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双基限时练(一) 周期现象
一、选择题
1．下列变化中不是周期现象的是( )
A．春去春又回
B．太阳东升西落
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天放学回到家的时间
解析 某同学每天放学回到家的时间受各种因素的影响，一般会有少许差别，故不是周期现象．
答案 D
2．观察“ABCDABCDAB…”，寻找规律，则第20个字母是( )
A．A B．B
C．C D．D
解析 周期是4,20＝5×4，所以第20个字母是D.
答案 D
3．如下图，一个质点在平衡位置O点附近摆 ( http: / / www.21cnjy.com )动，如果不计阻力，可将此摆动看作周期运动，若质点从O点开始向左摆动时开始计时，且周期为1 s，则质点第5次经过O点所需要的时间为( )
A．1.5 s B．2 s
C．2.5 s D．3 s
解析 若质点从O点开始向左摆动，则在1个周期内2次经过O点，所以5次经过O点需要2.5个周期，又因为周期为1 s，所以需要2.5 s.21cnjy.com
答案 C
4．假定现在时间是12点整，再过t小时，分针与时针第一次重合，则t＝( )
A. B.
C. D.
解析 时针1小时转过30°，t小时转过30 ( http: / / www.21cnjy.com )t°；分针每分钟转过6°，t小时转过(60t×6)°，所以30t＝60t×6－360，解得t＝.
答案 A
5．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路 ( http: / / www.21cnjy.com )的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2014盆花的颜色是( )
A．红 B．黄
C．紫 D．白
解析 因为按红、黄、紫、白 ( http: / / www.21cnjy.com )、红、黄、紫、白……的顺序摆放，所以以4为一个周期，而2014÷4＝503……2，为503个周期余2盆，所以第2014盆花为黄花．21·cn·jy·com
答案 B
6．下图是汽油机的汽缸结构示意图，活塞 ( http: / / www.21cnjy.com )在燃料的推动下往复运动的过程中，通过连杆带动曲轴做圆周运动．如果活塞每分钟往复运动2400次，则曲轴的运动周期是( )www.21-cn-jy.com
A．1分钟 B．40秒
C．0.05秒 D．0.025秒
解析 活塞往复一次，曲轴转动一圈，则曲轴的运动周期为60秒/2 400＝0.025秒．
答案 D
7．2011年是兔年，那么1949年是( )
A．牛年 B．虎年
C．兔年 D．龙年
解析 ∵1949＋60＋2＝2011，
∴1949年为牛年．
答案 A
二、填空题
8．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，24节气________周期现象(填“是”或“不是”)．
答案 是
9．下列函数图像中具有周期性的序号是________．
解析 抓住周期现象的特点：重复性．对于(3)，图像不重复出现，故不合题意．
答案 (1)(2)(4)
10．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水________升．
解析 水车盛水是一个周期现象，由题 ( http: / / www.21cnjy.com )意知，周期为5分钟，每一周期最多盛水10升×16＝160升，1小时内有12个周期，因此在1小时内有12个周期，因此在1小时内最多盛水160升×12＝1920升．2·1·c·n·j·y
答案 1920
三、解答题
11．自行车的前轮胎上有一个标记P，则在自行车前进过程中，P点着地是否具有周期性？
解 当自行车匀速行驶时，就有周期性；若不是匀速行驶，就没有周期性．
12．我们的心跳都是有节奏、有规律 ( http: / / www.21cnjy.com )的，心脏跳动时，血压在增加或减少．下表是某人在1分钟内血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律.【来源：21·世纪·教育·网】
t/s 5 10 15 20 25 30
P/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115
t/s 35 40 45 50 55 60
P/mmHg 93.35 136.65 115 93.35 136.65 115
(1)请根据上表提供的数据，在坐标系中作出血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系的散点图；
(2)血压的变化是周期性的吗？
解 (1)作出血压P(mmHg)与时间t(s)的散点图．如下图：
(2)由散点图可以看出，每经过15 s，血压就重复出现相同的数值，因此血压是周期性变化的．
13．古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕 ( http: / / www.21cnjy.com )达哥拉斯有一次处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标有A，B，C，…，G)，一直到指出第1999个数的柱子的标号是哪一个才能停止．你能否帮助他尽快结束这个处罚？21世纪教育网版权所有
A B C D E F G
1 2 3 4 5 6 7
13 12 11 10 9 8
14 15 16 17 18 19
25 24 23 22 21 20
… … … … … …
… … … … … …
解 “2,3,4…1997,1998,1999”按“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”12个数字循环出现，周期是12.21教育网
解法一：先去掉第一行的7个数字，由(1999－7)÷12＝166知：刚好是166个周期，所以数到1999的那根柱子的标号是G.
解法二：先把1去掉，(1999－1)÷12＝166……6，第1999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，是G.
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双基限时练(三) 弧度制
一、选择题
1．下列结论不正确的是( )
A. rad＝60° B．10°＝ rad
C．36°＝ rad D. rad＝115°
解析 ＝×°＝112.5°.
答案 D
2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积扩大到原来的2倍
D．扇形的圆心角扩大到原来的2倍
解析 由S扇＝rl知当半径变为原 ( http: / / www.21cnjy.com )来的2倍，弧长也扩大到原来的2倍时，面积变为原来的4倍，故A，C不对，又由圆心角θ＝，当l与r均变为原来的2倍时，θ的值不变，故B正确．
答案 B
3．时钟经过三小时，时针转过了( )
A. rad B. rad
C. － rad D. － rad
解析 时针每小时转过－ rad.
答案 C
4．将－1485°改写成2kπ＋α(0≤α<π，k∈Z)的形式是( )
A. －8π＋ B. －10π－
C. －8π＋π D. －10π＋π
解析 －1485°＝－1485×＝－π＝－10π＋π.
答案 D
5．若α与β关于y轴对称，则( )
A．α＋β＝(k∈Z)
B．α＋β＝2kπ＋(k∈Z)
C．α＋β＝2kπ(k∈Z)
D．α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)
解析 由α，β关于y轴对称，得β＝2kπ＋π－α(k∈Z)．
答案 D
6．集合所表示的角的范围(用阴影表示)是( )
解析 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，所以选C.
答案 C
7．将－300°化为弧度为( )
A. － B. －
C. － D. －
解析 ∵1°＝，∴－300°＝－300×＝－ rad.
答案 B
二、填空题
8．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则三内角的弧度数分别是__________．
解析 设三角形的三个内角的弧度数分别为4x,5x,6x，则有4x＋5x＋6x＝π，解得x＝.
∴三内角的弧度数分别为4x＝，5x＝，6x＝.
答案 ，，
9．已知一扇形的圆心角α＝，扇形所在圆的半径R＝10，则这个扇形的弧长为________，该扇形所在弓形的面积为________．
解析 设扇形的弧长为l，
则l＝α·R＝×10＝，
由题意得S弓＝S扇－S△＝Rl－R2sin
＝×10×－×102×
＝50(－)．
答案 π 50
10．(1)若θ∈(0，π)，且θ与7θ终边相同，则θ＝______.
(2)设α＝－2 rad，则α的终边在第________象限．
解析 (1)由题意得7θ＝2kπ＋θ，
∴θ＝(k∈Z)，又θ∈(0，π)，
当k＝1时，θ＝；当k＝2时θ＝π.
(2)－2＝－2π＋2π－2，
∵2π－2∈(π，π)，故α为第三象限角．
答案 (1)或
(2)三
三、解答题
11．将下列各角写成2kπ＋α(0≤α<2π)的形式，并指出角的终边所在的象限．
(1)π；
(2)1580°；
(3)－π.
解 (1)π＝4π＋π，为第三象限角；
(2)1580°＝π＝π＝8π＋π，为第二象限角；
(3)－π＝－4π＋，为第一象限角．
12．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2012°是不是这个集合的元素．
解 ∵150°＝，
∴终边在阴影区域内角的集合为S＝{β|＋2kπ≤β≤＋2kπ，k∈Z}．
∵2012°＝212°＋5×360°＝rad，
又＜＜.
∴2012°＝∈S.
13．如图，动点P，Q从点A(4,0 ( http: / / www.21cnjy.com ))出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长.
解 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·＋t·＝2π，
所以t＝4(s)，即P，Q第一次相遇时所用的时间为4 s.
P点走过的弧长为×4＝，
Q点走过的弧长为×4＝.
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双基限时练(九) 正切函数的定义、图像和性质
一、选择题
1．若角α的终边上有一点P(2x－1,3)，且tanα＝，则x的值为( )
A. 7 B. 8
C. 15 D.
解析 由＝，得x＝8.
答案 B
2．函数y＝的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析 由logtanx≥0知0
答案 C
3．以下三个描述不正确的有( )
①正切函数为定义域上的增 ( http: / / www.21cnjy.com )函数；②正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tanx在其上是递增的；③正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tanx在其上是递减的．21世纪教育网版权所有
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 只有②正确．
答案 B
4．函数y＝tan在一个周期内的图像是( )
解析 ∵T＝＝2π，结合图像可知答案为A.
答案 A
5．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图像过点，则φ可以是( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 由题意得tan(＋φ)＝0，即tan(＋φ)＝0，且＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－，令k＝0，则φ＝－.21教育网
答案 A
6．在区间范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图像交点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 方法一：在同一坐标系中，首先作出y ( http: / / www.21cnjy.com )＝sinx与y＝tanx在内的图像，需明确x∈时，有sinx＜x＜tanx(利用单位圆中的正弦线、正切线就可以证明)，然后利用对称性作出x∈的两函数的图像如图，由图像可知它们有3个交点．
∴应选C.
方法二：x∈，
即sinx＝tanx＝，sinx＝0，sinx＝0或cosx＝1.
在x∈内x＝－π、0、π满足sinx＝0，
x＝0满足cosx＝1，所以交点个数为3.
∴应选C.
答案 C
7．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图像如图所示，则f＝( )
A. 2＋ B.
C. D. 2－
解析 由图可知T＝＝2＝，
∴ω＝2，由2×π＋φ＝kπ，k∈Z，|φ|<，知φ＝，由Atan＝1，知A＝1，
∴f(x)＝tan，∴f＝tan＝.
答案 B
二、填空题
8．已知θ∈，在单位圆中，角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a、b、c，则它们的大小关系是__________．
解析 由三角函数线知c＞a＞b.
答案 c＞a＞b
9．函数y＝的值域为________．
解析 设u＝tan2x－2tanx＋2＝(tanx－1)2＋1，显然u≥1，由反比例函数的图像可知值域为(0,1]．21cnjy.com
答案 (0,1]
10．若y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，其中－<θ<，则θ＝________.
解析 由题意得2x＋θ＝(k∈Z)，得x＝－，
∵y＝tan(2x＋θ)的一个对称中心为，
∴－＝，∴θ＝－π.
又θ∈，∴θ＝，或θ＝－.
答案 或－
三、解答题
11．作出函数f(x)＝tanx＋|tanx|的图像，并求出其周期．
解析 f(x)＝tanx＋|tanx|＝
(k∈Z)．作出f(x)的图像如下图，易得函数f(x)的周期T＝π.
12．已知f(x)＝tan，
(1)求f(x)的定义域及值域；
(2)求f(x)的周期及单调增区间．
解 (1)由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，
得x≠＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为，
由正切函数的图像可知值域为R.
(2)f(x)的周期T＝，
由kπ－<2x＋得－π故函数的单调增区间为(k∈Z)．
13．确定函数f(x)＝sinx＋tanx，x∈的奇偶性、单调性，并求出它的值域．
解 显然f(x)的定义域关于原点对称，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，21·cn·jy·com
∴f(x)为奇函数，设－≤x1∵y＝sinx和y＝tanx在区间上都是增函数，
∴sinx1∴sinx1＋tanx1即f(x1)∴f(x)在上是增函数．
∴f(x)在上的值域为.
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双基限时练(六) 单位圆与诱导公式
一、选择题
1．sin(－1920°)等于( )
A. B．－
C. D．－
解析 sin(－1920°)＝－sin1920°＝－sin120°
＝－sin(180°－60°)＝－.
答案 B
2．已知sinα＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵cos(＋α)＝－sinα＝－.
答案 B
3．sin＋2sinπ＋3sinπ＝( )
A．1 B.
C．0 D．－1
解析 原式＝－sin－2sin＋3sin＝0.
答案 C
4．若cos(π＋α)＝－，则sin等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析 由cos(π＋α)＝－，知cosα＝.
由sin＝－sin＝－cosα＝－.
答案 A
5．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( )
A．cosα＝cosβ B．cosα＝－cosβ
C．sinα＝－sinβ D．sinα＝cosβ
解析 由α＋β＝180°得α＝180° ( http: / / www.21cnjy.com )－β，两边同取正弦函数得sinα＝sin(180°－β)＝sinβ，两边同取余弦函数得cosα＝cos(180°－β)＝－cosβ.21教育网
答案 B
6．若cos＝，则cos＋sin(φ－π)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 由cos＝－sinφ＝，得sinφ＝－.
cos＋sin(φ－π)＝－sinφ－sinφ＝－2sinφ＝.
答案 D
二、填空题
7．已知cosα＝，则sin＝________.
解析 sin＝sin＝－sin＝－cosα＝－.
答案 －
8．已知f(α)＝，则f＝________.
解析 ∵f(α)＝＝－cosα，
∴f＝－cos＝－cos＝－.
答案 －
9．下列三角函数：
①sin；②cos；③sin；
④cos；⑤sin，其中n∈Z，则函数值与sin的值相同的是________．
解析 当n为偶数时，sin＝－sin
≠sin，故①不是；
对于②，∵cos＝cos＝，
又sin＝，∴cos＝sin；
对于③，sin＝sin，故③符合；
又cos＝－cos＝－≠sin，故④不是；
对于⑤，sin＝sin(π－)＝sin.故与sin的值相同的有②③⑤.
答案 ②③⑤
10．化简··＋
sin(－θ)的结果为________．
解析 原式＝··
－sinθ
＝··－sinθ
＝·－sinθ＝－1－sinθ.
答案 －1－sinθ
三、解答题
11．求sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)的值．
解 原式＝－sin1200°co ( http: / / www.21cnjy.com )s1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)21世纪教育网版权所有
＝－sin120°cos210°－cos300°·sin330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)21cnjy.com
＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°
＝×＋×＝1.
12．已知cosα＝，且－＜α＜0，求
的值．
解 ∵－＜α＜0,
∴sinα＝－＝－ ＝－.
原式＝＝＝－×3＝－2.
13．(1)已知sin＝－，求sin的值；
(2)已知cos＝，求cos的值．
解 (1)∵－＝2π，
∴sin＝sin＝sin＝－.
(2)∵－＝π，
∴cos＝cos
＝－cos＝－.
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双基限时练(五) 单位圆与周期性
一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．只有个别的x值或只差个别的x满足f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说T是y＝f(x)的周期
B．所有周期函数都存在最小正周期
C．周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N*)一定也是周期
D．周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界
解析 A正确．只有个别的 ( http: / / www.21cnjy.com )x值或只差个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说T是y＝f(x)的周期，例如：sin＝sin，但是sin≠sin.就是说不能对x在定域内的每一个值都有sin＝sinx，因此不是y＝sinx的周期．B不正确．并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．C正确．D正确．在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界．故选B.
答案 B
2．已知f(x)为R上的周期函数，且周期T＝3，若f(1)＝1，则f(2014)的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．670
解析 f(2014)＝f(3×671＋1)＝f(1)＝1.
答案 A
3．若角α的终边上有一点P，则sin(α－4π)的值为( )
A. － B.
C. － D.
解析 由于α的终边上有一点P，
∴|OP|＝＝1，∴sinα＝.
又sin(α－4π)＝sinα＝.
答案 D
4．已知f(x)＝cos，x∈Z，则f(x)的值域为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵x∈Z，当x＝2n(n∈Z)时，
f(x)＝cos＝，
当x＝2n＋1时，f(x)＝cos＝－，
故f(x)的值域为{－，}，答案为A.
答案 A
5．设f(x)(x∈R)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(1)＝－1，则f(11)的值是( )21教育网
A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析 由f(x)为奇函数， ( http: / / www.21cnjy.com )得f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)．又f(x)的周期为3，故f(11)＝f(3×4－1)＝f(－1)＝1.故选B.
答案 B
6．已知f(x)在R上为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
解析 ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)为周期函数．
T＝4，又f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.
∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.
答案 A
7．sin2580°＝( )
A. － B. －
C. D.
解析 sin2580°＝sin(7×360°＋60°)＝sin60°＝.
答案 D
二、填空题
8．cosπ＋sin＝________.
解析 原式＝cos＋sin
＝cos＋sin＝＋＝.
答案
9．若偶函数y＝f(x)是以4为 ( http: / / www.21cnjy.com )周期的函数，且f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是__________．
解析 ∵周期T＝4且f(x)在[－ ( http: / / www.21cnjy.com )6，－4]上递减，∴f(x)在[－2,0]上也是减函数．又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,2]上为增函数．
答案 递增
10．满足sinx＝的x的集合为________．
答案 {x|x＝2kπ＋，或x＝2kπ＋π，k∈Z}
三、解答题
11．求下列各式的值．
(1)cos；
(2)cosπ＋sin.
解 (1)cos＝cos＝cos＝.
(2)原式＝cos＋sin＝cos＋sin＝.
12．已知函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x＋1)＝－(f(x)≠0)对任意x∈R恒成立，求f(5)的值．21世纪教育网版权所有
解 ∵f(x＋1)＝－，∴f(x＋2)＝－
∴f(x＋2)＝－＝f(x)．
∴f(x)的周期为2.
∴f(5)＝f(1)＝2.
13．设f(n)＝cos，n∈Z.求f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)的值．
解 当n＝4k(k∈Z)时，f(n)＝cos＝；
当n＝4k＋1(k∈Z)时，
f(n)＝cos＝－；
当n＝4k＋2(k∈Z)时，
f(n)＝cos＝－；
当n＝4k＋3(k∈Z)时，
f(n)＝cos＝，
∴f(4k)＋f(4k＋1)＋f(4k＋2)＋f(4k＋3)＝0.
故f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＝＋＝－.
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双基限时练(四) 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
一、选择题
1．sin270°的值为( )
A．0 B．1
C．－1 D.
答案 C
2．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析 ∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0.
故－＝－＝2.
答案 C
3．如下图，直线l的倾斜角为，且与单位圆交于P、Q两点，则P点的横坐标是( )
A. B．－
C. D．－
解析 cosπ＝－，选B.
答案 B
4．点P(sin2014°，cos2014°)位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析 2014°＝5×360°＋214°为第三象限角，
∴sin2014°<0，cos2014°<0.
答案 C
5．若三角形的两个内角α，β满足cosα·sinβ<0，此三角形必为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况均有可能
解析 ∵α，β为三角形的内角，
∴α，β∈(0，π)，∴sinβ>0.
又cosα·sinβ<0，∴cosα<0，
故α∈(，π)，故三角形为钝角三角形．
答案 B
6．若sinθ＜0，cosθ＜0，则是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角
解析 由sinθ＜0，cosθ＜0知θ为第三象限角，由数形结合可得为二、四象限角．
答案 D
7．角α的终边上有一点P(a，a)(a∈R且a≠0)，则cosα的值是( )
A. B．－
C．± D．1
解析 cosα＝＝.当a>0时，cosα＝；当a<0时，cosα＝－.
答案 C
二、填空题
8．设θ∈(0,2π)，点P(sinθ，cosθ)在第三象限，则角θ的取值范围是________．
解析 由题意得sinθ<0，cosθ<0，又θ∈(0,2π)，
∴θ∈.
答案
9．如果角α的终边过点(3a－9，a＋2)，且cosα＜0，sinα＞0，那么α的取值范围是__________．21世纪教育网版权所有
解析 由cosα＜0，sinα＞0，得α的终边在第二象限，可得即－2＜a＜3.
答案 －2＜a＜3
10．如果α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，那么sinα的值等于________．
解析 ∵2sin30°＝2×＝1，
－2cos30°＝－2×＝－，∴α的终边过点(1，－)，
∴sinα＝＝－.
答案 －
三、解答题
11．判断下面各式的符号：
(1)sin105°·cos230°；(2)sin·cos；(3)cos6·sin6.
解 (1)∵105°，230°分别为第二、第三象限角．
∴sin105°>0，cos230°<0，∴sin105°·cos230°<0.
(2)∵<<π，∴是第二象限角．
∴sin>0，cos<0，∴sin·cos<0.
(3)∵<6<2π，
∴6弧度的角为第四象限角．
∴cos6>0，sin6<0，∴cos6·sin6<0.
12．若sin2θ>0且cosθ<0，试确定θ所在的象限．
解 ∵sin2θ>0，∴2kπ<2θ<2kπ＋π(k∈Z)．
∴kπ<θ当k＝2m(m∈Z)时，2mπ<θ<2mπ＋(m∈Z)．
当k＝2m＋1(m∈Z)时，2mπ＋π<θ<2mπ＋(m∈Z)；
故θ为第一或第三象限角．
∵cosθ<0，∴2kπ＋π<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴θ在第三象限．
13．(1)已知角α的终边过点P(1,2)，求sinα＋cosα的值；
(2)若角α的终边在直线y＝2x上，求sinα、cosα的值．
解 (1)∵角α的终边上有一点P(1,2)，
∴OP＝＝，
sinα＝，cosα＝，
sinα＋cosα＝·＋×＝.
(2)在角α的终边上任取一点(a,2a)(a≠0)，
则|OP|＝＝|a|.
当a＞0时，sinα＝＝，
cosα＝＝；
当a＜0时，sinα＝＝－，
cosα＝＝－.
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双基限时练(十一) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(一)
一、选择题
1．函数y＝2sin在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是( )
A．－，， B．－，，π
C．－，， D．－，，
答案 B
2．函数y＝－2sin的周期，振幅，初相分别是( )
A.，2， B．4π，－2，－
C．4π，2， D．2π，2，
解析 周期T＝＝4π，振幅为2，初相为.
答案 C
3．将函数y＝sin2x的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位所得图像的解析式是( )
A．y＝1＋cos2x B．y＝1＋sin2x
C．y＝1－cos2x D．y＝cos2x
解析 y＝sin2x向左平移个单位，得到y＝sin2＝cos2x，再向上平移1个单位，得到y＝1＋cos2x.21教育网
答案 A
4．要得到函数y＝sinx的图像，只需将函数y＝cos的图像( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析 ∵y＝sinx＝cos＝cos.
答案 A
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)在一个周期内的图像如下，此函数的解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析 由图可知A＝2，T＝(π＋)×2＝π，∴ω＝2，又f(－)＝2sin[2×(－)＋φ]＝2，知sin(－＋φ)＝1，令φ－＝，得φ＝π，∴函数的解析式为y＝2sin(2x＋π)．21cnjy.com
答案 A
6．将函数y＝sin的图像向右平移个单位，所得图像对应的函数是( )
A．非奇非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
解析 y＝sin
y＝sin＝sin2x为奇函数．
答案 C
7．把函数y＝cos2x＋1的图像上所 ( http: / / www.21cnjy.com )有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )21·cn·jy·com
解析 把函数y＝cos2x＋1的图像上所有 ( http: / / www.21cnjy.com )点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图像对应的解析式为y＝cosx＋1，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为y＝cos(x＋1)，画出图像可知选A.www.21-cn-jy.com
答案 A
二、填空题
8．函数y＝sin(ω>0)的周期为π，则ω＝________.
解析 由T＝＝π，得|ω|＝3，又ω>0，∴ω＝3.
答案 3
9．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数A>0，ω>0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 由题知，A＝，＝π－＝
∴T＝π，ω＝＝2.
∴2×＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝，∴f(x)＝sin
∴f(0)＝sin＝.
答案
10．将y＝f(x)的图像沿 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴向右平移个单位，再把所得图像纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，得到y＝2sinx的图像，则原函数f(x)＝________.21世纪教育网版权所有
解析 将y＝2sinx的图像纵坐标不变 ( http: / / www.21cnjy.com )，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin，再把所得函数的图像沿x轴向左平移个单位，即得到y＝f(x)＝2sin＝2sin的图像．2·1·c·n·j·y
答案 2sin
三、解答题
11．已知函数y＝3sin.
(1)利用“五点法”作函数的图像；
(2)说出此图像是由y＝sinx的图像经过怎样的变化得到的；
(3)求此函数的周期、振幅、初相．
解 (1)如图所示．
(2)方法一：“先平移，后伸缩”
先把y＝sinx的图像上所有的点向右平 ( http: / / www.21cnjy.com )移个单位长度，得到y＝sin的图像；再把y＝sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图像；最后将y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图像．21·世纪*教育网
方法二：“先伸缩，后平移”
先把y＝sinx的图像上所有点的横坐标伸 ( http: / / www.21cnjy.com )长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinx的图像；再把y＝sinx图像上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图像；最后将y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图像．www-2-1-cnjy-com
(3)周期T＝＝＝4π，振幅A＝3，初相是－.
12．如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像，确定函数解析式．
解 由图像知振幅A＝2，
又T＝2×＝π，∴ω＝＝2，
又图像过点(－，0)，
有－×2＋φ＝0，得φ＝，∴y＝2sin.
13．若方程2sin＝m在[0，π]上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
解 方程可化为＝sin(x＋)，等价于函 ( http: / / www.21cnjy.com )数y1＝sin(x＋)，y2＝在[0，π]上有两个不同的交点，则m应满足≤<1，即≤m<2.
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双基限时练(十) 正切函数的诱导公式
一、选择题
1．若f(x)＝tanx，则f(600°)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 f(600°)＝tan600°＝tan60°＝.
答案 C
2．tanπ＋tan的值为( )
A．－ B．0
C. D．－
解析 tanπ＋tan＝tan
－tan＝tanπ－tan＝－2tan
＝－.
答案 D
3．若sin(π＋α)＝－，则sintan(π－α)的值为( )
A. B. －
C. D. －
解析 由sin(π＋α)＝－，知sinα＝.
又sin·tan(π－α)＝cosα
＝－sinα＝－.
答案 B
4．若＝2，则tan(α＋π)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 由已知得＝2，
得tanα＝，∴tan(α＋π)＝tanα＝.
答案 A
5.·的值为( )
A．0 B．sinθ
C．－1 D．1
解析 原式＝·＝1.
答案 D
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x在(－∞，0)上f(x)的单调递增，若α、β为锐角三角形的两个内角，则( )21世纪教育网版权所有
A．f(tanα)＞f(tanβ)
B．f(tanα)＜f(tanβ)
C．f(tanα)＞f(cotβ)
D．f(tanα)＞f(cotβ)
解析 ∵α、β为锐角三角形的两个内角，
∴α＋β＞，∴α＞－β，又α、β∈
∴tanα＞tan，即tanα＞cotβ，
又f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(tanα)＞f(cotβ)．
答案 C
二、填空题
7．已知tan＝m(m≠0)，则cot的值为________．
解析 ∵(－2α)＋(2α＋π)＝π，
∴cot(2α＋π)＝－cot(－2α)＝－.
答案 －
8．tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)＝________.
解析 ∵(27°－α)＋(63°＋α)＝90°，
∴tan(27°－α)·tan(63°＋α)＝1。
又(139°－β)－(49°－β)＝90°，
∴tan(139°－β)·tan(49°－β)＝－1，故原式＝－1.
答案 －1
9.＝________.
解析 原式＝
＝＝.
答案
三、解答题
10．已知sin(π＋α)＝－，0＜α＜，求：
sin·tan的值．
解：∵sin(π＋α)＝－，∴－sinα＝－，
即sinα＝.
即cosα＝，tanα＝＝，cotα＝2.
∴sin·tan＝－cosα·tan＝cosα·cotα＝·2＝.
11．已知α为第二象限角，且tanα－＝，
求的值．
解 由tanα－＝，得4tan2α－15tanα－4＝0，
得tanα＝－或tanα＝4.
又α为第二象限的角，∴tanα＝－.
故＝＝
＝.
12．求tan2－tan2(n∈Z)的值．
解 ∵tan＝tan，
tan＝tan，
∴原式＝tan2－tan2
＝tan2－tan2＝ cot2α－cot2α＝0.
13．已知角α的终边经过点P(4，－3)，
(1)求sinα，cosα，tanα的值；
(2)求·的值．
解 (1)∵r＝＝5，
∴sinα＝＝－，
cosα＝＝，tanα＝＝－.
(2)·
＝·＝－
＝－＝－.
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双基限时练(七) 正弦函数的性质与图像
一、选择题
1．以下对正弦函数y＝sinx的图像描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图像形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析 由正弦函数的图像知A、B、D正确．
答案 C
2．M和m分别是函数y＝sinx－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A. B．－
C．－ D．－2
解析 ∵M＝ymax＝－1＝－，
m＝ymin＝－－1＝－，
∴M＋m＝－－＝－2.
答案 D
3．函数y＝4sinx＋3在[－π，π]上的递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析 y＝sinx的增区间就是y＝4sinx＋3的增区间．
答案 B
4．在[0,2π]内，使sinx≥成立的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 由y＝sinx的图像可知答案为B.
答案 B
5．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图像与y＝交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 如右图，y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图像与y＝的图像有两个交点．
答案 C
6．函数y＝sin的图像关于( )
A．原点对称 B．y轴对称
C.直线x＝－对称 D．直线x＝对称
解析 当x＝时，y＝1，故y＝sin的图像关于直线x＝对称．
答案 D
7．满足sin≥的α的集合为( )
A.
B.
C.
D.∪
解析 设t＝α－，则sint≥ ( http: / / www.21cnjy.com )，如图，设直线y＝与单位圆交于A、B两点，由三角函数线的定义知阴影部分即为t的取值范围，所以2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，即2kπ＋≤α－≤2kπ＋(k∈Z)，所以2kπ＋≤α≤2kπ＋(k∈Z)．21教育网
答案 A
二、填空题
8．用不等号填空
sinπ________sinπ；sin137°________cos312°；sinπ________cos3.
解析 sinπ＝sin，又sin∴sinπ∵sin137°＝sin43°，cos312°＝sin42°
又sin43°>sin42°，∴sin137°>cos312°.
由sinπ＝0，cos3<0.故sinπ>cos3.
答案 < > >
9．下列说法正确的是________(只填序号)．
①y＝|sinx|的定义域为R；
②y＝3sinx＋1的最小值为1；
③y＝－sinx为奇函数；
④y＝sinx－1的单调递增区间为(k∈R)．
解析 对于②，y＝3sinx＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于④，y＝sinx－1的单调递增区间为，k∈Z.故②④错，选①③.21cnjy.com
答案 ①③
10．函数y＝＋sinx－sin2x的最大值为________，此时x的值为________．
解析 设sinx＝t，t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋t＋＝－2＋2，
∴当t＝，即sinx＝，x＝2kπ＋，
或x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝2.
答案 2 2kπ＋，或2kπ＋π(k∈Z)
三、解答题
11．求函数y＝的定义域．
解 为使函数有意义，需满足即由正弦函数或单位圆，如图(1)、(2)所示．
所以原函数的定义域为{x|2kπ12．已知f(x)＝cos，
(1)试写出f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在上单调递减，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)＝cos＝－sinx
∴f(x)在(k∈Z)上单调递减，在
(k∈Z)上单调递增．
(2)∵f(x)在上单调递减，
∴ ，
即－∴a的取值范围是.
13．用五点法作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]上的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数的图像，写出满足下列条件的x的区间：①y>1，②y<1；
(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sinx的最大值、最小值及相应的自变量的值．
解 按五个关键点列表
x －π － 0 π
sinx 0 －1 0 1 0
1－2sinx 1 3 1 －1 1
描点连线得简图如下：
(1)由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，
∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点时，1∴a的取值范围是{a|1(3)由图像可知ymax＝3，此时x＝－；
ymin＝－1，此时x＝.
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双基限时练(十三) 三角函数的简单应用
一、选择题
1．已知函数y＝2sinωx(ω>0)的图像与直线y＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为，则ω的值为( )www.21-cn-jy.com
A．3 B.
C. D.
解析 由题可知T＝π，又ω>0，T＝，∴ω＝3.
答案 A
2．一弹簧振子做简谐振动，离开平衡位置的位移s与时间t的函数关系式为s＝3cos，t∈[0，＋∞)，则弹簧振子振动的周期为( )2·1·c·n·j·y
A. 2π B. 2π
C. D. 2π
解析 T＝＝.
答案 B
3．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
解析 ∵T＝＝，
∴f＝＝80.
答案 C
4．如图，设点A是单位圆上的一定点 ( http: / / www.21cnjy.com )，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是图中的( )【来源：21cnj*y.co*m】
解析 令所对圆心角为θ，由|OA|＝1，则l＝θ，sin＝，
∴d＝2sin＝2sin，即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图像为C.
答案 C
5．动点A(x，y)在以坐标原点 ( http: / / www.21cnjy.com )为圆心，以1为半径的圆上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，A，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(时间：s)的函数的单调增区间为( )【出处：21教育名师】
A. [0,1] B. [1,7]
C. [7,12] D. [0,1]和[7,12]
解析 动点A的纵坐标y关于时间t的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )关系式为y＝sin＝sin由2kπ－≤t＋≤2kπ＋(k∈Z)，又0≤t≤12，可知t∈[0,1]和[7,12]．【版权所有：21教育】
答案 D
6．设函数y＝f(t)是某港口水的 ( http: / / www.21cnjy.com )深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表所示的是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：21教育名师原创作品
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图像可 ( http: / / www.21cnjy.com )以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图像．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )21世纪教育网版权所有
A．y＝12＋3sint，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sint，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
解析 易知k＝12，A＝3，由周期T＝12知，ω＝，由t＝3时，y≈15，得φ＝0，故选A.
答案 A
7．一根长为l cm的线，一端固定，另 ( http: / / www.21cnjy.com )一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )21·世纪*教育网
A. B.
C. D.
解 1＝，∴l＝.
答案 D
??二、填空题
8．某城市一年中12个月 ( http: / / www.21cnjy.com )的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.【来源：21·世纪·教育·网】
解析 由题意得
得
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5cos＝23－＝20.5.
答案 20.5
9．某时钟的秒针端点A到中心点O的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60]．21cnjy.com
解析 如图所示：经历t秒钟，秒针转过的角度为∠AOB＝，取AB的中点C，则∠AOC＝，
d＝|AB|＝2|OA|sin∠AOC＝10sin.
答案 10sin
10．某种商品一年内每件 ( http: / / www.21cnjy.com )出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．www-2-1-cnjy-com
解析 3月份最高，7月份最低，所以T＝8，则ω＝，A＝2，b＝7.
令x＝3，得9＝2sin＋7 sin＝1.
又∵|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7.
答案 f(x)＝2sin＋7
三、解答题
11．已知某游乐园内摩天轮的中心O ( http: / / www.21cnjy.com )点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin＋50(单位：m)．那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续多少分钟？2-1-c-n-j-y
解 依题意，得40sin＋50≥70，
即sin≥，
所以在一个周期内持续的时间为π≥t－≥，解得4≤t≤8，
即持续时间为4分钟．
12．在图中，点O为做简谐运动的 ( http: / / www.21cnjy.com )物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时． 21*cnjy*com
(1)求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求该物体在t＝5 s时的位置．
解 (1)设x和t之间的函数关系为x＝3sin(ωt＋φ)(ω>0,0≤φ<2π)．
则由T＝＝3，可得ω＝.
当t＝0时，有x＝3sinφ＝3，
即sinφ＝1.
又0≤φ<2π，故可得φ＝.
所以，所求函数关系为x＝3sin，
即为x＝3cost.
(2)令t＝5，得x＝3cos＝－1.5，故该物体在t＝5 s时的位置是在O点左侧且距O点1.5 cm处．21教育网
13．在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计，得到10次测量结果(时间近似到0.1小时)，结果如下表所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，一天内存活时间y为纵坐标，作出这些数据的散点图；
(2)试选用一个形如y＝Asin(ωx＋φ)＋t的函数来近似描述一年中该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数关系；
(3)用(2)中的结果估计该种细菌一年中有多少天存活时间大于15.9小时？
解 (1)散点图如下图所示：
(2)由散点图知细菌存活时间与日期 ( http: / / www.21cnjy.com )位置序号之间的函数关系式满足y＝Asin(ωx＋φ)＋t，由图形可认为函数的最大值为19.4，最小值为5.4，所以19.4－5.4＝14，故A＝7，由19.4＋5.4＝24.8，故t＝12.4，又因为T＝365，所以ω＝.21·cn·jy·com
当x＝172时，＋φ＝，
所以φ＝－.
故y＝7sin＋12.4(1≤x≤365，x∈N＋)．
(3)由y>15.9，得sin>，
所以解得＋即这种细菌一年中大约有121天的存活时间大于15.9小时．
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双基限时练(二) 角的概念的推广
一、选择题
1．30°与－30°的关系是( )
A. 旋转的角度都是30°，且旋转方向相同
B. 旋转的角度都是30°，30°角是按顺时针方向旋转，而－30°是按逆时针方向旋转
C. 旋转的角度都是30°，30°角是按逆时针方向旋转，而－30°是按顺时针方向旋转
D. 以上均不正确
答案 C
2．下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角为钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．【来源：21·世纪·教育·网】
其中正确的个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
答案 A
3．将－880°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为( )
A．－3×360°＋200°
B．－2×360°－170°
C．－2×360°＋160°
D．－3×360°＋190°
解析 －880°＝－1080°＋200°.
答案 A
4．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390° ,690° B．－330° ,750°
C．480° ，－420° D．3000° ，－840°
解析 －330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°.
答案 B
5．已知α为锐角，则角α＋k·180°(k∈Z)所在的象限是( )
A．一或二 B．一或三
C．二或三 D．二或四
解析 当k为偶数，即k＝2n(n∈Z)时， ( http: / / www.21cnjy.com )α＋k·180°＝n·360°＋α，又α为锐角，∴α＋k·180°为第一象限角，当k为奇数，即k＝2n＋1(k∈Z)时，α＋k·180°＝(2n＋1)·180°＋α＝360°n＋180°＋α，为第三象限角．21教育网
答案 B
6．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
解析 因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A，B.又C项中的角出现在第三象限，故选D.21世纪教育网版权所有
答案 D
7．若α与β的终边互为反向延长线，则有( )
A．α＝β＋180° B．α＝β－180°
C．α＝－β D．α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z
解析 α与β的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180°的奇数倍，可得α＝β＋(2k＋1)·180°，k∈Z.21cnjy.com
答案 D
二、填空题
8．在集合A＝{α|α＝120° ＋k·360° ，k∈Z}中，属于区间(－360° ,360° )的角的集合是________．21·cn·jy·com
解析 由α＝k·360°＋120°，且α∈(－360°，360°)，知，
当k＝0时，α＝120°，
当k＝－1时，α＝－240°.
答案 {－240°，120°}
9．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．
解析 ∵2小时40分＝2小时，
∴分针转过的角度是－360°×2＝－960°.
答案 －960°
10．若角α为第三象限角，则角所在的象限是________．
解析 ∵α为第三象限角，由下图知，为二、四象限的角．
答案 二、四
三、解答题
11．已知集合A＝{α|30°＋k·180° ( http: / / www.21cnjy.com )<α<90°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|－45°＋k·360°<β<45°＋k·360°，k∈Z}，求A∩B.
解 如图，集合A中角的终边在阴 ( http: / / www.21cnjy.com )影(Ⅰ)内，集合B中角的终边在阴影(Ⅱ)内，因此集合A∩B＝{α|30°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．www.21-cn-jy.com
12．(1)用集合的形式表示与下图中终边相同的角的集合．
(2)如图所示，写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950° 12′是否是该集合中的角．2·1·c·n·j·y
解 (1)①由图可知，角的终边与30°的终边重合，故所求的角的集合为{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．21·世纪*教育网
②由图可知，两角的终边在一条直线上，在0°～ ( http: / / www.21cnjy.com )360°内，一角为30°，另一个角为210° ，故所求的角的集合为{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为
{x|120°＋k·360°≤x≤250°＋k·360°，k∈Z}．
因为－950°12′＝129°48′－3×360°，120°<129°48′<250°，所以－950°12′是该集合中的角．www-2-1-cnjy-com
13．已知α，β为锐角，且α＋β的终边与角－280° 的终边相同，α－β的终边与角670° 的终边相同，求角α，β.2-1-c-n-j-y
解 由题意得
α＋β＝－280°＋k·360°＝(k－1)·360°＋80°，
α－β＝670°＋k·360°＝(k＋2)·360°－50°，
(其中k∈Z)又α、β都为锐角
∵0°<α＋β<180°，－90°<α－β<90°，
∴α＋β＝80°，α－β＝－50°.
∴α＝15°，β＝65°.
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双基限时练(八) 余弦函数的图像与性质
一、选择题
1．函数f(x)＝cosx的图像的对称轴是( )
A．x＝kπ，k∈Z
B．x＝kπ＋，k∈Z
C．x＝2kπ＋，k∈Z
D．x＝2kπ－，k∈Z
解析 由余弦函数图像知．
答案 A
2．函数y＝1－2cosx的最小值、最大值分别是( )
A. －1,3 B. －1,1
C. 0,3 D. 0,1
解析 ymin＝1－2＝－1，ymax＝1＋2＝3.
答案 A
3．函数y＝log2(2cosx－)的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C．[2kπ－30°，2kπ＋30°](k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 D
4．下列4个函数中，既是上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )
A．y＝sin|x| B．y＝|sinx|
C．y＝|cos2x| D．y＝cosx
解析 由四个函数的图像可知．
答案 B
5．函数y＝cosx－2，x∈[－π，π]的图像是( )
解析 把y＝cosx，x∈[－π，π]的图像向下平移2个单位．
答案 A
6．若函数f(x)＝cos(x＋φ)，φ∈(0,2π)为偶函数，则φ＝( )
A. B．π
C.π D.
解析 cos(x＋π)＝－cosx，故选B.
答案 B
二、填空题
7．函数y＝cosx的值域为________．
解析 当x∈时，－≤cosx≤1，所以值域为.
答案
8．函数y＝cosx－1的对称中心为________．
解析 y＝cosx的对称中心为(k ( http: / / www.21cnjy.com )π＋，0)，由y＝cosx图像向下平移一个单位，得到y＝cosx－1的图像．所以y＝cosx－1的对称中心为(kπ＋，－1)．21教育网
答案
9．y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．21cnjy.com
解析 由y＝2cosx，x∈[0,2π]上的图像可知封闭的平面图形的面积S＝2π×2＝4π.
答案 4π
10．cos与cos的大小关系为________．
解析 cos＝cos＝cosπ，
cos＝cos＝cos.
∵0<<π<π，而y＝cosx在[0，π]上是减函数，∴cos>cosπ，即cos>cos.21·cn·jy·com
答案 cos>cos
三、解答题
11．求函数y＝log2cos2x的定义域、值域、单调区间．
解 由cos2x>0得2kπ－<2x<2kπ＋，
即kπ－∴函数y＝log2cos2x的定义域为
(k∈Z)，
∵cos2x∈(0,1]∴y＝log2cos2x的值域为(－∞，0]．
由余弦函数的图像及函数的定义域可知，y＝log2cos2x在(k∈Z)单调递增，在(k∈Z)单调递减．
12．已知函数f(x)＝试写出它的性质(四个以上)．
解 该函数的图像如图所示，由图像可知：
①函数的定义域为R；
②函数的值域为；
③函数的最小正周期为2π；
④当且仅当x＝2kπ和x＝2kπ＋(k∈Z)时函数取得最大值1；
⑤当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时函数取得最小值－；
⑥当且仅当2kπ＋π⑦当且仅当2kπ－⑧当且仅当2kπ13．求当函数y＝－cos2x＋acosx－a－的最大值为1时a的值．
解 y＝－cos2x＋acosx－－＝－2＋－a－.
设cosx＝t，∵－1≤cosx≤1，∴－1≤t≤1.
∴求函数y＝－2＋－a－的最大值为1时a的值，等价于求二次函数y＝－2＋－a－(－1≤t≤1)的最大值为1时a的值．21世纪教育网版权所有
①当<－1，即a<－2时，在t＝－1处，y有最大值，为－a－.由题设可知－a－＝1，∴a＝－>－2(舍去)．www.21-cn-jy.com
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，在t＝处，y有最大值，为－－.
由题设可知－－＝1，解得a＝1±(正值舍去)．
③当>1，即a>2时，在t＝1处，y有最大值，为－.由题设可知－＝1，∴a＝5.
综上可得a＝1－或a＝5.
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双基限时练(十二) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(二)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin(πx＋θ)，(0<θ<2π)的最小正周期为T，且当x＝2时取最大值，那么( )21教育网
A. T＝2，θ＝ B. T＝1，θ＝π
C. T＝2，θ＝π D. T＝1，θ＝
解析 T＝＝2，
∴f(2)＝sin(2π＋θ)＝sinθ，显然当θ＝时f(x)取得最大值．
答案 A
2．函数f(x)＝sin的单调增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析 由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)解得．
答案 A
3．若f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，则φ值可能是( )
A. B.
C. D. π
解析 ∵sin＝cos2x，而y＝cos2x为偶函数，∴φ＝.
答案 B
4．函数y＝sin的图像( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
解析 f()＝0.
答案 A
5．①最小正周期π；②图像关于对称，则下列函数同时具有以上两个性质的是( )
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝tan
解析 用排除法．
答案 B
6．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析 由题意得3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ－，取k＝0，得|φ|的最小值为.故选A.
答案 A
7．把函数y＝cos的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度所得到的函数为偶函数，则φ的最小值是( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
解析 向左平移φ个单位长度后的解析式为y＝cos，∴＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－>0(k∈Z)．
∴k>，∴k＝2，∴φ＝.
答案 B
二、填空题
8．函数y＝2sin，x∈的值域是____________．
解析 ∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π.
∴－≤2sin≤2.
答案 [－，2]
9．函数y＝2sin的单调减区间为________．
解析 ∵y＝2sin＝－2sin
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z，
∴原函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
10．给出下列命题：①函数y＝sinx在第一 ( http: / / www.21cnjy.com )象限是增函数；②函数y＝cos(ωx＋φ)的最小正周期T＝；③函数y＝sin是偶函数；④函数y＝cos2x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像．其中正确的命题是__________．21cnjy.com
解析 ①第一象限有正角或负角，无单调性可言， ( http: / / www.21cnjy.com )故①不正确；②中的最小正周期T＝，故②不对；③函数y＝sin(x＋π)＝－cosx，故其为偶函数；④将函数y＝cos2x的图像向左平移个单位，得到y＝cos2(x＋)＝－sin2x的图像，故④不正确，只有③正确．
答案 ③
三、解答题
11．设函数f(x)＝sin(x＋φ)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解 (1)由题意得f(0)＝f，即sinφ＝cosφ，
即tanφ＝1，又0<φ<，∴φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－π≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调增区间为
(k∈Z)．
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.21·cn·jy·com
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
解 (1)由最低点为M，得A＝2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M在图像上，得2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.
又φ∈，∴φ＝.
故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．
13．若函数f(x)＝sin(2x＋φ)，对任意x都有f＝f.
(1) 求f的值；
(2)求φ的最小正值；
(3)当φ取最小正值时，若x∈，求f(x)的最大值和最小值；
(4)写出函数f(x)的单调增区间．
解 (1) 解法一：由f＝f，知f(x)的图像关于直线x＝对称．
又∵这个图像的对称轴一定经过图像的最高点或最低点，故f＝±.
解法二：∵f＝f，
∴f(x)关于x＝对称，∴2×＋φ＝kπ＋，
∴f＝sin＝±.
(2)由f＝±，得2·＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝－＋kπ(k∈Z)．
令k＝1，得φ＝，即为φ的最小正值．
(3)由(2)知f(x)＝sin(2x＋)，
当－≤x≤时，≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝－时，f(x)取最大值；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值－.
(4)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－π≤x≤kπ－(k∈Z)，
∴函数f(x)＝sin(2x＋φ)的单调增区间为(k∈Z)．
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