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双基限时练(十七)
一、选择题
1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数为( )
①设有一批产品，已知其次品率为0.1， ( http: / / www.21cnjy.com )则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率为；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率21·cn·jy·com
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 由频率与概率的关系，可知①②③都不对．
答案 A
2．某市对该市观看中央台播放的2014年春节联欢晚会进行统计，该市收视频率为65.4%，这表示( )2·1·c·n·j·y
A．该市观看该节目的频数
B．在1000户家庭中总有654户收看该节目
C．反映该市观看该节目的频率
D．该市收看该节目共有654户
解析 频率是一个实际值，是个统计值，概率为理论值．
答案 C
3．在一次摸奖活动中，中奖率为0.1，某人 ( http: / / www.21cnjy.com )购买了10张奖券，甲解释：肯定中奖，乙解释：中奖的机会占10%，丙解释：只有一张中奖，他们的理解中正确者为( )21教育网
A．甲 B．乙
C．甲和丙 D．乙和丙
解析 根据概率的知识，可知答案为B项．
答案 B
4．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是( )
A．本市明天将有90%的地区降雨
B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨
D．明天出行不带雨具可能会淋雨
解析 “本市明天降雨的概率是90%”即为“本市明天降雨的可能性为90%”．
答案 D
5．某班有60名学生，其中女生24人，现任选1人，则选中男生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 男生共有60－24＝36人，从中任选1人，选中男生的概率P＝＝.
答案 D
6．某高中共有学生900名， ( http: / / www.21cnjy.com )学校要从中选9名同学作为校庆活动的志愿者．已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生，为了保证每名同学都有参与资格，学校采用分层抽样的方法抽取，若再从这9名学生中抽取1名作为活动负责人，则这名同学是高一学生的概率为( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
解析 由于是分层抽样，故＝＝＝，所以x＝4，y＝3，z＝2，故高一抽取4人，从9人中抽1人，抽到高一学生的概率P＝.21cnjy.com
答案 C
二、填空题
7．将一枚硬币掷1000次，估计“正面向上”的次数大约为________．
解析 正面向上的概率为，故正面向上次数大约为1000×＝500.
答案 500
8．抛掷一枚骰子，两次正面向上的点数之和为4的概率为________．
解析 抛掷一枚骰子两次，共有36种情形 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中点数之和为4的有(1,3)，(2,2)，(3,1)三种情形，故出现正面向上的点数之和为4的概率P＝＝.www.21-cn-jy.com
答案
9．三张卡片上分别写上字母N、O、T，将三张卡片随机排成一行，恰好排成NOT的概率为________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 将三个字母随机排成一行，共有6种不同的情形，其中出现NOT的情形只有一种，故所求的概率P＝.21·世纪*教育网
答案
三、解答题
10．每道选择题有4个选项，其中只有1 ( http: / / www.21cnjy.com )个选项是正确的．某次考试共12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是，若每题都选择第一个选项，则一定有3个题选择结果是正确的．”这句话对吗？2-1-c-n-j-y
解 这句话是错误的．
解答一个选择题作为一次试验，每次试验选择 ( http: / / www.21cnjy.com )的正确与否都是随机的，经过大量的试验，其结果呈随机性，即选择正确的概率是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的结果选择正确，同时也有可能都选错，亦或有2个题，4个题，甚至12个题都选择正确． 21*cnjy*com
11．现有一批产品共3件，其中2件正品1件次品．
(1)从中一次取出2件，求两件都是正品的概率；
(2)如果从中取出1件，然后放回，再任取1件，求两次取出的都是正品的概率．
解 (1)将2件正品分别记为正1、正2，则从 ( http: / / www.21cnjy.com )中一次取出2件，所有的基本事件有{正1，正2}，{正1，次}，{正2，次}，共3个，且所有这些基本事件都是等可能的．其中事件“两件都是正品”所包含的基本事件共有1个，所以事件“从中一次取出2件，两件都是正品”的概率为.【来源：21cnj*y.co*m】
(2)从中取出1件，放回后再取1件， ( http: / / www.21cnjy.com )所有的基本事件为(正1，正1)，(正1，正2)，(正1，次)，(正2，正1)，(正2，正2)，(正2，次)，(次，正1)，(次，正2)，(次，次)，共9个，且所有的这些基本事件都是等可能的．其中两次取出的都是正品的基本事件有4个，故事件“从中取出1件，然后放回，再任取1件，两次取出的都是正品”的概率为.【出处：21教育名师】
12．一个袋中有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率．【版权所有：21教育】
解 从袋中随机取两个球，其一切可能的结 ( http: / / www.21cnjy.com )果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，因此所求事件的概率为P＝＝.21教育名师原创作品
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13．在孟德尔豌豆杂交试验中，若用纯黄色 ( http: / / www.21cnjy.com )圆粒和纯绿色皱粒作为父本进行杂交，试求子二代结果中性状分别为黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒和绿色皱粒的比例约为多少？www-2-1-cnjy-com
解 记纯黄色圆粒为XXYY，纯绿色皱粒为xxyy，其中X，Y为显性，x，y为隐性，则杂交试验的子二代结果为
XY Xy xY xy
XY XXYY XXYy XxYY XxYy
Xy XXYy XXyy XxYy Xxyy
xY XxYY XxYy xxYY xxYy
xy XxYy Xxyy xxYy xxyy
∴黄色圆粒为XXYY(1个)，Xx ( http: / / www.21cnjy.com )YY(2个)，XXYy(2个)，XxYy(4个)，共9个；黄色皱粒为XXyy(1个)，Xxyy(2个)，共3个；
绿色圆粒：xxYY(1个)，xxYy(2个)，共3个；
绿色皱粒：xxyy共1个．
∴黄色圆粒、黄色皱粒、绿色圆粒、绿色皱粒的比例为
9:3:3:1.
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双基限时练(十九)
一、选择题
1．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样本，则个体甲被抽到的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 P＝＝.
答案 B
2．某质检部门对某种食品进行质检， ( http: / / www.21cnjy.com )决定从抽出的10件产品中任取一件进行检测，已知这10件产品中有8件优等品，2件不合格产品，则不合格产品被抽到的概率为( )21cnjy.com
A. B.
C. D.
解析 P＝＝.
答案 A
3．从3男1女4位同学中选派两位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 从4位同学中选派2位同学，共有6种不同的选法，其中两位都是男生的有3种情形，故选派的都是男生的概率P＝＝.
答案 D
4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是( )
A. B.
C. D．无法确定
解析 P＝＝.
答案 C
5．同时抛掷两颗骰子，则下列命题正确的是( )
A．“两颗点数都是5”的概率比“两颗点数都是6”的概率小
B．“两颗点数都是1”的概率最小
C．“两颗点数相同”的概率是
D．“两颗点数之和为6”的概率不大于“两颗点数相同”的概率
解析 抛掷两颗骰子，共有36种情形，其中两颗点数相同的情形共有6种，概率为P＝＝.
答案 C
6．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一个人的概率是( )21教育网
A. B.
C. D.
解析 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丁、丙二人中的一人，共有4种不同的情形，其中送给同一个人的情形有2种，其概率P＝＝.21·cn·jy·com
答案 A
二、填空题
7．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪子、布)，则平局的概率为________；甲赢的概率为________．21·世纪*教育网
解析 两人出拳共有9种情形，打成平局的情形共有3种，甲赢的情形也有三种，故甲、乙平局的概率为P1＝＝，甲赢的概率P2＝＝. 21*cnjy*com
答案
8．袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35，那么黑球共有________个．www-2-1-cnjy-com
解析 设红球、白球各有x个和y个，则
∴∴黑球的个数为100－40－35＝25.
答案 25
9．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m，n，则使不等式mx2－3n≥0在[1，＋∞)恒成立的概率为________．
解析 将一骰子抛掷两次，共36种不 ( http: / / www.21cnjy.com )同的情形，其中满足mx2－3n≥0即m－3n≥0恒成立的(m，n)有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(6,2)共5种情况，其概率为P＝.【来源：21cnj*y.co*m】
答案
三、解答题
10．用三种不同颜色给下图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
?(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不相同的概率．
答案 (1)P(A)＝＝
(2)P(B)＝＝
11．将一枚骰子连续掷两次分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，求点P落在直线x＋y＝5下方的概率．2-1-c-n-j-y
解 ∵当m＋n<5时，点(m ( http: / / www.21cnjy.com )，n)落在直线x＋y＝5的下方，又连续掷骰子两次，共有36种不同的情形，其中满足m＋n<5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共有6种不同的情形，其概率P＝＝.【出处：21教育名师】
12．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，试就方程组解答下列各题：www.21-cn-jy.com
(1)求方程组只有一个解的概率；
(2)求方程组只有正数解的概率．
解 基本事件(a，b)有6×6＝36个，由方程组可得
(1)方程组只有一个解，需满足2 ( http: / / www.21cnjy.com )a－b≠0，即b≠2a，而b＝2a的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3个，所以方程组只有一个解的概率为P1＝＝.21世纪教育网版权所有
(2)方程组只有正数解，需b－2a≠0，且
即或
其包含的事件有13个：(2,1)，( ( http: / / www.21cnjy.com )3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)．因此所求概率为.
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13．现有一批产品共有10件，其中8件正品，2次次品．
(1)如果从中取出1件，然后放回，再任取1件，求连续2次取出的都是正品的概率；
(2)如果从中一次取2件，求2件都是正品的概率．
解 (1)为有放回抽样问题，每次抽样 ( http: / / www.21cnjy.com )都有10种可能，连续取2次，所以等可能出现的结果为102种，设事件A为“两次有放回抽样，取出的都是正品”，2·1·c·n·j·y
则A包含的结果为82种．∴P(A)＝＝0.64.
(2)从中取第一次有10种结果，取 ( http: / / www.21cnjy.com )第二次有9种不同结果，所以从10件产品中一次取2件，所有等可能出现的结果是10×9＝90(种)．设B表示“一次抽2件都是正品”，则B包含的结果有8×7＝56(种)．∴P(B)＝＝.【来源：21·世纪·教育·网】
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双基限时练(二十二)
一、选择题
1．任取b∈[－2,3]，则直线y＝x＋b在y轴上的截距大于1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 当b∈(1,3]时截距大于1，∴P＝.
答案 B
2．在长为18 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A. B.
C. D.
解析 正方形的面积介于36与81之间，即边长介于6到9之间，故所求事件的概率为＝.
答案 D
3．如图，A是圆上一定点，在圆上其它位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )21教育网
A. B.
C. D.
解析 当∠A′OA≤60°时，AA′的长小于或等于半径，这样的区域对应的圆心角为120°，故概率P＝＝.www.21-cn-jy.com
答案 C
4.
为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是( ) 21*cnjy*com
A．12 B．9
C．8 D．6
解析 正方形的面积为36，阴影部分面积为×36＝9.
答案 B
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点，则该点落在四棱锥O－ABCD(O为正方体对角线的交点)内的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 P＝＝＝.
答案 C
6．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )
解析 A游戏盘的中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为＝，D游戏盘的中奖概率为＝，所以A游戏盘的中奖概率最大．【来源：21·世纪·教育·网】
答案 A
二、填空题
7．如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．
解析 C点在内，D、E为的三等分点时，事件发生．
答案
8. 在边长为2的正方形区域内，有一块阴影 ( http: / / www.21cnjy.com )区域(如图)，若阴影部分的面积为，在正方形中随机扔一粒豆子，则它落在阴影区域内的概率为________．2-1-c-n-j-y
解析 由P＝＝.
答案
9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒， ( http: / / www.21cnjy.com )黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的灯的概率各是①红灯：________，②黄灯：________；③不是红灯：________.www-2-1-cnjy-com
解析 P1＝＝＝，P2＝＝，P3＝＝.
答案
三、解答题
10．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，求使f(x0)≥0的概率．
解 欲使f(x)＝log2x≥0，则x≥1，而x0∈，所以x0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P＝＝.21cnjy.com
11．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取一点M，试求点M到底面的距离小于的概率．
解
首先作出到底面距离为的截面．如图，取 ( http: / / www.21cnjy.com )SA，SB，SC的中点分别为A′，B′，C′，则当M位于面ABC与面A′B′C′之间时，点M到底面的距离小于.设△ABC的面积为S，则△A′B′C′的面积为.21世纪教育网版权所有
由题意知D的体积为Sh，d的体积为Sh－··＝Sh·，
所以，点M到底面的距离小于的概率P＝＝.
12．如图所示，在墙上挂 ( http: / / www.21cnjy.com )着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm、4 cm、6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖．设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：21·cn·jy·com
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
解 记A＝{投镖投中大圆内}，
B＝{投镖投中小圆与中圆形成的圆环}，
C＝{投镖投中大圆之外}．
S正方形＝162＝256，S大圆＝π×62＝36π，
S中圆＝π×42＝16π，S小圆＝π×22＝4π.
(1)P(A)＝＝＝π；
(2)P(B)＝＝＝＝π；
(3)P(C)＝＝＝1－π.
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13．两人约定在20：00到21：00 ( http: / / www.21cnjy.com )之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00至21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率．2·1·c·n·j·y
解 设两人分别于x时和y时到 ( http: / / www.21cnjy.com )达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－≤x－y≤.两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：P＝＝＝.21·世纪*教育网
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双基限时练(二十)
一、选择题
1．从一批产品中取出三件，设A表 ( http: / / www.21cnjy.com )示“三件产品全不是次品”，B表示“三件产品全是次品”，C表示“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )2-1-c-n-j-y
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任两个均互斥 D．任两个均不互斥
答案 B
2．从1,2,3,4，…，9中任取两数，其中：
①恰有一个偶数与至少有一个奇数；②至少有一个奇数与两个都是偶数；③至少有一个奇数与至少有一个是偶数；④恰有一个是偶数与恰有一个是奇数．21cnjy.com
上述事件中，是互斥事件的是( )
A．①④ B．②
C．②③ D．②④
解析 根据互斥事件的概念可知只有②中的两个事件互斥．
答案 B
3．根据医学研究所的调查 ( http: / / www.21cnjy.com )，某地区居民血型分布为：O型50%、A型15%、B型30%、AB型5%，现有一血液为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么此人能为病人输血的概率为(说明：能为A型血的人输血的血型为A型和O型)( ) 21*cnjy*com
A．20% B．35%
C．45% D．65%
解析 P＝50%＋15%＝65%.
答案 D
4．某超市准备在店庆期间举行促 ( http: / / www.21cnjy.com )销活动，根据市场调查，该超市决定从2种家电、3件日用商品、2件服装商品中任取一种，则选出的商品是家电或服装的概率为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A. B.
C. D.
解析 P＝＋＝.
答案 C
5．某商场举行抽奖活动，从装有 ( http: / / www.21cnjy.com )编号为0,1,2,3的四个小球的抽奖箱中，每次取一个，取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码之和为5中一等奖，等于4中二等奖，则中奖的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 四个小球有放回地取2个共有1 ( http: / / www.21cnjy.com )6种不同的情形，其中两个小球号码之和为5的有两种情形(2,3)，(3,2)，两个小球号码之和为4共有3种情形(1,3)，(2,2)，(3,1)，所以P＝＋＝.
答案 D
6．从1,2,3，…，9这九个数字中，随机抽取一个数，则这个数是3的倍数或5的倍数的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 取到的数是3的倍数的概率P1＝＝，取到的数是5的倍数的概率为P2＝，所以取到的数是3的倍数或5的倍数的概率P＝P1＋P2＝.21世纪教育网版权所有
答案 C
二、填空题
7．环靶由中心圆Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、圆环 ( http: / / www.21cnjy.com )Ⅲ构成，某射手命中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，那么射手一次命中环靶的概率为________．2·1·c·n·j·y
答案 0.90
8．若A、B为互斥事件，P(A)＝0.3，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________.
解析 由P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(B)＝0.7－0.3＝0.4.
答案 0.4
9．某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请6名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示
版本 人教A版 人教B版 北师大版
人数 3 1 2
从这6名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是________．
解析 从6名中选出2人，共有15 ( http: / / www.21cnjy.com )种不同的选法，记其中选出的两名均为人教A版的教师为事件A，均为北师大版的教师为事件B，显然A、B互斥，又P(A)＝，P(B)＝，所以2人使用相同版本的概率P＝P(A)＋P(B)＝＋＝.【来源：21·世纪·教育·网】
答案
三、解答题
10．经统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求至多2人排队等候的概率．
解 至多2人排队包括三种情形0人排队， ( http: / / www.21cnjy.com )1人排队，2人排队，这三个事件又是彼此互斥的，所以至多2人排队等候的概率P＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.21·cn·jy·com
11．袋中有12个小球，分别为红球、黄球 ( http: / / www.21cnjy.com )、绿球、黑球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球和绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？21·世纪*教育网
解 设取到黑球、黄球、绿球的概率分别为x，y，z，由题意得
解得
所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，.
12．抛掷一枚均匀的骰子(它 ( http: / / www.21cnjy.com )的每一面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A＋B)．21教育网
解 A＋B这一事件包括4种结果，即出现1,2,3和5，所以P(A＋B)＝＋＝.
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13．一盒中装有12个球，其中5个红球、4个黑球、2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出的球是红球或黑球的概率；
(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率．
解 解法1：(利用互斥事件求概率)
记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}．www.21-cn-jy.com
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，
根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝；
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
解法2：(利用对立事件求概率)
(1)由解法1知，取出1 ( http: / / www.21cnjy.com )球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为www-2-1-cnjy-com
P(A1＋A2)＝1－P(A3＋P4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.
(2)因为A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以
P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
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双基限时练(十八)
一、选择题
1．下列对古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有 ( http: / / www.21cnjy.com )限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.
A．②④ B．①③④
C．①④ D．③④
解析 据古典概型的知识可知答案为B项．
答案 B
2．从甲、乙、丙三人中任选两人作为世博会的志愿者，甲被选中的概率是( )
A. B.
C. D．1
解析 从甲、乙、丙三人中任选两个，共有3种情形，其中甲被选中有2种情形，故甲被选中的概率为P＝.
答案 C
3．连续抛掷3枚质地均匀的硬币，其中“恰有两枚正面向上”的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 抛掷3枚硬币，共出现8种不同的情 ( http: / / www.21cnjy.com )形：(正正正)，(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反反正)，(反正反)，(反反反)，其中恰有两枚正面向上的情形有3种：(正正反)，(正反正)，(反正正)，故其概率P＝.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 C
4．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 从1,2,3,4, ( http: / / www.21cnjy.com )5中任取两个不同的数构成两位数，共有5×4＝20个，其中两位数大于40的有8个，则两位数大于40的概率为P＝＝.www-2-1-cnjy-com
答案 A
5．设有关于x的一元二次方程x2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2ax＋b2＝0，若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率是( )【出处：21教育名师】
A. B.
C. D.
解析 a，b取值共有情形12种，其中保证4a2－4b2≥0的有
共有9种，∴上述方程有实根的概率为P＝＝.
答案 B
6．古代“五行”学说认为 ( http: / / www.21cnjy.com )：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 从五种不同属性的物质中随机抽 ( http: / / www.21cnjy.com )取两种，出现的情况有：(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)共10种等可能情况，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.故应选C项．
答案 C
二、填空题
7．现有5根竹竿，它们的长度(单 ( http: / / www.21cnjy.com )位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．21世纪教育网版权所有
解析 从5个竹竿中一次抽取2个，共 ( http: / / www.21cnjy.com )有10种情形，满足长度恰好相差0.3m的有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)两种情形，故长度恰好相差0.3m的概率为＝.21教育网
答案
8．一个口袋中装有大小相同 ( http: / / www.21cnjy.com )的不同标号的5个球，其中3个白球2个红球．从中摸出两个球，共有基本事件________个．从中摸出2个球都是白球的概率为________．www.21-cn-jy.com
答案 10
9．将一个体积为27 cm3的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1 cm3的小正方体，从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率为________．2·1·c·n·j·y
解析 将正方体锯开共有27个小正方体，其中两面涂色的有12块，故从中任取一块，这一块恰有两面涂有蓝色的概率为P＝＝.
答案
三、解答题
10．袋中装有6个小球，其中4个白球2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
解 设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红 ( http: / / www.21cnjy.com )球的编号为5,6，从袋中的6个球中取两个的结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共有15个．21cnjy.com
(1)从袋中任取两个都是白球的情形有 ( http: / / www.21cnjy.com )(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，故取出的2个小球都是白球的概率为P(A)＝＝.21·世纪*教育网
(2)从袋中的6个球中任 ( http: / / www.21cnjy.com )取2个一个是白球，另一个是红球的情形有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，共8种，故取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率P(B)＝.
11．山东鲁能、上海申花 ( http: / / www.21cnjy.com )、天津泰达与杭州绿城四家中国足球俱乐部参加了2011年赛季亚洲足球俱乐部冠军联赛．为了打出中国足球的精神面貌，足协想派两名教练深入俱乐部，且两名教练不能到同一家俱乐部，求山东鲁能被增派教练的概率．21·cn·jy·com
解 从四个足球俱乐部中选两个，每个俱 ( http: / / www.21cnjy.com )乐部增派一名教练共有12种不同的情形，其中山东鲁能被增派教练的情形有6种，故山东鲁能被增派教练的概率P＝＝.【版权所有：21教育】
12．每次抛掷一枚骰子．
(1)连续抛掷两次，求向上的数不同的概率；
(2)连续抛掷两次，求向上的数之和为6的概率．
解 (1)连续抛掷两次骰子，共有36种不同的结果，其中向上的数不同的有6×5种，故向上的数不同的概率P1＝＝.
(2)连续抛掷两次骰子，共有36种不同 ( http: / / www.21cnjy.com )的结果，其中向上的数之和为6的有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种情形，故向上的点数之和为6的概率P2＝.2-1-c-n-j-y
思 维 探 究
13．设集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，P Q，若b，c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}． 21*cnjy*com
(1)求b＝c的概率；
(2)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
解 (1)因为P Q，当b＝2时，c＝3 ( http: / / www.21cnjy.com ),4,5,6,7,8,9；当b>2时，b＝c＝3,4,5,6,7,8,9，基本事件总数为14.其中b＝c的事件数为7种，所以b＝c的概率为：＝.【来源：21cnj*y.co*m】
(2)记“方程有实根”为事件A，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b＝c＝4,5,6,7,8,9共6种．所以P(A)＝＝.
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双基限时练(二十一)
一、选择题
1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
答案 C
2．若P(A＋B)＝1，则互斥事件A与B的关系是( )
A．A与B之间没有关系
B．A与B是对立事件
C．A、B不是对立事件
D．以上都不对
解析 ∵A与B为互斥事件，∴P(A∪B)＝1可化为P(A)＋P(B)＝1，∴A与B是对立事件．
答案 B
3．从某班学生中任取1人，若该同学的身高 ( http: / / www.21cnjy.com )小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,170]的概率为0.4，则该同学的身高超过170 cm的概率为( )21世纪教育网版权所有
A．0.6 B．0.8
C．0.4 D．0.2
解析 P＝1－0.2－0.4＝0.4.
答案 C
4．从一批羽毛球产品中任取一个， ( http: / / www.21cnjy.com )如果其质量小于4.8g的概率为0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )21cnjy.com
A．0.62 B．0.38
C．0.7 D．0.68
解析 质量在[4.8,4.85)的概率P＝1－0.3－0.32
＝0.38.
答案 B
5．在5张卡片上分别写着数字1,2,3,4,5，然后把它们混合，再任意排成一行，则得到的五位数不能被5整除的概率是( )
A．0.8 B．0.6
C．0.4 D．0.2
解析 末位数字是5的5位数能被5整除，其概率为，故末位数不能被5整除的概率P＝1－＝＝0.8.21·cn·jy·com
答案 A
6．从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 从5个球中任取3个球全是红球的概率P＝，则至少有一个白球的概率P＝1－＝.
答案 D
二、填空题
7．口袋内装有一些大小相同 ( http: / / www.21cnjy.com )的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．www.21-cn-jy.com
解析 P＝1－0.42－0.28＝0.3.
答案 0.3
8．袋中有大小、形状相同的红、黑球各 ( http: / / www.21cnjy.com )1个，现在有放回地随机摸取3次，每次摸取1个球，若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则这3次摸球所得总分小于5分的概率为________．
解析 3次摸球所得总分等于5分的概率P1＝，所得总分等于6分的概率P2＝，故所得总分低于5分的概率P＝1－P1－P2＝.
答案
9．有10个大小相同的球，上面标有1,2,3，…，10，现任取两个球，则两个球序号不相邻的概率为________．21教育网
解析 两球序号相邻的概率为P1＝＝，故两个球序号不相邻的概率为P＝1－P1＝1－＝.
答案
三、解答题
10．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)不够7环的概率．
解 (1)记“射中10环”为 ( http: / / www.21cnjy.com )事件A，记“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.2·1·c·n·j·y
(2)记“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)可知“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥事件，∴P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而不够7环的概率P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
11．从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛．
求：(1)所选2人都是男生的概率；
(2)所选2人恰有一名女生的概率；
(3)所选2人至少有一名女生的概率．
解 从6人中选2人参加演讲比 ( http: / / www.21cnjy.com )赛，共有15种情形．其中2名都是男生的有6种情形，恰有一名女生的有8种情形，设从6人中选2人都是男生为事件A，恰有一女生为事件B.【来源：21·世纪·教育·网】
由题意得(1)P(A)＝＝，
(2)P(B)＝，
(3)解法1：至少有一名女生包含两种情形：“有一名女生，一名男生”“两名女生”，记事件C为有两名女生，显然B、C互斥．
∴P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝＝.
解法2：∵至少有一名女生与2名都是男生为对立事件．
设至少有一名女生为事件D，则P(D)＝1－P(A)＝1－＝.
12．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球．球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取得的球的编号之和不大于4的概率．
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中搅匀然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共计6个．21·世纪*教育网
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．所以所求的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一球．记下 ( http: / / www.21cnjy.com )编号m放回搅匀后，再从袋中随机取一个球．记下编号n，其一切可能结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共计16个．www-2-1-cnjy-com
又满足条件n≥m＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共计3个，
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，
故满足条件n思 维 探 究
13．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，
现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解 (1)设“该队员中属于一支球队”为事件A，则事件A的概率为P(A)＝＝.
(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B，则事件B的概率为P(B)＝1－＝.
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双基限时练(十六)
一、选择题
1．下列事件是随机事件的是( )
A．若a、b、c都是实数，则a·(b·c)＝(a·b)·c
B．没有空气和水，人也可以生存下去
C．掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾
解析 由随机事件的概念，可知C项正确．
答案 C
2．同时掷两颗大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 由x＋y<5，可知事件A有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个．21教育网
答案 D
3．先后抛掷均匀的伍角和一元硬币各一枚，观察硬币正反面情况，下列事件中包含两个基本事件的是( )
A．“至少有一枚硬币正面朝上”
B．“至多有一枚硬币正面朝上”
C．“两枚正面都朝上”
D．一枚正面朝上，一枚反面朝上
解析 抛掷两枚硬币共有情形4种：正正，正 ( http: / / www.21cnjy.com )反，反正，反反，A项中有三种情形：正反，反正，正正；B项中也有三种情形：反反，正反，反正；C项中只有一种情形：正正．只有D项中有两种情形：正反，反正．21cnjy.com
答案 D
4．在10件同类产品中，有8件正品，2件次品，从中任意抽出了3件的不可能事件是( )
A．3件都是次品 B．至少有一件是次品
C．3件都是正品 D．至少有一件正品
解析 因为产品中只有2件次品，从中任取2件不可能取出3件次品．
答案 A
5．某人抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续抛掷1000次，那么第999次抛掷时出现正面朝上的概率是( )21·cn·jy·com
A. B.
C. D.
解析 第999次抛掷硬币时共有两种可能：正面朝上，反面朝上，所以正面朝上的概率为.
答案 A
6．下列事件：①物体在重力作用下会自由下落 ( http: / / www.21cnjy.com )；②方程x2－2x＋3＝0有两个不相等的实数根；③下周日会下雨；④某寻呼台每天某一时段内收到传呼的次数少于9次．其中随机事件的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ①为必然事件；②为不可能事件；③④为随机事件．
答案 B
二、填空题
7．下面事件：①对于a、b是实数，那么ab ( http: / / www.21cnjy.com )＝ba；②若y＝f(x)是奇函数，则f(0)＝0；③若x>2，则loga(x－1)>0；④对顶角不相等．其中必然事件是________．www.21-cn-jy.com
解析 对于②，若奇函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)只有当x＝0有定义时，则f(0)＝0；对于③，当x>2时，若a>1时，才有loga(x－1)>0；若0答案 ①
8．下列说法：①频率反映的是事件发生的 ( http: / / www.21cnjy.com )频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法是________．2·1·c·n·j·y
解析 由概率与频率的关系，可知①④⑤正确．
答案 ①④⑤
9．从1,2,3,5中任取2个不同 ( http: / / www.21cnjy.com )数字作为直线Ax＋By＝0中的A、B，则这个试验的基本事件数为________个；其中“这条直线的斜率大于－1”这一事件包含的基本事件数为________个．
解析 从1,2,3,5中任取2个不 ( http: / / www.21cnjy.com )同数字作为A、B的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)共有12个．【来源：21·世纪·教育·网】
其中斜率大于－1的有(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,5)共6个．
答案 12 6
三、解答题
10．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的所有基本事件；
(2)设A为“取出的两件产品中恰有一件正品”，写出集合A.
解 (1)(a1，a1)，(a1，a2)，( ( http: / / www.21cnjy.com )a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)．21·世纪*教育网
(2)A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
11．在掷一次硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，求“正面朝下”的次数．
解 ∵“正面朝上”的频率为0.49，
∴“正面朝上”的次数为0.49×100＝49.
∴“正面朝下”的次数为100－49＝51.
12．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径 个数
6.88从这100个螺母中，任意抽 ( http: / / www.21cnjy.com )取一个，求事件A(6.926.96)、事件D(d≤6.89)的频率．
解 事件A发生的频率为＝0.43；
事件B发生的频率为＝0.93；
事件C发生的频率为＝0.04；
事件D发生的频率为＝0.01.
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13．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：21世纪教育网版权所有
分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，＋∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．
解 (1)频率依次是：
0．048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中灯管使用寿命不足1500小时的频率是＝0.6，
所以灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6.
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