3.6.1 利用二次函数解决图形面积问题及抛物线型问题同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.6.1 利用二次函数解决图形面积问题及抛物线型问题同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 6.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-26 20:28:22 | ||
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文档简介
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第三章 二次函数
6 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决图形面积问题及抛物线型问题
目标一 利用二次函数解决几何图形面积相关的最值问题
类型1 三角形型
1.如图，抛物线y=ax +bx-3(a≠0)与x轴交于点 A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点 C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点 Q，使△ACQ 的周长最小，求点Q 的坐标；
(3)P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标.
类型2 四边形型
2.如图是一架菱形风筝骨架的示意图，它的骨架由4条竹棒AC,BD,EF,GH组成,其中E,F，G，H分别是菱形四边的中点，现有一根长为80 cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC=x cm,菱形ABCD的面积为ycm .
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求那么当骨架AC的长为多少时，这架风筝即菱形 ABCD的面积最大 此时最大面积为多少
类型3 靠墙型
3.某农场要建一个饲养场(长方形ABCD)，饲养场的一边靠墙(墙的长度为27 m)，另三边用木栏围成，中间用木栏隔开，分成两个场地，并在如图的三处分别留1m 宽的门(不用木栏)，建成后木栏总长为60 m,设饲养场(长方形ABCD)的边AB为xm.
(1)求饲养场的边 BC 的长.(用含x的代数式表示)
(2)若饲养场的面积为 270 m ,求x的值.
(3)当x为何值时，饲养场的面积最大 最大面积为多少
类型4 组合型
4.有一块矩形地块ABCD,AB = 20米,BC=30米.为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米.现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF 中种植甲种花卉；在等腰梯形 ABFE 和 CDHG中种植乙种花卉;在矩形 EFGH中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/平方米、60元/平方米、40元/平方米，设三种花卉的种植总成本为y元.
(1)当x=5时,求种植总成本;
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120 平方米，求三种花卉的最低种植总成本.
目标二 利用二次函数解决实物抛物线型问题
应用1 桥隧问题
1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE 所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点 P到OE的距离为9m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A，B处分别安装照明灯，已知点A，B到OE的距离均为6m，求点A，B的坐标.
应用2 工程设计问题
2.根据以下素材，探索完成任务.
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图①中有一座拱桥，图②是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽20 m,拱顶离水面5m.据调查,该河段水位在此基础上再涨1.8 m达到最高.
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材2 为迎佳节，拟在图①桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼,如图③.为了安全,灯笼底部距离水面不小于1m;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.
问题解决
任务1 确定桥拱形状
在图②中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.
任务2 探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
任务3 拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
目标三 利用二次函数解决运动抛物线型问题
应用1 对称型抛物线问题
1.某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O 为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为
(1)求雕塑 OA 的高.
(2)求落点C，D之间的距离.
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10m,EF= 1.8 m,EF⊥OD.问:雕塑EF的顶部F是否会碰到水柱 请通过计算说明.
应用2 运动线型问题
2.【开放与探究】第24 届冬奥会(也称2022年北京冬奥会)于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动.运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度 v 沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变.同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆,AB= 150 m. 且 sin 37°≈0.6.忽略空气阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少米
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少米
参考答案
目标一 利用二次函数解决几何图形面积相关的最值问题
1.【解】(1)将点A(-1,0),点B(3,0)的坐标分别代入y=ax +bx-3,
解得∴y=x -2x-3.
(2)如图,连接BC 交对称轴于点 Q.
∵y=x -2x-3=(x-1) -4,∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵A、B关于对称轴直线x=1对称,∴AQ=BQ,∴AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC,
当C、B、Q三点共线时,△ACQ的周长最小.
设直线 BC的表达式为y=kx+b.∵直线 BC经过C(0,-3),B(3,0)两点,
解得∴直线BC的表达式为y=x-3,∴Q(1,-2).
(3)如图,过点P作PD⊥x轴于y点 D.设点P的坐标为(x,y),
则 当 时!
此时 ∴△BPC 面积 S 的最大值为 P点的坐标为
2.【解】(1)∵E、F分别为AB、AD的中点,∴
同理
四边形ABCD 是菱形,
又∵ 当x=32即AC 的长为32 cm时面积最大，此时最大面积为384 cm .
3.【解】(1)饲养场的边BC 的长是(60+1+1+1-3x=(63-3x) m.
(2)令x(63-3x)=270,解得x =6,x =15.
由题意知63-3x≤27,∴x≥12.∴x的值为15.
(3)设饲养场的面积是S m .
根据题意，得
∵-3<0,且x≥12,∴当x=12时,S取得最大值,此时S=324.
答：当x为12时，饲养场的面积最大，最大面积为324 m .
4.【解】(1)当x=5时,EF=20-2×5=10(米),EH=30-2×5=20(米),
x×60+EF·EH×40=(20+30)×5×20+(10+20)×5×60+20×10×40=22 000.
∴当x=5时,种植总成本为22 000元.
(2)由题易知EF=(20-2x)米,EH=(30-2x)米,
则 (20+20-2x)×x×60+(30-2x)(20-2x)×40=-400x+24 000(0-2x +60x.
同理，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米,
∴-2x +60x-(-2x +40x)≤120,解得x≤6,故0又∵y= -400x+24 000,∴y随x的增大而减小.
∴当x=6时,y的最小值为21 600,即三种花卉的最低种植总成本为21 600元.
目标二 利用二次函数解决实物抛物线型问题
1.【解】(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为P(5，9)，
∴可以设抛物线的函数表达式为y=a(x-5) +9.
把点(0，0)的坐标代入，可得
∴抛物线的函数表达式为
(2)令y=6,得 解得
2.【解】任务1:
以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，则抛物线的顶点坐标为(0,0),且过点B(10,-5).
设抛物线的函数表达式为y=ax ,把点 B(10,-5)的坐标代入,得100a=-5,解得
∴抛物线的函数表达式为
任务2:
∵该河段水位再涨1.8 m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m,灯笼长0.4m,
∴悬挂点的纵坐标 y≥-5+1.8+1+0.4= -1.8,即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8.
当y=-1.8时, 解得x=±6,
∴悬挂点的横坐标的取值范围是-6≤x≤6.
任务3：(答案不唯一)
方案一：如图(坐标轴的横轴)，从顶点处开始悬挂灯笼.
∵-6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m,
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时,1.6×4>6;
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3<6.∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼.
∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼.
∴最左边一盏灯笼的横坐标为-1.6×3= -4.8.
方案二：如图所示.
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时,0.8+1.6×(5-1)>6;
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时,0.8+1.6×(4-1)<6,∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼.
∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为-0.8-1.6×3=-5.6.
目标三 利用二次函数解决运动抛物线型问题
1.【解】(1)当x=0时,
∴点A的坐标为 雕塑OA的高为
(2)当y=0时, 解得x = -1(舍去),x =11.∴点D的坐标为(11,0).∴OD=11 m.∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC=OD=11 m.
∴CD=OC+OD=22m,即落点C,D之间的距离为22m.
(3)当x=10时,
∴雕塑EF的顶部F不会碰到水柱.
2.【解】(1)如图，以A为原点，建立平面直角坐标系.过点B作 BD⊥y轴于点 D.
在 Rt△OBD中,OD=AB·sin37°≈150×0.6=90(m).
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90 m.
(2) 在 Rt△OBD 中,
由题意知抛物线顶点为(0,0),经过(-120,-90).
设抛物线的表达式为y=ax ,则有
∴抛物线的表达式为
(3)当x= -60时,y= -22.5,
∴他飞行2s后,垂直下降了22.5m.
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第三章 二次函数
6 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决图形面积问题及抛物线型问题
目标一 利用二次函数解决几何图形面积相关的最值问题
类型1 三角形型
1.如图，抛物线y=ax +bx-3(a≠0)与x轴交于点 A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点 C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点 Q，使△ACQ 的周长最小，求点Q 的坐标；
(3)P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC面积S的最大值及此时P点的坐标.
类型2 四边形型
2.如图是一架菱形风筝骨架的示意图，它的骨架由4条竹棒AC,BD,EF,GH组成,其中E,F，G，H分别是菱形四边的中点，现有一根长为80 cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC=x cm,菱形ABCD的面积为ycm .
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求那么当骨架AC的长为多少时，这架风筝即菱形 ABCD的面积最大 此时最大面积为多少
类型3 靠墙型
3.某农场要建一个饲养场(长方形ABCD)，饲养场的一边靠墙(墙的长度为27 m)，另三边用木栏围成，中间用木栏隔开，分成两个场地，并在如图的三处分别留1m 宽的门(不用木栏)，建成后木栏总长为60 m,设饲养场(长方形ABCD)的边AB为xm.
(1)求饲养场的边 BC 的长.(用含x的代数式表示)
(2)若饲养场的面积为 270 m ,求x的值.
(3)当x为何值时，饲养场的面积最大 最大面积为多少
类型4 组合型
4.有一块矩形地块ABCD,AB = 20米,BC=30米.为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米.现决定在等腰梯形AEHD 和BCGF 中种植甲种花卉；在等腰梯形 ABFE 和 CDHG中种植乙种花卉;在矩形 EFGH中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/平方米、60元/平方米、40元/平方米，设三种花卉的种植总成本为y元.
(1)当x=5时,求种植总成本;
(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120 平方米，求三种花卉的最低种植总成本.
目标二 利用二次函数解决实物抛物线型问题
应用1 桥隧问题
1.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE 所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点 P到OE的距离为9m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A，B处分别安装照明灯，已知点A，B到OE的距离均为6m，求点A，B的坐标.
应用2 工程设计问题
2.根据以下素材，探索完成任务.
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图①中有一座拱桥，图②是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽20 m,拱顶离水面5m.据调查,该河段水位在此基础上再涨1.8 m达到最高.
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材2 为迎佳节，拟在图①桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼,如图③.为了安全,灯笼底部距离水面不小于1m;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.
问题解决
任务1 确定桥拱形状
在图②中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式.
任务2 探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
任务3 拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
目标三 利用二次函数解决运动抛物线型问题
应用1 对称型抛物线问题
1.某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O 为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为
(1)求雕塑 OA 的高.
(2)求落点C，D之间的距离.
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10m,EF= 1.8 m,EF⊥OD.问:雕塑EF的顶部F是否会碰到水柱 请通过计算说明.
应用2 运动线型问题
2.【开放与探究】第24 届冬奥会(也称2022年北京冬奥会)于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动.运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度 v 沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变.同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆,AB= 150 m. 且 sin 37°≈0.6.忽略空气阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少米
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少米
参考答案
目标一 利用二次函数解决几何图形面积相关的最值问题
1.【解】(1)将点A(-1,0),点B(3,0)的坐标分别代入y=ax +bx-3,
解得∴y=x -2x-3.
(2)如图,连接BC 交对称轴于点 Q.
∵y=x -2x-3=(x-1) -4,∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵A、B关于对称轴直线x=1对称,∴AQ=BQ,∴AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC,
当C、B、Q三点共线时,△ACQ的周长最小.
设直线 BC的表达式为y=kx+b.∵直线 BC经过C(0,-3),B(3,0)两点,
解得∴直线BC的表达式为y=x-3,∴Q(1,-2).
(3)如图,过点P作PD⊥x轴于y点 D.设点P的坐标为(x,y),
则 当 时!
此时 ∴△BPC 面积 S 的最大值为 P点的坐标为
2.【解】(1)∵E、F分别为AB、AD的中点,∴
同理
四边形ABCD 是菱形,
又∵ 当x=32即AC 的长为32 cm时面积最大，此时最大面积为384 cm .
3.【解】(1)饲养场的边BC 的长是(60+1+1+1-3x=(63-3x) m.
(2)令x(63-3x)=270,解得x =6,x =15.
由题意知63-3x≤27,∴x≥12.∴x的值为15.
(3)设饲养场的面积是S m .
根据题意，得
∵-3<0,且x≥12,∴当x=12时,S取得最大值,此时S=324.
答：当x为12时，饲养场的面积最大，最大面积为324 m .
4.【解】(1)当x=5时,EF=20-2×5=10(米),EH=30-2×5=20(米),
x×60+EF·EH×40=(20+30)×5×20+(10+20)×5×60+20×10×40=22 000.
∴当x=5时,种植总成本为22 000元.
(2)由题易知EF=(20-2x)米,EH=(30-2x)米,
则 (20+20-2x)×x×60+(30-2x)(20-2x)×40=-400x+24 000(0
同理，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米,
∴-2x +60x-(-2x +40x)≤120,解得x≤6,故0
∴当x=6时,y的最小值为21 600,即三种花卉的最低种植总成本为21 600元.
目标二 利用二次函数解决实物抛物线型问题
1.【解】(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为P(5，9)，
∴可以设抛物线的函数表达式为y=a(x-5) +9.
把点(0，0)的坐标代入，可得
∴抛物线的函数表达式为
(2)令y=6,得 解得
2.【解】任务1:
以拱顶为原点，建立如图所示的直角坐标系，则抛物线的顶点坐标为(0,0),且过点B(10,-5).
设抛物线的函数表达式为y=ax ,把点 B(10,-5)的坐标代入,得100a=-5,解得
∴抛物线的函数表达式为
任务2:
∵该河段水位再涨1.8 m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m,灯笼长0.4m,
∴悬挂点的纵坐标 y≥-5+1.8+1+0.4= -1.8,即悬挂点的纵坐标的最小值是-1.8.
当y=-1.8时, 解得x=±6,
∴悬挂点的横坐标的取值范围是-6≤x≤6.
任务3：(答案不唯一)
方案一：如图(坐标轴的横轴)，从顶点处开始悬挂灯笼.
∵-6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m,
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时,1.6×4>6;
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3<6.∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼.
∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼.
∴最左边一盏灯笼的横坐标为-1.6×3= -4.8.
方案二：如图所示.
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时,0.8+1.6×(5-1)>6;
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时,0.8+1.6×(4-1)<6,∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼.
∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为-0.8-1.6×3=-5.6.
目标三 利用二次函数解决运动抛物线型问题
1.【解】(1)当x=0时,
∴点A的坐标为 雕塑OA的高为
(2)当y=0时, 解得x = -1(舍去),x =11.∴点D的坐标为(11,0).∴OD=11 m.∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC=OD=11 m.
∴CD=OC+OD=22m,即落点C,D之间的距离为22m.
(3)当x=10时,
∴雕塑EF的顶部F不会碰到水柱.
2.【解】(1)如图，以A为原点，建立平面直角坐标系.过点B作 BD⊥y轴于点 D.
在 Rt△OBD中,OD=AB·sin37°≈150×0.6=90(m).
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90 m.
(2) 在 Rt△OBD 中,
由题意知抛物线顶点为(0,0),经过(-120,-90).
设抛物线的表达式为y=ax ,则有
∴抛物线的表达式为
(3)当x= -60时,y= -22.5,
∴他飞行2s后,垂直下降了22.5m.
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