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高中数学
北师大版
必修5
第二章解三角形
本章复习与测试
【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修5双基限时练:第二章+解三角形(5套,含解析)
文档属性
名称
【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修5双基限时练:第二章+解三角形(5套,含解析)
格式
zip
文件大小
133.3KB
资源类型
教案
版本资源
北师大版
科目
数学
更新时间
2014-12-10 10:20:49
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文档简介
本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十五)
一、选择题
1.在△ABC中,sin2A·sin2B=1,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.直角三角形
解析 在△ABC中,由sin2A·sin2B=1,知
又A、B为△ABC的内角,∴A=B=45°.
∴△ABC为等腰直角三角形,故选B.
答案 B
2.在△ABC中,sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析 由正弦定理,可知a2=b2+c2+bc,由余弦定理,可知A=120°.
答案 C
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径是( )
A.4 B.5
C.5 D.6
解析 ∵S△ABC=acsinB=2,∴c=4.
又b2=a2+c2-2ac·cosB
=1+32-2×1×4×=25,
∴b=5,又2R==5.
答案 C
4.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则AC边上的高为( )
A. B.
C. D.3
解析 由余弦定理可知13=9+16-2×3×4×cosA,得cosA=,又A为三角形的内角,
∴A=,∴h=AB·sinA=.
答案 B
5.在△ABC中,A=60°,且最大边的长和最小边的长是方程x2-7x+11=0的两根,则第三边的长为( )21世纪教育网版权所有
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 设最大的边长为x,最小的边长为y.
由韦达定理,A=60°,
∴y≤a≤x,由余弦定理,得
a2=x2+y2-2xycos60°=(x+y)2-3xy=49-33=16,故a=4.
答案 C
6.在钝角△ABC中,a=1,b=2,则最大边c的取值范围是( )
A.1
C.
解析 由cosC=<0得c2>a2+b2=5.∴c>.又c
答案 C
二、填空题
7.在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角形为____________.
解析 由已知得sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC,
∴sin(B-C)=0,∴B=C.
答案 等腰三角形
8.在△ABC中,若m=(sinA,cosA),n=(cosB,sinB),m·n=sin2C,则角C=________.21cnjy.com
解析 ∵m·n=sinAcosB+cosAsinB=sin2C,得cosC=,又C为△ABC的内角,∴C=.21教育网
答案
9.在△ABC中,A?B=1?2,∠ACB的平分线CD把三角形面积分成3?2两部分,则cosA=________.www.21-cn-jy.com
解析 ∵CD是∠ACB的平分线,
∴=
===.
又B=2A,∴=,∴cosA=.
答案
三、解答题
10.在△ABC中,sinA+cosA=,AC=2,AB=3,求tanA的值和△ABC的面积.
解 ∵sinA+cosA=cos(A-45°)=,
∴cos(A-45°)=.又0°
∴A-45°=60°,∴A=105°,
tanA=tan(45°+60°)==-2-,
sinA=sin105°=sin(45°+60°)
=sin45°cos60°+cos45°sin60°=,
S△ABC=AC·AB·sinA
=×2×3×=(+).
11.△ABC中,D为BC上的一点,BD=33,sinB=,cos∠ADC=,求AD.
解 由cos∠ADC=>0,知B<.
由已知得cosB=,知sin∠ADC=,
从而sin∠BAD=sin(∠ADC-B)
=sin∠ADC·cosB-cos∠ADCsinB
=×-×=.
由正弦定理,得=.
∴AD===25.
12.已知锐角△ABC中,bsinB-asinA=(b-c)sinC,其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边.21·cn·jy·com
(1)求角A的大小;
(2)求cosC-sinB的取值范围.
解 (1)由正弦定理得b2-a2=(b-c)·c.
即b2+c2-a2=bc.
∴cosA===.
又∵A为三角形内角,∴A=.
(2)∵B+C=π,∴C=π-B.
∵△ABC为锐角三角形,
∴
∴
又∵cosC-sinB=cos-sinB
=-cosB+sinB=sin,
∵
∴-
即cosC-sinB的取值范围为.
思 维 探 究
13.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,cosB=,且·=-21.
(1)求△ABC的面积;
(2)若a=7,求角C.
解 (1)∵·=-21,∴·=21.
∴·=||·||·cosB=accosB=21.∴ac=35,
∵cosB=,∴sinB=.
∴S△ABC=acsinB=×35×=14.
(2)∵ac=35,a=7,∴c=5.
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=32,
∴b=4.由正弦定理=.
∴sinC=sinB=×=.
∵c
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双基限时练(十三)
一、选择题
1.在△ABC中,===k,R为△ABC外接圆半径,则k为( )
A.2R B.R
C.4R D.
解析 由正弦定理可知===2R,
∴k=2R.
答案 A
2.在△ABC中,c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为( )
A. B.
C.3 D.3
解析 由A=30°,B=120°,
∴C=180°-(B+A)=30°,
∴△ABC为等腰三角形,a=c,
∴S△ABC=acsinB=×2×2×=.
答案 B
3.在△ABC中,a=2bcosC,则△ABC为( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理得a=2R ( http: / / www.21cnjy.com )sinA,b=2RsinB,代入式子a=2bcosC,得2RsinA=2×2RsinB·cosC,∴sinA=2·sinB·cosC.∵sinA=sin(B+C),∴sin(B+C)=2sinBcosC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.化简、整理,得sin(B-C)=0.∵0°
∴-180°
∴B-C=0,∴B=C,故选A.
答案 A
4.若=,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析 由=,得=,得sin2A=sin2B,又A、B为三角形的内角,故有A=B或A+B=.21教育网
答案 D
5.在△ABC中,a=3,cosC=,S△ABC=4,则b=( )
A.4 B.2
C.1 D.
解析 ∵cosC=,∴sinC==,
∴S△ABC=absinC=×3×b=4,得b=2.
答案 B
6.在△OAB中,O为坐标原点,A(1,cosθ),B(sinθ,1),
θ∈,则当△OAB的面积达到最大值时,θ等于( )
A. B.
C. D.
解析 由S△OAB=(1-sinθcosθ)=-sin2θ,
又θ∈(0,],∴当θ=时,S取得最大值.
答案 D
二、填空题
7.方程sinA·x2+2sinB·x ( http: / / www.21cnjy.com )+sinC=0有重根,且A,B,C为△ABC的三内角,则△ABC的三边a,b,c的关系是________.
解析 由题意得4sin2B-4sinA·sinC=0,由正弦定理,得b2=ac.
答案 b2=ac
8.在△ABC中,三内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且=-,则角B=________.
解析 由=-,得
=-.又A+B+C=π,
∴=-.
∴sin(A-B)+sin(A+B)=-sinA.
即 2sinAcosB=-sinA.
∵sinA≠0,
∴cosB=-.
又B为三角形的内角,
∴B=π.
答案 π
9.在△ABC中,D为边BC上一点 ( http: / / www.21cnjy.com ),BD=DC,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC的面积为3-,则BC=________________.
解析 在△ADC中,∵∠ADB=120°,
∴∠ADC=60°.
∴S△ADC=AD·DCsin60°=3-.
∴DC=2-2.又BD=DC,
∴BC=DC=3-3.
答案 3-3
三、解答题
10.在△ABC中,B=45°,C=60°,a=2(+1),求△ABC的面积.
解 A=180°-(B+C)=180°-(45°+60°)=75°.
由正弦定理=,
得b====4.
故S△ABC=ab·sinC=×2(+1)×4×=6+2.
11.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若b-c=2acos(60°+C),求角A.21cnjy.com
解 由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∵b-c=2acos(60°+C),
∴2RsinB-2RsinC=2·2RsinAcos(60°+C).
∴sinB-sinC=sinAcosC-sinAsinC.
又∵B=π-(A+C),
∴sinB-sinC=sin(A+C)-sinC=sinAcosC+cosAsinC-sinC.
∴cosAsinC-sinC=-sinAsinC.
∵sinC≠0,
∴sinA+cosA=1,即sin=.
∴在△ABC中,A=.
12.已知△ABC的内角A、B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.
解 由a+b=acotA+bcotB及正弦定理,得
sinA+sinB=cosA+cosB,
得sinA-cosA=cosB-sinB.
∴sin=sin.
又0
∴A-=-B,A+B=.
∴C=.
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13.已知方程x2-(bcosA) ( http: / / www.21cnjy.com )x+acosB=0的两根之积等于两根之和,且a、b为△ABC的两边,A、B为两内角,试判断这个三角形的形状.
解 设方程的两根为x1、x2,由根与系数的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系得x1+x2=bcosA,x1·x2=acosB.依题意得bcosA=acosB.根据正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB(R为△ABC的外接圆半径),∴2RsinBcosA=2RsinAcosB,即sinAcosB-cosAsinB=0,∴sin(A-B)=0.∵0
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双基限时练(十六)
一、选择题
1.某次测量中,A在B的南偏东34°27′,B在A的( )
A.北偏西34°27′ B.北偏东55°33′
C.北偏西55°33′ D.南偏西55°33′
解析 画图可得.
答案 A
2.某人向正东方向走x km后,他向右转150°,然后朝新方向走了3 km,结果他离出发点恰好 km,那么x的值为( )
A. B.2
C.2或 D.3
解析 如图所示,由余弦定理得
3=9+x2-2×3x·cos30°,
得x=2,或x=.
答案 C
3.一树干被台风吹断,折成与地面成30°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则树干原来的高度为( )21世纪教育网版权所有
A.米 B.20米
C.米 D.20米
解析 如图,在Rt△ABC中,AC=20,∠C=30°,AB=AC·tan30°=,BC==.21cnjy.com
∴树干高h=+=20(米).
答案 B
4.在地面上一点A处测得一电视塔尖的仰角为45°,再向塔底方面前进100 m,又测得塔尖的仰角为60°,则此电视塔高约为( )
A.237 m B.227 m
C.247 m D.257 m
解析 由图可知tan60°=,
∴=,得h=≈237(m).
答案 A
5.海面上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°视角,从B岛望C岛和A岛成30°视角,则B与C之间的距离是( )21·cn·jy·com
A.10海里 B.海里
C.5海里 D.5海里
解析 如图BC=ABsin60°=5海里.
答案 D
6.台风中心从A地以每小时20千米的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的持续时间为( )www.21-cn-jy.com
A.0.5小时 B.1小时
C.1.5小时 D.2小时
解析 设t小时后,B市处于危险区内,则由余弦定理得
(20t)2+402-2×20t×40cos45°≤302.
化简得4t2-8t+7≤0,
∴t1+t2=2,t1·t2=.
从而|t1-t2|==1.
答案 B
二、填空题
7.如图,A、N两点之间的距离为________.
解析 由正弦定理得=,得AN==40.
答案 40
8.两座灯塔A、B与海洋观察站C的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为______________________________________________.
解析 由图可知∠ACB=120°,由余弦定理可知:|AB|=
=a km.
答案 a km
9.有一长为100 m的斜坡,它的倾斜角为45°,现打算把倾斜角改成30°,则坡底要伸长________ m.2·1·c·n·j·y
解析 如图可知BC=AB=50m,
tan30°===
得DC=50(-) m.
答案 50(-)
三、解答题
10.在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.【来源:21·世纪·教育·网】
解 在△ABC中,AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
cos∠ADC===-.
又∠ADC为三角形的内角,
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理得=,
所以AB==.
11.太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方 ( http: / / www.21cnjy.com )向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,汽车行驶1 km后,又测得小岛在南偏西75°的方向上,求小岛到公路的距离.
解 如图,∠CAB=15°,∠CB ( http: / / www.21cnjy.com )A=180°-75°=105°,∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1(km).由正弦定理得=,所以BC=·sin15°=(km).
设C到直线AB的距离为d,则
d=BC·sin75°=·=(km).
12.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.
(1)设向量x=(sinB,sinC ( http: / / www.21cnjy.com )),向量y=(cosB,cosC),向量z=(cosB,-cosC),若z∥(x+y),求sinA+2cosBcosC的值;
(2)已知a2-c2=8b,且sinAcosC+3cosAsinC=0,求b的值.
解 (1)由题意得x+y=(sinB+cosB,sinC+cosC),
∵z∥(x+y),
∴cosC(sinB+cosB)+cosB(sinC+cosC)=0.
即sinBcosC+cosBsinC=-2cosBcosC.
∴sinA+2cosBcosC=0.
(2)由已知可得sinAcosC=-3cosAsinC,
由正弦定理及余弦定理,得a×=(-3)××c.
化简并整理,得a2-c2=2b2.
又由已知a2-c2=8b,
∴2b2=8b.
解得b=4或b=0(舍),∴b=4.
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13.如图所示,为测量河对岸A、B两点 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离,在河的这边测出CD的长为 km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求A、B两点间的距离.21教育网
解 在△BCD中,∠CBD=180°-30°-105°=45°,
由正弦定理,得=.
∴BC== km.
在△ACD中,∠CAD=180°-60°-60°=60°,
∴△ACD为正三角形.
∴AC=CD= km.
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos45°
=+-2×××=.
∴AB=km.
即河对岸A、B两点间的距离为km.
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双基限时练(十四)
一、选择题
1.在不等边△ABC中,若a2
A.90°
C.60°
解析 由cosA=,a2
0.
答案 D
2.已知一个三角形三边分别为a,b,,则此三角形中的最大角为( )
A.30° B.120°
C.60° D.150°
解析 显然最大,设最大角为θ,
则cosθ==-.
又θ为三角形的内角,所以θ=120°.
答案 B
3.三角形的两边分别是3和5,它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根,则三角形的另一边长为( )21世纪教育网版权所有
A.52 B.2
C.16 D.4
解析 由5x2-7x-6=0,得x=2或x=-,
由题意可得cosα=-.设另一边为c
由余弦定理,得c2=9+25-2×3×5×=52.
∴c=2.
答案 B
4.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2=ac,则角B的值为( )21教育网
A. B.
C.或π D.或π
解析 由a2+c2-b2=ac,
得==cosB,得B=.
答案 A
5.在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,若C=120°,c=a,则( )
A.a>b
B.a
C.a=b
D.a与b的大小关系不能确定
解析 由c2=a2+b2-2abcos120°,c=a,得a2-b2-ab=0,得b=
答案 A
6.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则边长a等于( )
A.13 B.
C.21 D.
解析 由S△ABC=bc·sinA=×c=,
知c=4,由余弦定理可知
a2=b2+c2-2bc·cosA=1+16-2×4×=13.
答案 B
二、填空题
7.在△ABC中,A、B、C所对的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为a、b、c,若sinA:sinB:sinC=5:7:8,则a:b:c=________,B的大小是________.
解析 (1)利用正弦定理.
(2)利用余弦定理.
答案 5:7:8:
8.已知在△ABC中,角A、B、C ( http: / / www.21cnjy.com )所对的边分别为a、b、c,且2sin2+cos2C=1,a=1,b=2,则角C=________,c=________.
解析 ∵2sin2+cos2C=1,
∴cos2C=1-2sin2=cos(A+B)=-cosC.
∴2cos2C+cosC-1=0,得cosC=,或cosC=-1.
∵C为三角形的内角,
∴cosC=,C=.
由余弦定理得c==.
答案
9.在△ABC中,||=7,||=3,||=5,则S△ABC=________.
解析 由余弦定理,
得cosA==-.
∴sinA=,故S△ABC=.
答案
三、解答题
10.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,且c=2a,求cosB的值.21·cn·jy·com
解 由余弦定理得cosB====.所以cosB的值为.
11.在△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=2b,且sinB=4cosAsinC,求b.www.21-cn-jy.com
解 由余弦定理,得a2-c2=b2-2bccosA.
又a2-c2=2b,b≠0,
∴b=2ccosA+2.①
由正弦定理=,又sinB=4cosAsinC,
∴b=4ccosA.②
由①②可知,b=4.
12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知c=2,C=.若△ABC的面积等于,求a,b.21cnjy.com
解 由余弦定理,得a2+b2-ab=4,又因为△ABC的面积等于,所以absinC=,得ab=4.联立方程组解得a=2,b=2.2·1·c·n·j·y
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13.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,tanC=3.
(1)求cosC;
(2)若·=,且a+b=9,求c.
解 (1)∵tanC=3,∴=3.
又∵sin2C+cos2C=1,解得cosC=±.
∵tanC>0,∴C是锐角.∴cosC=.
(2)∵·=,∴abcosC=,∴ab=20.
又∵a+b=9,∴a2+2ab+b2=81.
∴a2+b2=41.∴c2=a2+b2-2abcosC=36.
∴c=6.
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双基限时练(十二)
一、选择题
1.正弦定理的适用范围是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
答案 D
2.在△ABC中,下列等式总能成立的是( )
A.acosC=ccosA B.bsinC=csinA
C.abcosC=bcsinB D.asinC=csinA
解析 由正弦定理可知.
答案 D
3.在△ABC中,a=2,b=2,B=45°,则A为( )
A.60°或120° B.60°
C.30°或150° D.30°
解析 由正弦定理=,得
sinA==,又a>b.故A=60°或120°.
答案 A
4.在△ABC中,A=45°,AB=2,BC=,则△ABC的解的个数为( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.1或2个
解析 因为=,所以sinC==1.
又C为三角形的内角,故C只有一个解.
答案 B
5.在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )
A.4 B.4
C.4 D.16
解析 A=180°-B-C=45°,由正弦定理,得
=,b===4.
答案 C
6.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB=( )
A.- B.
C.- D.
解析 ∵a=15,b=10,A=60°,∴B<60°.
又=,得sinB==,cosB==.
答案 D
二、填空题
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为a,b,c,若a=1,c=,C=,则A=________,△ABC外接圆的半径为________.
解析 由正弦定理=,得sinA==,
又A为三角形的内角,且a
由正弦定理得==2=2R,∴△ABC外接圆的半径为1.
答案 1
8.在△ABC中,已知b+c=m,B=α,C=β,则a=________.
解析 由正弦定理=
所以a==.
答案
9.在△ABC中,若==,则△ABC的形状为________.
解析 由==及正弦定理得
tanA=tanB=tanC.
又A、B、C为三角形的内角,
得A=B=C.
答案 等边三角形
三、解答题
10.在△ABC中,若(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求sinA:sinB:sinC的值.21世纪教育网版权所有
解 设b+c=4k,c+a=5k,a+b= ( http: / / www.21cnjy.com )6k,则a=k,b=k,c=k,由正弦定理得sinA?sinB?sinC=a?b?c=7?5?3.
11.在△ABC中,A=60°,B=45°,c=1,求此三角形的最小边.
解 ∵A=60°,B=45°,∴C=180°-60°-45°=75°.
∴最小边即为b.
由正弦定理=,得b===-1.
12.在△ABC中,A=45°,a=2,c=,解此三角形.
解 由正弦定理=,得
sinC=sin45°=×=.
∵a
若C=60°,则B=75°;
若C=120°,则B=15°,均符合题意.
当B=75°时,
由正弦定理=,得b=·a=+1;
当B=15°时,
由正弦定理=,得b=·a=-1.
综上,b=+1,C=60°,B=75°,或b=-1,C=120°,B=15°.
思 维 探 究
13.在△ABC中,已知=,且2sinA·sinB=2sin2C,试判断其形状.
解 由正弦定理可得==,
∴b2-a2=ab,①
又∵2sinAsinB=2sin2C,
∴由正弦定理得2ab=2c2.②
由①、②得b2-a2=c2,得b2=a2+c2.
∴该三角形为以B为直角顶点的直角三角形.
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同课章节目录
第一章数列
1数列
2等差数列
3等比数列
4数列在日常经济生活中的应用
第二章解三角形
1正弦定理与余弦定理
2三角形中的几何计算
3解三角形的实际应用举例
第三章不等式
1不等关系
2一元二次不等式
3基本不等式
4简单线性规划
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