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双基限时练(十七)
一、选择题
1．过点A(－，)与B(－，)的直线的倾斜角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
解析 kAB＝＝＝1.
答案 A
2．若经过P(－2,2m)和Q(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．2
C．1或4 D．1或2
解析 由＝1，得m＝2.
答案 B
3．若直线l的向上方向与y轴的正方向成60°角，则l的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析 直线l可能有两种情形，如图所示，故直线l的倾斜角为30°或150°.
答案 C
4．下列各组中，三点共线的是( )
A．(1,4)，(－1,2)，(3,5)
B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3)
C．(1,0)，，(7,2)
D．(0,0)，(2,4)，(－1,3)
解析 利用斜率公式可知答案为C.
答案 C
5．若经过A(2,1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>1
C．m<－1 D．m>－1
解析 由l的倾斜角为锐角，可知kAB＝>0，
即m<1.
答案 A
6．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，若60°<α<135°，则k的取值范围是( )
A．(－1，) B．(－∞，－1)∪(，＋∞)
C．[－1，] D．(－∞，－1]∪[，＋∞)
解析 由正切函数的图象可知，k∈(，＋∞)∪(－∞，－1)．
答案 B
二、填空题
7．若点A(4,2)和B(5，b)的连线与C(1,2)，D(3,4)连线的斜率相等，则b的值为________．21世纪教育网版权所有
解析 由题意，可得＝＝1，∴b＝3.
答案 3
8．若A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k＝________.
解析 由题意，得kAB＝＝，得k＝12.
答案 12
9．已知直线l过原点，点M，N坐标分别为(3,1)，(1,3)，则当l与线段MN相交时l的斜率的取值范围是______．21教育网
解析 如图所示，当l与线段MN相交时，直线l的倾斜角α∈[α1，α2]，其中tanα1＝，tanα2＝＝3，21cnjy.com
∴直线l的斜率k∈.
答案
三、解答题
10．已知A(1,2)，在直线y＝x上找一点P，使PA的斜率为.
解 ∵点P在直线y＝x上，∴设P(x，x)，由题意，得kPA＝＝，得x＝－，∴P(－，－)．21·cn·jy·com
11．已知直线过点A(2m,3)，B(2，－1)，根据下列条件求m的值．
(1)直线的倾斜角为135°；
(2)直线的倾斜角为90°；
(3)点C(3，m)也在直线上．
解 (1)由题意，得＝tan135°＝－1，得
m＝－1.
(2)由题意，得2m＝2，得m＝1.
(3)由题意，得＝，得m＝±.
12．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．www.21-cn-jy.com
解 由题意得直线AC的斜率存在，∴m≠－1.由题意得kAC＝3kBC，∴＝3·，
得m＝4，
∴m的值为4.
思 维 探 究
13．如图所示，已知点A(－2,3)，B(3,2)，P(0，－2)，过点P的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率的变化范围．
解 直线l是一组绕点P转动而形成的直线， ( http: / / www.21cnjy.com )直线PA和直线PB是它的两个极端位置，kPB＝，kPA＝－.l从PB位置逆时针转到PA位置的过程中，其倾斜角从α1连续变大到钝角α2，其斜率从正数kPB逐渐变大到＋∞，又从－∞逐渐增大到一个负数kPA，其中当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以斜率的变化范围为∪.2·1·c·n·j·y
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双基限时练(十九)
一、选择题
1．过(1,2)，(5,3)的直线方程是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析 由两点式，可知答案为B.
答案 B
2．已知直线2x＋ay＋b＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，2，则a，b的值分别为( )
A．－1,2 B．－2,2
C．2，－2 D．－2，－2
解析 令x＝0，y＝－＝2，令y＝0，x＝－＝－1，得b＝2，a＝－1，故选A.
答案 A
3．已知点(x0，y0)在直线3x－9y－27＝0上，则x0－3y0的值为( )
A．27 B．18
C．9 D．无法确定
解析 由题可知，3x0－9y0－27＝0，∴x0－3y0＝9.
答案 C
4．经过点M(1,1)，且在两坐标轴上截距相等的直线是( )
A．x＋y＝2 B．x＋y＝1
C．x＋y＝2或x＝y D．x＝1或y＝1
解析 若截距为0，则直线方程为y＝x，若截距不为0，设l的方程为x＋y＝a，又l过M点，
∴1＋1＝a，∴a＝2，故l为x＋y＝2，故选C.
答案 C
5．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 令x＝0，y＝－>0，令y＝0，x＝－>0，知l过一、二、四象限，不过第三象限，故选C.
答案 C
6．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为( )
A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0
C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0
解析 由题意得
∴∴直线方程为－5x＋y＋＝0，即15x－3y－7＝0.
答案 A
二、填空题
7．经过A(1,3)和B(a,4)的直 ( http: / / www.21cnjy.com )线方程为________________________________________________________________________．21世纪教育网版权所有
解析 当a＝1时，直线AB的斜率不存在，所求直线的方程为x＝1；
当a≠1时，由两点式，得＝＝，
得y＝(x－1)＋3，
即x－(a－1)y＋3a－4＝0.
答案 x＝1，或x－(a－1)y＋3a－4＝0
8．经过点P(－5，－4)且与 ( http: / / www.21cnjy.com )两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程为________________________________________________ ________________________．21教育网
解析 设所求的直线方程为＋＝1.
∵直线过点P(－5，－4)，∴＋＝1
即4a＋5b＝－ab①
又|a||b|＝5，即|ab|＝10②
将①②联立
得或
故所求的直线方程为＋＝1，或＋＝1.
即8x－5y＋20＝0，或2x－5y－10＝0.
答案 8x－5y＋20＝0，或2x－5y－10＝0
9．过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条．
解析 一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)共三条．
答案 3
三、解答题
10．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点(6，－2)，求直线l的方程．
解 设直线l在y轴上的截距为b，则直线l在x轴上的截距为b＋1，
∴直线l的方程为＋＝1，
又直线l过点(6，－2)，∴＋＝1，
得b＝1或b＝2.
∴直线l的方程为＋y＝1或＋＝1.
11．已知△ABC的三个顶点A(3，－4)，B(0,3)，C(－6,0)，求它的三条边所在的直线方程．21cnjy.com
解 ∵A(3，－4)，B(0,3)，C(－6,0)，
∴kAB＝＝－.
∴AB的直线方程为y－3＝－(x－0)．
即7x＋3y－9＝0.
由截距式得BC所在的直线方程为＋＝1，
即x－2y＋6＝0.
由kAC＝＝－，
由点斜式得AC所在的直线方程为
y－0＝－(x＋6)，
即4x＋9y＋24＝0.
12．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．
解 设直线l的横截距为a(a≠0)，由题意，得纵截距为6－a，
∴直线l的方程为＋＝1.
∵(1,2)在直线l上，
∴＋＝1，解得a＝2，或a＝3.
当a＝2时，直线l：＋＝1经过第一、二、四象限，
当a＝3时，直线方程为＋＝1，直线经过第一、二、四象限．
综上得所求直线l的方程为2x＋y－4＝0，或x＋y－3＝0.
思 维 探 究
13．已知直线l的斜率为－且该直线与两坐标轴围成的三角形面积S不大于，试求直线l在y轴上的截距b的取值范围．
解 据题意可设直线l方程为y＝－x＋b.其中b≠0.
令y＝0，得x＝.因此S＝·|b|＝≤.解得－≤b≤，又因为b≠0，
故b∈[－，0)∪(0，]．
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双基限时练(二十)
一、选择题
1．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行而不重合，则a等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．－1或2 B．－1
C．2 D.
解析 ∵l1∥l2，∴＝≠，
得∴a＝－1.
答案 B
2．已知过点A(－1，m)和B(m,5)的直线与3x－y－1＝0平行，则m的值为( )
A．0 B. C．2 D．10
解析 由题意kAB＝＝3，得m＝.
答案 B
3．下列说法中，正确的是( )
A．若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2
B．若直线l1与l2互相平行，则它们的斜率相等
C．直线l1与l2中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l1与l2一定相交
D．若直线l1与l2的斜率都不存在，则l1∥l2
解析 若l1与l2中一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则l1与l2不平行，故l1与l2一定相交．21·cn·jy·com
答案 C
4．过点(－1,3)，且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
解析 由点斜式y－3＝(x＋1)，得x－2y＋7＝0，故选A.
答案 A
5．若两条直线2x－y＋a＝0和x－＋b＝0平行， 则a，b的取值可能是( )
A．a＝2，b＝1 B．a＝，b＝
C．a＝0，b＝0 D．a＝7，b＝3
解析 由两条直线平行，知满足A1B2＝A2B1，且A1C2≠A2C1，可得a≠2b，故选D.
答案 D
6．若直线ax＋by＋c＝0与直线y＝tanα·x平行，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足( )www.21-cn-jy.com
A．a＋b＝1 B．a－b＝1
C．a＋b＝0 D．a－b＝0
解析 由sinα＋cosα＝0，得tanα＝－1，又tanα＝－，
即－＝－1，得a＝b，即a－b＝0.
答案 D
二、填空题
7．若直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，则直线l在两坐标轴上的截距之和为________．21世纪教育网版权所有
解析 由x＋ay＋2＝0与2x－y＋3＝0平行，
则1×(－1)＝2a，得a＝－，
∴l为x－＋2＝0，令x＝0，y＝4，
令y＝0，x＝－2，
∴l在两坐标轴上的截距之和为4－2＝2.
答案 2
8．若过A(4，a)与B(5，b)两点的直线与直线y＝x＋m平行，则b－a＝________.
解析 由＝1，得b－a＝1.
答案 1
9．与直线3x－2y＋6＝0平行且纵截距为9的直线方程为________．
解析 设直线l的方程为3x－2y＋b＝0，令x＝0，y＝＝9，得b＝18，故所求的直线方程为3x－2y＋18＝0.21教育网
答案 3x－2y＋18＝0
三、解答题
10．求a的值，使两直线x＋ay＝2a＋2和ax＋y＝a＋1平行．
解 由＝，得a＝±1，
当a＝1时，两直线的方程分别为x＋y＝4和x＋y＝2，两直线平行；当a＝－1时，两直线方程为x－y＝0和x－y＝0重合，∴a的值为1.21cnjy.com
11．已知直线l1与直线l2：x－3y＋6＝0平行，l1与两坐标轴围成的三角形的面积是8，求直线l1的方程．2·1·c·n·j·y
解 设l1的方程为x－3y＋c＝0，
令y＝0，得x＝－c，令x＝0，得y＝，
由题意，得|－c|·||＝8，得c＝±4.
∴直线l1的方程为x－3y＋4＝0，或x－3y－4＝0.
12．已知 ABCD的三个顶点A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，求顶点D的坐标．
解 设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，∴kAB＝kDC，kAD＝kBC，∴得
∴D(3,4)．
思 维 探 究
13．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，求a的值．
解 ∵l1∥l2，∴a(a－1)－2＝0，得a＝－1或a＝2.
又当a＝－1时，l1：－2x＋2y＋1＝0，l2：x－y＋3＝0，此时l1∥l2，符合题意；
当a＝2时，l1：x＋2y＋1＝0，l2：x＋2y＋3＝0，此时l1∥l2，符合题意．
∴a的值为－1或2.
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双基限时练(二十二)
一、选择题
1．直线3x＋y－5＝0与x＋y－1＝0的交点是( )
A．(2，－1) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－2，－1)
解析 由得
答案 A
2．若(－1，－2)为直线ax＋3y＋8＝0与x－by＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．2， B.，2
C．－2，－ D．－2，
解析 ∵(－1，－2)为两条直线的交点，
∴得
答案 A
3．若直线x＋y＋3m＋2＝0与x－y－5m＋6＝0的交点在第三象限，则m的取值范围是( )
A.
C．m>4 D．m<
解析 由得
由得答案 A
4．已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是( )
A．(1，－3) B．(3，－1)
C．(－3,1) D．(－1,3)
解析 由得由三条直线相交于一点，可知m×1＋n×2＋5＝0
即m＋2n＋5＝0，结合选项可知A项正确．
答案 A
5．已知直线l1：2x＋y－10＝0，l2⊥l1，且l2过(－10,0)，则l1与l2的交点坐标为( )21世纪教育网版权所有
A．(6,2) B．(2，－6)
C．(－6,2) D．(2,6)
解析 ∵kl1＝－2，l2⊥l1，∴kl2＝.
又l2过(－10,0)，∴l2：x－2y＋10＝0.
由得
答案 D
6．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－5－4k＝0都过一个定点，则这个定点的坐标为( )21cnjy.com
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(3,1) D．(3，－1)
解析 原直线可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，由得
∴交点(3，－1)．
答案 D
二、填空题
7．直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点坐标为________．
解析 由得
答案 (－1,2)
8．经过直线x＋y－1＝0和x－y＋1＝0的交点，且与3x＋2y＋6＝0垂直的直线方程为________．21·cn·jy·com
解析 所求的直线方程为x＋y－1＋λ(x－y ( http: / / www.21cnjy.com )＋1)＝0，即(λ＋1)x－(λ－1)y＋λ－1＝0，k＝，由k·＝－1，则＝，得λ＝－5，故所求的直线方程为－4x＋6y－6＝0，即2x－3y＋3＝0.
答案 2x－3y＋3＝0
9．已知l1：x－y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，l3：x＋my－5＝0，若l1，l2，l3只有两个交点，则m＝________.www.21-cn-jy.com
解析 ∵l1与l2相交，故只需l1∥l3，或l2∥l3即可，得m＝－1，或m＝－.
答案 －1或－
三、解答题
10．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．21教育网
解 设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝02·1·c·n·j·y
由题意，得＝±1，解得λ＝－1，或λ＝－.
∴所求的直线方程为x－y－4＝0，或x＋y－24＝0.
11．三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，求a的值．
解 解方程组得所以交点坐标为(4，－2)．代入直线方程ax＋2y＋8＝0，得a×4＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1.21·世纪*教育网
12．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋(2－a)＝0(a∈R)．
(1)证明直线l恒过定点；
(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
解 (1)证明：直线l的方程可化为(x－1)a＋x＋y＋2＝0(a∈R)
令得
∴无论a为任何实数，直线l总经过定点(1，－3)．
(2)∵直线l在两坐标轴上截距相等，l的方程为
(a＋1)x＋y＋2－a＝0，∴l的两截距一定存在，
∴a≠－1，令y＝0，x＝，令x＝0，y＝a－2，
由＝a－2，得a＝2，或a＝0.
∴所求直线l的方程为3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0.
思 维 探 究
13．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．【来源：21·世纪·教育·网】
解 设所求的直线方程为2x＋y－8＋λ(x－2y＋1)＝0即：(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋λ－8＝0，由题意得2＋λ≠0且1－2λ≠0.
令x>0，得y＝；令y＝0，得x＝.
由题意得2·＝，得λ＝8或λ＝－.
当λ＝8时，直线方程为10x－15y＝0，即2x－3y＝0；
当λ＝－时，直线方程为：x＋y－＝0，即x＋2y－7＝0.
∴所求的直线方程为2x－3y＝0或x＋2y－7＝0.
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双基限时练(二十七)
一、选择题
1．圆x2＋y2＝1与x2＋y2－2x－2y＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．内含 D．外切
解析 圆心距d＝＝<1＋，且d>－1，可知答案为A.
答案 A
2．若x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与x2＋y2＋2x－2y－2＝0相外切，则m的值为( )2·1·c·n·j·y
A．－5 B．3
C．－5或3 D．以上均不对
解析 x2＋y2－2mx＋4 ( http: / / www.21cnjy.com )y＋m2－5＝0可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，x2＋y2＋2x－2y－2＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，由题可知， ＝3＋2，得m＝－5，或m＝3.
答案 C
3．过两圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝13及(x＋2)2＋(y＋1)2＝9的交点的直线方程是( )21·世纪*教育网
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0
C．5x＋3y＋2＝0 D．5x＋3y－2＝0
解析 将两圆的方程相减．
答案 A
4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0的公共弦长的最大值为( )www-2-1-cnjy-com
A．2 B．2
C. D．1
解析 两圆相交弦所在的直线方程为x＋y＋a＋b＝0，
∴弦长＝2.
∴当a＝b时弦长最大，最大值为2.
答案 B
5．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为( )21教育网
A．0 B．1
C．±2 D．2
解析 x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心为，半径为，由题意，得得a＝2.
答案 D
6．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 两圆的圆心距d＝＝，半径r1＝1，r2＝4，∴d>r1＋r2，∴两圆相外离，故有4条公切线．
答案 D
二、填空题
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.21cnjy.com
解析 由题可知，两圆的公共弦所在的直线方程为y＝，圆心O到直线的距离为，则由弦长公式()2＋＝4，得a＝1.
答案 1
8．若(x＋1)2＋y2＝4与(x－a)2＋y2＝1相交，则a的取值范围是________．
解析 由题可知 ∈(2－1，2＋1)，
得－4答案 －49．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．21世纪教育网版权所有
解析 由
①－②可得l的方程为x－y＋2＝0.
答案 x－y＋2＝0
三、解答题
10．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点．www.21-cn-jy.com
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A，B两点的圆的方程．
解 (1)由
得x－2y＋4＝0，
所以公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(2)设所求的圆的方程为x2＋y2＋2x＋2y－8＋λ(x2＋y2－2x＋10y－24)＝0①
整理得(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)x＋(2＋10λ)y－8－24λ＝0，
圆心，又圆心在y＝－x上，
即＝，得λ＝－.
代入①得x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
即所求的圆的方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
11．求通过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．
解 解法1：设所求的圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x－y＋3)＝0，
配方得标准方程为(x＋1＋λ)2＋2＝(1＋λ)2＋－3λ－1.
∵r2＝λ2＋λ＋4＝(λ＋)2＋，
∴当λ＝－时，半径r＝ 最小．
∴所求面积最小的圆的方程为5x2＋5y2＋6x－18y－1＝0.
解法2：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，得5x2＋6x－2＝0.
∴判别式Δ>0，AB中点横坐标
x0＝＝－，纵坐标y0＝2x0＋3＝，
即圆心C，
半径r＝·|x1－x2|＝ ，
∴所求面积最小的圆的方程为2＋2＝.
12．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点，求公共弦AB的长．21·cn·jy·com
解 解法1：由两圆方程相减，得公共弦AB所在直线的方程为：4x＋3y－10＝0.
由解得或
令A(－2,6)，B(4，－2)．
故|AB|＝＝10.
解法2：同法1，先求出公共弦所在直线l的方程为4x＋3y－10＝0.
过C1作C1D⊥AB于D，如图，圆C1的圆心C1(5,5)，半径r1＝5，则|C1D|＝＝5.
∴|AB|＝2|AD|＝2＝2＝10.
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13．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．【来源：21·世纪·教育·网】
试求a为何值时，两圆C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相离？
解 对圆C1，C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．
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双基限时练(二十九)
一、选择题
1．点P到原点O的距离是( )
A. B．1
C. D.
解析 |OP|＝＝1.
答案 B
2．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．直线
C．球面 D．线段
解析 (x－2)2＋(y＋1)2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1，3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面．
答案 C
3．已知点P到三个坐标平面的距离相等，且皆为3，则点P到原点的距离是( )
A．3 B．3
C．3 D．3
解析 |OP|＝＝3.
答案 C
4．已知三角形的三个顶点A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，则△ABC为( )21世纪教育网版权所有
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析 ∵|AB|＝＝3，|BC|＝＝，|AC|＝＝3.
∵|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，故选B.
答案 B
5．已知A(1,2，－1)，B(1，t，t)(t∈R)，则|AB|的最小值为( )
A. B．5
C. D.
解析 ∵|AB|＝＝，
∴当t＝时，|AB|min＝.
答案 D
6．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足( )
A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0
C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝4
解析 由题意得(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，即：x＋y＋z＝0.21教育网
答案 B
二、填空题
7．若点P(x，y，z)到A(2,3,0)，B(5,1,0)的距离相等，则点P的坐标(x，y，z)满足________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 由(x－2)2＋(y－3)2＋z2＝(x－5)2＋(y－1)2＋z2，得6x－4y－13＝0.21·世纪*教育网
答案 6x－4y－13＝0
8．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则|AB|的最小值为________，此时A点的坐标为________．www-2-1-cnjy-com
解析 |AB|
＝
＝＝ ，
∴当x＝时，|AB|min＝.
此时A.
答案
9．在xOy平面上的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点(6,5,1)的距离最小，则M点的坐标为________．21cnjy.com
解析 设M(t,1－t,0)，则M到(6,5,1)的距离
d＝＝，
∴当t＝1时d取得最小值，
此时M点的坐标为(1,0,0)．
答案 (1,0,0)
三、解答题
10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小．
解 ∵M是xOy平面内的直线x＋y＝1上的点，则设M的坐标为(x,1－x,0)，由两点间的距离公式|MN|＝＝.www.21-cn-jy.com
∴当x＝1时，|MN|最小，∴M的坐标为(1,0,0)．
11．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)，
(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；
(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点的距离相等，求M点的轨迹．
解 (1)设P(a,0,0)，由|PA|＝|PB|，可知＝，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8
得a＝1，∴P点的坐标为(1,0,0)．
(2)设M(x,0，z)，由题意，得
＝，
整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.
∴M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．
12．如图所示，已知四棱锥P—ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的底面是边长为4的正方形，PD⊥面ABCD，设PD＝4，M为PB的中点，N在线段AB上，求当|MN|最短时，N点所处的位置．21·cn·jy·com
解 建立如图所示的直角坐标系，
则A(4,0,0)，B(4,4,0)，
P(0,0,4)．
∵M点为PB的中点，
∴M(2,2,2)．
又N在线段AB上，∴N(4，b,0)(0≤b≤4)．
∴|MN|＝.
∴当b＝2时|MN|min＝＝4.
此时N为AB的中点，
∴当N为AB的中点时|MN|最短．
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13．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．
解 (1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|，因M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得 ＝ ，
显然，此式对任意y∈R恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使△M ( http: / / www.21cnjy.com )AB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．2·1·c·n·j·y
因为|MA|＝＝，
|AB|＝＝，
于是＝，解得y＝±.
故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为(0，，0)，或(0，－，0)．
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双基限时练(二十八)
一、选择题
1．点(0,1,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．x轴上 B．y轴上
C．z轴上 D．xOy平面上
答案 B
2．点A(3,1,2)在x轴上的射影的坐标为( )
A．(3,0,2) B．(3,0,0)
C．(0,1,2) D．(3,1,0)
解析 x轴上的点的坐标为(a,0,0)的形式．
答案 B
3．xOy平面内的点的坐标的特点是( )
A．竖坐标为0 B．横、纵坐标均为0
C．横坐标为0 D．横、纵、竖坐标均不为0
答案 A
4．已知点A(x,5,6)关于原点的对称点为(－2，y，z)，则P(x，y)在平面直角坐标系的( )21教育网
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由题可知，x＝2，y＝－5，z＝－6，故(x，y)在第四象限．
答案 D
5．已知P(1,3，－1)关于xOz面对称点为P′，P′关于y轴对称的点为P″，则P″的坐标为( )21cnjy.com
A．(1，－3，－1) B．(－1，－3,1)
C．(1，－3,1) D．(－1,3,1)
解析 P′(1，－3，－1)，P″(－1，－3,1)．
答案 B
6．给出下列叙述：
①在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标可记为(0，b,0)；
②在空间直角坐标系中，yOz平面上的点的坐标可记为(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，z轴上的点的坐标为(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，xOz平面上的点的坐标可记为(a,0，c)．
其中叙述正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ②③④正确，①错误．
答案 C
二、填空题
7．点A(0,1,2)与点B(0,3,0)在空间直角坐标系中的位置都比较特殊，点A在________上，点B在________上．www.21-cn-jy.com
答案 yOz面 y轴
8．在平面直角坐标系中，△ABC三 ( http: / / www.21cnjy.com )点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，其中重心坐标G，那么在空间直角坐标系中，三角形ABC三点的坐标分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，其重心坐标为________．【来源：21·世纪·教育·网】
答案
9．设y，z为任意实数，相应的所有点P(－1，y，z)的集合是________．
答案 过点(－1,0,0)与平面yOz平行的平面
三、解答题
10．已知点P的坐标为(3,4,5)，试在空间直角坐标系中作出点P.
解 由P(3,4,5)可知点P在O ( http: / / www.21cnjy.com )x轴上的射影为A(3,0,0)，在Oy轴上的射影为B(0,4,0)，以OA、OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在xOy坐标平面上的射影，坐标为(3,4,0)．过C作直线垂直于xOy坐标平面，并在此直线的xOy平面上方截取5个单位，得到的就是点P.21·cn·jy·com
11．V—ABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．21·世纪*教育网
解 以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．
∴V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零，
∴点V的坐标是(0,0,3)．
而A，B，C，D都在xOy平面上，
∴它们的竖坐标都是零．又|AB|＝2，
可得A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．
(注本题答案不唯一)
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求E，F点的坐标．
解 解法1：如图，以A为坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，E点在xOy面上的投影为B(1,0,0)，21世纪教育网版权所有
∵E点的竖坐标为，
∴E.
∵F在xOy面上的投影为BD的中点G，竖坐标为1，
∴F.
解法2：如解法1所建空间直角坐标系．
∵B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，B(1,0,0)，
且E为BB1的中点，F为B1D1的中点，
∴E的坐标为＝，
F的坐标为＝.
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13．依次连接四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，且已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，求顶点D的坐标．
解 设线段AC与BD的交点为M， ( http: / / www.21cnjy.com )设点M的坐标为M(x1，y1，z1)，点D的坐标为D(x2，y2，z2)，由M既是线段AC的中点，也是线段BD的中点，得x1＝，y1＝4，z1＝－1，2·1·c·n·j·y
又＝，＝4，＝－1，
∴x2＝5，y2＝13，z2＝－3.
∴顶点D的坐标为(5,13，－3)．
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双基限时练(二十一)
一、选择题
1．两直线2x＋y－a＝0与x－2y＋b＝0的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．重合 D．以上都不对
解析 2x＋y－a＝0的斜率k1＝－2，x－2y＋b＝0的斜率k2＝，∵k1k2＝－1，故选A.
答案 A
2．已知直线x＋my＋1＝0与直线m2x－2y－1＝0互相垂直，则实数m为( )
A．3 B．0或2
C．2 D．0或3
解析 由题意，得1·m2＋m(－2)＝0，得m＝0，或m＝2.
答案 B
3．点M(1,2)在直线l上的射影是H(－1,4)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x－y－3＝0
C．x＋y－5＝0 D．x－y＋1＝0
解析 kMH＝＝－1，
∴直线l的方程为y－4＝x＋1，即x－y＋5＝0.
答案 A
4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，下面结论正确的个数是( )
①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC⊥BD；④AC∥BD.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 ∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，
∴AB∥CD.
又kAD＝＝，kADkAB＝－1，
∴AB⊥AD，故①②正确．
又kAC＝＝，kBD＝＝－4，
kACkBD＝－1.∴AC⊥BD，故③正确．
答案 C
5．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y－7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析 设所求的直线方程为3x＋2y＋c＝0，由题意得－3＋4＋c＝0，∴c＝－1，∴直线l的方程为3x＋2y－1＝0.21cnjy.com
答案 A
6．已知直线l的倾斜角为135°， ( http: / / www.21cnjy.com )直线l1经过A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析 ∵kl＝tan135°＝－1，又l1⊥l2，
∴kl1＝＝1，得a＝0.
又l2与l1平行，
∴－＝1，得b＝－2.
∴a＋b＝－2.
答案 B
二、填空题
7．经过点(m,2)与(2,3)的直线与斜率为－2的直线垂直，则m的值为________．
解析 由题意，得＝，
得2＝2－m，m＝0.
答案 0
8．直线l1，l2的斜率k1，k2是 ( http: / / www.21cnjy.com )关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.
解析 由l1⊥l2，得k1k2＝－1，即－＝－1，得b＝2，当l1∥l2时，方程有两个相等的实根，即Δ＝9＋8b＝0，得b＝－.
答案 2 －
9．若点A(1,3)关于直线y＝kx＋b的对称点B(－2,1)，则k＋b＝________.
解析 kAB＝＝，
故k＝－，AB的中点在y＝kx＋b上．
∴2＝－×＋b，b＝.
故k＋b＝－＝－.
答案 －
三、解答题
10．已知A(1,2)，B(3,1)，求线段AB的垂直平分线的方程．
解 ∵AB的中点坐标为，即.又kAB＝＝－，又l⊥AB，∴kc＝2.
∴AB的垂直平分线的方程为y－＝2(x－2)，
即4x－2y－5＝0.
11．如图在平行四边形ABCO中，点C(1,3)．
(1)求OC所在直线的斜率；
(2)过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在的直线方程．
解 (1)kOC＝＝3.
(2)∵ABCD为平行四边形，
∴kAB＝3.
∵CD⊥AB，∴kCD＝－.
由点斜式，得y－3＝－(x－1)，即x＋3y－10＝0，
即CD所在直线的方程为x＋3y－10＝0.
12．已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三条高所在的直线方程．21世纪教育网版权所有
解 由斜率公式kAB＝＝＝，kBC＝＝0，kAC＝＝5，
∴AB边上的高所在的直线的斜率k1＝－ ( http: / / www.21cnjy.com )，由点斜式，得AB边上的高所在的直线方程为y－6＝－(x－0)，即4x＋5y－30＝0，同理得AC边上的高所在的直线方程为x＋5y－36＝0，BC边上的高所在的直线方程为x＝－2.21教育网
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13．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
解 若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝±2.
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.
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双基限时练(二十三)
一、选择题
1．点(1,1)到直线x－y＝2的距离为( )
A. B．1
C. D．2
解析 d＝＝.
答案 C
2．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6 B.
C．2 D．不确定
解析 由kAB＝＝1，得b－a＝1，即|AB|＝＝.
答案 B
3．两条平行线4x＋3y－1＝0与8x＋6y＋3＝0之间的距离是( )
A．2 B．1.5
C．1 D．0.5
解析 8x＋6y＋3＝0，可化为4x＋3y＋＝0，
d＝＝.
答案 D
4．若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是( )
A．[－11，－1] B．[－11,0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
解析 y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，由题意，
得＝≤，且k＋2≠－4即k≠－6
得－5≤k＋6≤5，即－11≤k≤－1，且k≠－6.
答案 C
5．过点A(1,1)的直线l与点B(2,4)的距离为，则此直线l的方程为( )
A．x＋2y－3＝0
B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0或x－2y＋1＝0
D．x－2y＋1＝0或2x＋y－3＝0
解析 显然直线l的斜率存在，设所求直线方程为
y－1＝k(x－1)，即kx－y＋1－k＝0.
由题意，得＝.
得k＝－2，或k＝.
∴所求直线方程为2x＋y－3＝0，或x－2y＋1＝0.
答案 D
6．过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( )
A．y＝1
B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0
D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
解析 ∵kAB＝＝－2，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，即：2x＋y－1＝0；
又AB的中点C(4,1)，∴PC的方程为y＝1.
答案 C
二、填空题
7．已知A(－1,2)，B(3，b)的距离为4，则b＝________.
解析 |AB|＝＝
＝4，
得b＝－2，或b＝6.
答案 －2或6
8．已知点P在直线5x＋12y＋6＝0上，A点坐标为(－3，2)，则|PA|的最小值为________．21世纪教育网版权所有
解析 |PA|min等于A到直线5x＋12y＋6＝0的距离，则点(－3,2)到直线的距离d＝.
答案
9．已知点A(3,4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝________.21教育网
解析 由题意，得＝，
得m＝，或m＝－.
答案 或－
三、解答题
10．若两条平行直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之间的距离为，求的值．
解 由两条直线平行得a＝－4，应用距离公式得＝.解得|c＋2|＝4，所以＝＝±1.
11．已知正方形的边长为2，中心(－3，－4)，一边与直线2x＋y＋3＝0平行，求正方形的各边所在的直线方程．
解 设所求的直线方程为2x＋y＋b＝0与x－2y＋a＝0，
由题意，可得＝，得b＝15，或b＝5，
由＝，得a＝0，或a＝－10.
∴所求的这四条直线方程为2x＋y＋15＝0；2x＋y＋5＝0；x－2y＝0；x－2y－10＝0.
12．△ABC的三个顶点A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3)．
(1)求BC边的高所在的直线方程；
(2)求△ABC的面积S.
解 (1)设BC边的高所在的直线为l.
又kBC＝＝1，∴kl＝＝－1.
又A(－1,4)在直线l上，
∴l的方程为y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.
(2)BC所在直线为y＋1＝x＋2，即x－y＋1＝0.
点A(－1,4)到BC的距离d＝＝2.
又|BC|＝＝4，
则S△ABC＝|BC|d＝×4×2＝8.
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13．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程．21cnjy.com
解 若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1，l2的斜率为k.
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.
由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.
在直线l1上取点A(0,1)，点A到直线l2的距离d＝＝5，
即25k2＋10k＋1＝25k2＋25，解得k＝.
所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．21·cn·jy·com
故满足条件的直线方程为
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，
l2：x＝5.
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双基限时练(二十五)
一、选择题
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A．8π B．4π
C．2π D．π
解析 由题意，得r＝·＝，
∴S＝πr2＝2π.
答案 C
2．已知圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么下列直线中经过圆心的直线方程为( )
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0
解析 圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的圆心(1，－3)，逐个检验可知C正确．
答案 C
3．若圆x2＋y2－4x－2y＝0的圆心到直线x＋y＋a＝0的距离为2，则a的值为( )
A．7或－1 B．－6或2
C．1或－7 D．2或－6
解析 ∵圆的圆心(2,1)，∴d＝＝2得a＝1，或a＝－7.
答案 C
4．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么x＋ay＋b＝0一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由题可知，圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心，又圆心位于第三象限，
∴即
又x＋ay＋b＝0，令x＝0，y＝－＞0，
令y＝0，x＝－b＜0，∴直线不过第四象限．
答案 D
5．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )21世纪教育网版权所有
A. B．5
C．2 D．10
解析 由题可知，圆心(－2，－1 ( http: / / www.21cnjy.com ))在直线ax＋by＋1＝0上，故2a＋b＝1，∴(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(1－2a－2)2＝a2－4a＋4＋4a2＋4a＋1＝5a2＋5≥5.21cnjy.com
答案 B
6．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径为( )21·cn·jy·com
A．2 B.
C．3 D．1
解析 由题可知，圆心在直线x－y＋1＝0上，即－＋1＋1＝0，得k＝4，
∴圆的半径r＝＝＝3.
答案 C
二、填空题
7．若方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0表示圆，则a的取值范围是________．
解析 由D2＋E2－4F＝4＋4－4a＞0，得a＜2.
答案 (－∞，2)
8．已知点P(2,1)在圆C：x2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于x＋y－1＝0的对称点也在圆上，则圆C的圆心坐标为________，半径为________．21教育网
解析 由题意，得圆心在x＋y－1＝0上，故a＝0，∴圆心(0,1)，由两点间距离，得r＝2.
答案 (0,1) 2
9．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
解析 ∵圆心(1,2)，∴d＝＝3.
答案 3
三、解答题
10．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当该圆面积最大时，求圆心坐标．
解 将方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0左端配方，得
2＋(y＋1)2＝1－.
故圆心坐标为，圆半径为.
∴当k＝0时，rmax＝1，圆面积取最大值π，此时，所求圆心坐标为(0，－1)．
11．求过原点及点A(1,1)，且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程．
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
将点O(0,0)和点A(1,1)的坐标代入方程，
得
令y＝0，得x2＋Dx＝0.
所以x1＝0，x2＝－D.由|x2－x1|＝3，得|D|＝3.
所以D＝－3，E＝1或D＝3，E＝－5.
故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y＝0或x2＋y2＋3x－5y＝0.
12．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆心的轨迹方程．
解 (1)由题意，可得4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)>0，得－(2)设圆心的坐标为(x，y)，由题意，得
所以y＝4(x－3)2－1.
即为所求的圆心的轨迹方程．
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13．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
解 设点M的坐标是(x，y ( http: / / www.21cnjy.com ))，点P的坐标是(x0，y0)．由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，所以x＝，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.www.21-cn-jy.com
因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝.
所以点M的轨迹方程为2＋y2＝.
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双基限时练(二十四)
一、选择题
1．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )
A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2
C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0
解析 由题意，得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
答案 B
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
3．已知圆C与圆(x＋1)2＋y2＝1关于直线y＝x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
解析 (－1,0)关于y＝x对称的点为(0，－1)．
答案 C
4．若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b＝( )
A．3 B．2
C．5 D．1
解析 由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，
∴a＋b－3＝0，即a＋b＝3.
答案 A
5．若直线y＝ax＋b通过一、二、三象限，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝－
∵直线过一、二、三象限，∴得
∴圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的圆心(a，b)在第一象限．
答案 A
6．已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x＋)2＋y2＝5 D．x2＋(y＋)2＝5
解析 设圆心为(a,0)(a<0)，则＝，
∴a＝－，∴圆O的方程为(x＋)2＋y2＝5，故选C.
答案 C
二、填空题
7．过点A(1，－1)与B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为________．
答案 (x－1)2＋(y－1)2＝4
8．若圆(x＋)2＋(y－)2＝1关于直线y＝x对称的曲线仍是其本身，则实数a的值为________．21世纪教育网版权所有
解析 圆心在直线y＝x上，即＝－，即2a2＝1，得a＝±.
答案 ±
9．已知动点M在x2＋y2＝4上运动，点A(3,4)，则|MA|的最大值、最小值分别是________、________.21cnjy.com
解析 |MA|max＝|OA|＋r＝＋2＝7，
|MA|min＝|OA|－2＝5－2＝3.
答案 7 3
三、解答题
10．求圆心在直线2x－y－7＝0上，与y轴交于点A(0，－4)，B(0，－2)的圆的标准方程．
解 由题意得圆心在AB的中垂线y＝－3上，
由得
∴圆心坐标为(2，－3)．
又半径r＝＝.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
11．求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上的圆的方程．
解 解法1：直线AB的斜率k＝＝－1，
所以AB的垂直平分线m的斜率为1.
AB的中点的横坐标和纵坐标分别为
x＝＝，y＝＝，
因此，直线m的方程为y－＝1，
即x－y－1＝0.
又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点．
联立方程组得
所以圆心坐标为C(3,2)，又半径r＝|CA|＝.
则所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法2：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意，得解得
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
12．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．
解 (1)∵PQ所在的直线过(1,0)，(0,1)，
故PQ所在的直线方程为x＋y＝1，
PQ的中点为.
∴PQ的中垂线方程即圆心所在的直线方程为y－＝x－，即y＝x.
(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝1.
由题意，得(1－a)2＋a2＝1，得a＝0，或a＝1，
故所求圆的方程为x2＋y2＝1，或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
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13．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．21教育网
解 ∵圆(x－)2＋(y－1)2＝4的圆心为(，1)．
又圆心到直线l：x－y＝5的距离为
d＝＝＝.
∴C上的点到直线l的距离的最大值为＋2＝5－，
最小值为－2.
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双基限时练(十八)
一、选择题
1．经过点(1，－3)，倾斜角是150°的直线方程是( )
A．－x＋3y＋9－＝0
B.x＋3y＋9－＝0
C.x－3y＋9－＝0
D.x＋3y－9＋＝0
解析 由题可知，直线的斜率为k＝tan150°＝－，由点斜式，得y＋3＝－(x－1)，即x＋3y＋9－＝0.21教育网
答案 B
2．直线3x＋2y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有( )
A．k＝－，b＝3 B．k＝－，b＝－2
C．k＝－，b＝－3 D．k＝－，b＝－3
解析 由3x＋2y＋6＝0，得y＝－x－3，知k＝－，b＝－3，答案为C.
答案 C
3．直线x－y＋1＝0与坐标轴围成的三角形的周长为( )
A. B．2＋
C．2－ D．2－2
解析 令x＝0，y＝1，令y＝0，x＝－1，故三角形的周长l＝1＋1＋＝2＋，选B.
答案 B
4．已知直线l的倾斜角为直线y＝x－1的倾斜角的一半，且直线l过点(3，－4)，则l的方程为( )21世纪教育网版权所有
A．y＋4＝(x－3)
B．y＋4＝(x＋3)
C．x－y－3＝0
D．x－y－4－3＝0
解析 由题可知，kl＝，由点斜式可得l的方程．
答案 D
5．若直线l过点(0,2)，倾斜角的正弦值为，则此直线方程为( )
A．4x－3y－6＝0
B．4x－y＋6＝0
C．4x－3y＋6＝0或4x＋3y－6＝0
D．4x－3y－6＝0或4x＋3y＋6＝0
解析 设直线l的倾斜角为θ，∵sinθ＝，
∴tanθ＝±，故所求的直线方程为y－2＝(x－0)，或y－2＝－(x－0)．
即4x－3y＋6＝0，或4x＋3y－6＝0.
答案 C
6．与直线3x－2y＝0的斜率相等，且过点(4，－3)的直线方程为( )
A．y＋3＝(x－4) B．y－3＝(x＋4)
C．y＋3＝(x－4) D．y－3＝(x＋4)
解析 因直线3x－2y＝0的斜率为，由点斜式可知所求的直线方程为y＋3＝(x－4)．
答案 A
二、填空题
7．斜率与直线y＝3x的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为________________．
解析 由题可知，所求直线的斜率为3，故所求的直线方程为y－3＝3(x＋4)，即3x－y＋15＝0.
答案 3x－y＋15＝0
8．若直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，且l在y轴上的截距为6，则a＝________.
解析 令x＝0，得y＝(a－1)×2＋a＝6，得a＝.
答案
9．已知一直线过点P(1,2)，且斜率与直线y＝－2x＋3的斜率相等，则该直线方程是________．21cnjy.com
解析 由点斜式可得所求直线的方程．
答案 2x＋y－4＝0
三、解答题
10．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7的斜率相等的直线方程；
(2)已知直线l过点(2,0)，且与直线y＝(x－2)的夹角为30°，求直线l的方程．
解 (1)∵y＝2x＋7的斜率为k＝2，∴所 ( http: / / www.21cnjy.com )求直线的斜率k＝2，又直线过点(1,1)，由点斜式可得l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.21·cn·jy·com
(2)∵直线y＝(x－2)的斜率为，
∴其倾斜角为60°，
又直线l与y＝(x－2)的夹角为30°，∴直线l的倾斜角可能为30°或90°，此时，斜率分别为或不存在，又直线过(2,0)，对应的直线方程分别为y＝(x－2)，或x＝2.www.21-cn-jy.com
11．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为，求直线l的方程．
解 设所求的直线l的方程为y＝kx＋b，∵k＝6，
∴方程为y＝6x＋b.
令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝－，
∴l与x、y轴的交点分别为(－，0)，(0，b)．
由题意，得2＋b2＝37，得b＝±6.
∴直线l的方程为y＝6x±6.
12．若A(a，a2)，B(b，b2)，且a＋b＝2，a≠b，直线l过点(0,2)，斜率与AB两点连线的斜率相等，求直线l的方程．
解 kAB＝＝a＋b＝2，
则直线l的方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
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13．求与两坐标轴围成的三角形的周长为9，且斜率为－的直线方程．
解 设直线l的方程为y＝－x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝b.由题意，得|b|＋|b|＋＝9.2·1·c·n·j·y
∴|b|＋|b|＋|b|＝9，∴b＝±3.
∴所求直线方程为y＝－x＋3或y＝－x－3，即4x＋3y－9＝0或4x＋3y＋9＝0.
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双基限时练(二十六)
一、选择题
1．已知a2＋b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
解析 圆心到直线的距离d＝＝＜2
∴直线与圆相交，又c≠0(否则a＝b＝c＝0)，
∴圆心不在直线上．
答案 A
2．设直线l过点(－2,0)，且与x2＋y2＝1相切，则l的斜率为( )
A．±1 B．±
C．± D．±
解析 如图可知|OA|＝2，r＝1，
∴∠PAO＝30°＝∠QAO.
∴切线l的斜率为±.
答案 C
3．若圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程为( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析 设圆心(a,0)(a＜0)，由题意，得
＝，得|a|＝5，即a＝－5.
所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
答案 D
4．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a等于( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
解析 由题可得＝＝1，得
a＝－1或a＝－－1(舍)．
答案 C
5．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )21·cn·jy·com
A．P在圆外
B．P在圆上
C．P在圆内
D．P与圆的位置关系不确定
解析 由题意，得＜2，
得a2＋b2＞4，即点P(a，b)在圆x2＋y2＝4外．
答案 A
6．设圆x2＋y2－8x－9＝0的弦AB的中点为P(5,2)，则直线AB的方程为( )
A．2x－5y＝0 B．2x－y－8＝0
C．x＋2y－9＝0 D．5x－2y－21＝0
解析 ∵x2＋y2－8x－9＝0可化为(x－4)2＋y2＝25
∴圆心为C(4,0)，故kPC＝＝2.
又PC⊥AB，∴kAB＝－.
故AB所在的直线方程为y－2＝－(x－5)．
即x＋2y－9＝0.
答案 C
二、填空题
7．圆心为(1,2)且与5x－12y－7＝0相切的圆的方程为________．
解析 由题可知，(1,2)到5x－12y－7＝0的距离d＝＝＝2，
故所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝4
8．直线2x＋y＋5＝0与圆x2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 圆心O到2x＋y＋5＝0的距离d＝＝，即|AB|＝2＝4.
答案 4
9．已知⊙C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，过点A(－1,0)的弦中，弦长的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.
解析 弦长的最大值M＝2r＝10，当弦与过A点与圆心的连线垂直时弦取得最小值m，此时
m＝2·＝2，
故M－m＝10－2.
答案 10－2
三、解答题
10．求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程．
解 当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，
此时l与圆(x－3)2＋y2＝1相切，
当l的斜率存在时，设l：y－3＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋3＝0.
由题意，得＝1，
得k＝－，故l的方程为y－3＝－(x－2)，
综上得所求的切线方程为x＝2，或4x＋3y－17＝0.
11．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，求k的取值范围．21cnjy.com
解
如图，设题中圆的圆心为C(2,3)，作CD⊥MN于D，则|CD|＝，于是有|MN|＝2|MD|＝
2＝2≥2，即4－≥3，解得－≤k≤.
12．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为4，求l的方程．
解 设所求的圆的方程为y－5＝k(x－5)，即：kx－y－5k＋5＝0，
∵直线与圆截得的弦长为4，
∴圆心到直线的距离为＝.
即＝.得k＝2或k＝.
∴所求的直线方程为2x－y－5＝0或x－2y＋5＝0.
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13．已知圆C：x2＋y2－2x＋4 ( http: / / www.21cnjy.com )y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，l被圆C截得的弦为AB，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．21世纪教育网版权所有
解 不妨设直线方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程与圆的方程联立，消去y，可得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0，∴x1＋x2＝－b－1，x1x2＝，www.21-cn-jy.com
故y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝.
∵以AB为直径的圆过原点，故OA⊥OB ( http: / / www.21cnjy.com )，即kOA·kOB＝－1，整理可知x1x2＋y1y2＝0，故＋＝0，解之得b＝－4，或b＝1，验证知，此时Δ＞0，故存在这样的直线l，其方程为y＝x－4，或y＝x＋1.21教育网
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