3.6.2 利用二次函数解决实际中一般应用问题同步练习（含答案）

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第三章 二次函数
6 二次函数的应用
第2课时 利用二次函数解决实际中一般应用问题
目标一 利用二次函数解决实际中一般应用问题
应用1 用待定系数法求函数表达式的应用
1.2022年的冬奥会在北京举行,其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面.某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第 二天起，每天比前一天多供应m个(m为正整数).经过连续15天的销售统计，得到第 x天(1≤x≤15,且x为正整数)的供应量y (单位：个)和需求量 y (单位：个)的部分数据如下表，其中需求量y 与x满足某二次函数关系(假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数).
第x天 1 2 … 6 … 11 … 15
供应量y /个 150 150+m … 150+5m … 150+10m … 150+14m
需求量y /个 220 229 … 245 … 220 … 164
(1)直接写出y 与x和y 与x的函数表达式(不要求写出x的取值范围)；
(2)已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到(即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量)，求m的值(参考数据：前9天的总需求量为2136个);
(3)在第(2)问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额.
应用2 与方程综合求二次函数表达式的应用
类型1 与整式方程综合
2.“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点(图①)，发现该蔬菜需求量 (吨)关于售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线，其表达式为 部分对应值如下表：
售价x/(元/千克) … 2.5 3 3.5 4 …
需求量y需求/吨 … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
②该蔬菜供给量y供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为 函数图象见图①.
③1～7月份该蔬菜售价： (元/千克)、成本 (元/千克)关于月份t的函数表达式分别为 函数图象见图②.
请解答下列问题：
(1)求a,c的值.
(2)根据图②，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大 并说明理由.
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.
类型2 与分式方程综合
3.在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B 原料少 100 kg,生产该产品每盒需要A原料2k g和B原料4kg，每盒还需其他成本9元.市场调查发现，该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售 10盒.
(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本)；
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是 w元，求w关于x的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)；
(3)若每盒产品的售价不超过a元(a是大于60的常数，且是整数)，直接写出每天的最大利润.
应用3 与不等式综合求二次函数表达式的应用
4.某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量)，经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数表达式y=24-x，第一年除60万元外其他成本为8元/件.
(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数表达式.
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件.
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元
应用4 与一次函数综合求二次函数表达式的应用
类型1 表格型
5.某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m(元/kg)与时间第x天之间满足函数关系式 x为整数)，又通过分析销售情况，发现每天销售量y(kg)与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值.
时间第x天 … 2 5 9 …
销售量y/kg … 33 30 26 …
(1)求y与x的函数表达式；
(2)在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元
6.某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)有如下表所示的关系：
销售单价x/(元/千克) … 20 22.5 25 37.5 40 …
销售量y/千克 … 30 27.5 25 12.5 10 …
(1)如图，根据表中的数据在图中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数表达式.
(2)设该超市每天销售这种商品的利润为w元(不计其他成本).
①求出w关于x的函数表达式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w=240时的销售单价.
类型2 文字型
7.为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)构成一种函数关系. 每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量 最大产量为多少千克
类型3 图象型
8.某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量.如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低.根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75 kg.在确保每棵果树平均产量不低于40 kg的前提下，设增种果树x(x>0且x为整数)棵，该果园每棵果树平均产量为y kg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象.
(1)图中点P所表示的实际意义是___________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________kg.
(2)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围.
(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(kg)最大 最大总产量是多少
目标二 利用二次函数解决实际应用中的最值问题
应用1 定价问题
1.丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源.某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表所示.
销售单价x/元 … 35 40 45 …
每天销售数量y/件 … 90 80 70 …
(1)直接写出y与x的函数关系式.
(2)若每天销售所得利润为1 200元，那么销售单价应定为多少元
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大 最大利润是多少元
应用2 生产问题
2.某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研.小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示 2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点(记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量)，如图.
小亮认为，可以从 (m>0),y= -0.1x +ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势.
(1)小莹认为不能选 你认同吗 请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据(2)中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大 最大是多少
应用3 行程问题
3.公路上正在行驶的甲车，发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s(单位：m)、速度 v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.
(1)当甲车减速至9 m/s时，它行驶的路程是多少
(2)若乙车以 10 m/s的速度匀速行驶，何时两车相距最近，最近距离是多少
参考答案
目标一 利用二次函数解决销售利润问题
1.【解】(1)y =150+(x-1)m=mx+150-m,y = -x +12x+209.
(2)前9天的总供应量为150+(150+m)+(150+(个),
前10天的总供应量为1 350+36m+(150+9m)=(1500 +45m)(个).
在y = -x +12x+209中,令x=10,得y= -10 +12×10+209 =229.
∵前9天的总需求量为2136个，∴前 10天的总需求量为2136+229=2 365(个).
∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，
解得
∵m为正整数,∴m的值为20或21.
(3)由(2)知,m的最小值为20,∴第4天的销售量即供应量为y =4×20+150-20=210,第4天的销售额为210×100=21 000(元).第12天的销售量即需求量为y =-12 +12×12+209=209,第12天的销售额为209×100=20 900(元).
2.【解】(1)把点(3,7.2),(4,5.8)的坐标分别代入
得 解得 即a的值为 的值为9.
(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
理由：设这种蔬菜每千克获利w元.
根据题意，得
且1≤t≤7,∴当t=4时,w有最大值.
∴在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
(3)由(1)得 当 时,解得x =5,x =-10(舍去).∴此时售价为5元/千克，吨=4000千克.
令 解得t=6,∴此时
∴总利润为2×4 000=8000(元).
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元.
3.【解】(1)设B原料的单价为m元，则 A 原料的单价为1.5m元.
根据题意，得 解得m=3.经检验，m=3是方程的解.
1.5×3×2+4×3+9=30(元).
答：每盒产品的成本为30元.
(2)根据题意,得 w=(x-30)[500-10(x-60)]=-10x +1 400x-33 000,
即w关于x的函数表达式为w=-10x +1 400x-33 000.
(3)由(2)知w=-10x +1 400x-33 000 =-10(x-70) +16 000,
∴当a≥70时,每天的最大利润为16 000元;
当604.【解】(1)根据题意,得w=(x-8)(24-x)-60=-x +32x-252.
(2)①∵该产品第一年利润为4万元，∴4=-x +32x-252,解得x =x =16.
答：该产品第一年的售价是16元/件.
②∵第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，
解得11≤x≤16.
设第二年利润是w'万元，则 4= -x +30x-148.
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=15,11≤x≤16,
∴x=11时,w'有最小值,最小值为(11-6)×(24-11)-4=61.
答：第二年利润最少是61万元.
5.【解】(1)设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数表达式为y=kx+b，
根据题意，得 解得
∴y= -x+35(1≤x≤10,x为整数).
设销售这种水果的日利润为w元，
则
∵1≤x≤10,x为整数,∴当x=7或x=8时,w取得最大值,最大值为378.
答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元.
6.【解】(1)如图所示.
设y=kx+b,把点(20,30)和(25,25)的坐标分别代入y=kx+b,
得 解得 ∴y=-x+50.
(2)①w=(x-18)(-x+50)= -x +68x-900=-(x-34) +256.
∵-1<0,∴当x=34时,w有最大值.∴获得最大利润时，销售单价为34元/千克.
②当w=240时,-(x-34) +256=240,解得x =38,x =30.
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，∴x=30.
∴当w=240时的销售单价为30元/千克.
7.【解】(1)∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y=4-0.5(x-2)= -0.5x+5.即y关于x的函数表达式为y= -0.5x+5(2≤x≤8,且x为整数).
(2)设每平方米小番茄的产量为W千克.
根据题意,得W=x(-0.5x+5)=-0.5x +5x=-0.5(x-5) +12.5.
∵-0.5<0,∴当x=5时,W取最大值,最大值为 12.5.
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克.
8.【解】(1)增种果树28 棵时，每棵果树平均产量为
(2)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.
把 分别代入，得 解得
∴y与x之间的函数表达式为 自变量x的取值范围是0≤x≤80.
时,
答：当增种果树50 棵时，果园的总产量w(kg)最大，最大总产量是6 050 kg.
目标二 利用二次函数解决实际应用中的最值问题
1.【解】(1)y与x的函数关系式为y=-2x+160.
(2)根据题意,得(x-30)·(-2x+160)=1 200,解得x =50,x =60.
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，∴x=50.
答：销售单价应定为50元.
(3)设每天获利w元.
根据题意,得 w=(x-30)·(-2x+160)=-2x +220x-4 800=-2(x-55) +1 250.
∵-2<0,图象的对称轴是直线x=55,且30≤x≤54,
∴当x=54时,w取最大值,最大值是-2×(54-55) +1 250=1 248.
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元.
2.【解】(1)认同,理由:当m>0,x>0时, 中,y随x的增大而减小，而从图中描点可知，x增大y随之增大，故不能选
(2)观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为y=kx+b(k>0),②号田为y= -0.1x +ax+c,把点(1,1.5),(2,2.0)的坐标分别代入y=kx+b
得 解得
把点(1,1.9),(2,2.6)的坐标分别代入y= -0.1x +ax+c
得 解得 ∴y= -0.1x +x+1.
答：模拟①号田的函数表达式为y=0.5x+1，模拟②号田的函数表达式为y= -0.1x +x+1.
(3)设①号田和②号田总年产量为w吨.
由(2)知,w= 0.5x+1=+(-0. 1x + x + 1) =-0.1x +1.5x+2= -0.1(x-7.5) +7.625.
∵-0.1<0,抛物线的对称轴为直线x=7.5，而x为整数，
∴当x=7或8时,w取最大值,最大值为7.6.
答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨.
3.【解】(1)由题图可知二次函数图象经过原点.
设二次函数表达式为s=at +bt,一次函数表达式为v=kt +c.
∵一次函数图象经过点(0,16),(8,8),解得
∴一次函数表达式为v= -t+16.
令v=9,则t=7.∵二次函数图象经过点(2,30),(4,56),
解得 ∴二次函数表达式为
令t=7,则
答：当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m .
(2)∵乙车的速度为10 m/s,当t=0时,甲车的速度为16 m/s,
∴当0当10∴当v=10时，两车之间的距离最小.
将v=10代入v=-t+16,得t=6.
将t=6代入 得s=78.
此时两车之间的距离为10×6+20-78=2(m).
答：6s时两车相距最近，最近距离是2m.
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