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双基限时练(二十五) 同角三角函数的基本关系(二)
一、选择题
1.＝( )
A．± B．±
C．－ D.
解析 ＝＝|cos60°|＝.
答案 D
2．已知α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析 ∵α为第三象限角，∴＋
＝＋＝－3.
答案 B
3．若tanα＝2，则的值为( )
A．0 B.
C．1 D.
解析 原式＝＝，故选B.
答案 B
4．计算sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ的结果为( )
A. B.
C. D．1
解析 原式＝sin2θ(sin2θ＋cos2θ)＋cos2θ＝sin2θ＋cos2θ＝1，故选D.
答案 D
5.＋化简后的最简结果为( )
A. B．sinA
C. D.
解析 ＋＝＋＝.
答案 C
6．已知sin(π－α)＝－2sin，则sinα·cosα等于( )
A. B．－
C.或－ D．－
解析 由sin(π－α)＝－2sin得sinα＝－2cosα.
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴(－2cosα)2＋cos2α＝1.
∴cos2α＝.
∴sinα·cosα＝(－2cosα)·cosα＝－2cos2α＝－2×＝－.
答案 B
7．若＝－5，则tanα的值为( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析 由＝－5，得＝－5，
得tanα＝－.
答案 D
二、填空题
8.＝________.
解析 原式＝＝＝－1.
答案 －1
9．已知2sinα＝cosα，则的值是________．
解析 ＝＝2＋2×＝3.
答案 3
10.－的值为________．
解析 －
＝＝
＝－2tan2θ.
答案 －2tan2θ
三、解答题
11．化简下列各式．
(1)·；
(2)－ (α为第二象限角)．
解 (1)原式＝·
＝·＝1.
(2)原式＝－
＝－＋＝＝tanα.
12．已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.
解 由已知，tanα＝，所以，
(1)＝＝＝－；
(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosα＋2(cos2α＋sin2α)＝＝＝＝.
13．求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.
解 ∵右边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα
＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα)
＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝左边，
∴原式成立．
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双基限时练(二十四) 同角三角函数的基本关系(一)
一、选择题
1．已知α为第四象限角，且cosα＝，则sinα等于( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵α为第四象限角，
∴sinα＝－＝－.
答案 B
2．下列等式中正确的是( )
A．sin2＋cos2＝
B．若α∈(0,2π)，则一定有tanα＝
C．sin＝±
D．sinα＝tanα·cosα(α≠kπ＋，k∈Z)
解析 选项A中，sin2＋cos2＝1，所以选项A不正确；利用同角的三角函数基本关系时一定要注意其隐含条件，对于选项B中cosα≠0，也即α≠kπ＋(k∈Z)，因而选项B不正确；因为0<<，所以sin>0，所以选项C不正确．21教育网
答案 D
3．若tanα＝，π<α<π，则cosα－sinα的值为( )
A．－ B.
C. D.
解析 ∵π<α<π，tanα＝，
∴sinα＝－，cosα＝－.
∴cosα－sinα＝.
答案 C
4．设A为△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析 由sinA＋cosA＝，得1＋2s ( http: / / www.21cnjy.com )inAcosA＝，∴sinAcosA＝－<0，又0
0，cosA<0，∴A∈(，π)，故△ABC为钝角三角形．21世纪教育网版权所有
答案 B
5．已知sinα·cosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值是( )
A. B.
C．－ D．±
解析 ∵<α<，∴cosα－sinα＝
－＝－.
答案 C
6．若sinθ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos4θ等于( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析 由sinθ＋sin2θ＝1，解sinθ＝1－sin2θ，即cos2θ＝sinθ，
所以cos2θ＋cos4θ＝sinθ＋sin2θ＝1.
答案 B
二、填空题
7．已知f(sinα)＝cos2α，则f＝________.
解析 f(sinα)＝cos2α＝1－sin2α，∴f(x)＝1－x2，故f()＝1－＝.
答案
8．若α为锐角，且tanα是方程4x2＋x－3＝0的根，则sinα＝________.
解析 由4x2＋x－3＝0，得x＝－1，或x＝，又α为锐角，∴tanα＝，∴sinα＝.
答案
9．设α∈，则＋＝________.
解析 ∵－≤α≤，
∴sinα0，
故原式＝＋
＝cosα－sinα＋sinα＋cosα
＝2cosα.
答案 2cosα
10．已知α是第二象限的角，tanα＝－，则cosα＝________.
解析 ∵α是第二象限的角，
∴cosα<0.
又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝＝－，
∴cosα＝－.
答案 －
三、解答题
11．已知A是△ABC的内角，且tanA＝－，求sinA，cosA.
解 ∵tanA＝－，A为△ABC内角∴A为钝角．
又tanA＝＝－，代入sin2A＋cos2A＝1中，
解得sinA＝，cosA＝－.
12．已知cosα＝m(m≠0，m≠±1)，求α的其他三角函数值．
解 因为cosα＝m(m≠0，m≠±1)，
所以sinα＝±.
若α在第一、二象限，
则sinα＝，tanα＝.
若α在第三、四象限，
则sinα＝－，tanα＝－.
13．若θ为锐角，且tanθ＋＝2，求：
(1)sinθ·cosθ的值；
(2)求sinθ＋cosθ的值．
解 (1)由tanθ＋＝2，得＋＝2，
即＝2，sinθ·cosθ＝.
(2)∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝2，
又θ为锐角，∴sin＋cosθ＝.
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双基限时练(二十七) 两角和与差的正切函数
一、选择题
1.的值为( )
A. B.
C. D．－
解析 ＝
＝－＝－tan60°＝－.
答案 D
2．若A、B为锐角三角形的两个内角，则tanA·tanB的值( )
A．不大于1 B．小于1
C．等于1 D．大于1
解析 tanC＝－tan(A＋B)＝－＞0，又tanA＋tanB＞0，∴1－tanAtanB＜0，即tanA·tanB＞1.21cnjy.com
答案 D
3．若tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A. B.
C. D.
解析 tan(α＋)＝tan
＝＝＝.
答案 C
4．若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cos(A＋B)的值为( )
A．－ B.
C．± D．±
解析 由于tan(A＋B)＝且tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，∴tan(A＋B)＝－1.21·cn·jy·com
∴cos(A＋B)＝±.
答案 C
5．tan20°tan50°＋tan20°tan60°－tan60°tan50°等于( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析 原式＝tan20°(tan50° ( http: / / www.21cnjy.com )＋tan60°)－tan60°tan50°＝tan20°tan110°(1－tan50°tan60°)－tan60°tan50°www.21-cn-jy.com
＝tan20°(－tan70°)(1－tan50°tan60°)－tan50°tan60°
＝－(1－tan50°tan60°)－tan50°tan60°
＝－1.
答案 B
6．设tanθ和tan是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则p，q之间的关系是( )
A．p＋q＋1＝0 B．p－q＋1＝0
C．p＋q－1＝0 D．p－q－1＝0
解析 由韦达定理得tanθ＋tan＝－p，
tanθtan＝q.
又tan＝tan＝
＝＝1，∴－p＝1－q.
∴p－q＋1＝0.
答案 B
二、填空题
7．若＝________.
解析 原式＝
＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝＝2－.
答案 2－
8．已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan＝________.
解析 ∵α为第三象限的角，则2kπ ( http: / / www.21cnjy.com )＋π≤α≤2kπ＋，∴4kπ＋2π≤2α≤4kπ＋3π(k∈Z)．又cos2α＝－，∴sin2α＝，tan2α＝－，∴tan＝＝－.21世纪教育网版权所有
答案 －
9．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan的值为__________
解析 依题意，tanθ＝＝－1.
∴tan＝＝＝2－.
答案 2－
10．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.
解析 tanβ＝＝，
∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα.
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
答案 1
三、解答题
11．化简下列各式．
(1)；
(2)tan10°tan20°＋(tan10°＋tan20°)．
解 (1)原式＝＝tan(45°＋75°)＝－tan60°
＝－.
(2)原式＝tan10°tan20°＋·tan30°·(1－tan10°tan20°)
＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°
＝1.
12．(1)已知＝2，求tan；
(2)已知α，β为锐角，cosα＝.tan(α－β)＝－，求tanβ的值．
解 (1)∵＝2，∴tanA＝－.
则tan(＋A)＝＝.
(2)∵α为锐角，cosα＝，∴sinα＝，tanα＝.
tanβ＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝＝.
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以 ( http: / / www.21cnjy.com )Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为、.21教育网
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解 (1)由已知条件及三角函数的定义可知：
cosα＝，cosβ＝，因α为锐角，故sinα＞0，
从而sinα＝＝.
同理可得sinβ＝.
因此tanα＝7，tanβ＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.
又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜，
从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.
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双基限时练(二十六) 两角和与差的正弦、余弦函数
一、选择题
1．cos80°cos20°＋sin80°sin20°的值为( )
A. B.
C. D．－
解析 cos80°cos20°＋sin20°sin80°＝cos60°＝.
答案 C
2．设α∈，sinα＝，则cos的值为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵α∈，sinα＝，cosα＝，cos＝cosαcos－sinαsin＝，故选B.21世纪教育网版权所有
答案 B
3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中一定成立的是( )
A．sin(α＋β)>sinα＋sinβ
B．sin(α－β)>sinα－sinβ
C．cos(α＋β)D．cos(α－β)解析 α，β为任意锐角，在(0，π)上余弦函数是减函数，显然cosα>0，cosβ>0，cos(α＋β)答案 C
4.sin15°－cos15°的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 原式＝－＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－.
答案 B
5．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
解析 由条件知：2cosBsinA＝s ( http: / / www.21cnjy.com )in(A＋B)，即2cosBsinA＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.∴A＝B.故选C.2·1·c·n·j·y
答案 C
6．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于( )
A．－ B.
C．－7 D．7
解析 由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，得
sinαcosβ＋cosαsinβ＝，①
sinαcosβ－cosαsinβ＝.②
①＋②，得sinαcosβ＝；
①－②，得cosαsinβ＝－.
所以＝＝－7.
答案 C
7．函数y＝cos＋cos2x的最小正周期为( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析 y＝cos＋cos2x＝coscos2x＋sinsin2x＋cos2x＝cos2x＋sin2x＝sin，周期T＝π.21教育网
答案 B
二、填空题
8．sin105°的值为________．
解析 sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝×＋×＝.21cnjy.com
答案
9．sin－cos＝________.
解析 sin－cos＝2sin＝－2sin＝－.
答案 －
10．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝，则cos(α－β)＝________.21·cn·jy·com
解析 由|a－b|＝知，(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝，即2－2cos(α－β)＝，cos(α－β)＝.www.21-cn-jy.com
答案
三、解答题
11．已知A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，求A＋B的值．
解 ∵A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，
∴cosA＝－＝－，
cosB＝－＝－3.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－×－×＝.
又∵∴A＋B＝.
12．已知<α<，0<β<，cos＝，
sin＝，求sin(α＋β)的值．
解 因为<α<，0<β<，
所以－<－α<0，<＋β<π.
所以sin＝－，cos＝－，所以sin(α＋β)＝－cos＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝×－×＝.
13．已知a＝(，－1)，b＝(sinx，cosx)，x∈R，
f(x)＝a·b，
(1)求f(x)的表达式；
(2)求函数f(x)的周期、值域、单调区间．
解 (1)f(x)＝a·b＝(，－1)·(sinx，cosx)
＝sinx－cosx(x∈R)．
(2)f(x)＝sinx－cosx
＝2
＝2＝2sin.
∴T＝＝2π，值域[－2,2]，
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得f(x)的单调增区间为(k∈Z)，
由＋2kπ≤x－≤π＋2kπ，得f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
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双基限时练(二十八) 二倍角的三角函数(一)
一、选择题
1．已知cos2α＝，则sin2α＝( )
A. B.
C. D.
解析 ∵cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝＝＝.
答案 D
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析 角θ的终边在直线y＝2x上，∴sinθ＝±.∴cos2θ＝1－2sin2θ＝1－＝－.
答案 B
3．函数f(x)＝2sinxcosx是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析 f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，周期为π的奇函数．
答案 C
4．已知sinθ＋cosθ＝，≤θ≤π，则cos2θ的值为( )
A. B．±
C．－ D.
解析 ∵sinθ＋cosθ＝，得sin2θ＝－.
又≤θ≤π，∴π≤2θ≤π，
∴cos2θ＝－＝－.
答案 C
5．若tan＝2，则＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析 原式＝＝tanα－.
由tan＝2，得＝2，
得tanα＝，∴原式＝－＝－.
答案 A
6．已知sin＝，则cos的值是( )
A．－ B．－
C. D.
解析 cos
＝－cos
＝－cos
＝－＝－.
答案 A
7．已知cos2α＝，则sin4α＋cos4α等于( )
A. B.
C. D.
解析 sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α
＝1－2sin2αcos2α
＝1－sin22α
＝1－(1－cos22α)
＝＋cos22α＝.
答案 D
二、填空题
8．已知tan＝2，则的值为________．
解析 由tan＝＝2，
得tanx＝，＝
＝＝.
答案
9.·＝__________.
解析 原式＝·＝tan2α.
答案 tan2α
10．函数f(x)＝sinx·sin＋sinπcos2x的最大值为________，最小正周期为________．21世纪教育网版权所有
解析 f(x)＝sinx·cosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，∴f(x)max＝1，T＝＝π.21教育网
答案 1 π
三、解答题
11．已知0＜α＜，sinα＝，
(1)求的值；
(2)求tan2α的值．
解 ∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝，sin2α＝，
cos2α＝1－2sin2α＝－，tanα＝＝.
(1)＝＝＝20.
(2)tan2α＝＝＝－.
12．求证：＝sin2α.
证明 左边＝＝
＝＝
＝cosαsincos＝sinαcosα
＝sin2α＝右边，
∴原式成立．
13．已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图像的对称轴方程；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解 (1)f(x)＝cos＋2sin·sin
＝cos＋2cossin
＝cos＋sin
＝cos－cos2x
＝cos2xcos＋sin2xsin－cos2x
＝sin2x－cos2x＝sin
T＝＝π，由2x－＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)．
(2)∵－≤x≤，
∴－≤2x－≤π，－≤sin≤1，
∴函数f(x)的值域为.
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双基限时练(二十九) 二倍角的三角函数(二)
一、选择题
1．cos2－的值为( )
A．1 B.
C. D.
解析 cos2－＝＝＝.
答案 D
2.－＝( )
A．－2sin5° B．2sin5°
C．－2cos5° D．2cos5°
解析 原式＝－＝|cos5°－sin5°|－|cos5°＋sin5°|＝－2sin5°.
答案 A
3．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝( )
A. B.
C. D.
解析 方法一：∵tanθ＋＝＝4，
∴4tanθ＝1＋tan2θ，
∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝.
方法二：∵tanθ＋＝＋＝＝.
∴4＝，故sin2θ＝.
答案 D
4．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是( )21·cn·jy·com
A. B．π
C．2π D．4π
解析 ∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinxcosx
＝1＋cos2x＋sin2x
＝1＋sin，
∴f(x)＝a·b的最小正周期是π.
答案 B
5．函数f(x)＝sin2－sin2是( )
A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数
C．周期为2π的偶函数 D．周期为2π的奇函数
解析 f(x)＝sin2－sin2
＝cos2－sin2
＝cos2－sin2
＝cos
＝sin2x.
∴f(x)为奇函数，且周期为π.
答案 B
6．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝( )
A. B.
C. D.
解析 ∵θ∈，∴2θ∈，故2cos2θ≤0，∴cos2θ＝－＝－＝－.
又cos2θ＝1－2sin2θ，∴sin2θ＝＝＝，∴sinθ＝，故选D.
答案 D
二、填空题
7．已知tanα＝，则sin2α＋cos2α＝__________.
解析 sin2α＋cos2α＝＝
＝＝.
答案
8．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝__________.
解析 f(sinx)＝3－cos2x＝ ( http: / / www.21cnjy.com )3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，f(cosx)＝2＋2cos2x＝2＋1＋cos2x＝3＋cos2x.21世纪教育网版权所有
答案 3＋cos2x
9．若sin＝－，0≤α≤π，则tanα的值是________．
解析 两边平方得sin2＝2－2，
∴＝2－2|cosα|.①
当0≤α≤时，①式为＝2－2cosα，
∴cosα＝1，∴α＝0，∴tanα＝0.
当<α≤π时，①式为＝2＋2cosα，
∴cosα＝－，∴sinα＝.
∴tanα＝－
答案 0或－
三、解答题
10．已知cosθ＝－，并且180°<θ<270°，求tan.
解 解法一：因为180°<θ<270°，所以90°<<135°，即是第二象限角，所以tan<0，21教育网
∴tan＝－＝－＝－2.
解法二：因为180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sinθ＝－＝－＝－，
∴tan＝＝＝－2，
或tan＝＝＝－2.
11．化简：
(180°<α<360°)．
解 原式
＝
∵180°<α<360°，∴90°<<180°，故cos<0，
∴上式＝
＝cos2－sin2＝cosα.
12．已知函数f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx－，且f(0)＝，f＝，
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的单调增区间．
解 (1)由题意得得
∴f(x)＝cos2x＋sinxcosx－
＝·＋sin2x－
＝cos2x＋sin2x＝sin.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得－π＋kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
13．已知向量a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函数f(x)＝a·b.www.21-cn-jy.com
(1)求f(x)的最大值及相应的x值；
(2)若f(θ)＝，求cos2的值．
解 (1)因为a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，
b＝(1，sinx＋cosx)，
所以f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝sin(2x－)＋1.2·1·c·n·j·y
因此，当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值＋1.
(2)由f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f(θ)＝得sin2θ－cos2θ＝，两边平方得1－sin4θ＝，21cnjy.com
即sin4θ＝.
因此，cos2(－2θ)＝cos(－4θ)＝sin4θ＝.
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