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双基限时练(十五)
一、选择题
1．在△ABC中，sin2A·sin2B＝1，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
解析 在△ABC中，由sin2A·sin2B＝1，知
又A、B为△ABC的内角，∴A＝B＝45°.
∴△ABC为等腰直角三角形，故选B.
答案 B
2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析 由正弦定理，可知a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，可知A＝120°.
答案 C
3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径是( )
A．4 B．5
C．5 D．6
解析 ∵S△ABC＝acsinB＝2，∴c＝4.
又b2＝a2＋c2－2ac·cosB
＝1＋32－2×1×4×＝25，
∴b＝5，又2R＝＝5.
答案 C
4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为( )
A. B.
C. D．3
解析 由余弦定理可知13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝，又A为三角形的内角，
∴A＝，∴h＝AB·sinA＝.
答案 B
5．在△ABC中，A＝60°，且最大边的长和最小边的长是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为( )21世纪教育网版权所有
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 设最大的边长为x，最小的边长为y.
由韦达定理，A＝60°，
∴y≤a≤x，由余弦定理，得
a2＝x2＋y2－2xycos60°＝(x＋y)2－3xy＝49－33＝16，故a＝4.
答案 C
6．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是( )
A．1
C.解析 由cosC＝<0得c2>a2＋b2＝5.∴c>.又c答案 C
二、填空题
7．在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则三角形为____________．
解析 由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝2cosBsinC，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.
答案 等腰三角形
8．在△ABC中，若m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝sin2C，则角C＝________.21cnjy.com
解析 ∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，得cosC＝，又C为△ABC的内角，∴C＝.21教育网
答案
9．在△ABC中，A?B＝1?2，∠ACB的平分线CD把三角形面积分成3?2两部分，则cosA＝________.www.21-cn-jy.com
解析 ∵CD是∠ACB的平分线，
∴＝
＝＝＝.
又B＝2A，∴＝，∴cosA＝.
答案
三、解答题
10．在△ABC中，sinA＋cosA＝，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面积．
解 ∵sinA＋cosA＝cos(A－45°)＝，
∴cos(A－45°)＝.又0°∴A－45°＝60°，∴A＝105°，
tanA＝tan(45°＋60°)＝＝－2－，
sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)
＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝，
S△ABC＝AC·AB·sinA
＝×2×3×＝(＋)．
11．△ABC中，D为BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD.
解 由cos∠ADC＝>0，知B<.
由已知得cosB＝，知sin∠ADC＝，
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADC·cosB－cos∠ADCsinB
＝×－×＝.
由正弦定理，得＝.
∴AD＝＝＝25.
12．已知锐角△ABC中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边．21·cn·jy·com
(1)求角A的大小；
(2)求cosC－sinB的取值范围．
解 (1)由正弦定理得b2－a2＝(b－c)·c.
即b2＋c2－a2＝bc.
∴cosA＝＝＝.
又∵A为三角形内角，∴A＝.
(2)∵B＋C＝π，∴C＝π－B.
∵△ABC为锐角三角形，
∴
∴又∵cosC－sinB＝cos－sinB
＝－cosB＋sinB＝sin，
∵∴－即cosC－sinB的取值范围为.
思 维 探 究
13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝，且·＝－21.
(1)求△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C.
解 (1)∵·＝－21，∴·＝21.
∴·＝||·||·cosB＝accosB＝21.∴ac＝35，
∵cosB＝，∴sinB＝.
∴S△ABC＝acsinB＝×35×＝14.
(2)∵ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32，
∴b＝4.由正弦定理＝.
∴sinC＝sinB＝×＝.
∵c21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十三)
一、选择题
1．在△ABC中，＝＝＝k，R为△ABC外接圆半径，则k为( )
A．2R B．R
C．4R D.
解析 由正弦定理可知＝＝＝2R，
∴k＝2R.
答案 A
2．在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为( )
A. B.
C．3 D．3
解析 由A＝30°，B＝120°，
∴C＝180°－(B＋A)＝30°，
∴△ABC为等腰三角形，a＝c，
∴S△ABC＝acsinB＝×2×2×＝.
答案 B
3．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理得a＝2R ( http: / / www.21cnjy.com )sinA，b＝2RsinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2×2RsinB·cosC，∴sinA＝2·sinB·cosC.∵sinA＝sin(B＋C)，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.化简、整理，得sin(B－C)＝0.∵0°∴－180°∴B－C＝0，∴B＝C，故选A.
答案 A
4．若＝，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析 由＝，得＝，得sin2A＝sin2B，又A、B为三角形的内角，故有A＝B或A＋B＝.21教育网
答案 D
5．在△ABC中，a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝( )
A．4 B．2
C．1 D.
解析 ∵cosC＝，∴sinC＝＝，
∴S△ABC＝absinC＝×3×b＝4，得b＝2.
答案 B
6．在△OAB中，O为坐标原点，A(1，cosθ)，B(sinθ，1)，
θ∈，则当△OAB的面积达到最大值时，θ等于( )
A. B.
C. D.
解析 由S△OAB＝(1－sinθcosθ)＝－sin2θ，
又θ∈(0，]，∴当θ＝时，S取得最大值．
答案 D
二、填空题
7．方程sinA·x2＋2sinB·x ( http: / / www.21cnjy.com )＋sinC＝0有重根，且A，B，C为△ABC的三内角，则△ABC的三边a，b，c的关系是________．
解析 由题意得4sin2B－4sinA·sinC＝0，由正弦定理，得b2＝ac.
答案 b2＝ac
8．在△ABC中，三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且＝－，则角B＝________.
解析 由＝－，得
＝－.又A＋B＋C＝π，
∴＝－.
∴sin(A－B)＋sin(A＋B)＝－sinA.
即 2sinAcosB＝－sinA.
∵sinA≠0，
∴cosB＝－.
又B为三角形的内角，
∴B＝π.
答案 π
9．在△ABC中，D为边BC上一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，BD＝DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－，则BC＝________________.
解析 在△ADC中，∵∠ADB＝120°，
∴∠ADC＝60°.
∴S△ADC＝AD·DCsin60°＝3－.
∴DC＝2－2.又BD＝DC，
∴BC＝DC＝3－3.
答案 3－3
三、解答题
10．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，a＝2(＋1)，求△ABC的面积．
解 A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋60°)＝75°.
由正弦定理＝，
得b＝＝＝＝4.
故S△ABC＝ab·sinC＝×2(＋1)×4×＝6＋2.
11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b－c＝2acos(60°＋C)，求角A.21cnjy.com
解 由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∵b－c＝2acos(60°＋C)，
∴2RsinB－2RsinC＝2·2RsinAcos(60°＋C)．
∴sinB－sinC＝sinAcosC－sinAsinC.
又∵B＝π－(A＋C)，
∴sinB－sinC＝sin(A＋C)－sinC＝sinAcosC＋cosAsinC－sinC.
∴cosAsinC－sinC＝－sinAsinC.
∵sinC≠0，
∴sinA＋cosA＝1，即sin＝.
∴在△ABC中，A＝.
12．已知△ABC的内角A、B及其对边a，b满足a＋b＝acotA＋bcotB，求内角C.
解 由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理，得
sinA＋sinB＝cosA＋cosB，
得sinA－cosA＝cosB－sinB.
∴sin＝sin.
又0∴A－＝－B，A＋B＝.
∴C＝.
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13．已知方程x2－(bcosA) ( http: / / www.21cnjy.com )x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状．
解 设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系得x1＋x2＝bcosA，x1·x2＝acosB.依题意得bcosA＝acosB.根据正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)，∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0.∵021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十六)
一、选择题
1．某次测量中，A在B的南偏东34°27′，B在A的( )
A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′
C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′
解析 画图可得．
答案 A
2．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走了3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为( )
A. B．2
C．2或 D．3
解析 如图所示，由余弦定理得
3＝9＋x2－2×3x·cos30°，
得x＝2，或x＝.
答案 C
3．一树干被台风吹断，折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为( )21世纪教育网版权所有
A.米 B．20米
C.米 D．20米
解析 如图，在Rt△ABC中，AC＝20，∠C＝30°，AB＝AC·tan30°＝，BC＝＝.21cnjy.com
∴树干高h＝＋＝20(米)．
答案 B
4．在地面上一点A处测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方面前进100 m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为( )
A．237 m B．227 m
C．247 m D．257 m
解析 由图可知tan60°＝，
∴＝，得h＝≈237(m)．
答案 A
5．海面上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°视角，从B岛望C岛和A岛成30°视角，则B与C之间的距离是( )21·cn·jy·com
A．10海里 B.海里
C．5海里 D．5海里
解析 如图BC＝ABsin60°＝5海里．
答案 D
6．台风中心从A地以每小时20千米的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( )www.21-cn-jy.com
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
解析 设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得
(20t)2＋402－2×20t×40cos45°≤302.
化简得4t2－8t＋7≤0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
从而|t1－t2|＝＝1.
答案 B
二、填空题
7．如图，A、N两点之间的距离为________.
解析 由正弦定理得＝，得AN＝＝40.
答案 40
8．两座灯塔A、B与海洋观察站C的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为______________________________________________．
解析 由图可知∠ACB＝120°，由余弦定理可知：|AB|＝
＝a km.
答案 a km
9．有一长为100 m的斜坡，它的倾斜角为45°，现打算把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________ m.2·1·c·n·j·y
解析 如图可知BC＝AB＝50m，
tan30°＝＝＝
得DC＝50(－) m.
答案 50(－)
三、解答题
10．在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．【来源：21·世纪·教育·网】
解 在△ABC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得
cos∠ADC＝＝＝－.
又∠ADC为三角形的内角，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
所以AB＝＝.
11．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方 ( http: / / www.21cnjy.com )向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，求小岛到公路的距离．
解 如图，∠CAB＝15°，∠CB ( http: / / www.21cnjy.com )A＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1(km)．由正弦定理得＝，所以BC＝·sin15°＝(km)．
设C到直线AB的距离为d，则
d＝BC·sin75°＝·＝(km)．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.
(1)设向量x＝(sinB，sinC ( http: / / www.21cnjy.com ))，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求sinA＋2cosBcosC的值；
(2)已知a2－c2＝8b，且sinAcosC＋3cosAsinC＝0，求b的值．
解 (1)由题意得x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，
∵z∥(x＋y)，
∴cosC(sinB＋cosB)＋cosB(sinC＋cosC)＝0.
即sinBcosC＋cosBsinC＝－2cosBcosC.
∴sinA＋2cosBcosC＝0.
(2)由已知可得sinAcosC＝－3cosAsinC，
由正弦定理及余弦定理，得a×＝(－3)××c.
化简并整理，得a2－c2＝2b2.
又由已知a2－c2＝8b，
∴2b2＝8b.
解得b＝4或b＝0(舍)，∴b＝4.
思 维 探 究
13．如图所示，为测量河对岸A、B两点 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离，在河的这边测出CD的长为 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．21教育网
解 在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理，得＝.
∴BC＝＝ km.
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
∴△ACD为正三角形．
∴AC＝CD＝ km.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°
＝＋－2×××＝.
∴AB＝km.
即河对岸A、B两点间的距离为km.
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双基限时练(十四)
一、选择题
1．在不等边△ABC中，若a2A．90°C．60°解析 由cosA＝，a20.
答案 D
2．已知一个三角形三边分别为a，b，，则此三角形中的最大角为( )
A．30° B．120°
C．60° D．150°
解析 显然最大，设最大角为θ，
则cosθ＝＝－.
又θ为三角形的内角，所以θ＝120°.
答案 B
3．三角形的两边分别是3和5，它们夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则三角形的另一边长为( )21世纪教育网版权所有
A．52 B．2
C．16 D．4
解析 由5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－，
由题意可得cosα＝－.设另一边为c
由余弦定理，得c2＝9＋25－2×3×5×＝52.
∴c＝2.
答案 B
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )21教育网
A. B.
C.或π D.或π
解析 由a2＋c2－b2＝ac，
得＝＝cosB，得B＝.
答案 A
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若C＝120°，c＝a，则( )
A．a>b
B．aC．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
解析 由c2＝a2＋b2－2abcos120°，c＝a，得a2－b2－ab＝0，得b＝答案 A
6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则边长a等于( )
A．13 B.
C．21 D.
解析 由S△ABC＝bc·sinA＝×c＝，
知c＝4，由余弦定理可知
a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝1＋16－2×4×＝13.
答案 B
二、填空题
7．在△ABC中，A、B、C所对的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为a、b、c，若sinA:sinB:sinC＝5:7:8，则a:b:c＝________，B的大小是________．
解析 (1)利用正弦定理．
(2)利用余弦定理．
答案 5:7:8:
8．已知在△ABC中，角A、B、C ( http: / / www.21cnjy.com )所对的边分别为a、b、c，且2sin2＋cos2C＝1，a＝1，b＝2，则角C＝________，c＝________.
解析 ∵2sin2＋cos2C＝1，
∴cos2C＝1－2sin2＝cos(A＋B)＝－cosC.
∴2cos2C＋cosC－1＝0，得cosC＝，或cosC＝－1.
∵C为三角形的内角，
∴cosC＝，C＝.
由余弦定理得c＝＝.
答案
9．在△ABC中，||＝7，||＝3，||＝5，则S△ABC＝________.
解析 由余弦定理，
得cosA＝＝－.
∴sinA＝，故S△ABC＝.
答案
三、解答题
10．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，且c＝2a，求cosB的值．21·cn·jy·com
解 由余弦定理得cosB＝＝＝＝.所以cosB的值为.
11．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求b.www.21-cn-jy.com
解 由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.
又a2－c2＝2b，b≠0，
∴b＝2ccosA＋2.①
由正弦定理＝，又sinB＝4cosAsinC，
∴b＝4ccosA.②
由①②可知，b＝4.
12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝.若△ABC的面积等于，求a，b.21cnjy.com
解 由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.2·1·c·n·j·y
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13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC＝3.
(1)求cosC；
(2)若·＝，且a＋b＝9，求c.
解 (1)∵tanC＝3，∴＝3.
又∵sin2C＋cos2C＝1，解得cosC＝±.
∵tanC>0，∴C是锐角．∴cosC＝.
(2)∵·＝，∴abcosC＝，∴ab＝20.
又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.
∴a2＋b2＝41.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.
∴c＝6.
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双基限时练(十二)
一、选择题
1．正弦定理的适用范围是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
答案 D
2．在△ABC中，下列等式总能成立的是( )
A．acosC＝ccosA B．bsinC＝csinA
C．abcosC＝bcsinB D．asinC＝csinA
解析 由正弦定理可知．
答案 D
3．在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝45°，则A为( )
A．60°或120° B．60°
C．30°或150° D．30°
解析 由正弦定理＝，得
sinA＝＝，又a>b.故A＝60°或120°.
答案 A
4．在△ABC中，A＝45°，AB＝2，BC＝，则△ABC的解的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．1或2个
解析 因为＝，所以sinC＝＝1.
又C为三角形的内角，故C只有一个解．
答案 B
5．在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
A．4 B．4
C．4 D．16
解析 A＝180°－B－C＝45°，由正弦定理，得
＝，b＝＝＝4.
答案 C
6．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ∵a＝15，b＝10，A＝60°，∴B<60°.
又＝，得sinB＝＝，cosB＝＝.
答案 D
二、填空题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为a，b，c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________，△ABC外接圆的半径为________．
解析 由正弦定理＝，得sinA＝＝，
又A为三角形的内角，且a由正弦定理得＝＝2＝2R，∴△ABC外接圆的半径为1.
答案 1
8．在△ABC中，已知b＋c＝m，B＝α，C＝β，则a＝________.
解析 由正弦定理＝
所以a＝＝.
答案
9．在△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状为________．
解析 由＝＝及正弦定理得
tanA＝tanB＝tanC.
又A、B、C为三角形的内角，
得A＝B＝C.
答案 等边三角形
三、解答题
10．在△ABC中，若(b＋c):(c＋a):(a＋b)＝4:5:6，求sinA:sinB:sinC的值．21世纪教育网版权所有
解 设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝ ( http: / / www.21cnjy.com )6k，则a＝k，b＝k，c＝k，由正弦定理得sinA?sinB?sinC＝a?b?c＝7?5?3.
11．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，c＝1，求此三角形的最小边．
解 ∵A＝60°，B＝45°，∴C＝180°－60°－45°＝75°.
∴最小边即为b.
由正弦定理＝，得b＝＝＝－1.
12．在△ABC中，A＝45°，a＝2，c＝，解此三角形．
解 由正弦定理＝，得
sinC＝sin45°＝×＝.
∵a若C＝60°，则B＝75°；
若C＝120°，则B＝15°，均符合题意．
当B＝75°时，
由正弦定理＝，得b＝·a＝＋1；
当B＝15°时，
由正弦定理＝，得b＝·a＝－1.
综上，b＝＋1，C＝60°，B＝75°，或b＝－1，C＝120°，B＝15°.
思 维 探 究
13．在△ABC中，已知＝，且2sinA·sinB＝2sin2C，试判断其形状．
解 由正弦定理可得＝＝，
∴b2－a2＝ab，①
又∵2sinAsinB＝2sin2C，
∴由正弦定理得2ab＝2c2.②
由①、②得b2－a2＝c2，得b2＝a2＋c2.
∴该三角形为以B为直角顶点的直角三角形．
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