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双基限时练(十一)
一、选择题
1．某工厂的生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为( )
A．12p B．p
C．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1
解析 设该厂去年年产值为a，则今年年产值为a(1＋p)12，故年平均增长率为＝(1＋p)12－1.2·1·c·n·j·y
答案 D
2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( )2-1-c-n-j-y
A.或5 B.或5
C. D.
解析 ∵9S3＝S6，显然q≠1，
∴＝ 1＋q3＝9 q＝2.
∴是首项为1，公比为的等比数列，前5项和T5＝＝.
答案 C
3．某村办企业在2008年中 ( http: / / www.21cnjy.com )，前三季度的赢利成等差数列，后三季度的赢利成等比数列，已知二、三季度共赢利4万元，全年共赢利12万元，则该企业第四季度赢利为( )【出处：21教育名师】
A．7万元 B．8万元
C．9万元 D．10万元
解析 设这四季度的赢利分别为a－d，a，a＋d，，由题意得得
∴＝9.
答案 C
4．一个蜂巢里有1只蜜蜂． ( http: / / www.21cnjy.com )第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂的只数是( )21世纪教育网版权所有
A．55986 B．46656
C．216 D．36
解析 第一天：a1＝1＋5＝6，第二天：a ( http: / / www.21cnjy.com )2＝6＋6×5＝6×6，第三天：a3＝6＋6×5＋a2×5＝a2×6＝63，…，第6天，a6＝66＝46656.
答案 B
5．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%、q%，则这两年的平均增长率是( )
A.
B．p%·q%
C.
D.－1
解析 设第一年的产值为a，平均增长率为x，则a(1＋p%)(1＋q%)＝a(1＋x)2，
∴x＝－1.
答案 D
6．如果一对兔子每月能生产一对(一雌一雄)小 ( http: / / www.21cnjy.com )兔子，而每一对小兔子在它出生的第三个月里，又能生产一对小兔子．假定在不发生死亡的情况下，由一对初生的小兔子从第一个月开始，如果用a1表示初生小兔子的对数，an表示第n个月的兔子总对数，那么a5的值为( )21·cn·jy·com
A．3 B．5
C．6 D．8
解析 a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5.
答案 B
二、填空题
7．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某 ( http: / / www.21cnjy.com )商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝________；f(5)＝________.www-2-1-cnjy-com
解析 f(3)＝1＋3＋6＝10，
f(5)＝1＋3＋6＋10＋15＝35.
答案 10 35
8．某企业2009年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2009年度的产值月平均增长率为________．www.21-cn-jy.com
解析 设月平均增长率为r，由a(1＋r)11＝pa，得r＝－1.
答案 －1
9．某林场年初有森林、木材存 ( http: / / www.21cnjy.com )量S立方米，木材以25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x立方米，为实现两年砍伐后的木材存量增加50%，则x＝________. 21*cnjy*com
解析 第一次砍伐木材后的存量为S ( http: / / www.21cnjy.com )(1＋25%)－x，第二次砍伐后的木材存量为[S(1＋25%)－x](1＋25%)－x，由题意得2S－x－x＝S(1＋50%)，得x＝.【来源：21cnj*y.co*m】
答案
三、解答题
10．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占 ( http: / / www.21cnjy.com )据内存2 kB，然后每3分钟自身复制一次，复制所占内存是原来的2倍，则经过多少分钟，该病毒将占据内存64 MB(1 MB＝210kB) 21cnjy.com
解 由题知这是一个首项为2，公比为2的等比数列；设为{an}(an为第n－1次复制后占据的内存大小)，【来源：21·世纪·教育·网】
∴an＝2n.由an＝64×210得n＝16.
因此复制了15次，所需时间为45分钟．
∴经过45分钟，该病毒占据内存64 MB.
11．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比下面一层多放1支，最上面一层放了120支，求这个V形架上共放了多少支铅笔？21教育名师原创作品
解 由题可知，该V形架中每层所放的铅笔 ( http: / / www.21cnjy.com )数由下向上依次成等差数列，其中a1＝1，d＝1，an＝120，又an＝a1＋(n－1)d＝n，∴n＝120，∴Sn＝＝＝7260.∴这个V形架上共放了7260支铅笔．21·世纪*教育网
12．某厂生产计算机，原计划第一季 ( http: / / www.21cnjy.com )度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列．且第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台．问该厂第一季度实际生产计算机多少台？【版权所有：21教育】
解 根据已知，可设该厂第一季度原 ( http: / / www.21cnjy.com )计划3个月生产计算机台数分别为x－d，x，x＋d(d>0)，则实际上3个月生产计算机分别为x－d，x＋10，x＋d＋25.21*cnjy*com
由题意得
解得x＝90，d＝10.
故有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)．
∴该厂第一季度实际生产计算机305台．
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13．某公司经销一种数码产品，第1年获 ( http: / / www.21cnjy.com )利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？21教育网
解 由题意可知，设第1年获利为a1 ( http: / / www.21cnjy.com )，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220<0，解得n>11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．
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双基限时练(十)
一、选择题
1．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析 由题意得，a3＝a1＋a2，
∴q2＝1＋q，得q＝，又an>0，
∴q>0，故q＝.
即＝q＝.
答案 B
2．公差不为0的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )21·cn·jy·com
A．2 B．4
C．8 D．16
解析 2a3－a＋2a11＝0得4a7－a＝0，∴a7＝4，或a7＝0(舍)．∵b7＝a7，∴b6b8＝b＝16.2·1·c·n·j·y
答案 D
3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( )21·世纪*教育网
A．18 B．24
C．60 D．90
解析 设公差为d，则a4＝a1＋3d，a3＝a1＋2d，a7＝a1＋6d，由已知得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，2-1-c-n-j-y
得2a1＝－3d，
又S8＝＝32，得d＝2.
∴S10＝＝5(2a1＋9d)＝5×6d＝60.
答案 C
4．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}的相邻三项，若b2＝5，则bn＝( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．5·n－1 B．5·n－1
C．3·n－1 D．3·n－1
解析 由题意得a＝a5·a13.
即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)(a1＋12d)，得d＝2a1.
∴a8＝15a1，a5＝a1＋4d＝9a1，q＝＝.
∴bn＝b2·qn－2＝5×n－2＝3×n－1.
答案 D
5．数列9,99,999,9999，…的前n项和等于( )
A．10n－1 B.(10n－1)－n
C.(10n－1) D.(10n－1)＋n
解析 an＝10n－1，
∴Sn＝－n＝－n.
答案 B
6．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析 由已知得解得或
当a4＝4，a7＝－2时，易得a1＝ ( http: / / www.21cnjy.com )－8，a10＝1，从而a1＋a10＝－7；当a4＝－2，a7＝4时，易得a10＝－8，a1＝1，从而a1＋a10＝－7.
答案 D
二、填空题
7．一个等比数列，它与一个首项为0，公 ( http: / / www.21cnjy.com )差不为零的等差数列相应项相加后得到新的数列1,1,2，…，则相加以后新数列的前10项和为________． 21*cnjy*com
解析 设{an}为等比数列，公比为q，数列{bn}为等差数列，公差为d，
则得
∴新数列的前10项的和S10＝＋×(－1)＝978.
答案 978
8．1，，2，，4，，…的前2n项的和是________．
解析 S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋
＝＋
＝2n－n.
答案 2n－n
9．首项为2，公差为2的等差数列的前n项和为Sn，则＋＋…＋＝________.
解析 由已知可知Sn＝2n＋×2＝n2＋n
∴＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
答案
三、解答题
10．在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列．
求的值．
解 ∵{an}为等差数列，且a ( http: / / www.21cnjy.com )1，a3，a9成等比数列，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1d＝d2，又d≠0，∴a1＝d，∴＝＝.21教育网
11．在等比数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.www.21-cn-jy.com
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn.求数列{Sn}的通项公式．
解 (1)∵{an}为等比数列，a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25.
又an>0，∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4.
而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
∴q＝，a1＝16.
∴an＝16×n－1＝25－n.
(2)bn＝log2an＝5－n，
∴{bn}的前n项和Sn＝＝.
12．已知{an}是一个公差大于0的等差数列，并且满足a3·a6＝55，a2＋a7＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)如果数列{an}和数列{bn}都满足等式：an＝＋＋…＋(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn.www-2-1-cnjy-com
解 (1)由{an}为等差数列，知a2＋a7＝a3＋a6＝16，
由得或
又公差d>0，∴a3＝5，a6＝11.
由a6＝a3＋3d，得d＝2.
∴an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.
(2)当n＝1时，a1＝，得b1＝2.
当n≥2时，由an＝＋＋…＋＋，
得an－1＝＋＋…＋.
∴an－an－1＝.
∴bn＝2n＋1.
又n＝1时，2n＋1＝4≠2，
∴bn＝
当n＝1时，S1＝b1＝2，
当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋＝2n＋2－6，
又n＝1时，上式也成立，
∴Sn＝2n＋2－6.
思 维 探 究
13．已知数列{an}为等差数列且公差 ( http: / / www.21cnjy.com )d≠0，{an}的部分项组成下列数列：ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn.21世纪教育网版权所有
解 由题设有a2k2＝ak1ak3，即a＝a1a17，∴(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，∴a1＝2d或d＝0(舍去)，∴a5＝a1＋4d＝6d，∴等比数列的公比q＝＝＝3.21cnjy.com
由于akn是等差数列的第kn项，又是等比数列的第n项，
故akn＝a1＋(kn－1)d＝ak1qn－1，
∴kn＝2·3n－1－1.
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双基限时练(一)
一、选择题
1．数列3,7,13,21,31，…的通项公式是( )
A．an＝4n－1 B．an＝n2＋n－2
C．an＝n2＋n＋1 D．不存在
解析 逐个检验．
答案 C
2．数列，，，，…，中的第9项为( )
A. B.
C. D.
答案 B
3．已知数列，，，，…，那么9是这个数列的第( )
A．12项 B．13项
C．14项 D．15项
解析 an中根号内的每个数比它相邻的前一个数多6，故an＝＝，令6n－3＝81，得n＝14.
答案 C
4．已知数列，，，，…，，…，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有( )21教育网
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 令0.98＝，得n＝49，∴0. ( http: / / www.21cnjy.com )98是这个数列的第49项．令＝0.96，得n＝24，∴0.96是这个数列的第24项．令＝0.94，解得n＝ N＋，21世纪教育网版权所有
∴0.94不是这个数列中的项．
答案 C
5．数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式an等于( )
A.(10n－1) B.(10n－1)
C. D.(10－n－1)
解析 ∵0.3＝＝×＝，
0．33＝＝×＝，
0．333＝＝×＝，
0．3333＝＝×＝，
…
∴an＝.
答案 C
6．已知数列1,2,4,7,11,16，x,29,37，…，则x等于( )
A．20 B．21
C．22 D．23
解析 ∵该数列有如下特点：2－1＝1,4－2＝2,7－4＝3,11－7＝4,16－11＝5，x－16＝6，∴x＝22.www.21-cn-jy.com
答案 C
二、填空题
7．数列1，，，，…的通项公式为________；数列2，，1，，0，…的通项公式为________．2·1·c·n·j·y
解析 对于数列2，，1，，0，…可写成，，，，，…
答案 an＝ an＝
8．已知数列{an}对于任意p、q∈N＋，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝________.21·世纪*教育网
解析 由a1＝，得a2＝a1＋a1＝，
a4＝a2＋a2＝，a8＝a4＋a4＝，
a16＝2a8＝，a32＝2a16＝，
a36＝a32＋a4＝＋＝＝4.
答案 4
9．数列－1，，－，，…的通项公式为 ( http: / / www.21cnjy.com )________；数列，，，，…的通项公式为________；数列7,77,777，…的通项公式为________．21·cn·jy·com
答案 an＝ an＝ an＝×(10n－1)
三、解答题
10．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)1，－3,5，－7,9，…；
(2)，2，，8，，…；
(3)，，，，，…；
(4)3,5,9,17,33，….
解 (1)a1＝2×1－1，a2＝－(2× ( http: / / www.21cnjy.com )2－1)，a3＝2×3－1，a4＝－(2×4－1)，a5＝2×5－1，…，∴an＝(－1)n＋1·(2n－1)．21cnjy.com
(2)∵a1＝，a2＝2＝＝，a3＝＝，a4＝8＝＝，a5＝＝，…，∴an＝.
(3)∵a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，…，∴an＝.
(4)∵3＝21＋1,5＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4＋1＝22＋1,9＝8＋1＝23＋1,17＝16＋1＝24＋1,33＝32＋1＝25＋1，…，∴an＝2n＋1.www-2-1-cnjy-com
11．已知数列{n(n＋2)}．
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解 (1)a8＝8×(8＋2)＝80，a20＝20×(20＋2)＝440.
(2)由n(n＋2)＝323，得(n－17)(n＋19)＝0，
得n＝17，或n＝－19(舍)．
∴323是这个数列中的项，是第17项．
12．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n(项数)的一次函数．
(1)求这个数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项？
解 (1)设an＝an＋b，
由题意得得
∴an＝4n－2.
(2)设88为{an}的第n项，
则88＝4n－2，n＝＝，
而n＝ N＋，故88不是数列{an}中的项．
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13．已知数列{an}中，a1＝，
an＋1＝
(1)求a2，a3，a4；
(2)求a2015的值．
解 (1)∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝2×－1＝，又<<1，∴a3＝2a2－1＝－1＝，又0≤<，∴a4＝2a3＝.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)由(1)知{an}为周期数列，且周期为3，又2015＝671×3＋2，∴a2015＝a2＝.2-1-c-n-j-y
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双基限时练(七)
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．10 B．9
C．12 D．11
解析 ∵{an}为等比数列，a1 ( http: / / www.21cnjy.com )＝1，∴a1·a2·a3·a4·a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝am，又am＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.2·1·c·n·j·y
答案 D
2．在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析 ＝q3＝8，∴q＝2.
答案 A
3．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝( )
A. B.
C. D．2
解析 设公比为q，由题意得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，得q2＝2，∵q>0，∴q＝，∴a1＝＝＝.21·cn·jy·com
答案 B
4．设a1＝2，数列{1＋an}是以3为公比的等比数列，则a4的值为( )
A．80 B．81
C．54 D．53
解析 由题意得1＋a4＝(1＋a1)·q3＝3×33＝34＝81，
∴a4＝81－1＝80.
答案 A
5．已知a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋2bx＋c的图像与x轴的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析 由a，b，c成等比数列，知b2＝ac，∴Δ＝4b2－4ac＝0，∴交点个数为1个．
答案 B
6．如果a，b，c成等比数列，m为a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则＋等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 ∵m为a，b的等差中项，∴a＋b＝2m，又n为b，c的等差中项，∴b＋c＝2n，∴＋＝＋＝＋＝＋＝2.21cnjy.com
答案 C
二、填空题
7．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a的取值范围是________．
答案 a≠0，且a≠1
8．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
解析 由a、b、c成等差数列，得2b＝a＋c，
由c，a，b成等比数列得a2＝bc，
∴a2＝·c，得2a2－ac－c2＝0，
(2a＋c)(a－c)＝0，又a、b、c互不相等，
∴c＝－2a，∴2b＝－a.
∴a＋3b＋c＝a－a－2a＝10，得a＝－4.
答案 －4
9．已知{an}为等比数列，且公比为2，则＝____________.
解析 ＝＝＝.
答案
三、解答题
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，求证数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．21·世纪*教育网
证明 ∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2，
∴数列{an＋1}为等比数列，
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.
11．已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求数列{an}的通项公式．
解 ∵{an}为等比数列，∴a2＋a4＝＋a3q＝＋2q＝，∴3q2－10q＋3＝0，得q＝或q＝3.21世纪教育网版权所有
当q＝时，an＝a2·qn－2＝2×n－2；
当q＝3时，an＝a2·qn－2＝2·3n－2.
12．设数列{an}的前n项和为Sn＝n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1，求{an}，{bn}的通项公式．21教育网
解 当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
又当n＝1时，2n－1＝1，
∴an＝2n－1.
由题意知，{bn}为等比数列，b1＝a1＝1，b2(a2－a1)＝b1，
∴＝＝.
∴bn＝b1·n－1＝n－1.
思 维 探 究
13．等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.www.21-cn-jy.com
解 (1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)知a3＝8，a5＝32，得b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有
得∴bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.
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双基限时练(二)
一、选择题
1．若数列{an}的通项公式an＝3n＋2，则数列{an}的图像是( )
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一群孤立的点 D．一个圆
解析 ∵n∈N＋，∴数列{an}的图像是一群孤立的点，且这些点都在直线y＝3x＋2上．
答案 C
2．在数列{an}中，an＝3－2n，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析 ∵an＋1－an＝3－2(n＋1)－3＋2n＝－2<0，∴数列{an}为递减数列．
答案 B
3．已知数列{an}为递减数列，且an＝(3－2a)n＋1，则实数a的取值范围是( )
A．a< B．a>
C．a≤ D．a≥
解析 由{an}为递减数列，知3－2a<0，即a>.
答案 B
4．数列{3n2－28n}中，各项中最小的项是( )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
解析 对称轴n＝＝＝4，∴当n＝5时，an取得最小值．
答案 B
5．数列{an}的通项公式是an＝，其中a、b都为正实数，则an与an＋1的大小关系是( )
A．an>an＋1 B．an
C．an＝an＋1 D．与n有关
解析 an＋1－an＝－
＝
＝.
∵a，b∈R＋，n∈N＋，∴an＋1－an>0.
答案 B
6．已知数列{－2n2＋4an＋3}中的数值最大的项为第6项，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D．{6}
解析 由题意得，对称轴a∈[5.5,6.5]．
答案 C
二、填空题
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a5＝________.
解析 由a1＝1，an＋1＝，
得a2＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.
答案
8．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2，则an＝_______________.
解析 由an＋1＝an＋2，a1＝1，知a2＝3，a3＝5，a4＝7，…，an＝2n－1.
答案 2n－1
9．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)＝________.
解析 由f(n)＝＋＋…＋，得f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
∴f(n＋1)－f(n)＝＋－
＝－.
答案 －
三、解答题
10．已知an＝a·n(a≠0且为常数)，试判断{an}的单调性．
解 ∵an－an－1＝－a·n(n≥2，且n∈N＋)，
∴当a>0时，an－an－1<0.即an当a<0时，an－an－1>0，即an>an－1，数列{an}是递增数列．
11．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？求出最小值．
解 (1)由an＝n2－5n＋4＝(n－)2－
当n＝2时，an＝－2，
当n＝3时，a3＝－2，
当n＝1时，a1＝0，
同理，当n＝4时，a4＝0，
由函数的单调性可知，
当n≥5时，an>0，
∴数列中只有a2，a3这两项为负数．
(2)由an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，
知对称轴为n＝＝2.5，又n∈N＋，
∴当n＝2，或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
12．已知数列{an}满足an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，求实数λ的取值范围．
解 ∵an≤an＋1，∴n2＋λn－(n ( http: / / www.21cnjy.com )＋1)2－λ(n＋1)≤0，即λ≥－(2n＋1)，n∈N＋.∴λ≥－3.∴实数λ的取值范围是[－3，＋∞)．
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13．已知数列{an}的通项公式是an＝.
(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？
(2)该数列中有负数项吗？
解 (1)对任意n∈N＋，
∵an＋1－an＝－＝<0，
∴数列{an}是递减数列．
(2)令an<0，即<0，
∴n2＋5n＋4<0得(n＋4)(n＋1)<0，∴－4而n∈N＋，故数列{an}没有负数项．
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双基限时练(三)
一、选择题
1．等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则ca1，ca2，ca3，…，can(c为常数且c≠0)是( )21教育网
A．公差为d的等差数列
B．公差为cd的等差数列
C．非等差数列
D．以上都不对
解析 can－can－1＝c(an－an＋1)＝cd.
答案 B
2．已知等差数列{an}中，a5＝17，a19＝59，则2009是该数列的第( )项( )
A．667 B．669
C．670 D．671
解析 设公差为d，a19＝a5＋(19－5)d，∴d＝＝3，
∴an＝a5＋(n－5)d＝17＋3×(n－5)＝3n＋2，
由3n＋2＝2009，得n＝669.
答案 B
3．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d的值为( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析 由a7－2a4＝a3＋4d－2a3－2d＝－a3＋2d＝－1，由a3＝0，得d＝－.
答案 B
4．在等差数列{an}中，a5＋a6＝29，a3＝7，则a12的值为( )
A．32 B．40
C．34 D．4
解析 设公差为d，由a5＋a6＝29，得a3＋2d＋a3＋3d＝29，得14＋5d＝29，得d＝3，21cnjy.com
∴a12＝a3＋(12－3)d＝7＋9×3＝34.
答案 C
5．在首项为31，公差为－3的等差数列{an}中，与0最接近的是( )
A．a10 B．a11
C．a12 D．a13
解析 由a1＝31，d＝－3，知
an＝31＋(n－1)×(－3)＝34－3n.
又a11＝34－33＝1，a12＝34－36＝－2.
∴与0最接近的是a11.
答案 B
6．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于( )
A．－9 B．－8
C．－7 D．－4
解析 ∵{an}为等差数列，且a6＝a4＋6，∴a6－a4＝6，∴d＝＝3，∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8.21世纪教育网版权所有
答案 B
二、填空题
7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2，(n∈N＋)，则a2010＝________.
解析 由an＋1－an＝2知数列{an}为等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，故a2010＝2×2010＝4020.
答案 4020
8．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解析 由a5＝a2＋6＝a2＋3d，得d＝2，故a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
答案 13
9．在a和b之间插入n个数，使它们成等差数列，则公差d＝________.
解析 在a、b之间插入n个数后共有n＋2个数，这n＋2个数成等差数列，则b＝an＋2＝a＋(n＋2－1)d，∴d＝.
答案
三、解答题
10．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.求an.
解 ∵数列{an}是等差数列，设公差为d，
∴a5＝a3＋2d＝7＋2d，
a7＝a3＋4d＝7＋4d.
又a5＋a7＝7＋2d＋7＋4d＝14＋6d＝26，
得d＝2.
∴an＝a3＋(n－3)d＝7＋2(n－3)＝2n＋1.
11．已知数列{an}满足a1＝1，an>0，a＝a＋4，求an.
解 由a＝a＋4，得a－a＝4.
∴{a}为等差数列．
∴a＝a＋4(n－1)＝1＋4(n－1)＝4n－3.
又an>0，∴an＝.
12．在等差数列{an}中，a4＝3，a10＝9，
(1)求an；
(2)44是这个数列中的项吗？为什么？
解 (1)∵{an}为等差数列，∴a10＝a4＋6d.
即9＝3＋6d，∴d＝1.
∴an＝a4＋(n－4)d＝3＋n－4＝n－1.
(2)设44是这个数列中的第n项(n∈N＋)
由n－1＝44，得n＝45，这与n∈N＋矛盾，
故44不是这个数列中的项．
思 维 探 究
13．在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，且通项公式是项数n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式，并求a1007；
(2)若bn＝a2n－1，求数列{bn}的通项公式．
解 (1)设an＝An＋B(A≠0)
由题意得得
∴an＝2n＋1，a1007＝2×1007＋1＝2015.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
∴bn＝a2n－1＝2·2n＋1－1＝2n＋1.
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双基限时练(九)
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则S8等于( )
A．－ B.
C．256 D．－256
解析 由a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3知．
q＝＝－，
代入a1＋a2＋a3＝6中，
得a1(1－＋)＝6，得a1＝8，
S8＝＝.
答案 B
2．在等比数列{an}中，a1＝4，q＝5，使Sn>510－1的最小正整数n的值是( )
A．10 B．11
C．12 D．9
解析 由Sn＝＝＝5n－1>510－1，即5n>510，n>10.
答案 B
3．在等比数列{an}中，a1＝4，S3＝12，则公比q的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
解析 当q＝1时，S3＝3a1＝12，
当q≠1时，S3＝＝＝12，
得1＋q＋q2＝3，得q＝－2，或q＝1(舍)．
综上可知q＝1，或q＝－2.
答案 D
4．在等比数列{an}中，Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝( )
A．180 B．108
C．75 D．63
解析 由等比数列前n项和的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，∴(60－48)2＝48×(S3n－60)，得S3n＝63.21世纪教育网版权所有
答案 D
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 两式相减得3a3＝a4－a3，a4＝4a3，∴q＝＝4.
答案 B
6．已知公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列的前n项和Tn为( )
A. B.
C. D.
解析 Sn＝，
Tn＝＝＝.
答案 D
二、填空题
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知公比q＝，则S1＋3S3－4S2＝________.
解析 原式＝a1＋3－4＝0.
答案 0
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
解析 由题可得＝4·，得q3＝3或q3＝1(舍)，∴a4＝q3＝3.
答案 3
9．数列1,1＋2,1＋2＋22；1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1的前n项和Sn＝________.21教育网
解析 ∵1＋2＋22＋…2n－1＝＝2n－1，
∴原数列的前n项和
Sn＝21－1＋22－1＋…＋2n－1
＝(2＋22＋…＋2n)－n
＝－n＝2n＋1－n－2.
答案 2n＋1－n－2
三、解答题
10．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40，求公比q，a1及n的值．21cnjy.com
解 ∵{an}为等比数列，∴＝q3＝＝27，得q＝3.∴a3－a1＝a1(q2－1)＝8a1＝8，得a1＝1.又Sn＝＝＝＝40，得3n＝81＝34，得n＝4.21·cn·jy·com
11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n及公比q.
解 a1an＝a2·an－1＝128，①
a1＋an＝66.②
①②联立方程组并解得
或
∵Sn＝126，
∴当a1＝2时，126＝，q＝2.
∴64＝2×2n－1，n＝6.
当a1＝64时，126＝，q＝，
∴2＝64×n－1，∴n＝6.
综上n＝6，q＝2或q＝.
12．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．www.21-cn-jy.com
解 由题意得a1≠0，q≠1，则Sn＝，
由题意得
由②得1－q4＝5(1－q2)，
∴(q＋1)(q－1)(q＋2)(q－2)＝0，
得q＝2，或q＝－2，或q＝1，或q＝－1.
∵q<1，∴q＝－1或q＝－2，
当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1；
当q＝－2时，an＝×(－2)n－1.
思 维 探 究
13．在数列{an}中，an＋1＝c·an(c为非零常数)，且前n项和为Sn，且Sn＝3n＋k，求实数k，c的值．2·1·c·n·j·y
解 ∵an＋1＝c·an， ( http: / / www.21cnjy.com )∴＝c，∴数列{an}是一个等比数列，且公比q＝c，∴Sn＝＝－·qn，又Sn＝3n＋k，∴，∴＝k，得k＝－1.又q＝c，∴c＝3.
综上得k的值为－1，c的值为3.
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双基限时练(五)
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＝1，公差d＝2，则等差数列{an}的前10项的和为( )
A．100 B．90
C．－90 D．－100
解析 S10＝10a1＋d＝10＋90＝100.
答案 A
2．在等差数列{an}中，S10＝120，则a2＋a9的值为( )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析 由S10＝＝120，得a1＋a10＝24，又a1＋a10＝a2＋a9，故答案为B.
答案 B
3．如果等差数列的前7项之和S7＝315，a1＝81，则a7等于( )
A．9 B．10
C．8 D．11
解析 由S7＝＝315，
得a1＋a7＝90，又a1＝81，∴a7＝9.
答案 A
4．在公差为d的等差数列{an}中，Sn＝－n2＋n，则( )
A．d＝－1，an＝－n＋1
B．d＝－2，an＝－2n＋2
C．d＝1，an＝n－1
D．d＝2，an＝2n－2
解析 由Sn＝－n2＋n，{an}为等差数列，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n＋(n－1)2－(n－1)＝－(2n－1)＋1＝－2n＋2，21世纪教育网版权所有
∴d＝－2.
答案 B
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取得最小值时，n等于( )21教育网
A．6 B．7
C．8 D．9
解析 设公差为d，由a4＋a6＝2a5＝－6，
得a5＝－3＝a1＋4d，得d＝2，
∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n，
∴当n＝6时，Sn取得最小值．
答案 A
6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a4＝9，S5＝35.则数列{an}的通项公式为an＝( )21cnjy.com
A．2n－3 B．2n－1
C．2n＋1 D．2n＋3
解析 由得∴an＝2n＋1.
答案 C
二、填空题
7．已知数列的通项an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.
解析 Sn＝＝.
答案
8．在等差数列{an}中，a5＝2，an－4＝30，Sn＝240，则n的值为________．
解析 ∵a5＋an－4＝a1＋an＝30＋2＝32，
又Sn＝＝＝16n＝240，
∴n＝15.
答案 15
9．设在等差数列{an}中，3a4＝7a ( http: / / www.21cnjy.com )7，且a1>0，Sn为数列{an}的前n项和，若Sn取得最大值，则n＝___________________________.
解析 由3a4＝7a7，得d＝－，Sn＝a1，
∴当n＝9时，Sn取得最大值．
答案 9
三、解答题
10．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N＋，其中k是常数，求a1及an.
解 由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，
an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．
又a1＝k＋1也满足上式．
∴an＝2kn－k＋1，n∈N＋.
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.
解 设此等差数列的前n项和Sn＝an2＋bn，
∵S12＝84，S20＝460，
∴
解得a＝2，b＝－17，∴Sn＝2n2－17n.
∴S28＝2×282－17×28＝1092.(注此题的解题方法很多，此处只列举一种)
12．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解 (1)∵{an}为等差数列，∴其公差d＝＝＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)＝3－2n.21·cn·jy·com
(2)由(1)知an＝3－2n，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )Sk＝＝＝2k－k2.由2k－k2＝－35，得k2－2k－35＝0，得k＝7或k＝－5(舍)．∴k的值为7.www.21-cn-jy.com
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13．已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．2·1·c·n·j·y
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
解 (1)∵an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝，
∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.
∴数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．
(2)由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.
设f(x)＝1＋，则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上为减函数．
∴当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.
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双基限时练(六)
一、选择题
1．等差数列{an}中，a4＋a5＝12，那么它前8项之和等于( )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析 S8＝＝＝48.
答案 D
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝12，则S8等于( )
A．36 B．40
C．48 D．24
解析 由S2＝4，S4＝12，
∴S4－S2＝8.
∴S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等差数列，S8＝4×4＋×4＝16＋24＝40.
答案 B
3．已知在等差数列{an}中，S13＝26，S10＝50，则公差d为( )
A．2 B．－2
C．－4 D．4
解析 由S13＝26，知a7＝2，又S10＝＝50，得a4＋a7＝10，得a4＝8，又a7＝a4＋3d，∴d＝－2.21教育网
答案 B
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5A．9 B．8
C．7 D．6
解析 ∵Sn＝n2－9n，∴{an} ( http: / / www.21cnjy.com )为等差数列，∴ak＝Sk－Sk－1＝k2－9k－(k－1)2＋9(k－1)＝2k－1－9＝2k－10.由5答案 B
5．含2n－1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )
A. B.
C. D.
解析 设公差为d，S奇＝na1＋2d，
S偶＝(n－1)a2＋·2d，
＝＝.
答案 B
6．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a50＝200，a51＋a52＋…＋a100＝2700，则a1等于( )21世纪教育网版权所有
A．－1221 B．－21.5
C．－20.5 D．－20
解析 a51＋a52＋…＋a100 ( http: / / www.21cnjy.com )＝a1＋50d＋a2＋50d＋…＋a50＋50d＝200＋2500d＝2700，∴d＝1，又a1＋a2＋…＋a50＝50a1＋×1＝200，得a1＝－20.5.21·cn·jy·com
答案 C
二、填空题
7．等差数列{an}共有10项，其中奇数项的和为12.5，偶数项的和为15，则d＝________.www.21-cn-jy.com
解析 S偶－S奇＝5d，得d＝.
答案
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
解析 S9＝72＝9a5，a5＝8，a2＋a4＋a9＝3a5＝24.
答案 24
9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.
解析 ∵{an}为等差数列，∴S9＝9a5，S5＝5a3，∴＝＝×＝1.
答案 1
三、解答题
10．已知等差数列{an}的项数n为奇数，其中S奇＝44，S偶＝33，求项数．
解 ∵数列的项数n为奇数，
∴中间项M＝S奇－S偶＝44－33＝11，
Sn＝S奇＋S偶＝44＋33＝77.
又Sn＝nM＝11n，∴11n＝77，∴n＝7.
11．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若＝，求.
解析 ＝＝＝＝＝.
12．设a，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，若S5＝5，求S6及a1.
解 S5S6＋15＝0，S5＝5，得S6＝－3，
由得a1＝7.
∴S6＝－3，a1＝7.
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13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．2·1·c·n·j·y
又公差d>0，∴a3∴∴
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－(c＝0舍去)．
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双基限时练(四)
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析 由等差中项的性质，知2a5＝a1＋a9，
∴a5＝5.
答案 A
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1 B．1
C．3 D．7
解析 由a1＋a3＋a5＝3a3＝105，得a3＝35.
又(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝3d＝－6，
得d＝－2，∴a20＝a3＋17d＝35－34＝1.
答案 B
3．{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝2014，则序号n的值为( )
A．670 B．672
C．674 D．668
解析 由题意得an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，由3n－2＝2014，n＝672.21教育网
答案 B
4．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40等于( )
A．40 B．70
C．80 D．90
解析 a10，a20，a30，a40成等差数列，公差为20，∴a40＝a10＋3×20＝90.
答案 D
5．在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝( )
A．24 B．22
C．20 D．－8
解析 由a1＋2a8＋a15＝96＝4a8，∴a8＝24.
故2a9－a10＝2(a8＋d)－(a8＋2d)＝a8＝24.
答案 A
6．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
解析 ∵{an}为等差数列，∴a1＋a7＋a13＝3a7＝4π.
∴a7＝π，tan(a2＋a12)＝tan2a7＝tanπ＝tanπ＝－.
答案 D
二、填空题
7．在等差数列{an}中，d>0，a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，则an＝________.21世纪教育网版权所有
解析 由a2＋a5＋a8＝9，知a5＝3.由a3a5a7＝－21，知(3－2d)(3＋2d)＝－7.www.21-cn-jy.com
得d＝±2，又d>0，∴d＝2.
∴an＝2n－7.
答案 2n－7
8．在等差数列{an}中，a2＝4，a6＝8，则a20＝________.
解析 ∵{an}为等差数列，∴a2 ( http: / / www.21cnjy.com )，a4，a6，a8，…，a20为等差数列，设其公差为d，则a6＝a2＋2d＝4＋2d得d＝2，a20＝a2＋9d＝4＋9×2＝22.2·1·c·n·j·y
答案 22
9．在等差数列{an}中，(1)若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝350，则a2＋a8＝________；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，且a4解析 (1)由已知得a5＝70，又a2＋a8＝2a5＝140.
(2)由已知得又a4∴d＝－3，an＝a2＋(n－2)d＝19－3n.
答案 (1)140 (2)19－3n
三、解答题
10．已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列．
证明 ∵，，成等差数列，∴＝＋.
∴＝＋.
化简得＋＝.
∴，，成等差数列．
11．已知等差数列{an}的前三项依次为x－1，x＋1,2x＋3，求这个数列的通项公式．
解 ∵这个数列的前三项依次为x－1，x＋1,2x＋3，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，得x＝0.
∴该数列的首项为－1，公差d＝1－(－1)＝2，
∴其通项公式an＝a1＋(n－1)d＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
12．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的4个根组成一个首项为的等差数列，求|m－n|.21·cn·jy·com
解 设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d.
而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，方程x2－2x＋n＝0中两根之和也为2.
∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4.∴d＝.
∴a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a2＝，a3＝是另一个方程的两个根．
∴，为m或n，∴|m－n|＝.
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13．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．
解 (1)由于an＋1＝(n ( http: / / www.21cnjy.com )2＋n－λ)an，且a1＝1.所以当a2＝－1时，有－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)数列{an}不可能为等差数列，证明如下 ( http: / / www.21cnjy.com )：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.21cnjy.com
故a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．
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双基限时练(八)
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a3＝，a7＝2，则a5等于( )
A．－1 B．1
C．±1 D．以上均不对
解析 设等比数列的公比为q，∵a5＝a3q2，
∴a3与a5同号，故a5＝＝1.
答案 B
2．若数列{an}是公差为2的等差数列，则数列{2}是( )
A．公比为4的等比数列
B．公比为2的等比数列
C．公比为的等比数列
D．公比为的等比数列
解析 ＝2(an＋1－an)＝22＝4.
答案 A
3．若数列{an}为等比数列，则下列四个 ( http: / / www.21cnjy.com )命题：①数列{a}也是等比数列；②数列{a2n}也是等比数列；③数列也是等比数列；④数列{lg|an|}也是等比数列．其中正确的个数是( )21·cn·jy·com
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ④不正确，如an＝1，lg|an|＝0，而0,0,0，…不是等比数列．
答案 C
4．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 由a1＝9d，ak＝9d＋(k－1)d＝(k＋8)d，a2k＝(2k＋8)d，由(k＋8)2＝9·(2k＋8)，得k＝4.21cnjy.com
答案 B
5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( )www.21-cn-jy.com
A．5 B．7
C．6 D．4
解析 由a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，
得(a1a2a3)·(a7a8a9)＝50.
即a＝50，an>0.
∴a＝5，即a4a5a6＝5.
答案 A
6．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则的值等于( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
解析 ∵{an}为等比数列，又a1，a3,2a2成等差数列，
∴a1＋2a2＝a3，∴1＋2q＝q2，得q＝1＋或q＝1－(舍)．
又＝＝(1＋)2＝3＋2.
答案 C
二、填空题
7．在各项都是正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1a15＝________.21教育网
解析 由lg(a3a8a13)＝6，
得a3a8a13＝106.
又a3a8a13＝a，∴a8＝102.
由等比中项知a1a15＝a＝(102)2＝104.
答案 104
8．在等比数列{an}中，公比q为整数，且a3＋a8＝124，a5·a6＝－512，则a5＝________.21世纪教育网版权所有
解析 ∵a5a6＝a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，得或又q为整数，∴
又a8＝a3q5＝128，得q＝－2，∴a5＝a3q2＝－16.
答案 －16
9．数列{an}是等比数列，an>0，已知a2a4＋2a3a5＋a4a6＝125，则a3＋a5＝________.2·1·c·n·j·y
解析 由a2a4＋2a3a5＋a4a6＝125，得a＋2a3a5＋a＝125，a3＋a5＝±5，又an>0，故a3＋a5＝5.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 5
三、解答题
10．在等比数列{an}中，a1＝，an＝，q＝，求n.
解 ∵an＝a1·qn－1，得＝×n－1，
n－1＝，∴n－1＝2，得n＝3.
11．在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝54，a4a8＝5，求a4＋a8的值．21·世纪*教育网
解 ∵{an}为等比数列，∴a3a5＝a，a6a10＝a，
∴a6a10＋a3a5＝a＋a＝54，
又a4a8＝5，∴(a4＋a8)2＝a＋2a4a8＋a＝54＋10＝64，
又an>0，∴a4＋a8＝＝8.
12．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．
解 设这三个数分别为，a，aq，由题意，
得
由①得a＝3，代入②，得q＝±3或q＝±.
∴当q＝3时，这三个数分别是1,3,9；
当q＝－3时，这三个数分别是－1,3，－9；
当q＝时，这三个数分别是9,3,1；
当q＝－时，这三个数分别是－9,3，－1.
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13．在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠0)，且bn＝an＋1－an.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解 (1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0)，
若q＝1，则an＝1，bn＝an＋1－an＝0，
∴{bn}是各项均为0的常数列，不是等比数列．
若q≠1，由于＝＝＝＝q，
∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．
(2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0；
当q≠1时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，
∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N＋)．
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