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双基限时练(十五)
1．设ξ是随机变量，a，b是非零常数，则下列等式中正确的是( )
A．D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＋b B．E(aξ)＝a2E(ξ)
C．D(aξ)＝a2D(ξ) D．E(aξ＋b)＝aE(ξ)
答案 C
2．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )
A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45
解析 依题意得解得
答案 A
3．设离散型随机变量为ξ，下列说法中正确的是( )
A．E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
B．D(ξ)反映了ξ取值的平均水平
C．E(ξ)反映了ξ取值的平均水平
D．D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
答案 C
4．若ξ是一个随机变量，则E(ξ－E(ξ))的值为( )
A．无法求 B．0
C．E(ξ) D．2E(ξ)
解析 ∵常数b的均值还是b，而E(ξ)为一个常数，
∴E(E(ξ))＝E(ξ)．
∴E(ξ－E(ξ))＝E(ξ)－E(ξ)＝0.故选B.
答案 B
5．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的情况为
工人 甲 乙
废品数 0 1 2 3 0 1 2 3
概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0
则有结论( )
A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C．两人的产品质量一样好
D．无法判断谁的质量好一些
解析 设甲、乙出次品的个数分别为ξ ( http: / / www.21cnjy.com )、η. 则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(η)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.∵E(ξ)>E(η)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些，故选B.
答案 B
6．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)等于( )
A．6 B．9
C．3 D．4
解析 由题意知，
E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.
D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
∴D(3ξ＋5)＝9D(ξ)＝6.
答案 A
7．已知某运动员投篮命中率P＝0.6，则他连续投5次，命中次数η的方差为________．
解析 依题意知η～B(5,0.6)
D(η)＝5×0.6×(1－0.6)＝1.2.
答案 1.2
8．已知随机变量ξ的分布列如下
ξ 1 2 3
P 0.4 0.1 x
则ξ的标准差为________．
解析 ∵由分布列的性质知，x＝0.5，
E(ξ)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，
D(ξ)＝(1－2.1)2×0.4＋(2－2.1)2×0.1＋(3－2.1)2×0.5
＝0.484＋0.001＋0.405＝0.89.
∴σ(ξ)＝＝.
答案
9．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
解析 依题意得
解得a＝，b＝，c＝.
故D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝×＋×＋×＝.
答案
10．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
解析 依题意成功次数ξ服二项 ( http: / / www.21cnjy.com )分布，即ξ～B(100，p)，D(ξ)＝100p(1－p)≤100×2＝25.当且仅当p＝1－p，即p＝时，成功次数的标准差有最大值5.21教育网
答案 5
11．有A，B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξA，ξB分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A，B两种钢筋哪一种质量较好．
解 先比较ξA与ξB的期望值：
E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，21cnjy.com
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，21·cn·jy·com
所以，它们的期望值相同．再比较它们的方差：
D(ξA)＝(110－125)2 ( http: / / www.21cnjy.com )×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，www.21-cn-jy.com
D(ξB)＝(100－125)2×0 ( http: / / www.21cnjy.com ).1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165，2·1·c·n·j·y
所以D(ξA)
12．甲、乙两人射击，甲射击一次中靶 ( http: / / www.21cnjy.com )的概率是p1，乙射击一次中靶的概率是p2，且，是方程x2－5x＋6＝0的两个实根．已知甲射击5次，中靶次数的方差是.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求p1，p2的值；
(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目的．则完成目的的概率是多少？
解 (1)由题意可知，甲射击5次中靶次数ξ服从二项分布B(5，p1)，∴D(ξ)＝5p1(1－p1)＝.∴p－p1＋＝0，21·世纪*教育网
解得，p1＝.又·＝6，∴p2＝.
(2)分两种情况：共击中3次的概率为
C()2()0×C()1()1＋C()1()1×C()2()0＝；
共击中4次的概率为C()2×C()2＝.
故所求概率为＋＝.
(3)两人各射击1次，都未中靶的概率为(1－)(1－)＝，
∴两人各射击1次，至少中靶1次的概率为1－＝.
13．甲、乙两名工人加工同一种零件 ( http: / / www.21cnjy.com )，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.www-2-1-cnjy-com
X 0 1 2
P
Y 0 1 2
P
解 工人甲生产出次品数X的期望与方差分别为：
E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.
工人乙生产出次品数Y的期望与方差分别为：
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，
D(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.
由E(X)＝E(Y)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术水平比较稳定．21世纪教育网版权所有
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双基限时练(十一)
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
2．把一枚硬币抛掷两次，事件B为“第一次出现正面”，事件A为“第二次出现反面”，则P(A|B)等于( )2·1·c·n·j·y
A. B.
C. D.
解析 把抛掷硬币两次的结果图示为：“＋＋”、“＋－”、“－＋”、“－－”．
易知P(B)＝，P(AB)＝，
∴P(A|B)＝＝＝.
答案 B
3．某地一农业科技实验站，对一批新水稻 ( http: / / www.21cnjy.com )种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )21世纪教育网版权所有
A．0.02 B．0.08
C．0.18 D．0.72
解析 记P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，
则P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72.
答案 D
4．盒中装有6件产品，其中4件一等品， ( http: / / www.21cnjy.com )2件二等品，从中不放回的取两次，每次取一件，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率为( )www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D.
解析 记第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，则
P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝×＝.
答案 D
5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )21·cn·jy·com
A. B.
C. D.
解析 A包含的基本事件有{1,3}，{1,5}，{3,5}，{2,4}，共4个，B包含的基本事件只有{2,4}，故P(B|A)＝.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 B
6．6位同学参加百米径赛，赛场共6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学被排在第二跑道的概率是________．
解析 甲排在第一跑道，其他同学共有A种排法，乙排在第二跑道共有A种排法．
故所求概率为P＝＝.
答案
7．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取两次，每次抽1张，已知第一次抽到A，第二次也抽到A的概率为________．
解析 记第一次抽到A为事件A1，第二次抽到A为事件A2，则P(A1)＝＝.
P(A1A2)＝＝.
故所求的概率为P(A2|A1)＝＝.
答案
8．一袋中共有10个大小相同的黑球 ( http: / / www.21cnjy.com )和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有一个白球的概率为，则白球的个数为________．现从中不放回地取球，每次取一球，取两次，已知第二次取得白球，则第一次取得黑球的概率为______________．2-1-c-n-j-y
解析 设袋中有白球n个，则有黑球(10－n)个，
依题意可得＝，解得n＝5.
记A＝{第二次取得白球}，B＝{第一次取得黑球}，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
故所求的概率为P(B|A)＝＝×2＝.
答案 5
9．市场供应的灯泡中，甲厂产品占有70% ( http: / / www.21cnjy.com )，乙厂产品占有30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%.现从市场中任取一灯泡，假设A＝“甲厂生产的产品”，＝“乙厂生产的产品”，B＝“合格品”，＝“不合格品”．求： 21*cnjy*com
(1)P(B|A)；
(2)P(|A)；
(3)P(B|)；
(4)P(|)．
解 (1)P(B|A)表示甲厂生产的产品的合格率，
∴P(B|A)＝95%＝0.95.
(2)P(|A)表示甲厂生产的产品的不合格率，
则P(|A)＝1－P(B|A)＝1－0.95＝0.05.
(3)P(B|)表示乙厂生产的产品的合格率，
∴P(B|)＝80%＝0.8.
(4)P(|)表示乙厂生产的产品的不合格率，
∴P(|)＝1－P(B|)＝1－0.8＝0.2.
10．从1到100的整数中，任取一个数，已知取出的数是一个不大于50的数，求它是2或3的倍数的概率．21cnjy.com
解 设A＝{任取一个数，且该数不大于50}，B＝{取出的数是2或3的倍数}，则n(A)＝50，n(AB)＝33.21·世纪*教育网
∴P(B|A)＝＝.
则该数是2或3的倍数的概率为.
11．任意向x轴上(0,1)这一区间内投掷一点，问
(1)该点落在区间内的概率是多少？
(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率．
解 (1)由题意知，任意向(0,1) ( http: / / www.21cnjy.com )这一区间内投掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的．令A＝{x|0(2)令B＝{x|故在(1)的条件下B发生的概率
P(B|A)＝＝＝.
12．在某次考试中，要从20道题中随机 ( http: / / www.21cnjy.com )的抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．21教育网
解 设事件A为“该考生6道题全 ( http: / / www.21cnjy.com )答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题而另一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题而2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”．则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.由古典概型的概率公式及加法公式可得
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
∵P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
∴P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＋＝＝.
故所求的概率为.
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双基限时练(十)
1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ 1 2 3 4
P a
则a的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
2．如果ξ是1个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )
A．ξ取每个可能值的概率是非负数
B．ξ取所有可能值的概率和为1
C．ξ取某2个可能值的概率等于分别取其中这2个
值的概率之和
D．ξ的取值只能是正整数
答案 D
3．设离散型随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1 2 3
P
则下列各式中成立的是( )
A．P(ξ＝1.5)＝0 B．P(ξ>－1)＝1
C．P(ξ<3)＝1 D．P(ξ<0)＝0
答案 A
4．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现在任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，则概率等于的是( )21教育网
A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4)
答案 C
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝m()k，k＝1,2,3，则m的值为( )
A. B.
C. D.
解析 由分布列的性质得m[＋()2＋()3]＝1，∴m＝.
答案 B
6．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝如果钉尖向上的概率为0.8，试写出随机变量X的分布列为________．
X 1 0
P 0.8 0.2
7．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取 ( http: / / www.21cnjy.com )4个球，取到一个红球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.21·cn·jy·com
解析 取出的4个球中红球的个数可能为4,3 ( http: / / www.21cnjy.com ),2,1，相应的黑球个数为0,1,2,3，其得分ξ＝4,6,8,10.P(ξ≤6)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝＋＝.www.21-cn-jy.com
答案
8．把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是ξ，则有P(ξ<2)＝________.
解析 P(ξ<2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＋＝.
答案
9．从1,2,3,4四个数中，任意取出两数，求取出的两数之和ξ的分布列．
解 依题意可知ξ可取3,4,5,6,7.当ξ＝3时，取出的两个数只能是1和2，从四个数任取两个数的组合数为C，∴P(ξ＝3)＝＝.
类似可求得P(ξ＝4)＝，
P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝，P(ξ＝7)＝.
∴ξ的分布列为
ξ 3 4 5 6 7
P
10.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有x个红球，求随机变量x的分布列．
解 依题意ξ的取值可能是0,1,2，
P(x＝0)＝＝＝0.1，
P(x＝1)＝＝＝0.6，
P(x＝2)＝＝＝0.3.
∴x的分布列为
x 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
11.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券 ( http: / / www.21cnjy.com )中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值ξ(元)的概率分布，并求出P(5≤ξ≤25)的值．
解 (1)P＝1－＝1－＝，
即该顾客中奖的概率为.
(2)ξ的所有可能值为0,10,20,50,60，
且P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝10)＝＝，
P(ξ＝20)＝＝，
P(ξ＝50)＝＝，
P(ξ＝60)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 10 20 50 60
P
∴P(5≤ξ≤25)＝P(ξ＝10)＋P(ξ＝20)＝＋＝.
12．某市公租房的房源位于 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房子，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中：21世纪教育网版权所有
(1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列．
解 (1)任一片区4人都可以申请，因此 ( http: / / www.21cnjy.com )所有申请方式有34＝81(种)，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22＝24(种)，故所求的概率为P＝＝.21cnjy.com
(2)ξ的可能取值为1,2,3.
又P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
综上，知ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
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双基限时练(十三)
1．独立重复试验应满足的条件是：
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生与不发生两种结果之一；
③每次实验发生的机会是均等的；
④各次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
答案 C
2．设在一次试验中A出现的概率为P，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为Pk，则( )
A．P1＋P2＋…＋Pn＝1
B．P0＋P1＋P2＋…＋Pn＝1
C．P0＋P1＋P2＋…＋Pn＝0
D．P1＋P2＋…＋Pn－1＝1
答案 B
3．有5粒种子，每粒种子发芽的概率均为98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是( )
A．0.984×0.02 B．0.98×0.24
C．C×0.984×0.02 D．C×0.98×0.024
答案 C
4．若ξ～B(10，)，则P(ξ≥2)＝( )
A. B.
C. D.
解析 P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)
＝1－C()0()10－C()()9
＝1－－＝.
答案 C
5．已知η～B(6，)，则P(η＝4)等于( )
A. B.
C. D.
解析 P(η＝4)＝C()4(1－)2＝C()4()2＝.
答案 B
6．在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，若事件A至少出现一次的概率为，则事件A在一次试验中出现的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 设事件A在一次试验中出现的概率为p，则
1－(1－p)4＝，
∴(1－p)4＝，∴1－p＝.∴p＝.
答案 A
7．一袋中装有5个红球，3个白球， ( http: / / www.21cnjy.com )现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现8次为止，记ξ为取球的次数，则P(ξ＝10)＝________________(写出表达式即可)．21世纪教育网版权所有
解析 依题意知，ξ＝10表示“取 ( http: / / www.21cnjy.com )得红球的事件”，在前9次恰有7次取得红球，第10次取得红球，故P(ξ＝10)＝C()7()2×＝C()8()2.21cnjy.com
答案 C()8()2
8．下面四个随机变量：
①随机变量ξ表示重复投掷一枚硬币n次，正面向上的次数；
②有一批产品共有N件，其中M件是次品，采用有放回抽取的方法，则η表示n次抽取中出现次品的件数；
③其命中率为P(0④随机变量ξ为观察n次射击中命中目标的次数．
上述四个随机变量服从二项分布的是________．
答案 ①②④
9．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥1)＝________.www.21-cn-jy.com
解析 P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝.
∴P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)4＝1－4＝.
答案
10．某校的有关研究性学习小组进行一种验证性试验，已知该种试验每次成功的概率为.
(1)求他们做了5次这种试验至少有2次成功的概率；
(2)如果在若干次试验中，累计有两次成功就停止试验，求该小组做了5次试验就停止试验的概率．
解 (1)设5次试验中，只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，至少成功2次为事件C，则
P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)
＝1－C()1()4－C()5
＝1－－＝.
所以，5次试验至少2次成功的概率为.
(2)该小组做了5次试验，依题意知，前4次仅成功一次，且第5次成功．设该事件为D，则
P(D)＝C()4×＝.
所以做了5次试验就停止的概率为.
11．某地区为下岗人员免费提供财会 ( http: / / www.21cnjy.com )和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．21教育网
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．
解 (1)任选1名下岗人员 ( http: / / www.21cnjy.com )，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.【来源：21·世纪·教育·网】
任选1名下岗人员，该人没有参加培训的概率是
P1＝P(·)＝P()·P()＝0.4×0.25＝0.1.
所以该人参加过培训的概率是
P2＝1－P1＝1－0.1＝0.9.
(2)因为每个人的选择是相互独 ( http: / / www.21cnjy.com )立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B(3,0.9)，P(ξ＝k)＝C×0.9k×0.13－k，(k＝0,1,2,3)，
即ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
12.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人各次射击是否击中目标相互之间没有影响．2·1·c·n·j·y
(1)求甲射击4次至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
解 (1)记“甲射击4次至少有1次未击中目标 ( http: / / www.21cnjy.com )”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－4＝.21·世纪*教育网
所以甲射击4次至少有一次未击中的概率为.
(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A.“乙射击4次恰有3次击中目标”为事件B，则
P(A)＝C×22＝，
P(B)＝C×3＝.
由于甲、乙射击相互独立，故
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
所以两人各射击4次，甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为.
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双基限时练(九)
1．10件产品中有4件次品，从中任取2件，可为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B．取到次品的件数
C．取到正品的概率 D．取到次品的概率
答案 B
2．抛掷两颗骰子，所有点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机事件是( )
A．两颗都是4点
B. 1颗是1点，另一颗是3点
C. 2颗都是2点
D．一颗是1点，另一颗是3点，或者两颗都是2点
答案 D
3．掷一枚质地均匀的硬币两次，则随机变量为( )
A．出现正面的次数
B．出现正面或反面的次数
C．掷硬币的次数
D．出现正、反面次数之和
答案 A
4．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大可能取值为( )21世纪教育网版权所有
A．5 B．2
C．3 D．4
答案 D
5．某人射击的命中率为P(0A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，…
C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，…
答案 B
6．抛掷两枚骰子一次，ξ表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有取值可能是( )
A．0≤ξ≤5，ξ∈N B．－5≤ξ≤0，ξ∈N
C．1≤ξ≤6，ξ∈N D．－5≤ξ≤5，ξ∈N
答案 D
7．在考试中，需回答三个问题，考试 ( http: / / www.21cnjy.com )规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．21·cn·jy·com
答案 300,100，－100，－300
8．一袋中装有大小相同的6个 ( http: / / www.21cnjy.com )黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出3个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则ξ＝6表示的试验结果是________．2·1·c·n·j·y
答案 取出的3个球中，有一个是6号球，其他两个球是1,2,3,4,5中的任意两个
9．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前，已取出的次品数为X.
(1)写出X的可能取值；
(2)写出X＝1所表示的事件．
解 (1)X的可能取值为0,1,2,3.
(2)X＝1表示第一次取到的是次品，而第二次取到的是正品零件．
10．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，试求ξ的值域，并说明“ξ>4”表示的试验结果．【来源：21·世纪·教育·网】
解 设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚 ( http: / / www.21cnjy.com )骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6.依题意ξ＝x－y，得－5≤ξ≤5，即ξ的值域为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．ξ>4 ξ＝5.它表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．21·世纪*教育网
11．一个坛子里有编号为1,2，…，12的 ( http: / / www.21cnjy.com )12个大小相同的球，其中1到6号是红球，其余的是黑球．若从中任取两个球，求取到的都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率．www-2-1-cnjy-com
解 从中任取两个球，共有C＝66种取法，其中取到的都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的取法C－C＝12种取法，故概率为P＝＝.2-1-c-n-j-y
12．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，求至少有1名女生当选的概率．
解 设2名代表中至少有1名女生为事件A，则A包含的基本事件数为CC＋C＝24.而总事件数为C＝45.www.21-cn-jy.com
故所求的概率为P(A)＝＝.
13．某城市出租汽车的起 ( http: / / www.21cnjy.com )步价为10元，行驶路程不超过4 km，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足1 km的部分按1 km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费)．这位司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费η也是一个随机变量． 21*cnjy*com
(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；
(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？21教育网
解 (1)根据题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2.
(2)由2ξ＋2＝38，得ξ＝18.
所以5×(18－15)＝15.
即出租车在途中因故停车累计最多15分钟．
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双基限时练(十六)
1．已知随变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )2·1·c·n·j·y
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
解析 ∵ξ～N(0，σ2)，∴μ＝0，即图象关于y轴对称，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954. 21*cnjy*com
答案 C
2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c的值是( )
A．－μ B．0
C．μ D．σ2
答案 C
3．已知随机变量X～N(0,1)，则X在区间(－3，＋∞)内取值的概率为( )
A．0.8874 B．0.0026
C．0.0013 D．0.9987
解析 由X～N(0,1)知，正态曲线的对称轴为y轴，在区间[－3,3]上的概率为0.9974，
则(－3，＋∞)内取值的概率比0.9974还大，故选D.
答案 D
4．如果提出统计假设：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个值a时，下列哪种情况可以说明假设不成立( )21教育网
A．a∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．a (μ－3σ，μ＋3σ)
C．a∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．a (μ－2σ，μ＋2σ)
解析 如果是正态分布，那么零件尺 ( http: / / www.21cnjy.com )寸落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.9974，而任取一个值a (μ－3σ，μ＋3σ)，说明不是正态分布，所以假设不成立．21·cn·jy·com
答案 B
5．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X<0)＝0.4，则P(X>2)＝( )
A．0.1 B．0.2
C．3 D．0.4
解析 由X～N(0，σ2)知，P(0＜X≤2)＝P(－2≤X＜0)＝0.4.
∴P(X＞2)＝－P(0＜X≤2)＝0.5－0.4＝0.1.
答案 A
6．某市组织了一次高三调 ( http: / / www.21cnjy.com )研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数f(x)＝e eq \s\up15(－) ，x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是( )www.21-cn-jy.com
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩的标准差为10
答案 B
7．设离散型随机变量ξ～N(0,1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________.21cnjy.com
解析 P(ξ≤0)＝.
P(－2＜ξ<2)＝P(0－2＜ξ＜0＋2)
＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.
答案 0.9544
8．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在(3,5)里的概率相等，那么这个正态分布的均值为________．
解析 ∵区间(－3，－1)与(3,5)．关于x＝1对称，也就是说正态曲线的对称轴为x＝1，∴μ＝1.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 1
9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布 ( http: / / www.21cnjy.com )N(1，δ2)(δ>0)，若ξ在(0,1)内的取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
解析 由正态分布N(1，δ2)(δ>0)知，正态曲线的对称轴为x＝1，所以P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.21世纪教育网版权所有
答案 0.8
10．商场经营的某种包装的大米质 ( http: / / www.21cnjy.com )量服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是多少？
解 因为大米的质量服从正态分布N ( http: / / www.21cnjy.com )(10,0.12)，要求质量在9.8～10.2 kg的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．
由正态分布N(10,0.12)在，μ＝10，σ＝0.1，
所以质量在9.8～10.2 kg的概率为
P(10－2×0.111．在某次考试中，考生的数学成绩ξ服从正态分布N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试中共有2000名学生，试估计考试成绩在(80,100)间的学生大约有多少人？
解 ∵ξ～N(90,100)．∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ ( http: / / www.21cnjy.com )＋σ)内取值的概率是0.6826，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以，考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．
12．某糖厂用自动打包机打包， ( http: / / www.21cnjy.com )每包重量x(kg)服从正态分布N(100,1.22)，一公司从该糖厂进货1500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．21·世纪*教育网
(1)(100－1.2,100＋1.2)；
(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．
解 (1)由正态分布N(100,1 ( http: / / www.21cnjy.com ).22)知，μ＝100，δ＝1.2，又P(100－1.2(2)因为P(100－3×1.2所以糖包重量在100－3×1.2～100＋3×1.2范围内的包数为1500×0.9974≈1496包．www-2-1-cnjy-com
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双基限时练(十四)
1．若η～B(5，)，则E(η)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 E(η)＝5×＝.
答案 C
2．已知X的分布列为
X 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
，E(X)＝7.5，则a等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 E(X)＝4×0.3＋a×0.1＋9b＋10×0.2＝7.5，
∴0.1a＋9b＝4.3①
又0.3＋0.1＋b＋0.2＝1，
∴b＝0.4，代入①，a＝7.
答案 C
3．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)＝( )
A．3×0.64 B．2×0.45
C．2×0.44 D．3×0.44
解析 由E(ξ)＝0.6n＝3，得n＝5.
∴P(ξ＝1)＝C0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.
答案 D
4．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
解析 依题意知，用电单位X～B(n，p)，
∴E(X)＝np.
答案 B
5．某种种子发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )21世纪教育网版权所有
A．100 B．200
C．300 D．400
解析 记“不发芽的种子数为ξ”，
则ξ～B(1000,0.1)，
∴E(ξ)＝1000×0.1＝100.
而X＝2ξ，∴E(X)＝2E(ξ)＝200.
答案 B
6．已知随机变量x和y，其中y＝12x＋7，且E(y)＝34，若x的分布列如下表，则m的值为( )21教育网
x 1 2 3 4
y m n
A. B.
C. D.
解析 由y＝12x＋7，得E( ( http: / / www.21cnjy.com )y)＝12E(x)＋7＝34，从而E(x)＝.∴E(x)＝1×＋2m＋3n＋4×＝，即2m＋3n＝，m＋n＝1－－＝，解得m＝.21cnjy.com
答案 A
7．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，(k＝1,2,3,4)，则E(ξ)的值为________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 E(ξ)＝(1＋2＋3＋4)＝.
答案
8．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)＝________.21·世纪*教育网
解析 P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
答案
9．马老师从课本上抄录一个随机变量 ( http: / / www.21cnjy.com )ξ的概率分布列如下表，请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.21·cn·jy·com
x 1 2 3
P(ξ＝x) ？ ！ ？
解析 设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，所以有E(ξ)＝1·x＋2(1－2x)＋3·x＝2.www-2-1-cnjy-com
答案 2
10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的数学期望；
(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
解 (1)ξ可能取的值为0,1,2.
P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
(2)由(1)得，ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
(3)由(1)得“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
11．某商场举行抽奖促销活动 ( http: / / www.21cnjy.com )，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元，摸出两个红球可获得奖金50元，现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令ξ表示甲、乙摸球后获得的奖金总额，求：www.21-cn-jy.com
(1)ξ的分布列；
(2)ξ的数学期望．
解 (1)ξ的所有可能的取值为0,10,20,50,60.
P(ξ＝0)＝3＝；
P(ξ＝10)＝×2＋×＝；
P(ξ＝20)＝×＝；
P(ξ＝50)＝×＝；
P(ξ＝60)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ 0 10 20 50 60
P
(2)E(ξ)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝3.3(元)．
12．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等 ( http: / / www.21cnjy.com )品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元，设生产各种产品相互独立．2·1·c·n·j·y
(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
解 (1)由题设知，X可能取值为10,5,2，－3，且
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，
P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，
P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，
P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.
由此得X的分布列为
X 10 5 2 －3
P 0.72 0.18 0.08 0.02
(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4－n件．
由题意知，4n－(4－n)≥10，解得n≥，
又n∈N，得n＝3，或n＝4.
所以P＝C×0.83×0.2＋C0.84＝0.8192.
故所求概率为0.8192.
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双基限时练(十二)
1．某机械零件加工由两道工序组成，第 ( http: / / www.21cnjy.com )一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品合格率为( )21cnjy.com
A．1－a－b B．1－ab
C．1－2ab D．1－a－b＋ab
解析 产品合格就是两道工序加工都合格，所以产品的合格率为(1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab.
答案 D
2．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别是，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被译出的概率为( )www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D.
解析 设P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
则P()＝，P()＝，P()＝，
所以此密码被译出的概率为
P＝1－P()P()P()＝1－××＝.
答案 A
3．如图，A，B，C表示3个开关，若在 ( http: / / www.21cnjy.com )某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)是( )2·1·c·n·j·y
A．0.504 B．0.994
C．0.496 D．0.06
解析 记P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7，
则P()＝0.1，P()＝0.2，P()＝0.3，
故该系统的可靠性为P＝1－P()P()P()
＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
答案 B
4．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
解析 由P(A )＝P(B)，得P(A)P()＝P()P(B)，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)·[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P( )＝，∴P()＝P()＝，∴P(A)＝1－＝.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 D
5．在某道路A，B，C三处 ( http: / / www.21cnjy.com )设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为( ) 21*cnjy*com
A. B.
C. D.
解析 由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这段道路上三处都不停车的概率为P＝××＝.
答案 C
6．甲、乙两同学同时解一道数学题，设事件A：“甲同学做对”，事件B：“乙同学做对”，用事件A，B表示下列事件：
(1)甲同学做错，乙同学做对为________；
(2)甲、乙两同学同时做错为________；
(3)甲、乙两同学中至少一人做对为________；
(4)甲、乙两同学中至多一人做对为________；
(5)甲、乙两同学中恰有一人做对为________．
解析 由于事件A和B是相互独立的，故只须选择适合的形式表示相应的概率即可．
答案 (1)·B
(2)·
(3)A·＋·B＋A·B
(4)·＋A·＋·B
(5)A·＋·B
7．设A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A·)＝________；P(·)＝________.www-2-1-cnjy-com
解析 ∵P(A)＝，P(B)＝，
∴P()＝，P()＝.
∴P(A·)＝P(A)·P()＝×＝.
P(·)＝P()·P()＝.
答案
8．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝________，P(A|B)＝________.21·世纪*教育网
解析 ∵事件A，B相互独立，∴，也相互独立．
由P(A＋B)＝1－P(·)＝1－P()P()可知，
P(A＋B)＝1－0.7×0.5＝0.65.
P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案 0.65 0.3
9．明天上午李明要参加黄山三日游活动，为了 ( http: / / www.21cnjy.com )准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．2-1-c-n-j-y
解析 设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，
P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.2×0.1＝0.98.
答案 0.98
10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)∵A，B，C相互独立，
∴恰有一名同学当选的概率为
P(A··)＋P(·B·)＋P(··C)
＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(A·B·C)
＝1－P(A)·P(B)·P(C)
＝1－××＝.
11．某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购 ( http: / / www.21cnjy.com )进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意取出2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
(1)求取出6件产品中有一件产品是二等品的概率；
(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．21·cn·jy·com
解 设Ai表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0,1；Bi表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0,1,2.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)依题意所求的概率为
P1＝P(A1·B0)＋P(A0·B1)
＝P(A1)·P(B0)＋P(A0)·P(B1)
＝·＋·＝.
(2)所求的概率为
P＝1－P(A0·B0)－P1＝1－·－＝.
12．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游 ( http: / / www.21cnjy.com )的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．
解 (1)由题意得甲、乙在三 ( http: / / www.21cnjy.com )小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.21教育网
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝，
P(ξ＝8)＝×＝.
∴甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
ξ 0 2 4 6 8
P
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