本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十五)
一、选择题
1．已知正四棱锥的侧棱长为2，高为3，则该棱锥的体积为( )
A．3 B．6
C．9 D．18
解析 设棱锥的底面边长为a，则(2)2＝32＋2，
∴＝3，∴a2＝6，V锥＝a2h＝×6×3＝6.
答案 B
2．已知一正四棱台的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．624 B．208
C．131 D.
解析 由图可知，棱台的上底面边长为4 ( http: / / www.21cnjy.com )，下底面边长为10，高为4，所以棱台的体积为V＝(S上＋S下＋)h＝×(16＋100＋40)×4＝＝208.21教育网
答案 B
3．直角梯形的一个内角为45°，下底 ( http: / / www.21cnjy.com )为上底长的倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5＋)π，则旋转体的体积为( )www.21-cn-jy.com
A．2π B.π
C.π D.π
解析 设该直角梯形的上底长为r，下底长则为r.该几何体为圆柱与圆锥的组合体．
S全＝π×2＋πr2＋r×r
＝r2＝(5＋)π，
∴r＝2，∴V＝V圆柱＋V圆锥＝π.
答案 D
4．在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的多面体的体积是( )2·1·c·n·j·y
A. B.
C. D.
解析 V＝1－8V锥＝1－8×××××＝.
答案 D
5．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标明的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C．2000 cm3 D．4000 cm3
解析 由三视图得几何体S－ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )，且面SCD⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SE⊥CD于E，得SE⊥面ABCD，SE＝20 cm.21cnjy.com
∴VS－ABCD＝SABCD·SE＝(cm3)．
答案 B
6．图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则该几何体的高为( )
A．4 B．12
C. D．24
解析 由三视图可知该几何体为一个三棱 ( http: / / www.21cnjy.com )锥S－ABC，其中SA⊥面ABC，AB⊥AC，∴V＝S△ABC·h＝××5×6×h＝5h，得h＝4.
答案 A
二、填空题
7．用一张圆弧长为12π，半径为10的扇形纸片制作一个圆锥体，则这个圆锥体的体积是________．21·cn·jy·com
解析 由2πr＝12π，得r＝6，h＝＝8，
∴V锥＝S底·h＝π×62×8＝96π.
答案 96π
8．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5?2?8，体积为14 cm3，则棱台的高为________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 设正四棱台上底为2a，下底为8a，斜高为5a，则(5a)2＝h2＋9a2，
∴h2＝16a2，∴h＝4a，
又由棱台的体积公式求得h＝2(cm)．
答案 2 cm
9．在三棱锥P—ABC中，三条侧棱 ( http: / / www.21cnjy.com )PA，PB，PC两两垂直，设PA＝x，PB＝y，PC＝1，若x＋y＝4，则此三棱锥体积的最大值是________．21·世纪*教育网
解析 V＝×xy＝xy＝x(4－x)＝(4x－x2)＝×[－(x－2)2＋4]，
∴当x＝2即x＝y时，Vmax＝＝.
答案
三、解答题
10．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，求三棱锥D—ABC的体积．
解
取AC的中点M，连接BM，DM，
∵BD＝a，
BM＝a，DM＝a，
∴DM2＋BM2＝BD2.
∴∠DMB＝90°，又AD＝DC，
∴DM⊥AC.
又AC∩BM＝M，
∴DM⊥面ABC.
∴V＝S底·h＝××a＝a3.
11．在下图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．
解 (1)俯视图如下图所示．
(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V三棱锥＝4×4×6－××2＝(cm3)．
12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a.
(1)求三棱锥O—AB1D1的体积；
(2)求O到平面AB1D1的距离．
解 (1)∵VO－AB1D1＝VA—B1D1O，
S△B1D1O＝B1D1·a＝a2，
又AO⊥面BDD1B1，
且AO＝a，
∴VA—B1D1O＝VO—AB1D1＝×a2×a＝.
(2)∵AB1＝B1D1＝AD1＝a，
∴S△AB1D1＝B1D1·AB1 sin60°＝a2，
设O到平面AB1D1的距离为h.
由等积转化得×a2h＝，
∴h＝a.
思 维 探 究
13．如图所示，在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A，B间的距离为2，求三棱锥A－BCM的体积．21世纪教育网版权所有
解 由题意知在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝2.
又∵CM为中线，∴MA＝MB＝MC＝AB＝2.
∴在三棱锥A－BCM中，M在面ABC上的射影为△ABC的外心．
又∵在折叠后的△ABC中，AC＝2，AB＝2，BC＝2，
∴AC2＋AB2＝BC2，即折叠后的△ABC也为直角三角形．
取BC的中点E，连接ME，则E为点M在面ABC上的射影，即ME的长为三棱锥M－ABC的高．
∵ME为△MBC的高，MB＝MC＝2，∠MBE＝30°，
∴ME＝MB＝1.
∴VA－BCM＝VM－ABC＝S△ABC·ME＝.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(一)
一、选择题
1．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
答案 C
2．下列说法正确的是( )
A．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成
B．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
C．圆柱的任意两条母线所在直线互相平行
D．用一平面截圆锥，截面与底面之间的部分为圆台
解析 由旋转的过程，可知圆柱的任意两条母线所在直线互相平行．
答案 C
3．如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是圆台 B．②是圆台
C．③是圆锥 D．④是圆台
答案 C
4．如图①是由下面哪个平面旋转得到的( )
解析 由旋转的知识，可知答案为C.
答案 C
5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( )
A．10 cm B．20 cm
C．20 cm D．10 cm
解析 由图可知，h＝20cos30°＝10(cm)，答案为A.
答案 A
6．有下列四个命题：
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以 ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的一边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交；④圆锥的轴截面是等腰三角形．
其中错误命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①错，以矩形某一边为轴旋转才是圆柱，以对角线为轴旋转则不是圆柱；②错，以其直角边为轴旋转才是圆锥；③错，一定相交；④正确．21世纪教育网版权所有
答案 C
二、填空题
7．圆台的两底面半径分别为2 cm和5 cm，母线长为3 cm，则它的轴截面面积为________．21教育网
解析 圆台的高h＝＝9(cm)，
S轴截面＝＝63(cm2)．
答案 63 cm2
8．用一张4 cm×8 cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则轴截面面积是________．21cnjy.com
解析 若圆柱的高为8 cm，则2πr＝4(cm)，
2r＝，轴截面面积S＝8·＝(cm2)，
若圆柱的高为4 cm，则2πr＝8(cm)，
2r＝，轴截面面积S＝4·＝(cm2)，
故答案为 cm2.
答案 cm2
9．一直角梯形上底长为1，下底长为3，高为2，现绕着直角梯形的下底旋转一周，所围成的几何体的轴截面的面积为________．
解析 其轴截面由两部分组成其中一个为矩形，一个为三角形，S＝4×1＋×4×2＝8.
答案 8
三、解答题
10.
如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC， ( http: / / www.21cnjy.com )且AD解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．
11．如果一个圆锥的侧面展开图是半圆，求这个圆锥的轴截面的顶角．
解 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意，可得πl＝2πr，∴r＝.
∴轴截面的顶角α满足
sin＝＝，∴＝30°.
∴α＝60°，即圆锥轴截面的顶角为60°.
12．已知一个圆台的母线长是5 cm，上、下底面的面积分别是9π cm2和16π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解 (1)设圆台的上、下底面半径为r、R，高为h，
则r＝3，R＝4，h＝＝＝
2(cm)；
(2)设圆锥母线长为l′，则＝，即＝，l′＝20(cm)．
思 维 探 究
13．一个圆锥的底面直径为4，高为8，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积；
(2)当x为何值时，S最大．
解 作出圆锥和内接圆柱的轴截面，设圆柱的底面半径为r.
由三角形相似可得＝，得r＝2－.
(1)圆柱的轴截面面积S＝2rx＝2x＝－x2＋4x，x∈(0,8)
(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x－4)2＋8，x∈(0,8)，
∴当x＝4时，S取得最大值8.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(三)
一、选择题
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中两条线段结论错误的是( )
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
解析 斜二测画法保平行，保相交，保平行线段的比，但不保垂直．
答案 B
2．如图所示的直观图中A′B′∥y′轴，B′C′∥A′D′∥x′轴，且B′C′≠A′D′.其对应的平面图形ABCD是( )
A．任意梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
解析 由直观图的画法，可知原四边形ABCD为直角
梯形．
答案 B
3．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，如图若O′B′＝1，那么原△ABO的面积是( )
A. B.
C. D．2
解析 由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2O′A′＝2，21教育网
∴S△AOB＝×1×2＝.
答案 C
4.
如图所示为等腰直角三角形，其中AB＝AC＝2，则△ABC的直观图的面积为( )
A．2 B.
C. D．2
解析 △ABC的直观图如图所示，则S△A′B′C′＝×2×1×sin45°＝.
答案 C
5．已知△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，如图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB B．AD
C．BC D．AC
解析 由斜二测画法，可知原三角形ABC为直角三角形，AC为斜边，D为BC的中点，故AC>AD，故最长的线段为AC，故答案为D.21世纪教育网版权所有
答案 D
6．已知等边三角形的边长为2，那么它的直观图的面积为( )
A. B.
C. D.
解析 如图①②分别为平面图与直观图，
由②可知，A′B′＝2，h′＝C′O′sin45°＝×＝，S△A′B′C′＝××2＝.
答案 C
二、填空题
7．在一等腰梯形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B∥DC，∠A＝45°，DC＝2，AD＝，建立如图所示的直角坐标系，其中O为AB的中点，则其直观图的面积为________．21cnjy.com
解析 由图可知AB＝DC＋2ADco ( http: / / www.21cnjy.com )s45°＝4，EO＝sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A′B′＝4，C′D′＝2，高h′＝E′O′.sin45°＝，∴SA′B′C′D′＝＝.
答案
8．一个水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
解析 由斜二测画法，知△ABC为直角三角形，AB＝＝＝5，
∴AB边上的中线为.
答案
9．如图所示，ABCD为边长为2的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形，其中B(2,2)，则在斜二测画法中，直观图A′B′C′D′中B′点到x′轴的距离为________．21·cn·jy·com
解析 在直观图中，A′B′C′D′是有一个角为45°的平行四边形，B′到x′轴的距离为d＝1×sin45°＝.www.21-cn-jy.com
答案
三、解答题
10．把下图水平放置的直观图P′Q′R′S ( http: / / www.21cnjy.com )′还原为真实图形．若S′R′＝2，P′Q′＝4，S′P′＝2，S′R′∥P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，试求其真实图形PQRS的面积．
解 由斜二测画法，知P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，R′S′∥O′x′.
故PQ∥Ox，PS∥Oy，RS∥Ox，且PS＝2P′S′，PQ＝P′Q′，RS＝R′S′.
故真实图形如图所示．
由上知PQ＝P′Q′＝4，SR＝S ( http: / / www.21cnjy.com )′R′＝2，SP＝2S′P′＝4，且四边形PQRS是直角梯形，其面积S＝(SR＋PQ)·SP＝ (2＋4)×4＝12.2·1·c·n·j·y
11．已知正△ABC的边长为a，求△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积．
解 由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图②中，作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
12．画出长为5，宽为4，高为5的长方体的直观图．
解 (1)画出x轴，y轴，z轴三轴相交于O点，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)在x轴上取OA＝5，OC＝2，过A作AB∥OC，过C作CB∥OA，则四边形OABC为下底面．
(3)在z轴上取OO′＝5，过O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′，重复(2)的步骤作出上底面O′A′B′C′.
(4)连接AA′，BB′，CC′，OO′，即得到长方体OABC－O′A′B′C′的直观图．
思 维 探 究
13．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直观图的面积为a2，求△ABC的周长．
解 图△ABC是△A′B′C′的原图形 ( http: / / www.21cnjy.com )，设△ABC的边长为x，由斜二测画法，知A′B′＝AB＝x，O′C′＝OC＝x，作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，21·世纪*教育网
∵∠C′O′D′＝45°，
∴C′D′＝O′C′＝×x＝x，
∴S△A′B′C′＝A′B′×C′D′＝x×x＝x2.
∴x2＝a2，∴x＝2a，
∴△ABC周长为3×2a＝6a.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(九)
一、选择题
1．下列命题(其中a，b表示直线，α表示平面)中，正确的个数是( )
①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.21世纪教育网版权所有
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 对于①，a∥b，b?α，则a?α，或a ( http: / / www.21cnjy.com )∥α；对于②，当a∥α，b∥α时，可能a∥b，也可能a与b相交或异面，对于③，当a∥b，b∥α时，可能a∥α，也可能a?α；对于④，当a∥α，b?α时，a与b可能平行，也可能异面，故①②③④均不对．2·1·c·n·j·y
答案 A
2．若一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )21·世纪*教育网
A．l∥α B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
解析 ∵当l∥α时，直线l上任意一点到α的距离相等；当l?α时，直线l上所有点到α的距离都是零，也相等，其他情况不符合．
答案 D
3．如图，△ABC的边BC在平面α内，点A在α外，EF是△ABC的中位线，则( )
A．EF与平面α平行
B．EF与平面α不平行
C．EF与平面α可能平行也可能相交
D．EF与平面α相交
解析 ∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，故EF∥α.
答案 A
4．设a，b为直线，α，β为不重合的平面，下列条件能得出α∥β的是( )
A．存在一条直线a?α，a∥β
B．存在两平行直线a，b，a?α，b?β，且a∥β，b∥α
C. a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β
D. a，b为异面直线a?α，b?β
解析 根据两平面平行的判定定理，可知答案为C.
答案 C
5．若两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点的个数( )
A．有限个 B．无限个
C．0个 D．0个或无限个
解析 两平面可能平行也可能相交，故选D.
答案 D
6．如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是( )
A．OQ∥面PCD B．PC∥面BDQ
C．AQ∥面PCD D．CD∥面PAB
解析 ∵O为 ABCD对角线的交点，
∴AO＝OC，又Q为PA的中点，∴QO∥PC.
由线面平行的判定定理，可知A、B正确，又ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，故CD∥面PAB，故D正确．21·cn·jy·com
答案 C
二、填空题
7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是________．
解析 如图所示截面一定过A1，C1两点，又截面过三个顶点，故所求截面为A1C1B和平面A1C1D.
答案 平面A1C1B和平面A1C1D
8．如图所示，在三棱锥A—BCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，图中满足线面平行位置关系的所有情况为________．www-2-1-cnjy-com
解析 由EF∥AC∥HG，得
AC∥面EFGH，EF∥面ACD，
HG∥面ABC，
由EH∥BD∥FG，得
EH∥面BCD，FG∥面ABD，BD∥面EFGH.
答案 AC∥面EFGH，EF∥面ACD，
HG∥面ABC，EH∥面BCD，FG∥面ABD，
BD∥面EFGH
9．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CB延长线上的一点，且BD＝BC，则直线BC1与面AB1D的关系是________．
解析 ∵DC∥B1C1，DB＝BC＝B1C1 ( http: / / www.21cnjy.com )，∴四边形BDB1C1为平行四边形，∴DB1∥C1B.又BC1 面AB1D，B1D?面AB1D，∴BC1∥面AB1D.
答案 平行
三、解答题
10．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为PB，PC上的点，且＝＝，2-1-c-n-j-y
求证：EF∥面PAD.
证明 ∵在△PBC中，＝＝，
∴EF∥BC.
又四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD.
∴EF∥AD.
又EF 面PAD，AD?面PAD，
∴EF∥面PAD.
11．如图，已知三棱锥P－ABC，D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，
求证：面DEF∥面ABC.
证明 在△PAB中，∵D，E分别为PA，PB ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，∴DE∥AB，又DE 面ABC，∴DE∥面ABC.同理，EF∥面ABC.又DE∩EF＝E，∴面DEF∥面ABC.21教育网
12.
如图在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为BC，CC1，CD1，A1A的中点，求证：www.21-cn-jy.com
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥面BB1D1D；
(3)面BDF∥面B1D1H.
证明 (1)取BB1的中点M，连接C1M，
∵C1F綊BM，
∴四边形BMC1F为平行四边形．
∴BF∥MC1.
又MH綊A1B1綊D1C1，
∴四边形MHD1C1为平行四边形．
∴D1H∥C1M，∴BF∥D1H.
(2)连接D1B，∵G，E分别为D1C与BC的中点，
∴GE∥BD1，又BD1?面BDD1B1，GE 面BDD1B1，
∴GE∥面BDD1B1.
(3)∵BD∥B1D1，又BD 面B1D1H，B1D1?B1D1H，
∴BD∥面B1D1H.
同理可证BF∥面B1D1H，
又BD∩BF＝B，BD?面BDF，BF?面BDF，
∴面BDF∥面B1D1H.
思 维 探 究
13．如图所示，在正方体ABCD－A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，试探求点M在怎样的位置时，有MN∥面B1BDD1 21cnjy.com
解 点M在FH上时，有MN∥平面B1BDD1 ( http: / / www.21cnjy.com ).如图所示，平面B1BDD1是正方体ABCD－A1B1C1D1的对角面，探究过点N且与平面B1BDD1平行的直线，可取B1C1的中点N1，连接N1N，则NN1∥平面B1BDD1，连接NH，则NH∥平面B1BDD1.【来源：21·世纪·教育·网】
∵NH∩NN1＝N，∴平面NN1FH∥平面B1BDD1.
∵MN?平面NN1FH，∴MN∥平面B1BDD1.此时，点M在FH上．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(五)
一、选择题
1．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是( )
A．正方体 B．长方体
C．三棱锥 D．圆
解析 由三视图的知识，可知答案为C.
答案 C
2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的实物草图可能是( )
解析 由三视图结合实线、虚线的画法，可知答案为B.
答案 B
3．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它可能是( )
A．五棱柱 B．三棱锥
C．圆柱 D．长方体
答案 C
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A．棱台 B．棱柱
C．棱锥 D．以上均不对
解析 由相似比，可知几何体的侧棱相交于一点．
答案 A
5．如果一个几何体的主视图和左视图都是矩形，则这个几何体可能是( )
A．长方体 B．圆柱或正方体
C．长方体或圆台 D．长方体或圆柱
解析 正方体的三视图都是正方形；圆台的主视图、左视图都是等腰梯形，长方体和圆柱的主视图和左视图都是矩形．
答案 D
6．某几何体的主视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
解析 若俯视图是A，则原几 ( http: / / www.21cnjy.com )何体是两个圆柱的组合体；若俯视图是B，则原几何体是一个圆柱和一个四棱柱的组合体；若俯视图为D，则原几何体是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱和一个四棱柱的组合体，故选C.21教育网
答案 C
二、填空题
7．如图所示，①②③是三个几何体的三视图，
其中①对应的几何体为________，②对应的几何体为________，③对应的几何体为________．21世纪教育网版权所有
解析 由三视图的知识，可知甲对应的几何体为圆柱，乙对应的几何体为三棱锥，丙对应的几何体为圆锥．
答案 圆柱 三棱锥 圆锥
8．桌上放着一个半球，如图所示，则在它的三视图及右面看到的图形中，有三个图相同，这个不同的图应该是________．
解析 俯视图为圆，主视图与左视图均为半圆．
答案 俯视图
9．如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列 ( http: / / www.21cnjy.com )三个命：①存在三棱柱，其主视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其主视图、俯视图如图；③存在圆柱，其主视图、俯视图如图．其中是真命题的是________(只填写序号)．21cnjy.com
解析 如图①②③的主视图和俯视图都与原题相同．
答案 ①②③
三、解答题
10．如图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述．
解 由三视图可知该几何体是体育器材杠铃．
11．根据下列几何体的三视图，画出该几何体的直观图．
解 由图①该几何体为正六棱柱，直观图如图①所示，由图②可知，该几何体上面是一个圆锥，下面是一个倒置的圆台，如图②所示．
9题解析图12.某建筑由相同的若干房间组成，该楼房的三视图如图所示，问：
(1)该楼房有几层？从前往后最多要经过几个房间？
(2)最高一层的房间在什么位置？请画出此楼房的大致形状．
解 (1)由主视图和左视图可以知道，该楼房有3层；由俯视图知道，从前往后最多要经过3个房间；
(2)从主视图和左视图可以知道，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间．楼房大致形状如图所示．
思 维 探 究
13．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
解 由三视图可知，该几何体下方是一个长方体，上方是以长方体的上底面为底面的四棱锥，其直观图的画法如下：
(1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交 ( http: / / www.21cnjy.com )点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(六)
一、选择题
1．下列说法错误的是( )
A．若一条直线与平面有无数个公共点，则这条直线在平面内
B．若两个平面没有公共点，则两个平面互相平行
C．直线与平面的位置关系有两种：相交、平行
D．如果一条直线与平面只有一个公共点，那么这条直线和平面相交
答案 C
2．下列表示正确的是( )
A．直线l在平面α内，用符号表示为“l∈α”
B．点A在直线l上，直线l在平面α内，用符号表示为“A∈l，l?α”
C．点A在平面α内，用符号表示为“A?α”
D．直线l与平面α外，用符号表示为“l α”
答案 B
3．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )
A．共面 B．平行
C．异面 D．平行或异面
解析 由两条直线的位置关系，可知答案为D.
答案 D
4．下面空间图形画法错误的是( )
解析 画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．
答案 D
5．分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上皆有可能
答案 D
6．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．可能相交、平行，也可能异面
解析 一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如图所示．
答案 D
二、填空题
7．点A在直线l上，用符号表示为__ ( http: / / www.21cnjy.com )______；直线AB在平面β内，用符号可表示为________；平面α与平面β相交于直线l可表示为________．21世纪教育网版权所有
答案 A∈l AB?β α∩β＝l
8．如图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中相互异面的有________对．
解析 如图所示，AB与GH异面，AB与CD异面，EF与GH异面．
答案 三
9．若直线a，b都平行于平面α，则直线a，b的位置关系是________．
解析 直线a，b的位置关系有三种：相交、平行、异面，如图所示．
答案 相交、平行、异面
三、解答题
10．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图①②③④⑤⑥中的线段AB，分别是两个平面的交线．21教育网
答案
11．如图，在四棱锥P－ABCD中，写出互相异面的直线．
解 由异面直线的判定定理可 ( http: / / www.21cnjy.com )知，互为异面的直线有AB与PD，AB与PC，AD与PB，AD与PC，DC与PA，DC与PB，BC与PA，BC与PD异面．21cnjy.com
12．如图，已知P 平面ABC，PA≠PB，CM是AB上的中线，PN⊥AB于N，求证：CM和PN是异面直线．21·cn·jy·com
证明 证法1：假设CM和PN共面，则有下列两种情况：
(1)若M、N重合，可得AN＝BN，
∴PN是线段AB的中垂线，
∴PA＝PB，与题设PA≠PB矛盾．
(2)若M、N不重合，CM和PN共面，即PC与MN共面，可得P∈平面ABC，与题设P 平面ABC矛盾．www.21-cn-jy.com
所以CM和PN是异面直线．
证法2：∵CM是AB上的中线，
∴CM?平面ABC.
又∵PN⊥AB于N，
∴N∈平面ABC.
∵PA≠PB，∴AN≠BN.
∴N与M不重合，即N CM.
又∵P 平面ABC，
∴CM和PN是异面直线．
思 维 探 究
13．若a与b异面，c与b异面，试举例说明a与c的位置关系．
解 a与c可能相交、平行、异面，说明如下：
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， ( http: / / www.21cnjy.com )A1D1与AB异面，B1C1与AB异面，而A1D1∥B1C1；A1D1与AB异面，DD1与AB异面，而A1D1与DD1相交；A1D1与AB异面，CC1与AB异面，而CC1与A1D1异面，故与b异面的两条直线a，c可能相交、平行、异面．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十四)
一、选择题
1．圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的全面积为( )
A．6π B．4π
C．2π D．4
解析 由题可知，r＝1，l＝2，∴S全＝2πrl＋2πr2＝6π.
答案 A
2．一个圆锥的高为10，侧面展开图为半圆，则圆锥的侧面积为( )
A．200π B.
C.π D．200
解析 设圆锥的底面半径为x，则侧面母线长为，又侧面展开图为半圆，
∴2πx＝π，得x＝.
∴S圆锥侧＝πrl＝π×× ＝π.
即圆锥的侧面积为π.
答案 C
3．若圆台的高为3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，其轴截面的一个底角为45°，则这个圆台的侧面积是( )
A．27π B．27π
C．9π D．36π
解析 如图可知，2r2＝2r1＋6＝4r1，
∴r1＝3，r2＝6.
S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝π(6＋3)×3＝27π.
答案 B
4．一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形(如图)，根据图中标准的长度，可以计算出该几何体的表面积是( )21·世纪*教育网
A．12＋4 B．8＋4
C．2＋8 D．6＋4
解析 由三视图可知，该几何体 ( http: / / www.21cnjy.com )为直三棱柱，其中底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高为2，S表＝2××2×2＋(2＋2＋2)×2＝12＋4，故选A.21教育网
答案 A
5．正四棱台两底面面积分别为4 cm2,64 cm2，侧棱长为
3 cm，则棱台的高为( )
A．6 cm B．12 cm
C．6 cm D．3 cm
解析 由题可知，棱台上、下底面边长分别为2,8，由侧棱长为3知，高h＝＝＝3(cm)，故选D.
答案 D
6．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积(单位：cm2)为( )
A．48＋12 B．48＋24
C．36＋12 D．36＋24
解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形且顶点在底面上的射影为斜边的中点的三棱锥，如图，SE＝5，SD＝4，AC＝6，AB＝BC＝6，www.21-cn-jy.com
∴S表＝S△ABC＋2S△SAB＋S△ASC＝×6×6＋2××5×6＋×6×4＝48＋12.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 A
二、填空题
7．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积等于________．
解析 由图可知，此三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形，此三棱柱的高为1，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.
答案 6
8．某个几何体的三视图是两个边长为2 cm的菱形和一个直径为2 cm的圆，则该几何体的表面积为________．www-2-1-cnjy-com
解析 由三视图可知，该几何体为两个共底的圆锥，其中底面圆的半径为1，母线长为2，则该几何体的表面积S表＝2πrl＝2π×1×2＝4π.2-1-c-n-j-y
答案 4π
9．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为________．
解析 由题可知，该几何体为圆柱、圆锥的组合体，
S表＝πa2＋2πa·2a＋πa·a＝5πa2＋πa2＝(5＋)πa2.
答案 (5＋)πa2
三、解答题
10．已知一个圆台的轴截面的面积为F，母线与底面的夹角是30°，求圆台的侧面积．
解 如图是圆台的轴截面，设AO1＝r，
BO＝R，BE＝R－r，
AE＝(R－r)，
AB＝(R－r)，
由题意，得F＝(R＋r)(R－r)＝(R2－r2)．
∴R2－r2＝F.
∴S圆台侧＝π(R＋r)·(R－r)
＝π(R2－r2)＝2πF.
11.
如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥面ABC ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，SB＝2.求三棱锥S—ABC的表面积．21·cn·jy·com
解 ∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC.又∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，∴BC⊥面SAC，∴SC⊥BC.
∴四个面都是直角三角形．
∵∠ABC＝30°，AC＝1，
∴在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝，
在Rt△SCB中，SC＝＝3，
在Rt△SAB中，SA＝＝2.
∴S△SBC＝SC·BC＝，
S△ABC＝AC·BC＝，
S△SAB＝SA·AB＝2，S△SAC＝SA·AC＝.
∴三棱锥的表面积S表＝S△ABC＋S△SBC＋S△SAB＋S△SAC＝2＋3.
12．已知，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
解 圆锥的高h＝＝2，设圆柱的底面半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )r，由＝，得圆柱的底面半径r＝1，所以S表面＝2S底面＋S侧面＝2π＋2π×＝2(1＋)π.21世纪教育网版权所有
思 维 探 究
13．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．21cnjy.com
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
(3)求这个三棱柱的表面积．
解 (1)证明：∵AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB＝90°，AC⊥BC，∵CC1⊥AC，CC1∩BC＝C，∴AC⊥面BB1C1C.2·1·c·n·j·y
∵B1C?面BB1C1C，∴AC⊥B1C.
(2)证明：连接BC1交B1C于点O，连接OD.
∵四边形BB1C1C为矩形，∴点O为BC1的中点．
又∵点D为BA的中点，∴OD∥AC1.
∵OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
(3)S表＝(9＋12＋15)×12＋2××9×12＝540.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(四)
一、选择题
1．如图所示的三棱锥的主视图为( )
解析 由三视图的画法，可知答案为B.
答案 B
2．下列说法正确的是( )
A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关
B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关
C．有的物体的三视图与物体摆放位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形
解析 球的三视图与物体的摆放位置无关．
答案 C
3．若一几何体的主视图和左视图均为等腰梯形，则这个几何体可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．圆台 D．球
答案 C
4.
四个正方体按如图所示的方式放置，其中阴影部分为我们观察的正面．则该物体的三视图正确的为( )
解析 由三视图的画法，可知答案为B.
答案 B
5．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，高为3，则其左视图的面积为( )
A．6 B．3
C．3 D．6
解析 由三视图的画法可知，该几何体的左视图是一个矩形，其底面边长为2sin60°＝，高为3，∴面积S＝3.21教育网
答案 C
6．如图所示的几何体是一个四棱柱截去一个角后剩余的几何体，则此几何体的主视图正确的是( )
解析 由三视图的画法，可知答案为C.
答案 C
二、填空题
7．给出下列命题：
①如果一个几何体的三个视 ( http: / / www.21cnjy.com )图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三个视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．21cnjy.com
其中正确的是________．(将正确的全都写在横线上)
解析 对于①由于球的三个视图也是完全相同的，故①不对；对于④，主视图与左视图都是等腰梯形的除圆台之外，还有棱台，故④不对；对于②，当圆柱倒置时，如图，其主视图与俯视图均为矩形，故②不正确．21·cn·jy·com
答案 ③
8．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．②④
C．①③ D．①④
解析 ①中的三个视图均相同，③中主视图为与左视图不同，只有②④中的左视图与主视图相同．
答案 B
9．如图是4个三视图和4个实物图，请将三视图与实物图正确配对________________．
解析 由三视图的画法可知．
答案 (1)→B，(2)→A，(3)→C，(4)→D
三、解答题
10．观察下列实物体，画出它们的三视图．
解 (1)三视图如下：
(2)三视图如下：
11．如图所示，是一个长方体截去一个角 ( http: / / www.21cnjy.com )所得多面体的直观图和它的主视图和左视图(单位： cm)．请在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．www.21-cn-jy.com
解 依据三视图的绘图原则，可作出该几何体的俯视图如图．
12．如图，直角梯形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )绕底边AD所在直线EF旋转，在旋转前，非直角的腰的端点A可以在DE上选定．当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体的大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点．21世纪教育网版权所有
解 (1)当点A在图①射线DE的位置时，绕EF旋转一周所得几何体为底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成，其三视图如图②.
(2)当点A位于如图③所示位置时，其旋转所得几何体为圆柱中挖去一个同底的圆锥，其三视图如图④所示．
思 维 探 究
13．已知一个正三棱锥S－ABC的棱长均为a，分别求出它的三个视图的面积．
解 ∵S－ABC为正三棱锥，∴S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O，又BO＝asin60°×＝a，∴SO＝＝
＝a.∴S主视图＝×a×a＝a2，S左视图＝×a×sin60°×a＝a2，S俯视图＝×a2sin60°＝a2.2·1·c·n·j·y
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十一)
一、选择题
1．如果一条直线与一个梯形的两腰所在的直线垂直，那么这条直线与这个梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．直线在平面内 D．不确定
解析 梯形的两腰所在的直线为相交直线．
答案 A
2．直线l与平面α垂直，则( )
A．l与平面α内的某几条直线垂直
B．l与平面α内的一条直线垂直
C．l与平面α内的无数条直线垂直
D．l与平面α内的任意一条直线垂直
答案 D
3．如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论中错误的个数是( )
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 由于BD∥B1D1，故①正确；由 ( http: / / www.21cnjy.com )于BD⊥AC，BD⊥CC1，故BD⊥面ACC1，故BD⊥AC1，故②正确；由于AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故AC1⊥面CB1D1，故①②③全正确，答案为A.21·cn·jy·com
答案 A
4．如图△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是( )www.21-cn-jy.com
A．AD⊥面BDC B．BD⊥面ADC
C．DC⊥面ABD D．BC⊥面ABD
解析 由题可知，AD⊥BD， ( http: / / www.21cnjy.com )AD⊥DC，∴AD⊥面BDC，又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB＝AC，BD＝DC＝AB.【来源：21·世纪·教育·网】
又∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，故BC＝AB＝BD，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥DC.
∴BD⊥面ADC，同理DC⊥面ABD.
∴A、B、C项均正确．
答案 D
5．在四面体P—ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( )
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．BC⊥面PAE D．AE⊥面APC
解析 ∵D，F分别为AB，AC的中点，
∴DF∥BC，故BC∥面PDF，故A项正确，
又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，PE⊥BC，∴BC⊥面PAE，
又DF∥BC，∴DF⊥面PAE，故B、C项正确，由于AE与AP不垂直，故AE与面APC不垂直．
答案 D
6.下列说法中错误的是( )
①如果一条直线和平面内的一 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线与某一平面的垂线平行，那么该直线垂直于这个平面；③如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线；④若一条直线与平面的垂线垂直，则该直线一定在这个平面内．21世纪教育网版权所有
A．①② B．①④
C．①③④ D．②④
解析 因为当直线与平面平行时，平面内仍存在 ( http: / / www.21cnjy.com )直线与该直线垂直，故①不正确，②显然正确，根据线面垂直的定义可知，③正确；当一条直线与平面的垂线垂直时，这条直线可能在平面内也可能与平面平行，故④不正确．2·1·c·n·j·y
答案 B
二、填空题
7．下列命题：
①过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )；②若a∥b，a⊥α，则b⊥α；③若直线a与平面α的两条直线垂直，则直线a⊥α；④若a∥α，α∥β，则a∥β；⑤若a∥α，b∥α，则a∥b；⑥若a⊥α，b⊥α，则a∥b，其中正确命题有________．21教育网
答案 ①②⑥
8．在三棱锥P—ABC中，最多有________个直角三角形．
解析 不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△AP ( http: / / www.21cnjy.com )B，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，
∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，
∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．
答案 4
9．如图，在四面体ABCD中，BC＝CD，AD⊥BD，E，F分别为AB，BD的中点，则BD与面CEF的位置关系是________．
解析 ∵E，F为AB，BD的中点，
∴EF∥AD.又AD⊥BD，∴EF⊥BD.
又BC＝CD，F为BD的中点，
∴CF⊥BD，又EF∩CF＝F，
∴BD⊥面CEF.
答案 BD⊥面CEF
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，B1B的中点．
求证：CF⊥面EAB.
证明 在平面B1BCC1中，
∵E，F分别是B1C1，B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE.
又AB⊥平面B1BCC1，CF 平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，
∴CF⊥平面EAB.
11．如图所示，空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD.作BE⊥CD于E，AH⊥BE于H，求证：AH⊥面BCD.
证明 取AB的中点F，连接CF，DF，
∵BC＝AC，∴CF⊥AB.
∵BD＝AD，∴DF⊥AB.
又CF∩DF＝F，
∴AB⊥面CDF.
又CD?面CDF，
∴AB⊥CD.又BE⊥CD，
AB∩BE＝B，
∴CD⊥面ABE.
∵AH?面ABE，
∴CD⊥AH.
∵AH⊥BE，又BE∩CD＝E，
∴AH⊥面BCD.
12．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.
证明 设圆O所在平面为α，则已知PA⊥α，且BM?α，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.由于PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM.而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又PM⊥AN，PM∩BM＝M，∴AN⊥平面PBM.
思 维 探 究
13．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，F为BB1的中点，M为线段AC1的中点，21cnjy.com
求证：(1)直线MF∥面ABCD；
(2)MF⊥面A1ACC1.
证明 (1)取AC的中点O，连接MO，
∵M，O为AC1，AC的中点，
∴MO綊CC1.
又F为BB1的中点，ABCD—A1B1C1D1为直四棱柱，
∴BF綊CC1.
∴MO綊BF.
∴四边形MOBF为平行四边形．
∴MF∥BO，又MF 面ABCD，BO?面ABCD，
∴MF∥面ABCD.
(2)∵F为BB1的中点，∴AF＝C1F，又M为AC1的中点，∴MF⊥AC1.
又ABCD为菱形，∴BO⊥AC.
又MF∥BO，∴MF⊥AC.
又AC1∩AC＝A，∴MF⊥面A1ACC1.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十)
一、选择题
1．在空间中，下列命题正确的是( )
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，则α∥β
C．若α∥β，b∥α，则b∥β
D．若α∥β，a?α，则a∥β
解析 对于A，当a∥α，b∥a时， ( http: / / www.21cnjy.com )b可能在α内，故A不正确；对于B，a，b有可能平行，此时α∥\β，故B不正确；对于C，α∥β，b∥α，此时b有可能在平面β内，故C不正确．www.21-cn-jy.com
答案 D
2．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是( )
A．互相平行 B．交于一点
C．相互异面 D．不能确定
解析 由面面平行的性质定理，可知答案为A.
答案 A
3．给出下列命题：
①一条直线与另一条直线平行，它就和经过另一条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线的任何平面平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的所有直线平行；③经过两条异面直线a，b外一点，必有一个平面与a，b都平行；④经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面平行于另一条直线．21·cn·jy·com
其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 ①因为两条平行直线可 ( http: / / www.21cnjy.com )确定一个平面，其中的一条直线可能在另一条直线所在的平面内，故①不对；对于②，一条直线和一个平面平行，它和这个平面内的直线有的平行，有的异面，故②不对；③中，经过两条异面直线外一点P，可作a′∥a，b′∥b，a′∩b′＝P，可确定一个平面，但有可能a?α或b?α，故③不正确；④显然正确，故选B.2·1·c·n·j·y
答案 B
4．在正方体ABCD—A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱AA1，BB1，CC1，DD1上的点，且E，F，G，H四点共面，则四边形EFGH一定是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．平行四边形 B．菱形
C．不是菱形 D．不一定是平行四边形
解析 据两平面平行的性质定理，可知EFGH一定为平行四边形．
答案 A
5．过长方体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )21·世纪*教育网
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
解析 与面BDD1B1平行的平面有EF ( http: / / www.21cnjy.com )GH，MNPQ，其中E，F，G，H，M，N，P，Q分别为棱的中点，每一个平面由中点构成的线有6条，据面面平行的性质定理，可知与面BDD1B1平行的线共有12条．www-2-1-cnjy-com
答案 D
6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与面ABB1A1平行的直线的条数有( )2-1-c-n-j-y
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 画出图形，结合图形作出判断．如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，E，F，G，H分别是所在棱的中点，显然EF，EH，HG，GF，EG，FH都与平面ABB1A1平行．【来源：21cnj*y.co*m】
答案 C
二、填空题
7．在正方体ABCD—A1B1C1 ( http: / / www.21cnjy.com )D1中，M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝BN，那么①AC∥MN；②MN∥面ABCD；③MN∥面A1B1C1D1.其中正确的是________．【出处：21教育名师】
解析
如图，过M，N分别作MG∥BB1，NH∥BB1，分别交AB，BC于G，H两点．
∴＝＝，
又＝＝，又ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AB1＝BC1，又AM＝BN，
∴MG＝NH，AG＝BH.
故当G，H不是AB，BC的中点时，GH AC，
故①不正确，
由MG綊NH，知MN∥GH，
∴MN∥面ABCD，同理可得MN∥面A1B1C1D1.
答案 ②③
8．如图a∥α，A是α的另一侧的点，B， ( http: / / www.21cnjy.com )C，D∈a，线段AB，AC，AD交α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
解析 由相似比＝，∴EG＝＝＝.
答案
9．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的是________．
①AC∥面PQMN；②AC＝BD；③BD∥面PQMN；④AC⊥BD
解析 由PQMN为正方形，知PQ∥MN，
∴PQ∥面ADC.又PQ?面ABC，
面ABC∩面ADC＝AC，∴PQ∥AC.
∴AC∥面PQMN，同理BD∥面PQMN.
故①③正确，又AC∥MN，BD∥MQ，MN⊥MQ，
∴AC⊥BD，故④正确．
∴正确的有①③④.
答案 ①③④
三、解答题
10．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点．判断直线A1B与平面ADC1的关系．
解 A1B∥面ADC1，证明如下：
证法1：如图①，连接A1C交AC1于F，
则F为A1C的中点．连接FD.
∵D是BC的中点，
∴DF∥A1B.
又DF?平面ADC1，A1B?平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1.
证法2：如图②，取C1B1的中点D1，
则AD∥A1D1，C1D∥D1B，
∴AD∥平面A1D1B，
且C1D∥平面A1D1B.
又AD∩C1D＝D，
∴平面ADC1∥平面A1D1B.
∵A1B?平面A1D1B，
∴A1B∥平面ADC1.
11．如图，在直四棱柱ABCD—A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，DC＝2，E，E1分别为AD，AA1的中点，F为AB的中点．21世纪教育网版权所有
求证：EE1∥面FCC1.
证明 ∵ABCD—A1B1C1D1为直棱柱，
∴DD1∥CC1.
又CC1?面ADD1A1，DD1?面ADD1A1，
∴CC1∥面ADD1A1.
又ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝4，DC＝2，
F为AB的中点，
∴AF∥DC，且AF＝DC.
故四边形AFCD为平行四边形，故FC∥AD.
又AD?面ADD1A1，FC?面AD1，
∴FC∥面ADD1A1.
又FC∩CC1＝C，
∴面FCC1∥面ADD1A1.
又EE1?面ADD1A1，
∴EE1∥面FCC1.
12．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，E为线段PD上的点，F为线段AB上的点，且＝，试判断EF与平面PBC的关系，并证明．21cnjy.com
证明 EF∥平面PBC.证明如下：
如图作FG∥BC交CD于点G，连接EG，
则＝.
∵＝，∴＝.
∴PC∥EG.
又FG∥BC，BC∩PC＝C，FG∩GE＝G，
∴平面PBC∥平面EFG.又EF 平面PBC，
∴EF∥平面PBC.
思 维 探 究
13.
在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1
(2)当BC1∥平面AB1D1时，
求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
解 (1)＝1.证明如下：如图，此时 ( http: / / www.21cnjy.com )D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点． 21*cnjy*com
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1，
∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，21教育网
∴四边形ADC1D1是平行四边形．∴AD1∥DC1.
又∵DC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，
∴DC1∥平面AB1D1.
又∵BC1∥平面AB1D1，
BC1?平面BC1D，DC1?平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，
∴平面BC1D∥平面AB1D1.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(七)
一、选择题
1．下列图形中，不一定是平面图形的是( )
A．三角形 B．菱形
C．梯形 D．四边相等的四边形
答案 D
2．下列说法中正确的是( )
A．两个平面相交有两条交线
B．两个平面可以有且只有一个公共点
C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交线上
D．两个平面一定有公共点
解析 根据公理3，可知C正确．
答案 C
3．首尾相连的四条线段所在的直线，它们最多确定的平面数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 如图，面ABC，面BCD，面CDA，面BAD.
答案 D
4．经过同一条直线上的3个点的平面( )
A．有且只有1个 B．有且只有3个
C．有无数个 D．不存在
答案 C
5.
在四面体A—BCD中，H，G，E，F分别为AD，DC，AB，BC上的点，若EF与GH相交于点M，则( )21教育网
A．点M在直线AC上
B．点M在直线BD上
C．点M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D．点M不在直线AC上，也不在BD上
解析 ∵HG∩EF＝M，又HG?面ADC，EF?面ABC，
∴M∈面ADC，且M∈面ABC.
又面ABC∩面ADC＝AC.
∴M∈AC.
答案 A
6．下列四个命题：①过三点 ( http: / / www.21cnjy.com )确定一个平面；②矩形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④三条直线两两相交则确定一个平面．其中正确命题的个数是( )www.21-cn-jy.com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 ①不一定正确，因为这三点 ( http: / / www.21cnjy.com )可能在一条直线上；③不一定正确，如将正方形沿某一对角线折起，得到的几何体的四边相等，但不是平面图形；④中若三条直线相交于一点，就不一定能确定一个平面，如墙角；②显然正确．故选A.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 A
二、填空题
7．下面四种说法：①平面 ( http: / / www.21cnjy.com )的形状是平行四边形；②平行四边形、梯形、圆等平面图形都可以表示平面；③平面α的面积为1 cm2；④在空间图形中，后引的辅助线都是虚线，其中正确的说法的序号为________．21·世纪*教育网
解析 由于平面是无限延展的，平行四边形只是平 ( http: / / www.21cnjy.com )面的一部分，故①不正确，③当然也不正确，在立体几何中，为增强立体感，画图时看得见的线画成实线，被平面遮住看不见的线画成虚线，而不是后引的辅助线画成虚线，故④不正确，②显然正确．www-2-1-cnjy-com
答案 ②
8．如图，平面α与两个定点A，B ( http: / / www.21cnjy.com )，若直线AB与平面α相交于一点P，直线AQ与α相交于点M，直线BQ与平面α相交于点N，则直线MN必经过点________．2-1-c-n-j-y
解析 ∵AB∩AM＝A，
∴A，B，M三点可确定一个平面．
又B∈AB，Q∈AM，
∴BQ?面ABM.
由公理2，知M，N，P三点共线．
答案 P
9．三个平面可将空间分成________部分．
解析 当α，β，γ互相平行时，如图，将空间分成4部分．
当α，β平行，γ与α，β相交时，将空间分成六部分，如图．
当α，β，γ相交于一条线时，将空间分成六部分，如图．
当三个平面相交于一点时，将空间分成8部分，如图．
当三个平面两两相交，且三条交线平行时，将空间分成七部分，如图．
答案 4,6,7,8
三、解答题
10．有个同学说：“如果直线a与b共面，且直线a与c共面，那么b与c共面．”这个同学的这种说法正确吗？试说明理由．
解 这个同学的说法不正确，理由如下：
如图平面α∩β＝a，b?α，a∩b＝A，c?β，c∩a＝B，如图可知，b与c不在同一个平面内．故这种说法是错误的．21世纪教育网版权所有
11．正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C∩面BDC1＝O，AC，BD交于点M，求证：C1，O，M共线．21·cn·jy·com
证明 如图，由A1A∥C1C，则AA1与C1C确定平面A1ACC1.
∵A1C?平面A1ACC1，O∈A1C，
∴O∈平面A1ACC1.
又A1C∩平面BDC1＝O，
∴O∈平面BDC1，
∴O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上．
又AC∩BD＝M，
∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1ACC1.
∴平面A1ACC1∩平面BDC1＝C1M，
∴O∈C1M，即O，C1，M三点共线．
12．求证：三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．
解 如图，平面α、β、γ满足α∩β＝a，β∩γ＝b，a∩b＝A，∴A∈a，A∈b.
又a α，b γ，∴A∈α，A∈γ，∴A∈α∩γ.
又α∩γ＝c，∴A∈c.
思 维 探 究
13．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．21cnjy.com
解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，2·1·c·n·j·y
∵E∈AC，AC 平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
即直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十三)
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任何直线都与另一个平面垂直
B．如果两个平面与某一条直线垂直，那么两个平面垂直
C．如果一个平面含有另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直
D．如果两个平面互相垂直，过其中一个平面内的点做另一个平面的垂线，那么这条直线不一定在这个平面内
答案 C
2．若两条直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有无数个 D．一定不存在
解析 若a⊥b，则存在一个过a与b垂直的平面，若a不垂直b，则不存在过a与b垂直的平面．
答案 B
3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A．若m?β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
解析 由m∥α可知α内至少有一条直线m′∥m，又m⊥β，∴m′⊥β，又m′?α，∴α⊥β，故选C.
答案 C
4.
以等腰直角三角形ABC的斜边AB的中线CD为棱，将△ABC折叠，使平面ACD⊥面BCD，则AC与BC的夹角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．不确定
解析 ∵CD⊥BD，CD⊥DA，又面ACD⊥面BCD，
∴∠BDA＝90°，设AD＝x，
则AC＝BC＝x，AB＝x，
∴△ABC为等边三角形，∴∠BCA＝60°.
答案 B
5.
如图所示，α⊥β，CD?β，CD⊥AB，CE，CF?α，∠FEC＝90°，则下列说法中正确的个数为( )21教育网
①EF⊥面β；②EF⊥DE；③面EFD⊥面DEC；④面DEF⊥β.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ∵DC⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又EF?α，
∴DC⊥EF.又∠FEC＝90°，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )EF⊥EC，∴EF⊥面DCE.又DE?面DEF，∴EF⊥DE；又EF?面DEF.∴面DEF⊥面DCE.故②③正确，①④显然不正确．www.21-cn-jy.com
答案 B
6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列判断正确的是( )
A．A1C⊥面AB1D1 B．A1C⊥面AB1C1D
C．A1B⊥面AB1D1 D．A1B⊥AD1
解析 ∵在正方体ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )—A1B1C1D1中，∴A1C1⊥B1D1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.同理可证A1C⊥AD1，又AD1∩B1D1＝D1，2·1·c·n·j·y
∴A1C⊥面AB1D1.
答案 A
二、填空题
7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，AB与BC不垂直，则平行四边形ABCD一定是________．
解析 由PA⊥面ABCD，知PA⊥BD.
又BD⊥PC，
∴BD⊥面PAC，故BD⊥AC.
又AB与BC不垂直，
∴四边形ABCD为菱形．
答案 菱形
8.
如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，图中互相垂直的平面有________对．
解析 面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面PAD，面PBC⊥PAB，面PCD⊥面PAD.21世纪教育网版权所有
答案 5
9．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝C ( http: / / www.21cnjy.com )D，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.21cnjy.com
其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
解析 对于①，取BC的中点E，连接AE，DE，则
BC⊥面AED，故BC⊥AD，
故①对，②不一定，③也不一定．
对于④，过A作面BCD的垂线，垂足为O，
由AB⊥CD，BD⊥AC，可知O为△BCD的垂心，
∴BC⊥DO，又BC⊥AO，∴BC⊥面AOD，
即有BC⊥AD.故④正确，故正确的有①④.
答案 ①④
三、解答题
10．如图所示，三棱锥被平行于底面A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的平面所截得的几何体，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，AA1⊥面ABC，AB＝AC，D为BC的中点．21·cn·jy·com
求证：面A1AD⊥面BCC1B1.
证明 ∵AC＝AB，D为BC的中点，∴BC⊥AD.
又AA1⊥面ABC，∴AA1⊥BC.
又AA1∩AD＝A，∴BC⊥面A1AD.
∵BC?面BCC1B1，
∴面A1AD⊥面BCC1B1.
11．如图所示，面PAB⊥面ABC，面PAC⊥面ABC，AE⊥面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC为直角三角形．
证明
(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，作DG⊥AB于G，
∵面PAC⊥面ABC，且面PAC∩面ABC＝AC，
∴DF⊥AP，同理可证DG⊥AP.
又DG∩DF＝D，DG?面ABC，
DF?面ABC，∴PA⊥面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H，
∵E为△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
AE⊥面PBC，∴PC⊥AE.
∴PC⊥面ABE，∴PC⊥AB.
又PA⊥面ABC，∴PA⊥AB.
又PC∩PA，∴AB⊥面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
12．某几何体的三视图，如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点，
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；②证明：
面PBD⊥面AGC.
解 (1)该几何体的直观图如图所示．
(2)①证明：连接AC，BD交于O，连接OG.
∵G为PB的中点，O为BD的中点，
∴OG∥PD，又OG?面GAC，
PD 面AGC，∴PD∥面AGC.
②由三视图可知PO⊥面ABCD，
又AO⊥BO，∴AO⊥面PBD.
又AO?面AGC，∴面PBD⊥面AGC.
思 维 探 究
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，线段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H为垂足．
求证：H不可能是△BCD的垂心．
证明 假设H是△BCD的垂心，则BH⊥CD，
∵AH⊥平面DBC，DC?平面DBC，
∴AH⊥DC.
∵AH∩BH＝H，∴CD⊥平面ABH.
又AB?平面ABH，∴AB⊥CD.
∵AD⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AD⊥AB.
由于AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD.
∵AC?平面ACD，∴AB⊥AC.
这与已知中∠BAC＝60°相矛盾．
∴假设不成立．故H不可能是△BCD的垂心．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(二)
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．棱柱的各个面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中侧棱的长叫做棱柱的高
D．棱柱的侧面是矩形，但它的底面一定不是矩形
解析 据棱柱的概念，知答案为A.
答案 A
2．若棱台上、下底面的对应边之比为1:2，则上、下底面的面积之比为( )
A．1:2 B．1:4
C．2:1 D．4:1
解析 面积之比等于对应边之比的平方，可知答案为B.
答案 B
3．棱台不一定具有的性质是( )
A．侧面都是梯形 B．侧棱都相等
C．两底面相似 D．侧棱延长后交于一点
解析 据棱台的性质，知答案为B.
答案 B
4．以下命题正确的是( )
A．棱锥的各侧棱长相等
B．棱柱的各侧面都是矩形
C．棱台的各侧棱延长线相交于一点
D．圆锥的母线长等于底面圆的周长
答案 C
5．一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
解析 由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等，故正六棱锥的侧棱长大于底面边长．
答案 D
6．给出下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形所围成的几何体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥；③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台．21教育网
以上命题中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 对于①②不符合棱柱、棱锥的定义；对于③，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得的几何体一个是棱台，另一个是棱锥，故③不正确．21cnjy.com
答案 A
二、填空题
7．四棱柱有________条侧棱；________个顶点；________个侧面．
答案 4 8 4
8．给出下列几个命题：①棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com )的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧棱所在直线均相交于一点；④将直角梯形绕着它的一条腰所在的直线旋转一周所得的几何体为圆台．21·cn·jy·com
其中正确的是________．
解析 ①②③显然正确，对于④，只有当直角梯形绕着它的一条垂直于底边的腰所在的直线旋转一周时，所形成的几何体才是圆台，故④不正确．www.21-cn-jy.com
答案 ①②③
9．已知正四棱锥V—ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为2，则它的斜高为________．
解析 由S底＝16，知底面边长为4，又侧棱长为2，故斜高h′＝＝2.
答案 2
三、解答题
10．如图所示的棱柱ABCD—A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1D1为正四棱柱，用平面BCEF把该棱柱分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．2·1·c·n·j·y
解 ∵ABCD—A1B1C1D1为正四棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com )，∴截面BCEF右边的部分是三棱柱BFB1—CEC1，截面BCEF左边的部分也是棱柱，是一个四棱柱ABFA1—DCED1.【来源：21·世纪·教育·网】
11．如图所示的几何体所有的棱长都相等，分析此几何体的面数，顶点数和棱数，并判断该几何体是不是棱柱、棱锥、棱台的一种．
解 该几何体有8个面，6个顶点，12条棱，它不满足棱柱、棱锥、棱台的定义，故不是棱柱，也不是棱锥，也不是棱台，但它是一个多面体．21·世纪*教育网
12．已知正三棱柱ABC ( http: / / www.21cnjy.com )－A1B1C1的底面边长为1，高为4，一动点从A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A1，求动点所经过的最短路程长．www-2-1-cnjy-com
解 将三棱柱沿AA1将侧面展开，如图所示
其中AA′＝3，A′A′1＝4，
∴AA′1＝＝＝5.
∴动点所经过的最短路程长为5.
思 维 探 究
13．已知底面是正方形，侧棱都相等的棱锥的高为，侧棱长为，求侧面等腰三角形底边上的高．
解 如图，在棱锥S－ABCD中，高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，解Rt△SOA，得OA＝2，21世纪教育网版权所有
则AC＝4，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.
作OE⊥AB于E，则E为AB中点．
连接SE，则SE即为所求．由于SO⊥OE，
在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，
∴SE＝.
∴棱锥侧面等腰三角形底边上的高为.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十六)
一、选择题
1．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
解析 由题意得，2R＝＝a，
∴R＝a，∴球的表面积S＝4πR2＝6πa2.
答案 B
2．已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )
A．4π B．3π
C．2π D．π
解析 由三视图可知，该几何体为半径为1的半球体，
∴S表＝πr2＋2πr2＝3πr2＝3π.
答案 B
3．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积之比为( )
A．1:2:3 B．2:3:4
C．3:2:4 D．3:1:2
解析 V圆柱＝2πR3，V圆锥＝πR2·(2R)＝R3，
V球＝πR3.则体积之比为：2: :即3:1:2.
答案 D
4．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )
A.π B．4π
C．4π D．6π
解析 如图，设平面α截球O所得圆的圆心为O1，则|OO1|＝，|O1A|＝1，∴球的半径R＝|OA|＝＝.21世纪教育网版权所有
∴球的体积V＝πR3＝4π.故选B.
答案 B
5．如图，正四棱锥P—ABCD底面的四个 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VP—ABCD＝，那么球O的表面积是( )21cnjy.com
A．4π B．8π
C．12π D．16π
解析 由题意，可得AB＝R，PO＝R，又VP—ABCD＝(R)2R＝，得R＝2，∴S表＝4πR2＝16π.21·cn·jy·com
答案 D
6．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲，一个直径为a的球记其体积为V乙，表面积为S乙，则( )
A．V甲>V乙，S甲>S乙 B．V甲S乙
C．V甲＝V乙，S甲>S乙 D．V甲＝V乙，S甲解析 V甲＝64×π×3＝πa3，
S甲＝64×4π×2＝4πa2，
V乙＝π×3＝πa3，
S乙＝4π×2＝πa2，
∴V甲＝V乙，S甲>S乙．
答案 C
二、填空题
7．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 设正方体的棱长为a，球的半径为r，则2r＝a，
∴a＝r，∵πr3＝4π，∴r＝，∴a＝2.
∴S表＝6a2＝24.
答案 24
8．圆柱形容器的内壁底面半径为5 ( http: / / www.21cnjy.com ) cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于该容器的水中，若取出两个小球，则容器的水面将下降________．www.21-cn-jy.com
解析 由题意，得2×π×3＝π×52×h，得h＝.
答案 cm
9．一个六棱柱的底面是正六边形， ( http: / / www.21cnjy.com )其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都是在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为________．www-2-1-cnjy-com
解析 球的半径R＝＝1，
故V球＝πR3＝π.
答案 π
三、解答题
10．已知某几何体的三视图如图所示，求它的体积和表面积．
解 由三视图可知该几何体 ( http: / / www.21cnjy.com )是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，∴其体积V＝V球＝×π×13＝π，S表＝×4π×12＋3×π×12＝π.2·1·c·n·j·y
11．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，求这个圆锥的高与球的半径之比．2-1-c-n-j-y
解 如图，作出轴截面，设公共底面圆的半径为R，圆锥的高为h.
∴V锥＝πR2h，V半球＝·πR3.
∵V锥＝V半球，
∴h＝2R，即h:R＝2:1.
12．桌面上有三个半径均为r的 ( http: / / www.21cnjy.com )小球，它们两两相切，现有第四个半径为r的小球放在三个小球上面，且与这三个小球都相切，求第四个小球的球心离桌面的距离．21·世纪*教育网
解 如图所示，设桌面上三个小球 ( http: / / www.21cnjy.com )的球心分别为O1，O2，O3，第四个小球的球心为O4.因每两个小球都相切，所以O1，O2，O3，O4构成一个棱长都为2r且各面都全等的正三角形的三棱锥．
设O4在平面O1O2O3的正投影为O，则O4到桌面的距离为O4O＋r.
连接O3O，由于O为正三角形△O1O2O3的中心，
∴OO3＝××2r＝r.
∴O4O＝＝r.
因此，第四个小球的球心离桌面的距离为r.
思 维 探 究
13．已知两个圆锥有公共底面，且两 ( http: / / www.21cnjy.com )圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为多少？
解 如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r，由题意得πr2＝×4πR2.
∴r＝R，∴OO1＝R.
体积较小的圆锥的高AO1＝R－R＝R，体积较大的圆锥的高BO1＝R＋R＝R.故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.21教育网
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(八)
一、选择题
1.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AB，BC，A1B1，B1C1的中点，下列结论错误的是( )2·1·c·n·j·y
A．GH∥EF
B．GH∥AC
C．GE∥HF
D．GB∥B1F
解析 GB与B1F异面．
答案 D
2．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不平行的两个图是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析 ③中的PQ与RS异面，④中的PQ与RS相交于一点，故选C.
答案 C
3．在四棱柱ABCD—A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1中，底面ABCD为平行四边形(称这样的几何体为平行六面体)，与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )www.21-cn-jy.com
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD，BC，BB1，AA1，C1D1符合条件．【来源：21·世纪·教育·网】
答案 C
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为A1D1，A1B1，DC，BC的中点，下列说法中错误的是( )
A．EF∥MN B．AF∥C1M
C．AF∥C1N D．AE∥C1N
解析
∵B1D1∥BD，MN∥BD，
∴MN∥B1D1.又EF∥B1D1，
∴MN∥EF，故A正确，如图取AD的中点G，连接D1G，GN，则D1C1綊GN，
∴D1G∥C1N，而E，G为A1D1，AD的中点，
∴AE∥D1G，
∴AE∥C1N，故D正确，同理可证AF∥C1M，故B正确，而AF与C1N异面．
答案 C
5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，M分别为A1B1，B1C1，BB1的中点，下列说法中错误的是( )21世纪教育网版权所有
A．∠BA1C1＝∠MEF B．∠A1BC1＝∠EMF
C．∠B1EM＝∠EA1B D．∠EFM＝∠A1C1F
解析 由等角定理，可知A、B、C均正确．
答案 D
6．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别在AB，AC上，且AE＝AB，AF＝AC，则下列说法正确的是( )21·世纪*教育网
A．EF⊥BB1 B．EF∥A1B1
C．EF∥B1C1 D．EF∥AA1
解析 ∵AE＝AB，AF＝AC，∴EF∥BC，又ABC－A1B1C1为棱柱，∴BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.www-2-1-cnjy-com
答案 C
二、填空题
7．如图所示，在空间四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．
解析 EH＝3，FG＝6×＝4，SEFGH＝＝28，得h＝8(cm)．
答案 8 cm
8．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________．
解析
(注：这儿画了其中的特例来说明有这几种图形)
答案 三角形、四边形、五边形、六边形
9．空间中两个角α，β且α，β的角的两边分别平行，且α＝60°，则β＝________.
答案 60°或120°
三、解答题
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱CC1和AA1的中点．画出平面BED1F与平面ABCD的交线．21cnjy.com
解 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，DA.
∵D1F与DA不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F，P∈DA.
又∵D1F 平面BED1F，DA 平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，且P∈平面ABCD.
又∵B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连接PB，则PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．
11．如图，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求的值．
解 (1)证明：∵AA′与BB′交于点O，且
＝＝，
∴AB∥A′B′.
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)∵A′B′∥AB，AC∥A′C′，且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′.
因此△ABC∽△A′B′C′，且＝＝.
∴＝2＝.
12．如图，E，F，G，H分别是三棱锥ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ.21·cn·jy·com
(1)若λ＝μ，判断四边形EFGH的形状；
(2)若λ≠μ，判断四边形EFGH的形状；
(3)若λ＝μ＝，且EG⊥HF，求的值．
解 (1)∵AE?EB＝AH?HD＝λ，
∴EH∥BD，且EH＝BD.①
又∵CF?FB＝CG?GD＝μ，
∴FG∥BD，且FG＝BD.②
又λ＝μ，
∴EH綊FG(公理4)．
因此λ＝μ时，四边形EFGH为平行四边形．
(2)若λ≠μ，由①②，知EH∥FG，但EH≠FG，因此λ≠μ时，四边形EFGH为梯形．
(3)∵λ＝μ，∴四边形EFGH为平行四边形．
又∵EG⊥HF，∴四边形EFGH为菱形．
∴FG＝HG.
∴BD＝FG＝3FG，
AC＝(λ＋1)HG＝HG＝FG.
∴＝.
思 维 探 究
13．如图，一个梯形纸片 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD，AB∥CD，E，F分别是AD，BC的中点，将四边形ABFE绕EF旋转到A′B′FE的位置，G，H分别为A′D，B′C的中点．求证：21教育网
(1)四边形A′B′CD是梯形；
(2)四边形EFHG是平行四边形．
证明 (1)∵四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∴AB≠CD.
∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴EF∥AB，EF∥CD，旋转后A′B′∥EF.
∴A′B′∥CD，且A′B′＝AB≠CD.
∴四边形A′B′CD是梯形．
(2)由(1)知四边形A′B′CD是梯形，
∴GH＝(A′B′＋CD)．
又GH∥CD，∴EF∥GH.
∵EF＝(AB＋CD)，∴EF綊GH.
∴四边形EFHG是平行四边形．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十二)
一、选择题
1．下列说法中错误的是( )
A．如果α⊥β，那么α内的所有直线都垂直β
B．如果一条直线垂直于一个平面，那么此直线必垂直于这个平面内的所有直线
C．如果一个平面通过另一个平面的垂线，那么两个平面互相垂直
D．如果α不垂直于β，那么α内一定不存在垂直于β的直线
解析 根据两平面垂直的性质定理，可知A不对，故选A.
答案 A
2．若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A．若α∥β，l?α，n?β，则l∥n
B．若α⊥β，l?α，则l⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
解析 由l⊥α，l∥β，知在β内一定能找到一条直线l′使得l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，故α⊥β，故D正确．2·1·c·n·j·y
答案 D
3.
在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( )
A．平面ABD⊥平面BDC
B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面ADC
D．平面ABC⊥平面BED
解析 ∵AB＝BC，E为AC的中点，∴AC⊥BE，同理AC⊥ED，又BE∩ED＝E，∴AC⊥面BED，又AC?面ABC，
∴面ABC⊥面BED.
答案 D
4．在正三棱锥P－ABC中，D，E ( http: / / www.21cnjy.com )分别为AB，BC的中点，有下列三个论断：①面APC⊥面PBD；②AC∥面PDE；③AB⊥面PDC，其中正确论断的个数为( )21世纪教育网版权所有
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①不正确，②③正确．
答案 C
5．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B—PA—C的平面角是( )21·世纪*教育网
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析 ∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC.
∴∠BAC为二面角B—PA—C的平面角，又∠BAC＝90°，故答案为A.
答案 A
6．在△ABC所在平面α外一点P满足PA＝PB＝PC，则点P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心
C．外心 D．重心
解析 设O为点P在平面α内的射影，∴PO⊥AO，PO⊥OC，PO⊥OB.又PA＝PB＝PC，∴OB＝OC＝OA，∴O为△ABC的外心．
答案 C
二、填空题
7．如图，四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，则平面PBD与面PAC的关系是________．21教育网
解析 ∵PA⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴BD⊥AP.
又ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，又AC∩AP＝A，
∴BD⊥面PAC，而BD?面PBD，
∴面PBD⊥面PAC.
答案 面PBD⊥面PAC
8．设直线l和平面α，β且l?α，l ( http: / / www.21cnjy.com )?β，给出下列三个论断：①l⊥α；②α⊥β；③l∥β，从中任取两个作为条件，其余一个作为结论，在构成的各命题中，写出你认为正确的一个命题________．
答案 ①③ ②
9．AB是圆O的直径，C是圆上异于A， ( http: / / www.21cnjy.com )B的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中共有________个直角三角形．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 ∵PA⊥面ABC，
∴△PAB，△PAC均为直角三角形，又AB为直径，
∴AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形，且BC⊥面PAC，
∴△PBC为直角三角形．
答案 4
三、解答题
10．如图四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E在棱PB上，求证：面AEC⊥面PBD.21·cn·jy·com
证明 ∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD.
又ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD.
又AC?面AEC，∴面AEC⊥面PBD.
11．如图，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥DB，点F在DC上，求证：平面DBC⊥平面AEF.21cnjy.com
证明 ∵DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴DA⊥BC.
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
∵DA∩AB＝A，∴BC⊥平面DAB.
∵AE?平面DAB，∴BC⊥AE.
又∵AE⊥DB，DB∩BC＝B，
∴AE⊥平面DBC.
又∵AE?平面AEF，
∴平面DBC⊥平面AEF.
12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC，D是AC的中点．
(1)求证：B1C∥面A1BD；
(2)求证：面A1BD⊥面ACC1A1.
证明 (1)设AB1与A1B相交于点E，连接DE，则E为AB1的中点．
在△AB1C中，D为AC的中点，E为AB1的中点，
∴DE∥B1C.
又∵DE?平面A1BD，B1C?平面A1BD，
∴B1C∥面A1BD.
(2)在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，
∴BD⊥AC.
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.
又∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1.
又BD?平面A1BD，∴面A1BD⊥面ACC1A1.
思 维 探 究
13．如图所示，已知在△ ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．www.21-cn-jy.com
求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
证明 ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.又EF?平面BEF，
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
