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双基限时练(一)
1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的个数是( )
A．50 B．26
C．24 D．616
解析 由分类计数原理知，共有26＋24＝50(个)．
答案 A
2．从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是( )21教育网
A．3＋2＋4＝9 B．1
C．3×2×4＝24 D．1＋1＋1＝3
解析 由乘法计数原理知，共有3×2×4＝24(种)．
答案 C
3．学校有4个出入大门，某学生从任一门进入，从另外一门走出，则不同的走法种数有( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析 4×3＝12(种)．
答案 C
4．从集合A＝{0,1,2,3,4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可构成不同的二次函数的个数是( )
A．48 B．59
C．60 D．100
解析 由题意知，a≠0，a可取1,2,3 ( http: / / www.21cnjy.com ),4中任意一个．有4种取法．同理b有4种取法，c有3种取法．由分步计数原理知，共有4×4×3＝48(个)．21·cn·jy·com
答案 A
5．5名高中毕业生报考三所重点院校，每人限报且只报一所院校，则不同的报名方法有( )
A．35种 B．53种
C．60种 D．10种
解析 每一名高中毕业生都有3种选择，因此共有3×3×3×3×3＝35(种)．
答案 A
6．已知集合A＝{x|－2≤x≤10，x∈Z}，m，n∈A，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则这样的椭圆共有( )
A．45个 B．55个
C．78个 D．91个
解析 m，n只能取1,2,3，…，10，且m>n，按m取10,9,8，…，3,2可分为9类，共有9＋8＋7＋…＋1＝45(个)．21世纪教育网版权所有
答案 A
7．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生________种不同的信息．
解析 由题意知，每个穿孔都有2个信息，因此8个穿孔共有28种不同的信息．
答案 256
8．从5名医生和8名护士中选出1位医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有________种不同的选法．www.21-cn-jy.com
解析 5×8＝40(种)．
答案 40
9．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)【来源：21·世纪·教育·网】
解析 因为四位数的每个位数上都有两种可能性 ( http: / / www.21cnjy.com )(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14(个)．21·世纪*教育网
答案 14
10．由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数(各位上的数字可以重复)．
解 要组成一个三位数，要分三步．
①确定百位上的数字有4种；②确定十位上的数字有5种；③确定个位上的数字有5种，所以N＝4×5×5＝100(个)．
11．有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？
(2)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
(3)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？
解 (1)可分为三类：选老师1名，男同学1名，女同学1名，由分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．2·1·c·n·j·y
(2)可分三步：第一步选老师1名，第二步选男同学1名，第三步选女同学1名，由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
(3)可分两类，每一类又可分两步．第一类：选1名老师和1名男同学；第二类：选1名老师和1名女同学．因此，共有3×8＋3×5＝39种选法．www-2-1-cnjy-com
12．若直线方程ax＋by＝0中的a，b可以从0,1,2,3,4这五个数中任取两个不同的数字，则该方程表示的不同的直线共有多少条？
解 按a，b是否为0进行分类．第一类：a或 ( http: / / www.21cnjy.com )b中有一个取0时，方程表示不同直线为x＝0，或y＝0，共2条；第二类，a，b都不取0时，确定a的取值有4种方法，确定b的取值有3种方法，共有3×4＝12(种)．但是，当a＝1，b＝2与a＝2，b＝4时，方程表示同一条直线．类似地还有a＝2，b＝1与a＝4，b＝2的情况，综合上述，方程表示的不同直线共有：2＋12－2＝12(条)．
13．如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线有多少条．
解 从总体上看有三类方法： ( http: / / www.21cnjy.com )分别经过AB，AD，AA1，从局部上看每一类α需分两步完成，故第一类：经过AB，有m1＝1×2＝2条；第二类：经过AD，有m2＝1×2＝2条；第三类：经过AA1有m3＝1×2＝2条．根据分类加法计数原理，从顶点A到顶点C1经过3条棱的线路共有N＝2＋2＋2＝6条．21cnjy.com
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双基限时练(七)
1．在(x－)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
解析 通项Tr＋1＝Cx10－r(－)r＝(－)rCx10－r.
令10－r＝6，得r＝4.∴x6的系数为9C.
答案 D
2．在(x－)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )
A．4项 B．5项
C．6项 D．7项
解析 Tr＋1＝C(x)20－r(－)r＝(－1)rC2 eq \s\up15(－) ·x20－r.
要使系数为有理数，只要－为整数，即为整数．
∵0≤r≤20，∴r＝2,8,14,20，∴共有4项．
答案 A
3．(2x－)9的展开式中，常数项为( )
A．－672 B．672
C．－288 D．288
解析 Tr＋1＝C(2x)9－r(－)r＝(－1)r29－rC·x9－r－，令9－r－＝0，得r＝6.21cnjy.com
∴常数项为23C＝8C＝672.
答案 B
4．设P＝1＋5(x＋1)＋10(x＋1)2＋10(x＋1)3＋5(x＋1)4＋(x＋1)5，则P等于( )2·1·c·n·j·y
A．x5 B．(x＋2)5
C．(x－1)5 D．(x＋1)5
解析 P＝C＋C(x＋1)＋C(x＋2)2＋…＋C(x＋1)5＝(x＋1＋1)5＝(x＋2)5.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 B
5．在(＋)n的展开式中，常数项为60，则n等于( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析 Tr＋1＝C()n－r()r＝2rCx eq \s\up15(－r) .
令＝0，则n＝3r.
∴2rC＝60，试验知r＝2，∴n＝6.
答案 B
6．(x2＋)8的展开式中x4的系数是( )
A．16 B．70
C．560 D．1120
解析 (x2＋)8的展开式的通 ( http: / / www.21cnjy.com )项是Tr＋1＝C·(x2)8－r·()r＝2r·C·x16－3r，令16－3r＝4，得r＝4.因此x4的系数为24·C＝1120.
答案 D
7．对于二项式(＋x3)n(n∈N＋)，四位同学作出四种判断：
甲：存在n∈N＋，展开式中有常数项；
乙：对任意n∈N＋，展开式中没有常数项；
丙：对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项；
丁：存在n∈N＋，展开式中有x的一次项．
其中判断正确的是________．
解析 由通项公式
Tr＋1＝C()n－r·(x3)r＝Cx4r－n
若r＝1，则n＝4，T2就是常数项，令r＝1，n＝3时，就存在x的一次项．
因此应填甲、丁．
答案 甲丁
8．在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．21世纪教育网版权所有
解析 x的系数为CC＋CC＋C＝3＋3＋1＝7.
答案 7
9．若9的展开式中x3的系数为，则常数a的值为________．
解析
( http: / / www.21cnjy.com )
答案 4
10．在(4x－2－x)6的展开式中，常数项为________．
解析 (4x－2－x)6展开式的通项 ( http: / / www.21cnjy.com )为Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r＝(－1)rC(2x)2(6－r)－r，由2(6－r)－r＝0，得r＝4，∴(－1)4C＝15.即常数项为15.21·cn·jy·com
答案 15
11．设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N*)．
(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；
(2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时，求f(x)展开式中x7的系数．
解 (1)由题设条件，得m＋n＝19.
∴m＝19－n，x2的系数为
C＋C＝C＋C＝＋
＝n2－19n＋171＝(n－)2＋，
∵n∈N*，∴当n＝9，或n＝10时，
x2的系数取最小值()2＋＝81.
(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2的系数取最小值，此时x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.21教育网
12．已知数列{an}是公比为q的等比数列．
(1)求和：a1C－a2C＋a3C，a1C－a2C＋a3C－a4C；
(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并证明．
解 (1)a1C－a2C＋a3C＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，
a1C－a2C＋a3C－a4C＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1(1－q)3.
(2)归纳概括的结论为：若数列{an ( http: / / www.21cnjy.com ) }是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1C＝a1(1－q)n，n为正整数．www.21-cn-jy.com
证明：a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1C
＝a1C－a1qC＋a1q2C－a1q3C＋…＋(－1)na1qnC
＝a1[C－qC＋q2C－q3C＋…＋(－1)nqnC]
＝a1(1－q)n.
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双基限时练(二)
1．由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数的两位数的个数为( )
A．11 B．12
C．30 D．36
解析 先确定十位数字，有6种取法，再确定个位数字有5种取法，由乘法原理得6×5＝30(个)．
答案 C
2．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有( )
A．3种 B．6种
C．7种 D．9种
解析 买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本有一种方案，因此共有方案：3＋3＋1＝7(种)．21cnjy.com
答案 C
3．某座四层大楼共有3个门，楼内有两个楼梯，那么由楼外到这座楼的第四层的不同走法的种数共有( )
A．12 B．24
C．18 D．36
解析 由分步乘法计数原理得，共有3×2×2×2＝24(种)．
答案 B
4．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆共有( )www.21-cn-jy.com
A．20个 B．21个
C．25个 D．35个
解析 依题意知，b>a，当b取2,3,4 ( http: / / www.21cnjy.com ),5,6,7时，对应的a可取值的个数分别为1,2,3,4,5,5个，所以共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20(个)．
答案 A
5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为( )种．( )2·1·c·n·j·y
A．240 B．300
C．360 D．420
解析 如图，四棱锥S－ABCD，按S→A→B→C→D依次染色，当A，C同色时有5×4×3×1×3＝180(种)．2-1-c-n-j-y
当A，C不同色时，有
5×4×3×2×2＝240(种)．
因此共有180＋240＝420(种)．
答案 D
6．要把3张不同的电影票分给10个人，每人最多一张，则有不同的分法种数是( )
A．2160 B．720
C．240 D．120
解析 10×9×8＝720(种)．
答案 B
7．完成某项工作需4个步骤，每一步方 ( http: / / www.21cnjy.com )法数相等，完成这项工作共有81种方法，改革后完成这项工作减少了一个步骤，改革后完成这项工作有________种方法．21世纪教育网版权所有
解析 设每一步骤有n种方法，则n4＝81，∴n＝3.
减少一个步骤后，共有3×3×3＝27(种)．
答案 27
8．如下图的阴影部分由方格纸上3个小方 ( http: / / www.21cnjy.com )格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由3×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数为________．(注：其他方向的也是L形)
解析 每四个小正方形图案都可画出四个不同的L形图案，该图中共有8个这样的小正方形．故可画出不同的位置的L型图案的个数为4×8＝32.21·cn·jy·com
答案 32
9．1800的正约数有________个．
解析 ∵1800＝23×32×52，∴1800的正约数有4×3×3＝36个．
答案 36
10．现有高一4个班学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人，8人，9人，10人．他们自愿组成数学课外活动小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解 (1)分四类，第一类，从一 ( http: / / www.21cnjy.com )班学生中选1人有7种选法；第二类，从二班学生中选1人有8种选法；第三类，从三班学生中选1人有9种选法；第四类，从四班学生中选1人有10种选法，所以共有不同的选法7＋8＋9＋10＝34(种)．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法7×8×9×10＝5040(种)．
(3)分六类，每一类又分两步，从一、二 ( http: / / www.21cnjy.com )班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．21教育网
11．用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．21·世纪*教育网
(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？
(2)若为乙着色时共有120种不同方法，求n.
解 完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由乘法原理确定总的着色方法数．
(1)为①着色有6种方法，为②着色有5种方法，为③着色有4种方法，为④着色也只有4种方法．
∴共有着色方法6×5×4×4＝480(种)；
(2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n－1)·(n－2)(n－3)．www-2-1-cnjy-com
由n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，
∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0.
即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0.
∴n2－3n－10＝0.
∴n＝5.
12．用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列{an}．
(1)这个数列共有多少项？
(2)若an＝341，求n.
解 (1)依题意知，这个数列的项数就是由1,2,3,4组成有重复数字的三位数的个数，每一个位置都有4种取法．因此共有4×4×4＝64项． 21*cnjy*com
(2)比341小的数分为两类：第一类：百位 ( http: / / www.21cnjy.com )数字是1或2，有2×4×4＝32个；第二类：百位数字是3，十位数可以是1,2,3，有3×4＝12个．【来源：21cnj*y.co*m】
因此比341小的数字有32＋12＝44个，所以n＝45.
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双基限时练(三)
1.＝( )
A. B.
C. D.
答案 C
2．下列各式中与排列数A相等的是( )
A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.·A D．A·A
解析 A·A＝＝A.
答案 D
3．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同的工作，则分配方案共有( )
A．180种 B．360种 C．15种 D．30种
解析 这是一个排列问题，A＝6×5×4×3＝360.
答案 B
4．已知3A＝4A，则n等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析 ∵3A＝4A，
∴＝，
即＝
∴(11－n)(10－n)＝12.
即n2－21n＋98＝0，
解得n＝7，或n＝14(舍去)．
答案 C
5．已知A－A＝10，则n等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析 把n＝5代入验证知，
A－A＝6×5－5×4＝10.
答案 B
6．以下四个命题，属于排列问题的是( )
①一列车途经12个车站，应准备多少张车票；
②在假期间，某班同学互通一次电话；
③高三·2班有50名同学，选出2名同学去校长办公室开座谈会；
④从1,2,3,4这四个数字中，任取3个数字组成三位数．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
答案 D
7．若A＋n>2，则n的 ( http: / / www.21cnjy.com )取值范围是_______________ _________________________________________________________．
解析 根据题意，有
解得
答案 {n|n≥4，n∈N*}
8．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数是________．
解析 ∵A＝1，A＝2，A＝6，A＝24，A＝120，…，
∴S的个位数字是3.
答案 3
9．求证：A－A＝mA.
证明 ∵A－A＝－
＝
＝·
＝m·＝mA.
∴A－A＝mA.
10．解方程：3A＝2A＋6A.
解 由3A＝2A＋6A得，
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
∵x≥3，∴两边同除以x得，
3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，
即3x2－17x＋10＝0，
解得x＝5，或x＝(舍去)，
∴x＝5.
11．(1)求证：＝－；
(2)求和：＋＋＋…＋.
解 (1)证明：∵－＝
＝＝
∴＝－.
(2)由(1)知，＋＋＋…＋
＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋[－]
＝1－.
12．对于任意正整数n，定义“n的双阶乘n！！”如下：
当n为偶数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)…6×4×2；
当n为奇数时，n！！＝n(n－2)(n－4)…5×3×1.
证明：(1)(2010！！)·(2009！！)＝2010！；
(2)2010！！＝21005·1005！.
证明 (1)由定义，得
(2010！！)·(2009！！)
＝(2010×2008×2006×…×6×4×2)×(2009×2007×2005×…×5×3×1)21世纪教育网版权所有
＝2010！.
(2)2010！！＝2010×2008×…×6×4×2
＝21005(1005×1004×…×3×2×1)
＝21005·1005！.
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双基限时练(五)
1．集合M＝{x|x＝C，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( )21·cn·jy·com
A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q?M
C．M?Q D．M∩Q＝{1,4}
解析 由C知，n＝0,1,2,3,4，又C＝1，C＝4，C＝＝6，C＝C＝4，C＝1.www-2-1-cnjy-com
∴M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．
答案 D
2．已知x，y∈N*，且C＝C，则x与y的关系是( )
A．x＝y B．y＝n－x
C．x＝y或x＋y＝n D．x≥y
解析 由组合数的性质知C＝C＝C，
∴x＝y，或y＝n－x.
答案 C
3．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2}．若集合M满足B?M?A，则这样的集合M的个数为( )21·世纪*教育网
A．12 B．13
C．14 D．15
解析 由条件知，M至少含3个元素，且必含有1和2，且M≠A.因此满足条件的M的个数为C＋C＋C＝4＋6＋4＝14(个)．
答案 C
4．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )21世纪教育网版权所有
A．36种 B．48种
C．96种 D．192种
解析 甲选修2门有C＝6种选法，乙、丙各有C＝4种选法．
由分步乘法原理可知，共有6×4×4＝96种选法．
答案 C
5．组合数C(n>r≥1，n，r∈Z)恒等于( )
A.C B．(n＋1)(r＋1)C
C．nrC D.C
解析 取r＝2，n＝3，则C＝C＝3.验证选项知D成立．
答案 D
6．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)21cnjy.com
解析 若某校去2人，则有CA＝90种方法．若没有2人到同一学校，则有A＝120种方法，∴共有90＋120＝210种方法．
答案 210
7．若A＝C，则n＝________.
解析 A＝C，即＝.
∵n∈N*，∴n－1＝3，n＝4.
答案 4
8．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m:n＝________.
解析 依题意知，m＝C＝6，n＝A＝12，∴m:n＝1:2.
答案
9．计算：
(1)C＋C·C；
(2)C＋C＋C＋C＋C＋C；
(3)C·C；
(4)C＋C.
解 (1)C＋C·C＝C＋C×1＝＋＝5006.
(2)C＋C＋C＋C＋C＋C＝2(C＋C＋C)＝2(1＋5＋10)＝32.
(3)C·C＝C·C＝(n＋1)n＝n2＋n.
(4)即
∵n∈N*，∴n＝10.
∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466.
10．4位同学参加某种形式的竞赛， ( http: / / www.21cnjy.com )竞赛规则是：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则4位同学不同的得分情况有多少种？21教育网
解 依题意可分三种情形：
(1)4人都选甲题，2人答对，2人答错，共有C＝6种情况；
(2)4人都选乙题，2人答对，2人答错，共有C＝6种情况；
(3)甲、乙两题都选，2人选甲题，且1人答对，1人答题．另2人选乙题，且1人答对，1人答错，共有2C×2＝24种情况．
综上知，共有6＋6＋24＝36种不同的情况．
11．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法有多少种？www.21-cn-jy.com
解 设选派骨科a人，脑外科 ( http: / / www.21cnjy.com )b人，内科c人，记为(a，b，c)，则有以下几种选派方案：(1,1,3)，(1,3,1)，(1,2,2)，(2,2,1)，(2,1,2)，(3,1,1)共6种，因此选派种数为CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＝120＋60＋180＋90＋120＋20＝590.2·1·c·n·j·y
12．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)，
∴某一种假货必须在内的不同的取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5984(种)．
∴某一种假货不能在内的不同的取法有5984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2100(种)．
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．
(4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2100＋455＝2555(种)．【来源：21·世纪·教育·网】
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．
(5)选取3件的总数有C，因此共有选取方式
C－C＝6545－455＝6090(种)．
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．
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双基限时练(六)
1．5人排成一排，其中甲不排在两端，也不和乙相邻的排法种数为( )
A．84 B．78
C．54 D．36
解析 按先排甲再排乙的顺序列式为CCA＝36.
答案 D
2．从5男4女中选出4位代表，其中至少有两位男同志和至少一位女同志，分别到四个不同的工厂调查，不同的选派方法有( )
A．100种 B．400种
C．480种 D．2400种
解析 分3男1女和2男2女两类共有CCA＋CCA＝2400(种)．
答案 D
3．四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为( )
A．AA B．CA
C．CA D．CCC
解析 把四个不同的小球分为3堆有C种分法，这3堆小球的全排列就对应着放入三个不同的盒子放法，共有CA.
答案 B
4．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中， ( http: / / www.21cnjy.com )任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成三角形的个数为m，则等于( )21cnjy.com
A．0 B.
C. D.
解析 由题意知n＝C＝4，其中能组成三角形的只有2,3,4一组，故m＝1，所以＝.
答案 B
5．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A．12种 B．24种
C．30种 D．36种
解析 依题意，满足题意的选法共有C×2×2＝24(种)．
答案 B
6．现安排甲、乙、丙、丁、戊5 ( http: / / www.21cnjy.com )名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一个人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( )
A．152 B．126
C．90 D．54
解析 按参加司机人数分为两类．第一 ( http: / / www.21cnjy.com )类，有一人从事司机工作，有CCA＝108(种)；第二类，有2人从事司机工作，有CA＝18(种)，由分类加法计数原理得，不同安排方案的种数为108＋18＝126.
答案 B
7．有6名学生，其中有3名会 ( http: / / www.21cnjy.com )唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞，现从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种．21·cn·jy·com
解析 以2名会跳舞的分类，分为有1人参加，都不参加两类，共有CC＋CC＝15(种)．
答案 15
8．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．
解析 C－3＝32，或C＋C－3＝32.
答案 32
9．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须 ( http: / / www.21cnjy.com )参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种(用数字作答)．www.21-cn-jy.com
解析 把6名同学分成两组，一组最多4人，有 ( http: / / www.21cnjy.com )分法CC＋CC＝25(种)，每一种分法对应着两种安排方案，因此共有不同的安排方案2×25＝50(种)．21·世纪*教育网
答案 50
10．某医院有内科医生12名，外科医生8个，现要选派5名参加赈灾医疗队，
(1)某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有几种选法？
(2)至少有1名内科医生和至少有1名外科医生参加有几种选法？
解 (1)只需从其他18人中选4人即可，共有C＝3060(种)．
(2)方法1(直接法)：至少一名内科医生一名外科医生的选法分四类：
一内四外；二内三外；三内二外；四内一外．
∴共有CC＋CC＋CC＋CC＝14656(种)．
方法2(间接法)：从总数中减去5名医生都是内科医生和都是外科医生的选法．故选法为C－C－C＝14656(种)．
11．如下图从5×6方格中的顶点A到顶点B的最短路线有多少条？
解 从A到B的最短线路均需走11步(一步一格)．即横向走6步，纵向走5步，因此，要确定一种走法，只要确定这11步中哪6种走横向即可．2·1·c·n·j·y
所以共有C＝462种不同的走法．
12．平面内有12个点，其中有4个点共线，此处再无任何三点共线，以这些点为顶点，可得到多少个不同的三角形？
解 方法1：以共线的4点取点的多少进行分类．
第一类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点，共有CC＝48(个)不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有CC＝112(个)不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C＝56(个)不同的三角形．由分类加法计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．
方法2：从12个点中任取3个点有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意三点都不能构成三角形，故不能构成三角形的情况有C＝4(种)．21教育网
故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216.
13．为了提高学生参加体育锻炼 ( http: / / www.21cnjy.com )的热情，宏达中学组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛．(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛)，问要进行多少场比赛？21世纪教育网版权所有
解 第一轮每组6个队进行单循环赛，共有C场比赛，4个组共计4C场．
第二轮每组取前两名，共计8个组，应比赛C场，由于第一轮中在同一组的两队不再比赛，故应减少4场，因此第二轮应比赛C－4场．【来源：21·世纪·教育·网】
综上，两轮比赛共进行4C＋C－4＝84场．
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双基限时练(四)
1．从5本不同的书中选两本送给两名同学，每人一本，共有给法( )
A．5种 B．10种
C．20种 D．25种
解析 从5本不同的书中选两本送给两位同学，相当从5个元素当中选两个元素的排列．因此有A＝5×4＝20(种)．
答案 C
2．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中个位数字小于十位数字的有( )
A．210个 B．300个
C．464个 D．600个
解析 先求组成多少个五位数，先确定万位有A种方法，再确定其他位置有A种方法，∴共有五位数AA＝600(个)．其中适合题意的占，因此有300个．www-2-1-cnjy-com
答案 B
3．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A．24个 B．30个
C．40个 D．60个
解析 分两类计算，一类以2为个位数，有A个，另一类以4为个位数，也有A个．因此符合条件的偶数共有A＋A＝24(个)．
答案 A
4．有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且不相邻，那么不同的排法有( )
A．AA种 B．AA种
C．AA种 D．AA种
解析 先排5名女生，有A种排法，男生不排最左边且不相邻，插空有A种方法，因此共有AA种方法．21cnjy.com
答案 B
5．6人站成一排，其中甲、乙、丙三人必须站在一起的所有排列的总数为( )
A．A B．3A
C．AA D．4！3!
解析 把甲、乙、丙三人看作一个整体，与其他三人作全排列，有AA种方法．
答案 D
6．5名学生站成一排，其中A不能站在两端，B不能站在中间，则不同的排法种数是( )
A．36 B．54
C．60 D．66
解析 以A为特殊元素分两类解答．当A站在中间 ( http: / / www.21cnjy.com )时，有A种排法，当A不站在中间也不在两端，有A种排法，B有A种排法，其他有A种排法，由分步乘法原理知有AAA种排法．综上知，共有A＋AAA＝24＋36＝60(种)．21世纪教育网版权所有
答案 C
7．安排7位工作人员在5月1 ( http: / / www.21cnjy.com )日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排5月1日和5月2日，不同的安排方法有________种(用数字作答)．21教育网
答案 2400
8．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，有__________种不同的方法(用数字作答)．
答案 1260
9．将数字1,2,3,4,5,6 ( http: / / www.21cnjy.com )排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3，…，6)．若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1
解析 由题设知a5＝6.
第一类：当a1＝2时，a3可取4,5，
∴共有2A＝12种；
第二类：当a1＝3时，a3可取4,5，
∴共有2A＝12种；
第三类：当a1＝4时，a3必取5，
∴有A＝6种．
∴共有12＋12＋6＝30种．
答案 30
10．将序号分别为1,2,3,4,5的5张 ( http: / / www.21cnjy.com )参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．21·cn·jy·com
解析 依题意把1,2,3,4,5分成4份，共有4种分法，每一种分法对应4人的全排列，因此不同的分法种数为4A＝4×24＝96.
答案 96
11．要排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
解 (1)先排歌唱节目有A种排法．歌唱节目之间及两端有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目有A种排法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法共有AA＝43200种．2·1·c·n·j·y
(2)先排舞蹈节目有A种排法，在舞蹈节目之间及两端有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入，所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法共有AA＝2880种．【来源：21·世纪·教育·网】
12．从集合M＝{1,2,3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？21·世纪*教育网
解 设a，b，c∈M，若a，b， ( http: / / www.21cnjy.com )c成等差数，则有a＋c＝2b，因此a，c同时为偶数或奇数，当a，c确定后，中间的数b被唯一确定，而集合M中含有10个奇数和10个偶数，因此，选法只有两类．
第一类：a，c同为偶数，有A种选法；
第二类：a，c同为奇数，有A种选法．
于是选出3个数成等差数列的个数有A＋A＝180.
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双基限时练(八)
1．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝( ) 21*cnjy*com
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(－1)4＝1.
答案 A
2．设n为自然数，则C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC＝( )21·世纪*教育网
A．－1 B．0
C．1 D．2n
解析 由二项式定理知(2－1)n＝C2n－C2n－1＋C2n－2＋…＋C(－1)k2n－k＋…＋(－1)nC＝1n＝1.【来源：21cnj*y.co*m】
答案 C
3．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1 ( http: / / www.21cnjy.com )＋a)3＋…＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b2a2＋…＋bnan，且b0＋b1＋b2＋…bn＝30，则自然数n的值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析 令a＝1，得b0＋b1＋b2＋…＋bn＝2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2，
又b0＋b1＋b2＋…＋bn＝30，
∴2n＋1－2＝30，解得n＝4.
答案 C
4．关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和是1024
B．展开式的第6项的二项式系数最大
C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析 由二项式系数的性质知，C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024.
∴A正确．
又二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项．
∴B正确．
又由通项Tr＋1＝Ca10－r(－b)r＝(－1)rCa10－rbr知，第6项的系数－C最小．www.21-cn-jy.com
∴D正确．
答案 C
5．若n∈N*，(＋1)n＝an＋bn(an，bn∈Z)，则bn的值( )
A．一定是奇数 B．一定是偶数
C．与n的奇偶性相反 D．与n的奇偶性相同
解析 取n＝1，n＝2，验证知A正确．
答案 A
6．设m为正整数，(x＋y)2m展 ( http: / / www.21cnjy.com )开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )2·1·c·n·j·y
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 (x＋y)2m的展开式共有2m＋ ( http: / / www.21cnjy.com )1项，其中最大的二项式系数为C，(x＋y)2m＋1的展开式中共2m＋2项，其中二项式系数最大的项为中间两项C＝C，依题意得a＝C，b＝C，由13a＝7b，得13C＝7C＝7(C＋C)，∴6C＝7C，即6C＝7·C，解得m＝6.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 B
7．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
… … … … … …
解析 由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
答案 2n－1
8．(x2－2x＋1)4的展开式中x7的系数是________．
解析 (x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4＝(x－1)8.由Tr＋1＝Cx8－r·(－1)r，当r＝1时，x7的系数为－C＝－8.21教育网
答案 －8
9．若(x2＋)n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________．(用数字作答)21·cn·jy·com
解析 依题意得2n＝32，∴n＝5，
∵Tr＋1＝C(x2)5－r·()r＝Cx10－5r.
令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C＝10.
答案 5 10
10．已知6(k是正整数)的展开式中，常数项小于120，则k＝________.
解析 6展开式的通项Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝krCx12－3r，由12－3r＝0，得r＝4，www-2-1-cnjy-com
∴常数项为k4C.依题意，得Ck4<120，即k4<8.又k为正整数，∴k＝1.
答案 1
11．已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数最大的项．2-1-c-n-j-y
解 设第k＋1项的系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的，即解得n＝7.
故二项式系数最大的项为
T4＝C·(2)3＝280x eq \s\up15( ) ，或T5＝C(2)4＝560x2.
12．已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a20(x－1)20.21世纪教育网版权所有
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值及a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
解 ∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a20(x－1)20，21cnjy.com
令x－1＝t，则展开式化为
(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋…＋a20t20.
(1)a2＝C(－4)9＝－49×10.
(2)令t＝1，得
a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a20＝310，
令t＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a20＝310，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0
a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
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