线y= sin2x在点M(π,0)处的切线方程是________.
解析 y′=(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,
∴k=y′|x=π=2.
又过点(π,0),所以切线方程为y=2(x-π).
答案 y=2(x-π)
7.f(x)=e2x-2x,则=________.
解析 f′(x)=(e2x)′-(2x)′=2e2x-2=2(e2x-1).
∴==2(ex+1).
答案 2(ex+1)
8.已知f(x)=ln(3x-1),则f′(1)=________.
解析 ∵f′(x)=,∴f′(1)=.
答案
9.已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.21世纪教育网版权所有
解 ∵函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),
∴得a=-8,4b+c=0,
∴f(x)=2x3-8x,f′(x)=6x2-8.
又当x=2时,f′(2)=16,g′(2)=4b,
∴4b=16,∴b=4,c=-16.
∴a=-8,b=4,c=-16.
10.已知曲线y=e2x·cos3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为,求直线l的方程.
解 ∵y′=(e2x)′·cos3x+e2x·(cos3x)′=2e2x·cos3x-3e2xsin3x,
∴y′|x=0=2.∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.
依题意,可设l的方程为2x-y+b=0,则=.解得b=6或b=-4.
∴直线l的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0.
11.已知函数f(x)=lnx ( http: / / www.21cnjy.com ),g(x)=x2+a(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1,求直线的方程及a的值.21教育网
解 ∵f(x)=lnx,∴f′(x)=,∴f′(1)=1,
即直线l的斜率为1,切点为(1,0).
∴直线l的方程为y=x-1.
又l与g(x)的图象也相切,等价于方程组只有一解,即方程x2-x+1+a=0有两个相等的实根,
∴Δ=1-4×(1+a)=0,∴a=-.
12.已知曲线y=5.
(1)求该曲线与直线y=2x-4平行的切线方程;
(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程.
解 (1)设切点为(x0,y0),由y=5,
得y′=,∴y′|x=x0=.
∵切线与直线y=2x-4平行,∴=2,
∴x0=,∴y0=.
故所求的切线方程为y-=2,
即16x-8y+25=0.
(2)∵点P(0,5)不在曲线y=5上,故设切点为M(m,n),则切线的斜率为.
又∵切线的斜率,∴==,
∴m-2=0.解得m=4或m=0(舍去).
∴切点M(4,10),切线的斜率为.
故切线方程为y-10=(x-4),即5x-4y+20=0.
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双基限时练(六)
1.若f(x)=(0
A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)
1
解析 ∵f′(x)==,
当x∈(0,e)时,
lnx∈(0,1),∴1-lnx>0,即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,e)上为增函数,又0
∴f(a)
答案 C
2.若在区间(a,b)内有f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有( )
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)=0 D.f(x)≥0
解析 由题意知f(x)在(a,b)上为增函数,又f(a)≥0,∴在(a,b)内恒有f(x)>0.
答案 A
3.设f(x)在(a,b)内可导,则f′(x)<0是f(x) 在(a,b)内单调递减的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 f(x)在(a,b)内有f′(x)<0,则f(x)在(a,b)内单调递减;反过来,f(x)在(a,b)内单调递减,则f′(x)≤0.21教育网
∴f′(x)<0是f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件.
答案 A
4.设f′(x)是函数f(x)的导数,y=f′(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )21cnjy.com
解析 分析导函数y=f′( ( http: / / www.21cnjy.com )x)的图象可知,x<-1时,f′(x)<0.∴y=f(x)在(-∞,-1)上为减函数;当-1
0,∴y=f(x)在(-1,1)内为增函数;当x>1时,f′(x)<0,∴y=f(x)在(1,+∞)上为减函数,只有B符合条件.www.21-cn-jy.com
答案 B
5.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( )【来源:21·世纪·教育·网】
A.g(a)<0
C.0
解析 ∵f′(x)=ex+1>0,∴f(x)=ex+x-2在其定义域内是增函数.又f(a)=0,f(1)=e-1>0,f(0)=-1<0,21·世纪*教育网
∴0
0,∴g′(x) ( http: / / www.21cnjy.com )=+2x>0,∴g(x)=lnx+x2-3在(0,+∞)上为增函数,而g(1)=-2<0,g(2)=ln2+1>0,∴g(b)=0 1
0.故g(a)<0
答案 A
6.已知f(x)=x2+2xf′(1),则f′(0)等于________.
解析 ∵f(x)=x2+2xf′(1),
∴f′(x)=2x+2f′(1).
∴f′(1)=2+2f′(1),∴f′(1)=-2.
∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.
答案 -4
7.已知导函数y=f′(x)的图象如下图所示,请根据图象写出原函数y=f(x)的递增区间是________.21·cn·jy·com
解析 由图象可知,当-1
5时,f′(x)>0,
∴f(x)的递增区间为(-1,2)和(5,+∞).
答案 (-1,2),(5,+∞)
8.下列命题中,正确的是________.
①若f(x)在(a,b)内是增函数,则对 ( http: / / www.21cnjy.com )于任何x∈(a,b),都有f′(x)>0;②若在(a,b)内f′(x)存在,则f(x)必为单调函数;③若在(a,b)内的任意x都有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)内是增函数;④若x∈(a,b),总有f′(x)<0,则在(a,b)内f(x)<0.2·1·c·n·j·y
答案 ③
9.已知R上的可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)<0的解集为________.2-1-c-n-j-y
解析 由f(x)的图象可知,f′(x)<0 -1
0 x<-1或x>1.
因此(x2-2x-3)f′(x)<0,
即或
即或即1
答案 {x|1
10.已知f(x)=ex-ax,求f(x)的单调区间.
解 ∵f(x)=ex-ax.
∴f′(x)=ex-a.
令f′(x)≥0,得ex≥a.
当a≤0时,有f′(x)>0在R上恒成立;
当a>0时,有x≥lna.
令f′(x)≤0,得ex≤a,
当a>0时,x≤lna.
综上,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的增区间为[lna,+∞),减区间为(-∞,lna].
11.若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞)上为增函数,试求实数a的取值范围.
解 函数f(x)的导数f′(x)=x2-ax+a-1.
令f′(x)=0,解得x=1,或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.
当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.21世纪教育网版权所有
依题意应有当x∈(1,4)时,f′(x)<0,
当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.
所以4≤a-1≤6,解得5≤a≤7.
所以a的取值范围是[5,7].
12.设函数f(x)=xekx(k≠0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.
解 (1)f′(x)=(1+kx)ekx,f′(0)=1,f(0)=0,
曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.
(2)由f′(x)=(1+kx)ekx=0,得x=-(k≠0).
若k>0,则当x∈(-∞,-)时,f′(x)<0,
函数f(x)单调递减;
当x∈(-,+∞)时,f′(x)>0,
函数f(x)单调递增.
若k<0,则当x∈(-∞,-)时,f′(x)>0,
函数f(x)单调递增;
当x∈(-,+∞)时,f′(x)<0,
函数f(x)单调递减.
(3)由(2)知,若k>0,则当且仅当-≤-1,
即k≤1时,函数f(x)在(-1,1)内单调递增;
若k<0,则当且仅当-≥1,即k≥-1时,
函数f(x)在(-1,1)内单调递增.
综上可知,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].
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双基限时练(十四)
1.质点做直线运动,其速度v(t)=3t2-2t+3,则它在第2秒内所走的路程为( )
A.1 B.3
C.5 D.7
解析 由定积分的物理意义知
S=(3t2-2t+3)dt=(t3-t2+3t)
=(8-4+6)-(1-1+3)=7.
答案 D
2.从空中自由下落的物体,在第一秒时刻 ( http: / / www.21cnjy.com )恰经过电视塔顶,在第二秒时刻物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(t为常数),则电视塔高为( )21世纪教育网版权所有
A.g B.g
C.g D.2g
解析 依题意得电视塔的高度为
h=vdt=gtdt=gt2
=2g-g=g.
答案 C
3.做直线运动的质点在任意位 ( http: / / www.21cnjy.com )置x处,所受的力F(x)=1+ex,则质点沿着F(x)相同的方向,从点x1=0处运动到点x2=1处,力F(x)所做的功是( )21教育网
A.1+e B.e
C. D.e-1
解析 W=F(x)dx=(1+ex)dx
=(x+ex)=1+e-1=e.
答案 B
4.一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),则力F(x)做的功为( )21cnjy.com
A.44 J B.46 J
C.40 J D.60 J
解析 W=F(x)dx
=10dx+(3x+4)dx
=10x+(x2+4x)
=20+40-14=46(J).
答案 B
5.在弹性限度内,弹簧每拉长1 cm 要用5 N的拉力,要把弹簧拉长20 cm,则拉力做的功为( )www.21-cn-jy.com
A.0.1 J B.0.5 J
C.5 J D.10 J
解析 设弹簧所受的拉力F(x)=kx,由题意知,弹簧受5 N的拉力伸长量为1 cm,得5=k×0.01,k=500.2·1·c·n·j·y
∴F(x)=500x.因此,W=∫500xdx=250x2=10(J).
答案 D
6.一辆汽车在高速公路上行 ( http: / / www.21cnjy.com )驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )【来源:21·世纪·教育·网】
A.1+25ln5 B.8+25ln
C.4+25ln5 D.4+50ln2
解析 令7-3t+=0,解得t=4或t= ( http: / / www.21cnjy.com )-<0,舍去.则dt=[7t-t2+25ln(1+t)]=28-24+25ln5=4+25ln5.www-2-1-cnjy-com
答案 C
7.已知质点的速度v=10t,则从t=t1到t=t2质点的平均速度为________.
解析 由s=10tdt=5t2t2t1=5(t-t),得平均速度为==5(t1+t2).21·世纪*教育网
答案 5(t1+t2)
8.如果1 N力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为__________.
解析 设F(x)=kx,当F=1 N,x=0.01 m时,k=100,
∴W=∫100xdx=50x2=0.18(J).
答案 0.18 J
9.以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t ( http: / / www.21cnjy.com )时刻的速度为v=40-10t(单位:m/s),将物体的高度h表示为时间t的函数式为________________(记t=0时高度为0).2-1-c-n-j-y
解析 ∵h(0)=0,∴h(t)-h(0)= ( http: / / www.21cnjy.com )(40-10t)dt=(40t-5t2)=40t-5t2.∴物体的高度h表示为时间t的函数式为h(t)=40t-5t2.
答案 h(t)=40t-5t2
10.一物体以v(t)=t2-3t+8(m/s)的速度运动,求其在前30秒内的平均速度.
解 由定积分的物理意义有
s=∫(t2-3t+8)dt=(t3-t2+8t)=7890(m).
∴===263(m/s).
11.模型火箭自静止开始垂直向上发射,设启动时即有最大加速度,以此时为起点,加速度满足a(t)=100-4t2,求火箭前5 s内的位移.21·cn·jy·com
解 由题设知t=t0=0,v(0)=0,s(0)=0,
∴v(t)=(100-4t2)dt=100t-t3.
∴s(5)=v(t)dt=(100t-t3)dt=(50t2-
t4)=.
即火箭前5秒的位移是.
12.物体A以速度v=3t2 ( http: / / www.21cnjy.com )+1在一直线上运动,在此直线上与物体出发的同时,物体B在物体A的正前方5 m处正以v=10t的速度与A同向运动,问两物体何时相遇?相遇时,物体A走过的路程是多少?(时间单位:s,速度单位:m/s) 21*cnjy*com
解 设A追上B时,所用时间为t0,依题意得SA=SB+5,即
∫t00(3t2+1)dt=∫t0010tdt+5,
∴t+t0=5t+5,
即t0(t+1)=5(t+1),
∴t0=5(s).
∴SA=5t+5=130(m).
13.在底面积为S的圆柱形容器中 ( http: / / www.21cnjy.com )盛有一定量的气体,在等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处,计算在移动过程中,气体压力所做的功.【来源:21cnj*y.co*m】
解 力F对物体所做的功为W=F·s,求出变力F的表达式是本题中求功的关键:
由物理学知识易得压强P与体积V的乘积是常数k,即PV=k,又∵V=x·S(x指活塞与底的距离),
∴P==.
∴作用在活塞上的力F=P·S=·S=.
∴气体压力所做的功为
W=dx=k·lnx=kln.
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双基限时练(四)
1.下列各式中正确的是( )
A.(sina)′=cosa(a为常数)
B.(cosx)′=sinx
C.(sinx)′=cosx
D.(x-5)′=-x-6
答案 C
2.已知函数f(x)=x3的切线斜率等于1,则其切线方程有( )
A.1条 B. 2条
C.3条 D.不确定
解析 令f′(x)=3x2=1,得x=±,
∴切线斜率为1的点有两个,故有两条.
答案 B
3.函数y=cosx在x=处的切线的斜率为( )
A. B.-
C. D.-
解析 y′=(cosx)′=-sinx,
∴k=y′|x==-sin=-.
答案 D
4.曲线y=在点(1,1)处的切线方程为( )
A.y=x+1 B.y=x
C.y=x+ D.y=-x+
解析 ∵y==x,∴y′=x-.∴k=y′|x=1=.故切线方程为y-1=(x-1),即y=x+.21教育网
答案 C
5.已知f(x)=xn.若f′(-1)=-4,则n的值为( )
A.4 B.-4
C.5 D.-5
解析 ∵f(x)=xn,f′(x)=nxn-1,
∴f′(-1)=n(-1)n-1=-4.∴n=4.
答案 A
6.过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为________.
解析 ∵y=ex,∴y′=ex.
设切点为(x0,y0),切线方程为y=kx,
则
∴x0=1,y0=e.故切点(1,e),k=e.
答案 (1,e) e
7.已知函数f(x)=f′cosx+sinx,则f的值为________.
解析 ∵f(x)=f′cosx+sinx.f′为常数,
∴f′(x)=-f′sinx+cosx,
∴f′=-f′×+,得f′=-1.
∴f(x)=(-1)cosx+sinx.
∴f=(-1)×+=1.
答案 1
8.已知f(x)=x2,g(x)=lnx,若f′(x)-g′(x)=1,则x=________.
解析 f′(x)-g′(x)=2x-=1,即2x2-x-1=0.解得x=-或x=1,又x>0,∴x=1.21世纪教育网版权所有
答案 1
9.已知曲线y=x3-3x,过点(0,16)作曲线的切线,求曲线的切线方程.
解 设切点为(x1,y1),则切线的斜率
k=y′x=x1=3x-3,
∴切线方程为y=(3x-3)x+16.
又切点在切线上,
∴y1=(3x-3)x1+16.
∴x-3x1=(3x-3)x1+16,解得x1=-2.
∴切线方程为y=9x+16,
即9x-y+16=0.
10.证明:过曲线y=上的任何一点P(x0,y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数.21cnjy.com
证明 由y=,得y′=-.
∴k=f′(x0)=-.∴过点P(x0,y0)的切线方程为y-y0=-(x-x0).
令x=0,得y=y0+=;
令y=0,得x=2x0.
∴过点P(x0,y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=×2x0×=2是一个常数.21·cn·jy·com
11.在曲线y=(x<0)上求一点P,使P到直线x+2y-4=0的距离最小.
解 由题意知,平行于直线x+2y-4=0与y=(x<0)相切的切点即为所求.
设切点P(x0,y0),由y′=-,得k=y′|x=x0=-,
又x+2y-4=0的斜率为-,
∴-=-,∴x0=,或x0=-.
∵x<0,∴x0=-.y0=-=-.
∴P(-,-)为所求.
12.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求:
(1)过点P,Q的曲线y=x2的切线方程;
(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.
解 (1)∵y′=2x,且P(-1,1),Q(2,4)都是曲线y=x2上的点,
∴过点P的切线的斜率为k1=y′|x=-1=-2.
过点Q的切线的斜率为k2=y′|x=2=4.
故过点P的切线方程为y-1=-2(x+1),
即2x+y+1=0.
过点Q的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)设切点坐标为(x0,x),
则y′|x=x0=2x0,又直线PQ的斜率k==1,
∴2x0=1,x0=.故切点坐标为.
故平行于PQ的切线方程为y-=x-,
即4x-4y-1=0.
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双基限时练(十一)
1.定积分f(x)dx的大小( )
A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关
B.与f(x)有关,与区间[a,b]及ξi的取法无关
C.与f(x)及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关
D.与f(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关
答案 A
2.积分dx的值等于( )
A.0 B.1
C. D.2
答案 B
3.当a
0,则f(x)dx的值( )
A.一定是正的
B.一定是负的
C.当0
D.正、负都有可能
解析 由定积分的几何意义知,当a
0时,
f(x)dx>0.
答案 A
4.直线x=1,x=-1,y=0及曲线y=x3+sin3x围成的平面图形的面积可以表示为( )
A.-1(x3+sin3x)dx B.|-1(x3+sin3x)dx|
C.(x3+sin3x)dx D.2(x3+sin3x)dx
解析 ∵y=x3+sin3x为奇函数,其图象关于原点对称,x轴上方的面积为(x3+sin3x)dx,21世纪教育网版权所有
∴整个图形的面积为2(x3+sin3x)dx.
答案 D
5.已知[f(x)+g(x)]dx=18,f(x)dx=10,则
g(x)dx等于( )
A.8 B.10
C.18 D.不确定
解析 由定积分的性质可知,g(x)dx=18-10=8.
答案 A
6.已知f(x)dx=6,则6f(x)dx等于__________.
解析 6f(x)dx=6f(x)dx=6×6=36.
答案 36
7.已知x2dx=,x2dx=,则(x2+1)dx=________.
解析 x2dx=x2dx+x2dx=+=.
又1dx=2,
∴(x2+1)dx=x2dx+1dx=+2=.
答案
8.设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)dx-f(t)dt的值为__________.
答案 0
9.曲线y=与直线y=2x,x=2所围成图形的面积用定积分可表示为________.
解析 如图所示,阴影部分面积为
2xdx-dx=dx.
答案 dx
10.简化下列各式,并画出各题所表示的图形的面积.
(1)x2dx+-2x2dx;
(2)(1-x)dx+(x-1)dx.
解 (1)原式=-3x2dx,如下图①.
图①
(2)(1-x)dx+(x-1)dx=|1-x|dx,如图②.
图②
11.已知f(x)为偶函数,且f(x)dx=3,计算定积分
-23f(x)dx.
解 ∵f(x)为偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称,
∴-2f(x)dx=f(x)dx=3.
∴-23f(x)dx=3-2f(x)dx=3[-2f(x)dx+
f(x)dx]=3×(3+3)=18.
12.利用定积分的性质、几何意义求-3(sinx+)dx.
解 -3(sinx+)dx
=-3sinxdx+-3dx.
∵y=sinx在[-3,3]上为奇函数,
∴-3sinxdx=0.
由几何意义可得-3dx=×6=3,
∴-3(sinx+)dx=3.
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双基限时练(十)
1.在计算由曲线y=-x2以及直线x=-1,x=1,y=0所围成的图形的面积时,若将区间[-1,1]n等分,则每个小区间的长度为( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
答案 B
2.函数f(x)=x2在区间[,]上( )
A.f(x)的值变化很小
B.f(x)的值变化很大
C.f(x)的值不变化
D.当n很大时,f(x)的值变化很小
答案 D
3.在“近似代替”中,函数f(x)在区间[xi,xi+1]上近似值等于( )
A.只能是左端点的函数值f(xi)
B.只能是右端点的函数值f(xi+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi,xi+1])
D.以上答案均不对
答案 C
4.当n很大时,函数f(x)=x2在区间[,]上的值,可以用哪个值近似代替( )
A.f() B.f()
C.f() D.f(0)
答案 C
5.求曲边梯形面积主要运用的数学思想是( )
A.函数方程 B.数形结合
C.分类讨论 D.以直代曲
答案 D
6.已知某物体运动的速度 ( http: / / www.21cnjy.com )v=2t-1,t∈[0,10],若把区间10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程的近似值为________.21教育网
解析 由题意知,物体运动的路程即为这10个小矩形的面积和,即S=1+3+5+…+19=×10=100.21cnjy.com
答案 100
7.在区间[0,8]上插入9个等分点,则所分的小区间长度Δx=________,第5个小区间是________.21·cn·jy·com
解析 每个小区间的长度Δx==,第5个小区间的左端点是×4=,右端点是×5=4,因此第5个小区间是[,4].
答案 [,4]
8.一辆汽车在司机猛踩刹车后,5 s内停下,在这一刹车过程中,下面各速度值被记录了下来:
刹车踩下后的时间/s 0 1 2 3 4 5
速度/(m/s) 21 14 9 5 2 0
则刹车后车滑过的距离的不足近似值(每个 ( http: / / www.21cnjy.com )ξi均取小区间的右端点)与过剩近似值(每个ξi取小区间的左端点)分别为________m,________m.www.21-cn-jy.com
解析 不足近似值为14+9+5+2+0=30.
过剩近似值为21+14+9+5+2=51.
答案 30 51
9.计算下列各式的和.
(1)(k-1);
(2)(-).
解 (1)(k-1)=1×(1-1)+2×(2-1)+3×(3-1)+4×(4-1)+5×(5-1)=0+2+6+12+20=40.2·1·c·n·j·y
(2)(-)=(1-)+(-)+(-)+(-)+(-)+(-)=1-=.【来源:21·世纪·教育·网】
10.求抛物线f(x)=1+x2与直线x=0,x=1,y=0所围成的平面图形的面积S.
解 (1)分割
把区间[0,1]等分成n个小区间[,](i=1,2,…,n),其长度Δx=,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,其面积分别记为ΔSi(i=1,2,…,n).21·世纪*教育网
(2)近似代替
用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积
ΔSi=f()·Δx=[1+()2]·(n=1,2,…,n).
(3)求和
所有这些小矩形的面积和
Sn=Si=[1+()2].
(4)取极值
S=Sn=·[1+()2]
=1+()2·=1+ (1-)(1-)
=1+=.
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双基限时练(七)
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 设x0为f(x)的一个极小值点,则在x0左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,由y=f′(x)的图象知,只有一个适合.【来源:21·世纪·教育·网】
答案 A
2.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于( )www-2-1-cnjy-com
A.2 B.1
C.-1 D.-2
解析 y′=3-3x2,令 ( http: / / www.21cnjy.com )y′=0,得x=±1.可判断函数y=3x-x3在x=1处取得极大值,因此极大值点的坐标为(1,2),即b=1,c=2,又ad=bc,∴ad=2.21·世纪*教育网
答案 A
3.三次函数当x=1时,有极大值,当x=3时,有极小值,且函数的图象过原点,则该三次函数为( )
A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x
解析 本题若直接求解,相当于解一 ( http: / / www.21cnjy.com )个大题,本题按照小题小做的原则,可采用试验找答案,显然四个函数的图象都过原点,下面分别求导函数,验证x=1和x=3都是导函数的根,对于B,y′=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x=1和x=3时,有y′=0.而其他不适合题意.2-1-c-n-j-y
答案 B
4.已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )
A.(2,3) B.(3,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,3)
解析 y′=6x2+2ax+36. ( http: / / www.21cnjy.com )依题意知6×22+4a+36=0,∴a=-15,∴y′=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3),易知当x>3时,y′>0,∴函数的一个增区间为(3,+∞).21·cn·jy·com
答案 B
5.函数f(x)=x3-2ax2+3a2x在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,3)
C. D.
解析 f′(x)=x2-4ax+3a ( http: / / www.21cnjy.com )2=(x-a)(x-3a),易知a≠0,∴f′(0)=3a2>0,Δ=(-4a)2-12a2=4a2>0,依题意可得解得0
答案 C
6.已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值,又有极小值,则实数a的取值范围是________.21教育网
解析 f′(x)=3x2+6ax+ ( http: / / www.21cnjy.com )3(a+2),由题意知f′(x)=0有两个不同的实数根,∴Δ=36a2-36(a+2)>0,解得a<-1,或a>2.
答案 a>2或a<-1
7.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+m,在R上的极大值为20,则实数m=________.
解析 f′(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),
当-1<x<3时,f′(x)>0,
当x>3时,f′(x)<0,
∴当x=3时,f(x)有极大值,则
f(3)=-33+3×32+9×3+m=20,
∴m=-7.
答案 -7
8.曲线y=x2+4lnx上切线斜率的极小值为________.
解析 y′=x+(x>0),令g(x ( http: / / www.21cnjy.com ))=x+,则g′(x)=1-.令g′(x)=0,得x=2.当x∈(0,2)时,g′(x)<0;当x∈(2,+∞)时g′(x)>0,∴当x=2时,g(x)有极小值g(2)=2+=4.21世纪教育网版权所有
答案 4
9.函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,给出下列命题:
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增;
④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.
以上正确命题的序号是________.
解析 由f′(x)的图象知,在- ( http: / / www.21cnjy.com )3的左右两侧f′(x)符号左负右正,是极值点,故①正确;②错;在(-3,1)上f′(x)≥0,故③正确;k=f′(0)>0,故④错.21cnjy.com
答案 ①③
10.设x=-2,x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求常数a,b;
(2)判断x=-2,x=4是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
解 (1)f′(x)=3x2+2ax+b,
由极值点的必要条件可知,x=-2,x=4是方程
f′(x)=0的两根.
∴a=-3,b=-24.
(2)f′(x)=3x2-6x-24=3(x+2)(x-4)
当x<-2时,f′(x)>0,
当-2
当x>4时,f′(x)>0,
∴x=-2是f(x)的极大值点,x=4是f(x)的极小值点.
11.设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)的极值.
解 由已知得,f′(x)=6x[x-(a-1)],
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1,
(1)当a=1时,f′(x)=6x2,
f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
当a>1时,f′(x)=6x[x-(a-1)].
f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,a-1) a-1 (a-1,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
从表上可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;在(0,a-1)上单调递减;在(a-1,+∞)上单调递增.www.21-cn-jy.com
(2)由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值.
当a>1时,函数在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.
12.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.2·1·c·n·j·y
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设g(x)=f′(x)e-x,求函数g(x)的极值.
解 ∵f(x)=x3+ax2+bx+1,
∴f′(x)=3x2+2ax+b.
令x=1,得f′(1)=3+2a+b,
又f′(1)=2a,∴3+2a+b=2a,
∴b=-3.
令x=2,得f′(2)=12+4a+b,
又f′(2)=-b,∴12+4a+b=-b,
解得a=-.
∴f(x)=x3-x2-3x+1.
从而f(1)=-.
又∵f′(1)=2×(-)=-3.
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-)=-3(x-1),
即6x+2y-1=0.
(2)由(1)知,g(x)=(3x2-3x-3)e-x,
∴g′(x)=(-3x2+9x)e-x=-3x(x-3)e-x.
令g′(x)=0,得x1=0,x2=3.
当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,故g(x)在(-∞,0)上为减函数;
当x∈(0,3)时,g′(x)>0,故g(x)在(0,3)上为增函数;
当x∈(3,+∞)时,g′(x)<0,故g(x)在(3,+∞)上为减函数.
从而可知,函数g(x)在x=0处取得极小值g(0)=-3,
在x=3处取得极大值g(3)=15e-3.
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双基限时练(十三)
1.由曲线y=f(x)(f(x)≤0),x∈[a,b],x=a,x=b和x轴围成的曲边梯形的面积S等于( )21世纪教育网版权所有
A.f(x)dx, B.-f(x)dx
C.[f(x)-a]dx D.[f(x)-b]dx
答案 B
2.如图,阴影部分的面积为( )
A.f(x)dx
B.g(x)dx
C.[f(x)-g(x)]dx
D.[f(x)+g(x)]dx
解析 阴影部分的面积
S=f(x)dx+|g(x)dx|
=f(x)dx-g(x)dx
=[f(x)-g(x)]dx.
答案 C
3.曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积等于( )
A.-1(x-x3)dx B.-1(x3-x)dx
C.2(x-x3)dx D.2-1(x-x3)dx
解析 由得交点A(-1,-1),B(0,0),C(1,1),如下图所示.
∴阴影部分的面积为S=2(x-x3)dx.
答案 C
4.曲线y=cosx(0≤x≤π)与坐标轴所围成的面积为( )
A.2 B.3
C. D.4
解析 利用函数y=cosx在0≤x≤的图知,所求面积为S=3∫0cosxdx=3(sinx)0=3.www.21-cn-jy.com
答案 B
5.如图阴影部分面积为( )
A. 2 B. 9-2
C. D.
解析 S=-3(3-x2-2x)dx
=(3x-x3-x2)
=+9=.
答案 C
6.f(x)=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. 1
C. 2 D.
解析 根据定积分的几何意义结合图形可得所求封闭图形的面积为
S=×1×1+∫0cosxdx
=+sinx0=.
答案 A
7.曲线y=与直线y=x,x=2所围成图形的面积为________.
解析 示意图如图所示,
所求面积为S=(x-)dx=(x2-lnx)=-ln2.
答案 -ln2
8.设函数f(x)=3x2+c,若f(x)dx=5,则实数c的值为________.
解析 ∵f(x)dx=(3x2+c)dx
=(x3+cx)=1+c=5,
∴c=4.
答案 4
9.设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=________.
解析 依题意得,由y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积S=dx=x=a=a2,∴a=.21·cn·jy·com
答案
10.求正弦曲线y= sinx,x∈[0,]和直线x=及x轴所围成的平面图形的面积.
解 如图,当x∈[0,π]时,曲线
y= sinx位于x轴上方,而当x∈[π,]时,曲线位于x轴下方,因此所求面积应为两部分面积之和.21教育网
∴S= sinxdx+|∫π sinxdx|
= sinxdx-∫π sinxdx
=-cosx+cosxππ
=2+1=3.
11.如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,求k的值.
解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,抛物线与x轴所围成的面积S=(x-x2)dx==.
抛物线y=x-x2与直线y=kx两交点的横坐标为0和1-k,
∴S=∫(x-x2-kx)dx==(1-k)3=.
∴(1-k)3=,k=1-=1-.
12.求曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成图形(如图阴影部分)的面积的最小值.21cnjy.com
解 由定积分与微积分基本定理得S=S1+ ( http: / / www.21cnjy.com )S2=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=(t2x-x3)+=t3-t3+-t2-t3+t3=t3-t2+,t∈(0,1).2·1·c·n·j·y
S′=4t2-2t=2t(2t-1).
当0
0,
∴当t=时,S有最小值Smin=.
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双基限时练(二)
1.当自变量x由x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( )
A.在区间[x0,x1]上的平均变化率
B.在x1处的导数
C.在区间[x0,x1]上的导数
D.在x处的平均变化率
解析 由平均变化率的定义知选A.
答案 A
2.对于函数f(x)=c(c为常数),则f′(x)为( )
A.0 B.1
C.c D.不存在
解析 f′(x)= = =0.
答案 A
3.y=x2在x=1处的导数为( )
A.2x B.2
C.2+Δx D.1
解析 ∵Δy=(1+Δx)2-12=2Δx+(Δx)2,
∴=2+Δx.∴f′(1)= (2+Δx)=2.
答案 B
4.在导数的定义中,自变量的增量Δx满足( )
A.Δx<0 B.Δx>0
C.Δx=0 D.Δx≠0
解析 Δx可正、可负,就是不能为0,因此选D.
答案 D
5.一物体运动满足曲线方程s=4t2+2t-3,且s′(5)=42(m/s),其实际意义是( )
A.物体5秒内共走过42米
B.物体每5秒钟运动42米
C.物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒
D.物体以t=5秒时的瞬时速度运动的话,每经过一秒,物体运动的路程为42米
解析 由导数的物理意义知,s′(5)=42(m/s)表示物体在t=5秒时的瞬时速度.故选D.
答案 D
6.如果质点A按规律s=3t2运动,那么在t=3时的瞬时速度为________.
解析 ∵Δy=3(3+Δt)2-3×32=18Δt+3(Δt)2,
∴s′(3)= = (18+3Δt)=18.
答案 18
7.设函数f(x)满足 =-1,则f′(1)=________.
解析 ∵ = =f′(1)=-1.
答案 -1
8.函数f(x)=x2+1在x=1处可导,在求f′(1)的过程中,设自变量的增量为Δx,则函数的增量Δy=________.21世纪教育网版权所有
解析 Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-(12+1)
=2Δx+(Δx)2.
答案 2Δx+(Δx)2
9.已知f(x)=ax2+2,若f′(1)=4,求a的值.
解 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)2+2-(a×12+2)
=2a·Δx+a(Δx)2,
∴f′(1)= = (2a+a·Δx)=2a=4.
∴a=2.
10.已知函数f(x)=13-8x+x2,且f′(x0)=4,求x0的值.
解 Δy=f(x0+Δx)-f( ( http: / / www.21cnjy.com )x0)=[13-8(x0+Δx)+(x0+Δx)2]-(13-8x0+x)=-8Δx+2x0Δx+(Δx)2.21教育网
f′(x0)= = (-8+2x0+Δx)=-8+2x0,
又∵f′(x0)=4,∴-8+2x0=4,∴x0=3.
11.在自行车比赛中,运动员的位移与比赛时间t存在关系s(t)=10t+5t2(s的单位是m,t的单位是s).21cnjy.com
(1)求t=20,Δt=0.1时的Δs与;
(2)求t=20时的速度.
解 (1)当t=20,Δt=0.1时,
Δs=s(20+Δt)-s(20)
=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-(10×20+5×202)
=1+20+5×0.01=21.05.
∴==210.5.
(2)由导数的定义知,t=20时的速度即为
v=
=
=
= (5Δt+10+10t)
=10+10t
=10+10×20
=210(m/s).
12.若一物体运动方程如下(位移:m,时间:s).
s=
求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
解 (1)∵物体在t∈[3,5]内 ( http: / / www.21cnjy.com )的时间变化量为Δt=5-3=2,物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,21·cn·jy·com
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为==24(m/s).
(2)求物体的初速度为v0,即求物体在t=0时瞬时速度.
∵物体在t=0附近的平均速度为===3Δt-18,
∴物体在t=0处的瞬时速度为 = (3Δt-18)=-18(m/s).
即物体的初速度为-18 m/s.
(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.
∵物体在t=1附近的平均速度变化为
==3Δt-12,
∴物体在t=1处的瞬时变化率为 = (3Δt-12)=-12(m/s).
即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.
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双基限时练(八)
1.函数f(x)=x+2cosx在[0,]上的最大值点为( )
A.x=0 B.x=
C.x= D.x=
解析 令f′(x)=1-2sinx=0,则sinx=,又x∈[0,],∴x=,又f(0)=2,f()=+,f()=,21世纪教育网版权所有
∴f()最大,∴最大值点为x=.
答案 B
2.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( )
A.0≤a<1 B.0
C.-1
解析 ∵f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
依题意f′(x)=0在(0,1)内有解.
∴0
答案 B
3.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( )
A.有最大值,但无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,也无最小值
D.无最大值,但有最小值
解析 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
当-1
∴f(x)在(-1,1)上是减函数,没有最值.
答案 C
4.已知函数f(x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为,则a等于( )
A.- B.
C.- D.-或-
解析 f(x)=-x2-2x+3=-(x ( http: / / www.21cnjy.com )+1)2+4,易知,f(x)的图象是开口向下的抛物线,对称轴x=-1,而f(-1)=4>,f(2)=-5<,∴-1
答案 C
5.函数y=xe-x,x∈[0,4]的最大值为( )
A.0 B.
C. D.
解析 ∵y=xe-x,∴y′=e-x+xe-x(-x)′=(1-x)e-x.
∵e-x>0,∴当x∈(0, ( http: / / www.21cnjy.com )1)时,y′>0;当x∈(1,4)时,y′<0.故当x=1时,y有极大值.又当x=0时,y=0;当x=4时,y=.∴最大值为.21教育网
答案 B
6.函数f(x)=sinx+cosx在x∈时,函数的最大值、最小值分别是________.
解析 f′(x)=cos ( http: / / www.21cnjy.com )x-sinx,x∈[-,],令f′(x)=0,得x=,又f()=,f(-)=-1,f()=1,即最大值为,最小值为-1.
答案 ,-1
7.函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的最小值是________.
解析 f′(x)=12-3x2=3(4-x2),
令f′(x)=0,得x=±2,
而f(-3)=-36+27=-9,
f(-2)=-24+8=-16,
f(2)=24-8=16,
f(3)=36-27=9.
∴最小值是-16.
答案 -16
8.设f(x),g(x)是定义在[a,b ( http: / / www.21cnjy.com )]上的可导函数,且f′(x)>g′(x),令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上的最大值为________.
解析 F′(x)=f′(x)-g′(x)>0,
∴F(x)在[a,b]上是增函数.
∴最大值为F(b)=f(b)-g(b).
答案 f(b)-g(b)
9.在平面直角坐标系xOy中,已知P是 ( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是________.21cnjy.com
解析 如图所示,设点P(x0,ex0),则
f′(x0)=ex0(x0>0).
∴f(x)=ex(x>0)在点P处的切线方程为
y-ex0=ex0(x-x0),令x=0,得
M(0,ex0-x0ex0).
过点P与l垂直的直线方程为
y-ex0=-(x-x0),
令x=0,得N(0,ex0+).
∴2t=ex0-x0ex0+ex0+=2ex0-x0ex0+x0e-x0,则(2t)′=2ex0-ex0-x0ex0+e-x0-x0e-x0=(1-x0)(ex0+e-x0).
∵ex0+e-x0>0,∴当1-x0>0时,即0
0,∴2t在(0,1)上单调递增;21·cn·jy·com
当1-x0<0,即x0>1时,(2t)′<0,
∴2t在(1,+∞)上单调递减.
故当x0=1时,2t有最大值e+,
即t的最大值为(e+).
答案 (e+)
10.已知a∈R,f(x)=(x2-4)(x-a).
(1)求f′(x);
(2)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最值;
(3)若函数f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上是递增的,求a的取值范围.
解 (1)由原式得
f(x)=x3-ax2-4x+4a,
∴f′(x)=3x2-2ax-4.
(2)由f′(-1)=0,得a=,
此时f(x)=(x2-4)(x-),
f′(x)=3x2-x-4.
由f′(x)=0,得x=,或x=-1.
又f()=-,f(-1)=,
f(-2)=0,f(2)=0,
∴f(x)在[-2,2]上的最大值为,最小值为-.
(3)f′(x)=3x2-2ax-4的图象是开口向上的抛物线,且过定点(0,-4).
由条件得f′(-2)≥0,f′(2)≥0,
即∴-2≤a≤2.
故a的取值范围是[-2,2].
11.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).
(1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
解 (1)f′(x)=3x2-2ax,
∵f′(1)=3-2a=3,∴a=0.
又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,
∴曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为3x-y-2=0.
(2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.
当≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a.
当≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0.
当0<<2,即0
f(x)max=
综上所述,f(x)max=
12.已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=-时是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值.
解 (1)∵f′(x)=3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立,
∴即 a≤0,
∴a的取值范围是(-∞,0].
(2)若x=-是f(x)的极值点,
则f′(-)=3(-)2+a-3=0,
∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x.
f′(x)=3x2-8x-3
=(3x+1)(x-3).
令f′(x)=0得,x1=-,或x2=3.
f′(x),f(x)随x变化的情况如下表:
x 1 (1,3) 3 (3,4) 4
f′(x) - 0 +
f(x) -6 ↘ 极小值-18 ↗ -12
由表可知,当x=1时,f(x)在[1,4]上有最大值为-6.
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双基限时练(十二)
1.下列各式中,正确的是( )
A.F′(x)dx=F′(b)-F′(a)
B.F′(x)dx=F′(a)-F′(b)
C.F′(x)dx=F(b)-F(a)
D.F′(x)dx=F(a)-F(b)
答案 C
2.∫0( sinx-cosx)dx=( )
A.0 B.1
C.2 D.
解析 ∫0(sinx-cosx)dx
=∫0sinxdx-∫0cosxdx
=(-cosx)0-(sinx)0
=1-1=0.
答案 A
3.若∫a1(2x+)dx=3+ln2(a>1),则a的值为( )
A.6 B.4
C.3 D.2
解析 ∵(2x+)dx
=(x2+lnx)=a2+lna-1,
又(2x+)dx=3+ln2,
∴a=2.
答案 D
4.-πcosxdx等于( )
A.2π B.π
C.0 D.1
解析 -πcosxdx=sinx=sinπ-sin(-π)=0.
答案 C
5.设f(x)=则f(x)dx等于( )
A. B.
C. D.不存在
解析 f(x)dx=x2dx+(2-x)dx
=x3+(2x-x2)
=+2-=.
答案 C
6.由曲线y=x2-1,直线x=0,x=2和x轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )
A.(x2-1)dx
B.|(x2-1)dx|
C.|x2-1|dx
D.(x2-1)dx+(x2-1)dx
答案 C
7.若a=x2dx,b=x3dx,c= sinxdx,则a,b,c的大小关系是________.21世纪教育网版权所有
解析 ∵a=x2dx=x3=,
b=x3dx=x4=4,
c= sinxdx=(-cosx)=-cos2+1<2.
∴b>a>c.
答案 b>a>c
8.计算-2( sinx+2)dx=________.
解析 -2(sinx+2)dx=-2sinxdx+-22dx
=(-cosx)+2x
=-cos2+cos(-2)+2×2-2×(-2)
=8.
答案 8
9.设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若0≤x0≤1.且
f(x)dx=f(x0),则x0=________.
解析 ∵f(x)dx=(ax2+c)dx==+c,
又f(x)dx=f(x0),∴ax+c=+c.
∵a≠0,∴x=,
又0≤x0≤1,∴x0=.
答案
10.计算下列定积分:
(1)dx;
(2)(2-|1-x|)dx;
(3)∫-(sinx-cosx)dx.
解 (1)dx=dx=
(-x)dx==
-=-8-+=-.
(2)∵y=2-|1-x|=
∴(2-|1-x|)dx=(1+x)dx+(3-x)dx=+=+4-=3.
(3)∫-(sinx-cosx)dx=(-cosx-sinx)-=-1-1=-2.
11.f(x)是一次函数,且f(x)dx=5,xf(x)dx=,求f(x)的解析式.
解 设f(x)=ax+b(a≠0),
由f(x)dx=5,xf(x)dx=,
得(ax+b)dx=(ax2+bx)=a+b,
x(ax+b)dx=(ax3+bx2)=a+b,
∴解得
∴f(x)=4x+3.
12.求f(a)=(6x2+4ax+a2)dx的最小值.
解 f(a)=(6x2+4ax+a2)dx
=6x2dx+4axdx+a2dx
=2x3+2ax2+a2x
=2+2a+a2
=(a+1)2+1.
∴当a=-1时,f(a)的最小值为1.
13.设F(x)=(t2+2t-8)dt.
(1)求F(x)的单调区间;
(2)求F(x)在[1,3]上的最值.
解 F(x)=(t2+2t-8)dt==x3+x2-8x,定义域是(0,+∞).
(1)F′(x)=x2+2x-8=(x+4)(x-2),
∵当x<-4或x>2时,F′(x)>0;
当-4
又∵x>0,∴函数的增区间为(2,+∞),减区间为(0,2).
(2)令F′(x)=0,得x=2(x=-4舍去).
又F(1)=-,F(2)=-,F(3)=-6,
∴F(x)在[1,3]上的最大值为-6,最小值是-.
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同课章节目录
第一章 导数及其应用
1.1变化率与导数
1.2导数的计算
1.3导数在研究函数中的应用
1.4生活中的优化问题举例
1.5定积分的概念
1.6微积分基本定理
1.7定积分的简单应用
第二章 推理与证明
2.1合情推理与演绎推理
2.2直接证明与间接证明
2.3数学归纳法
第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1数系的扩充和复数的概念
3.2复数代数形式的四则运算
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