本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十五) 向量的加法
一、选择题
1．下列结论中，正确的是( )
A．0＋0＝0
B．对于任意向量a，b，则a＋b＝b＋a
C．对于任意a，b，则|a＋b|>0
D．若a∥b，且|a|＝1001，|b|＝1010，则|a＋b|＝2011
解析 A显然不正确；对于 ( http: / / www.21cnjy.com )C，当a＝b＝0时，a与b为相反向量，|a＋b|＝0，故C不正确；对于D，当a与b方向相反时，|a＋b|＝9，故D不正确．21世纪教育网版权所有
答案 B
2．已知P是线段AB的中点，＝，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析 ∵＝，∴＋＝＋＝.
答案 D
3．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A. B.
C. D.
解析 ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝.
答案 C
4．已知四边形ABCD为平行四边形，则下列等式成立的是( )
A. ＋＝ B. ＋＝
C. ＋＝ D. ＋＝
解析 由平行四边形法则可知＋＝＝
答案 B
5．下列命题：
①如果非零向量a与b的方向相同或相反， ( http: / / www.21cnjy.com )那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②△ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．21教育网
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 对于①中若a＝－b，则a＋b＝0 ( http: / / www.21cnjy.com )，0的方向是任意的；对于③若＋＋＝0，则A，B，C可能在一条直线上，故③不正确；∵|a＋b|≤|a|＋|b|，故④不正确；②显然正确，故正确的只有②，答案为B.21cnjy.com
答案 B
6．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0
B.＋＝0
C.＋＝0
D.＋＋＝0
解析 ＋＝2＝＋，由平行四边形法则，知点P是AC的中点，故选项C成立．
答案 C
7．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A. 0 B.
C. D.
解析 ∵正六边形ABCDEF，∴＝，＝
故＋＋＝＋＋
＝＋＝＋＝.
答案 D
二、填空题
8．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.21·cn·jy·com
其中正确的是________．
解析 ∵a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，∴a∥b，a＋b＝b，|a＋b|＝|a|＋|b|.故①③⑤正确．www.21-cn-jy.com
答案 ①③⑤
9．当非零向量a，b(a，b不共线)满足________时，能使a＋b平分a与b的夹角．
解析 菱形、正方形的对角线平分四边形的夹角．
答案 |a|＝|b|
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，则＋＋＋与的关系为__________．2·1·c·n·j·y
解析 ∵＋＝，＋＝，
故原式＝＋＝.
答案 ＋＋＋＝
三、解答题
11．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a＋b；
(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.
解 (1)如图，作向量＝a，＝b，则即为a＋b.
(2)如图，作向量＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则即为所求向量．
12．化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)(＋)＋＋；
(3)＋＋＋.
解析 (1)＋＋＝0；
(2)(＋)＋＋＝＋＋＋＝；
(3)＋＋＋＝＋＋＋＝.
13．已知＝a，＝b，|a|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解 ∵||＝||∴以OA，OB为邻边 ( http: / / www.21cnjy.com )作的平行四边形OACB为菱形，且＝a＋b，又∠AOB＝60°，∴|a＋b|＝2||·sin60°＝3.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十七) 数乘向量
一、选择题
1．已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有( )
①a＝5e1，b＝7e1；②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析 ①中a与b显然共线；②中，因为b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )3e1－2e2＝6(e1－e2)＝6a，故a与b共线；而③设b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)无解，故a与b不共线，故共线的有①②，故选A.21教育网
答案 A
2．下列计算正确的个数是( )
①(－2)(3a)＝－6a；②(a＋3b)＋(－a－3b)＝0；
③2(a＋b)－3(b－2a)＝8a－b.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ②中，(a＋3b)＋(－a－3b)＝0，故②不正确，①③均对．
答案 C
3．△ABC中，点D是BC边的中点，设＝a，＝b，用a，b表示为( )
A. a＋b B. a＋b
C. a＋b D. a＋b
解析 方法一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选D.
方法二：以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，则点D是平行四边形对角线的中点，所以＝＝a＋b，故选D.
答案 D
4．线段AB的中点为C，若＝λ，则λ的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D.或2
解析 ∵＝，∴＝＋＝2＝－2.
答案 B
5．设e1，e2是两个不共线的向量，则a＝e1＋λe2(λ∈R)与向量b＝－(e2－2e1)共线的条件是( )21cnjy.com
A．λ＝0 B．λ＝－1
C．λ＝－2 D．λ＝－
解析 由题可知，b＝－e2＋2e1＝k(e1＋λe2)，得λ＝－.
答案 D
6．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于( )
A．a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
解析 ＝a＋＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b，故选B.
答案 B
7．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )21·cn·jy·com
A．3 B．－3
C．0 D．2
解析 由平面向量基本定理，得，∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3.
答案 A
二、填空题
8．已知2(x－a)－(b＋c＋3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则x＝________.www.21-cn-jy.com
解析 由已知得：x－a－b－＋b＝0，
得x＝a－＋，
得x＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
9．设＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则共线的三点是__________．
解析 ＝＋＝a＋5b，∴＝，
即A，B，D三点共线．
答案 A，B，D
10．已知O是△ABC内一点，＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
解析 如图，在△ABC中，设D为AC的中点，四边形OCEA为平行四边形，
∴＋＝.
且△ADE≌△CDO，
∴S△AOC＝S△AOE.
又＋＝－3，即＝－3，
∴＝＝＝.
答案
三、解答题
11．化简下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
解 本题可利用结合律和分配律进行化简．
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)
＝6a－3b－8a＋6b
＝－2a＋3b.
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b
＝a＋b－a＋b－b
＝a＋b
＝－a.
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)
＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c
＝(6－6)a＋(－8－3)b＋(2＋9)c
＝－11b＋11c
＝11(c－b)．
12．已知向量m，n是不共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn.
(1)判断a，b是否平行；
(2)若a∥c，求x的值．
解 (1)若a∥b，则b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，
∴ λ不存在，
∴a与b不平行．
(2)∵a∥c，
∴c＝ra.
∴m＋xn＝r(3m＋2n)．
即
所以x＝.
13．已知两个非零向量a、b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.
(1)证明：A、B、C三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
解 (1)由于＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b，则＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b.
而＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
于是＝2，即与共线．
又AC与AB有公共点A，所以A、B、C三点共线．
(2)由于a、b为非零向量且不共线，所以a＋kb≠0.
若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，整理得(k－λ)a＝(λk－1)b.
因此
解得或
即存在实数λ＝1，使ka＋b与a＋kb共线， ( http: / / www.21cnjy.com )此时k＝1；或存在实数λ＝－1，使ka＋b与a＋kb共线，此时k＝－1，因此k＝±1都满足题意．21世纪教育网版权所有
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十九) 平面向量的坐标表示及线性运算的坐标表示
一、选择题
1．下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析 只有B选项中的两个向量不平行，可作为基底．
答案 B
2．下列各式正确的是( )
A．若a＝(－2,4)，b＝(5,2)，则a＋b＝(3,6)
B．若a＝(5,2)，b＝(2,4)，则a－b＝(－3，－2)
C．若a＝(1,0)，b＝(0,1)，则a＋b＝(1,0)
D．若a＝(1,1)，b＝(1,2)，则2a＋3b＝(4,8)
解析 当a＝(－2,4)，b＝(5,2)时，a＋b＝(－2＋5，4＋2)＝(3,6)．
答案 A
3．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
解析 a－b＝(，)－(，－)＝(－1,2)．
答案 D
4．已知A(x,2)，B(5，y－2)，若＝(4,6)，则x，y的值分别为( )
A．x＝－1，y＝0 B．x＝1，y＝10
C．x＝1，y＝－10 D．x＝－1，y＝－10
解析 由题意得＝(5－x，y－4)＝(4,6)，
∴得
答案 B
5．已知直线上有三点P1，P2，P，其中P1(2，－1)，P2(－1,3)，且＝，则点P的坐标为( )21教育网
A. B.
C. D.
解析 设P(x，y)，由＝，知
得
答案 B
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k，l的值( )21世纪教育网版权所有
A. －2,3 B. －2，－3
C. 2，－3 D. 2,3
解析 由c＝ka＋lb，知(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)＝(k＋3l,2k＋l)，
∴∴
答案 D
7．已知a＝，B(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，则A的坐标为( )21cnjy.com
A. (8，－10) B. (6，－7)
C. (－7,10) D. (－6,8)
解析 因为b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，所以a＝3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－7,10)，即＝(－7,10)．21·cn·jy·com
又因为B(1,0)，设A(x，y)，
则＝(1－x，－y)＝(－7,10)，
所以解得
即A(8，－10)．
答案 A
二、填空题
8．已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则a＋b＝________，2a－3b＝________.www.21-cn-jy.com
解析 a＋b＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)．
2a－3b＝2(2,1)－3(－3,4)＝(4,2)－(－9,12)＝(13，－10)．
答案 (－1,5) (13，－10)
9．已知a＝(3，－1)，b＝(1,2 ( http: / / www.21cnjy.com ))，求满足条件的x，y，使x＋a＝(2,5)，b－y＝(－1，－3)，则x＝________，y＝________.
解析 由x＋a＝(2,5)，得x＝(－1,6)，
由b－y＝(－1，－3)，得y＝(2,5)．
答案 (－1,6) (2,5)
10．在 ABCD中，A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则D点的坐标为________．2·1·c·n·j·y
解析 ∵ABCD为平行四边形，设D(x，y)，
∴＝，
∴(4,1)＝(5－x,6－y)
∴得
答案 (1,5)
三、解答题
11．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝，|b|＝2，|c|＝4，分别求出a，b，c的坐标．【来源：21·世纪·教育·网】
解 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，
则x1＝|a|·cos45°＝×＝1，y1＝|a|·sin45°＝1，
∴a＝(1,1)．
x2＝|b|·cos150°＝2×(－)＝－，
y2＝|b|·sin150°＝2×＝1，∴b＝(－，1)．
x3＝|c|·cos(－60°)＝4×＝2，
y3＝|c|·sin(－60°)＝－×4＝－2.
∴c＝(2，－2)．
12．已知A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C、D和的坐标．
解 设C(x，y)，D(a，b). ( http: / / www.21cnjy.com )＝(3,6)，＝＝(1,2)．又＝(x＋1，y－2)＝(1,2)，所以解得所以C(0,4)．
因为＝－＝＝(1,2)，又＝(－1－a,2－b)＝(1,2)，所以解得
所以D(－2,0)．
所以＝(－2,0)－(0,4)＝(－2，－4)．
13．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ，
(1)试求λ的值，使点P在一、三象限的角平分线上；
(2)试求λ的值，使点P在第三象限内．
解 设P(x，y)，由＝＋λ，
得(x－2，y－3)＝(3,1)＋λ(5,7)，
∴∴
(1)∵P在一、三象限角平分线上，∴x＝y得λ＝.
(2)由P在第三象限内，∴得λ<－1.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(二十二) 平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析 ∵a－b＝，∴(a－b)·b＝＝－＝0，故(a－b)⊥b.
答案 C
2．已知a＝(4,3)，向量b是垂直于a的单位向量，则b等于( )
A.或
B.或
C.或
D.或
解析 设b＝(x，y)，则x2＋y2＝1，且4x＋3y＝0，
解得或故选D.
答案 D
3．直线y＝2与直线x＋y－2＝0的夹角是( )
A. B.
C. D.
解析 任取直线y＝2的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )方向向量(1,0)，直线x＋y－2＝0的方向向量为(1，－1)，设两直线的夹角为θ，则cosθ＝＝，又θ∈，所以θ＝.21世纪教育网版权所有
答案 A
4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A. B．2
C．4 D．12
解析 由已知|a|＝2，∵|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12.www.21-cn-jy.com
∴|a＋2b|＝2.
答案 B
5．已知向量a＝(－2，－1)，a·b＝10，|a－b|＝，则|b|＝( )
A．2 B．2
C．20 D．40
解析 设b＝(x，y)，由a＝(－2 ( http: / / www.21cnjy.com )，－1)，a·b＝10，可得－2x－y＝10.①a－b＝(－2－x，－1－y)，所以|a－b|＝＝.② 由①②可得x＝－4，y＝－2，所以b＝(－4，－2)，|b|＝＝2.2·1·c·n·j·y
答案 A
6．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，则n·＝( )
A．－2 B．2
C．－2或2 D．0
解析 ∵＋＝，∴n·(＋)＝n·，
即n·＋n·＝n·.
∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
答案 B
7．a＝(0,1)，b＝(1,1)，且(a＋λb)⊥a，则λ＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析 (a＋λb)·a＝0，a2＋λa·b＝0，λ＝－＝－＝－1.
答案 A
二、填空题
8．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影为________．
解析 由题意得a·b＝|a||b|cos?a，b?＝13，∴|a|·cos?a，b?＝＝.
答案
9．平面向量a，b中，已知a＝(4,3)，|b|＝1，且a·b＝5，则b＝________.
解析 设b＝(x，y)，由题意得得
答案
10．已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，a和c的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．21教育网
解析 ∵c＝a＋λb＝(1＋λ，3＋λ)，
由(a＋λb)·a＝1＋λ＋3(3＋λ)>0，得λ>－，
当a＋λb＝ka(k>0)时，得λ＝0，
故λ的取值范围是λ>－且λ≠0.
答案 ∪(0，＋∞)
三、解答题
11．已知a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a与b共线，求|a－b|.
解 (1)由a⊥b，得(2x＋3)－x2＝0，得
x2－2x－3＝0，得x＝－1，或x＝3.
(2)由a∥b，得－x＝x(2x＋3)，
2x2＋4x＝0得x＝0，或x＝－2，
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，|a－b|＝2，
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝＝＝2.
12．已知点A(1,2)，B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°，若能，请求出点C的坐标；若不能，请说明理由．
解 假设在y轴上存在点C(0，y)，使∠ACB＝90°.
由A(1,2)，B(4，－1)，得＝(－1，y－2)，＝(－4，y＋1)．
又由⊥，得·＝0，即(－1)×( ( http: / / www.21cnjy.com )－4)＋(y－2)×(y＋1)＝0，即y2－y＋2＝0.∵Δ＝(－1)2－4×2＝－7<0，∴此方程无解．故在y轴上不存在点C，使∠ACB＝90°.21cnjy.com
13．已知平面xOy内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点X为直线OP上的一个动点．21·cn·jy·com
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点X满足(1)的条件时，求cos∠AXB的值．
解 (1)设＝(x，y)，
∵点X在直线OP上，
∴向量，共线，
又＝(2,1)，可以求得x＝2y.
∴·＝(－)·(－)
＝(1－2y,7－y)·(5－2y,1－y)
＝5y2－20y＋12
＝5(y－2)2－8.
∴当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1，－1)，
∴||＝，||＝.
∴cos∠AXB＝＝－.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(二十) 向量平行的坐标表示
一、选择题
1．已知a＝(－1,2)，b＝(2，y)，若a∥b，则y的值是( )
A．1 B．－1
C．4 D．－4
解析 由a∥b，得(－1)·y＝2·2＝4，∴y＝－4，故选D.
答案 D
2．已知A(k,12)，B(4,5)，C(10，k)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为( )
A. 11 B. －2
C. 11或－2 D. 2或－11
解析 ∵A，B，C三点共线，＝λ，∴(4－k，－7)＝λ(6，k－5)，得k＝11，或k＝－2.2·1·c·n·j·y
答案 C
3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b，(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )21教育网
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析 d＝a－b＝(1，－1)，c ( http: / / www.21cnjy.com )＝ka＋b＝(k,1)，∵c∥d，∴1×1－(－1)×k＝0，得k＝－1，当k＝－1时，c＝(－1,1)＝－d，∴c与d反向．
答案 D
4．已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析 ∵a∥b，∴m＝－4，故b＝(－2，－4)，2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．21·世纪*教育网
答案 B
5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥，则x＋2y的值为( )
A．0 B．2
C. D．－2
解析 ＝－(＋＋)＝－(4＋x，－2＋y)，由∥，得(－4－x)y－(2－y)x＝0，即x＋2y＝0，故选A.21·cn·jy·com
答案 A
6．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，且(2a－b)∥(a－λb)，λ∈R，则λ的值为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. B．－
C．2 D．－2
解析 2a－b＝2(3，－ ( http: / / www.21cnjy.com )1)－(1，－2)＝(6，－2)－(1，－2)＝(5,0)，a－λb＝(3，－1)－λ(1，－2)＝(3－λ，－1＋2λ)，∵(2a－b)∥(a－λb)，∴5·(－1＋2λ)－(3－λ)·0＝0，∴λ＝.www-2-1-cnjy-com
答案 A
7．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )
A. － B.
C. －或 D. 0
解析 由a∥b知1×2－m2＝0，即m＝或－.
答案 C
二、填空题
8．若a＝(1＋2λ，2－3λ)与b＝(4,1)共线，则λ＝________.
答案
9．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.21cnjy.com
解析 由＝，解得k＝5.
答案 5
10．在平面直角坐标系中，四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．
解析 设D(x，y)，∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．∴＝.
又＝(8,8)，＝(8－x,6－y)，
∴得
∴D(0，－2)．
答案 (0，－2)
三、解答题
11．若向量a＝(2，－1)，b＝(x,2)，c＝(－3，y)，且a∥b∥c，求x，y的值．
解 直接利用向量共线的条件加以解决．
解法一：∵a∥b∥c，∴b＝λ1a，c＝λ2a.
则有解得
解法二：∵a∥b，∴4＋x＝0，∴x＝－4.
又∵a∥c，∴2y－3＝0，∴y＝.
12．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．21世纪教育网版权所有
证明 由已知，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．
又＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)．
∵3×(－1)－3×2≠0，∴与不共线．
∴AB∥CD，AB∥|AD.
又||＝3，||＝2，∴||≠||，即AB≠CD.
∵＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，＝(－1,2)，∴||＝＝||.
故四边形ABCD是等腰梯形．
13．已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))，若A，B，C不能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解 ∵＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))，若点A，B，C不能构成三角形，则这三点共线，www.21-cn-jy.com
∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)＝2－m，得m＝.
∴当m＝时，A，B，C不能构成三角形．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十八) 平面向量基本定理
一、选择题
1．设e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2与e1－e2 B．2e1－3e2与4e1－6e2
C．e1＋2e2与2e1＋e2 D．e1＋e2与e2
解析 ∵4e1－6e2＝2(2e1－3e2)，∴2e1－3e2与4e1－6e2共线，即不能作为基底．21教育网
答案 B
2．在梯形ABCD中，AB∥CD，且＝3，若＝a，＝b，则等于( )
A．3a＋b B．a＋3b
C.a＋b D．a＋b
解析 ＝＋＝＋＝b＋a.
答案 C
3．设e1，e2为基底，＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. 2 B. －3
C. －2 D. 3
解析 ∵＝－＝3e1－3e2－(2e1－e2)＝e1－2e2，又A，B，D三点共线，
∴(e1－ke2)＝λ(e1－2e2)，即
∴k＝2.
答案 A
4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ∵＝2，∴＝，
故＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝.
答案 A
5．已知e1，e2是平面α内不共线向量，下列说法错误的是( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可表示平 ( http: / / www.21cnjy.com )面α内的所有向量；②若实数λ，μ，使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；③对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数对；④若λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ2e1＋μ2e2＝λ(λ1e1＋μ1e2)．21cnjy.com
A．①② B．③④
C．②③ D．①④
解析 ①②正确，③④错误．
答案 B
6．如图，过△ABC的重心作一直线分别交AB，AC于点D，E，若＝x，，＝y(xy≠0)，则＋的值为( )
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析 欲求＋的值，可依据题设建立关于x，y的等式(方程思想)．
因为D、G、E三点共线，所以＝γ，
又＝x，＝y，＝＝＝＋.故可得y－x
＝γ，整理得
－x＝γ，y＝γ，消去γ得＋＝3，故选B.
答案 B
7.
如图，||＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，⊥，设＝x＋y，则x，y的值分别为( )21世纪教育网版权所有
A．x＝－2，y＝－1
B．x＝－2，y＝1
C．x＝2，y＝－1
D．x＝2，y＝1
解析 过C作CD∥OB交AO的延长线于D，连接BC，由||＝1，|OC|＝，OB⊥OC，知∠COD＝30°，∴BC∥OD，
又＝＋＝－2＋，故x＝－2，y＝1，答案为B.
答案 B
二、填空题
8．在矩形ABCD中，若＝6e1，＝4e2，O为对角线AC与BD的交点，则＝________.21·cn·jy·com
解析 在矩形ABCD中＝＝6e1，＝＝4e2，又＝2＝＋＝6e1＋4e2，∴＝3e1＋2e2.www.21-cn-jy.com
答案 3e1＋2e2
9．设G为△ABC的重心，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示＝__________.2·1·c·n·j·y
解析 ＝＋＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(a＋b＋c)．
答案 (a＋b＋c)
10．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三向量的终点在一直线上，则实数t＝________.
解析 如图，∵a，b，t(a＋b)三向量的终点在一直线上．
∴存在实数λ使t(a＋b)－b＝λ得(t－λ)a＝b.
又∵a，b不共线，∴t－λ＝0且－λ－t＝0，解得t＝.
答案
三、解答题
11．已知三向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3.21·世纪*教育网
问a能否表示成a＝λ1b＋λ2c的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由．
解析 a若能表示成a＝λ1b＋λ2c的形式，则有
－e1＋3e2＋2e3＝(4 ( http: / / www.21cnjy.com )λ1－3λ2)e1＋(－6λ1＋12λ2)e2＋(2λ1＋11λ2)e3.令4λ1－3λ2＝－1，－6λ1＋12λ2＝3，可得λ1＝－，λ2＝，而此时恰好能保证2λ1＋11λ2＝2，www-2-1-cnjy-com
所以a＝－b＋c.
12．梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，试以e1，e2为基底表示向量，，.2-1-c-n-j-y
解 ∵＝e2，且＝k，∴＝k＝ke2.
∵＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝－＋＋
＝e1＋(k－1)e2.
又＋＋＋＝0，
且＝－，＝，
∴＝－－－
＝－＋＋＝e2.
13．已知，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上且AN＝2NC，AM交BN于P点，求AP与AM的比值．
解 设＝a，＝b，
则＝＋＝－a－3b，＝2a＋b.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使＝λ＝－λa－3λb，＝μ＝2μa＋μb.
故＝－＝(λ＋2μ)a＋(3λ＋μ)b.
又＝＋＝2a＋3b，
由平面向量基本定理得解得
∴AP与AM的比为4:5.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(二十一) 从力做的功到向量的数量积
一、选择题
1．下列命题
①a＋(－a)＝0；②(a＋b ( http: / / www.21cnjy.com ))＋c＝a＋(b＋c)；③(a·b)·c＝a·(b·c)；④(a＋b)·c＝a·c＋b·c.其中正确命题的个数是( )21教育网
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 正确的有②④.
答案 C
2．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
解析 ∵a∥b，则b＝λa，λ∈R.
∴c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝c·a(1＋2λ)．
∵a⊥c，∴a·c＝0.∴c·(a＋2b)＝0.
答案 D
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析 ·＝·(－)＝·－2＝－||2＝－1.
答案 B
4．平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A. B．2
C．4 D．12
解析 (a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝4＋4＋4×2×1×＝12.∴|a＋2b|＝2.
答案 B
5．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析 |a|＝|b|＝|c|且a＋ ( http: / / www.21cnjy.com )b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得：|a|2＋|b|2＋2ab＝|b|2 2ab＝－|a|2 2|a|·|b|·cosθ＝－|a|2 cosθ＝－ θ＝120°.
答案 B
6．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )21cnjy.com
A. B.
C. D.
解析 |a|＝2|b|≠0， ( http: / / www.21cnjy.com )且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0.设向量a，b的夹角为θ，所以cosθ＝≤＝.所以θ∈.故选B.21·cn·jy·com
答案 B
7．在△OAB中，＝a，＝b，是AB边上的高，若＝λ，则λ等于( )
A. B.
C. D.
解析 由题意知·＝0，即·(＋)＝0，
∴·(＋λ)＝0，
∴λ＝－＝－
＝，故选B.
答案 B
二、填空题
8．已知e1，e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．www.21-cn-jy.com
解析 由a·b＝0，得k－2＋(1－2k)×＝0，得k＝.
答案
9．已知|a|＝3，a·b＝2，则b在a方向上的射影为________．
解析 ＝.
答案
10．若·＋2＝0，则△ABC为________三角形．
解析 由·＋2＝0，得·(＋)＝0，即·＝0，∴⊥，故三角形为直角三角形．
答案 直角
三、解答题
11．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直．
解 要使向量a＋kb与a－kb互相垂直，则要 ( http: / / www.21cnjy.com )满足(a＋kb)·(a－kb)＝0，即(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝|a|2－k2|b|2＝9－16k2＝0，
解得k＝±.
∴当k＝±时，向量a＋kb与a－kb互相垂直．
12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|与|a－b|.
解 (1)设a与b的夹角为θ，
由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
得4a2－3b2－4a·b＝61，
即64－27－4×4×3cosθ＝61，
得cosθ＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
(2)|a＋b|＝＝
＝ ＝；
|a－b|＝＝
＝ ＝.
13．如图所示，以△ABC两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点．
求证：AM⊥EF.
证明 因为M是BC的中点，
所以＝(＋)，＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝(·＋·－·－·)
＝(0＋·－·－0)
＝(·－·)＝[||·||cos(90°＋∠BAC)－||||·cos(90°＋∠BAC)]＝0，21世纪教育网版权所有
所以⊥，
即AM⊥EF.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十六) 向量的减法
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，若|＋|＝|－|，则必有( )
A.＝0
B.＝0或＝0
C．ABCD为矩形
D．ABCD为正方形
解析 由|＋|＝|－|知||＝||，即对角线相等，故ABCD为矩形．
答案 C
2．如图D为△ABC中边AB的中点，则等于( )
A. －－
B. ＋
C. －
D. －＋
解析 ＝－＝－
答案 D
3．在平行四边形ABCD中，－＋等于( )
A. B.
C. D.
解析 －＋＝＋＋＝.
答案 D
4．在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A. a－b＋c
B. b－(a＋c)
C. a＋b＋c
D. b－a＋c
解析 ∵＝－＝－(－)＝＋－＝c＋a－b
答案 A
5．下列各式中不能化简为的是( )
A.＋＋ B.＋＋－
C.－＋ D.＋－
解析 对于A：＋＋＝＋＋＝；
对于B：可化为＋＋＋＝；
对于C：可化为＋＋＝；
对于D：＋－＝－≠，故选D.
答案 D
6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
解析 由＋＝可得＝－＝，
∴四边形PBCA为平行四边形．
可知点P在△ABC的外部．选D.
答案 D
二、填空题
7．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为__________．
解析 |－|＝|－－|＝|＋|＝2×＝.
答案
8.
如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则＝________.
解析 ＝＋，又＝＝－＝a－b，∴＝c＋a－b.
答案 c＋a－b
9．已知菱形ABCD的边长为2，求向量－＋的模为________．
解析 ∵－＋＝＋(－)
＝＋＝，
又||＝2，∴|－＋|＝2.
答案 2
10.＋－＋＋－＋＋的结果为________．
解析 原式＝－＋－＋＝＋＋＝＋＝.
答案
三、解答题
11．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－，＋＋.21世纪教育网版权所有
解 ＝－＝c－a，
＝－＝d－a，
－＝＝－＝d－b，
＋＝－＋－＝b－a－c＋f，
－＝＝－＝f－d，
＋＋＝0.
12．如图所示，P、Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明 ＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵和大小相等、方向相反，
∴＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
13．若O为△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－－|，试判断△ABC的形状．
解 由|＋－－|＝|＋|，
∵|－|＝||，
即|＋|＝||，由平行四边形法则，
即BC边上的中线等于BC边上的一半．
∴△ABC为直角三角形．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十四) 从位移、速度、力到向量
一、选择题
1．以下说法错误的是( )
A．零向量与任一非零向量共线
B．平行向量的方向相同
C．零向量的长度为零，方向任意
D.与的方向相反，大小相等
答案 B
2．下列叙述中正确的个数是( )
①若a＝b，则3a>2b；
②若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
③若a∥b，b∥c，则a∥c.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①显然不对；由于零向量与任一向量共线，且零向量的方向是任意的，故②不对；对于③，若b为零向量，a与c可能不是共线向量，故③也不正确．21世纪教育网版权所有
答案 A
3．如右图，在⊙O中，向量，，是( )
A．有相同始点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等向量
解析 它们的模相等，都等于圆的半径．
答案 C
4．给出以下命题：
①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；
②方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；
③坐标平面上的x轴与y轴都是向量．
其中真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 ①作用力与反作用力是方向相反的向量 ( http: / / www.21cnjy.com )，因此它们是一对共线向量；②中的两个向量也满足共线向量的概念；③x轴、y轴只有方向没有大小，它们不是向量，故①，②正确，选C.
答案 C
5．汽车以120km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45km/h的速度向东北方向走了2h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
解析 由向量的知识可得，答案为C.
答案 C
6．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心 ( http: / / www.21cnjy.com )，则以图中A，B，C，D，E，F，O中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
解析 由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量共线的向量有，，，，，，，，，共有9个，故选D.21·cn·jy·com
答案 D
7．下列说法中正确的是( )
A. 零向量只有大小没有方向
B. 对任一向量a，|a|>0总是成立的
C. ||＝||
D. ||与线段BA的长度不相等
解析 零向量有方向，且方向是任意的，所以A ( http: / / www.21cnjy.com )不正确；|0|＝0，对任一向量a，|a|≥0总成立，所以B不正确；|、||分别与线段AB、BA的长度相等，且AB＝BA，所以C正确，D不正确．
答案 C
二、填空题
8．设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝，其中，所有正确的序号为________．
解析 ∵正方形的对角线互相 ( http: / / www.21cnjy.com )平分，∴＝正确，即①正确；②显然正确；∵ABCD为正方形，∴AB∥CD，故与共线，故③正确，又与的方向不同，故④不正确．21cnjy.com
答案 ①②③
9．下列命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题为__________(写上序号即可)．
解析 由向量的知识，可知答案为②④⑤⑥.
答案 ②④⑤⑥
10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，则下列结论正确的是________．
①＝；②＝；③||＝||；④＝±.
解析 如图，∵ABCD为等腰梯形，∴与不等，只能是大小相等，但方向不同，故||＝||.
答案 ③
三、解答题
11．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：21教育网
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解 (1)＝，＝；
(2)与共线的向量有：，，；
(3)与模相等的向量有：，，，，，，；
(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．
12．如图，在一次测量活动中，同学甲从操场的A点处向正南方走了30 m到达点B，再向西方走了40 m到达点C.www.21-cn-jy.com
(1)在图中画出向量、；
(2)如果同学甲要从C点返回A点，他至少需要走多少米？
解 (1)图略．
(2)他至少需要走50 m.
13．在如图所示的方格纸上，每个小正方形的边长都是1，已知向量a.
(1)试以点B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么图形？
解 (1)如图，向量即为所求向量b；
(2)向量即为一个所求向量c(答案不唯一)，向量c终点的轨迹是一个以点A为圆心，以为半径的圆．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(二十三) 向量应用举例
一、选择题
1．已知三个力＝(－2，－1)， ( http: / / www.21cnjy.com )＝(－3,2)，＝(4，－3)，同时作用于某物体上同一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于( )21世纪教育网版权所有
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析 ∵＋＋＝(－2－3＋4，－1＋2－3)＝(－1，－2)，又＋＋＋＝0，∴＝(1,2)．21教育网
答案 D
2．过点P(2,1)，且垂直于向量a＝(－1,2)的直线方程为( )
A．x－2y＝0 B．x－2y－4＝0
C．2x－y＝0 D．2x－y－4＝0
解析 设Q(x，y)为直线上异于P的任意一点，由题意得·a＝0，得x－2y＝0，又P(2,1)在直线x－2y＝0上，故选A.
答案 A
3．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．(4，－1)
C．2 D．5
解析 ＋＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝5.
答案 D
4．设O为△ABC所在平面内一点，且满足·＝·＝·，则O是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
解析 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴OB⊥AC，同理，OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为△ABC的垂心．
答案 C
5．一质点受到平面上的三个力F1，F ( http: / / www.21cnjy.com )2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有( )21cnjy.com
A．F1，F3成90°角
B．F1，F3成150°角
C．F2，F3成90°角
D．F2，F3成60°角
解析 由F1＋F2＋F3＝0 F3 ( http: / / www.21cnjy.com )＝－(F1＋F2) F＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2|F1||F2|cos120°＝1＋4＋4×＝3 |F3|＝，由|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝知，F1，F3成90°角，故选A.21·cn·jy·com
答案 A
6．点P在平面上做匀速直 ( http: / / www.21cnjy.com )线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同)，且每秒移动的距离为|v|个单位．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
解析 设所求点P的坐标为(x，y)，则(x＋10，y－10)＝(20，－15)．
∴x＝10，y＝－5.
∴点P的坐标为(10，－5)．
答案 C
二、填空题
7．在△ABC中，||＝||＝2，且·＝2，则△ABC的形状是________．
解析 ∵·＝||·||cosA＝4cosA＝2，∴cosA＝，又∠A为△ABC的内角．∴∠A＝60°.【来源：21·世纪·教育·网】
又||＝||，∴△ABC为等边三角形．
答案 等边三角形
8．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10N，方向与水平
面成60°，当小车向前运动10 m，则力做的功是__________．
解析 W＝F·cos60°·s＝5×10＝50 (J)．
答案 50 J
9．已知平面上三点A，B，C满足||＝2，||＝1，||＝，则·＋·＋·＝__________.21·世纪*教育网
解析 由题可知，△ABC为直角三角形，∠C为直角，故·＋·＋·＝·＋·＝·(＋)＝·＝－||2＝－4.www-2-1-cnjy-com
答案 －4
10．在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，＋＝，则四边形ABCD的面积为________．2-1-c-n-j-y
解析 由题意知四边形ABCD为平行四边形，
且有||＝||＝，＝，
即＝，
两边平方，得1＋2＋1＝3，
∴＝，
则cos?，?＝，即∠B＝60°，
∴S＝||·||sin60°＝××＝.
答案
三、解答题
11．已知A(，－2)与B(－，4)，若PA＝PB，求动点P的轨迹方程．
解 设AB的中点为M，则M(0,1)，
设P(x，y)，则＝(－x,1－y)，＝(－2，6)．
∵PA＝PB，∴PM⊥AB.∴⊥.
∴2x＋6－6y＝0，
即所求轨迹方程为x－3y＋3＝0.
12．一辆汽车在平直公路上 ( http: / / www.21cnjy.com )向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告的实际风速为2 m/s，试求风的实际方向和汽车速度的大小．2·1·c·n·j·y
解 依据物理知识，有三对相对速度 ( http: / / www.21cnjy.com )，车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地，如图所示．www.21-cn-jy.com
根据向量求和的平行四边形法则，可知 ( http: / / www.21cnjy.com )表示向量v风地的有向线段对应 ABDC的对角线，因为||＝4，∠ACD＝30°，||＝2，所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，||＝||cos30°＝2，所以风的实际方向是正南方向，汽车速度的大小为2 m/s.
13．如图，D为△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
证明 如图所示，
设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d.则a＝e＋c，b＝e＋d，
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由条件知a2＝c2－d2＋b2，
∴e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0.
∴·＝0.
∴⊥.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
