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北京课改版数学八年级下册同步课时练习：15.2平行四边形和特殊的平行四边形
一、北京课改版数学八年级下册同步课时练习：15.2 平行四边形和特殊的平行四边形
1．已知AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：A
【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案.
2．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形.小明补充的条件是AB=BC，小亮补充的条件是AB=CD，则下列说法正确的是（ ）
A．小明、小亮都正确 B．小明正确，小亮错误
C．小明错误，小亮正确 D．小明、小亮都错误
【答案】B
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；故小明的正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故小亮的错误；
故答案为：B
【分析】利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得答案.
3．如在矩形ABCD中，若添加一个条件可以得到四边形ABCD是正方形，则这个条件是（ ）
A．∠C=90° B．AD=BC C．AD=CD D．∠A=90°
【答案】C
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，AD=CD，
∴四边形ACD是正方形.
故答案为：C
【分析】利用有一组邻边相等的矩形是正方形，据此可得答案.
4．如已知四边形ABCD是平行四边形，若再从①AB=BC，②∠B=90°，③AD=BC，④∠D=90°四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，则下列四种选法，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD正方形.
故答案为：C
【分析】利用有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，即可求解.
5．如图
（1）如图所示，小迪用四根长度分别为a，b，c，d的木条和直角尺按照如示搭了一个四边形木框，搭出的木框(木框的宽度忽略不计)的形状是 ；
（2）用(1)中的四根木条重新组合，搭出(1)中形状的木框的最大面积是 .
【答案】（1）矩形
（2）ac
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：(1)根据三个角是直角的四边形是矩形可得搭出的木框(木框的宽度忽略不计)的形状是矩形；
故答案为：矩形
(2)用(1)中的四根木条重新组合，搭出(1)中形状的木框的最大面积是ac.
故答案为：ac
【分析】（1）利用有三个角是直角的四边形是矩形，可得答案.
（2）利用矩形的性质可求解.
6．如示，点A，B，C均在格点上，若点D也在格点上，你能画出多少个以A，B，C，D为顶点的平行四边形 请你把它们画出来.
【答案】解：如图，
分别以AB，AC，BC为对角线画出平行四边形，一共有3个.
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】观察图形，分别以AB，AC，BC为对角线画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形，各有1个，即可求解.
7．如在 ABCD中，AB=6，AC=10，AD=8.求证： ABCD是矩形.
【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=8.
∵AB2+BC2=100，AC2=100，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
则∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形.
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可求出BC的长，再利用勾股定理的逆定理去证明AB2+BC2=AC2，由此可推出∠ABC=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
8．如示，在 ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，则中的平行四边形有 （ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】C
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：∵ ABCD，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AB∥CD∥GH，AD∥BC∥EF，
∴四边形ABHG，ABCD，AEOG，AEFD，BEOH，BEFC，GOFD，OHCF，GHCD都是平行四边形，
∴图中的平行四边形有9个.
故答案为：C
【分析】利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，再利用同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥GH，AD∥BC∥EF，然后利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得平行四边形的个数.
9．已知：如在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.
求证：四边形AEDF是菱形.
【答案】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD(角平分线的定义).
∵DE∥AC，
∴∠FAD=∠EDA(两直线平行，内错角相等)，
∴∠EAD=∠EDA(等量代换)，
∴AE=DE，
∴四边形AEDF是菱形.
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；角平分线的定义；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AEDF是平行四边形，利用角平分线的定义和平行线的性质可推出∠EAD=∠EDA，再根据等角对等边可证得AE=DE，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
10．如，在矩形ABCD中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3 cm的速度向点B移动，点Q以每秒2 cm的速度向点D移动，当点P到达点B时，两点均停止移动.是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形 若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由.
【答案】解：不存在.理由：设存在某时刻t，使得四边形PBCQ是正方形，则BP=CQ，即16-3t=2t，解得t= ，
∴CQ=2t= ≠6，即CQ≠CB，
∴四边形PBCQ是正方形不成立.
故不存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形.
【知识点】正方形的判定；四边形-动点问题；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】设存在某时刻t，使得四边形PBCQ是正方形，利用正方形的性质可知BP=CQ，再利用点P和点Q的运动速度和方向，分别表示出CQ，BP，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到CQ的长；然后利用正方形的四边相等及BC=6，可作出判断.
11．如①所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2.②，③，④是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.请用三种方法将中所给的四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形(非矩形)的周长互不相等，并把你所拼得的形分别画在②，③，④的方格纸上.
要求：(1)所画形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；(2)画时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹.
【答案】解：如图所示
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用边长为1和2的直角三角形拼出一个矩形，再将边长为2的两个直角三角形即可；可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形，即可求解.
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北京课改版数学八年级下册同步课时练习：15.2平行四边形和特殊的平行四边形
一、北京课改版数学八年级下册同步课时练习：15.2 平行四边形和特殊的平行四边形
1．已知AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形.小明补充的条件是AB=BC，小亮补充的条件是AB=CD，则下列说法正确的是（ ）
A．小明、小亮都正确 B．小明正确，小亮错误
C．小明错误，小亮正确 D．小明、小亮都错误
3．如在矩形ABCD中，若添加一个条件可以得到四边形ABCD是正方形，则这个条件是（ ）
A．∠C=90° B．AD=BC C．AD=CD D．∠A=90°
4．如已知四边形ABCD是平行四边形，若再从①AB=BC，②∠B=90°，③AD=BC，④∠D=90°四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，则下列四种选法，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5．如图
（1）如图所示，小迪用四根长度分别为a，b，c，d的木条和直角尺按照如示搭了一个四边形木框，搭出的木框(木框的宽度忽略不计)的形状是 ；
（2）用(1)中的四根木条重新组合，搭出(1)中形状的木框的最大面积是 .
6．如示，点A，B，C均在格点上，若点D也在格点上，你能画出多少个以A，B，C，D为顶点的平行四边形 请你把它们画出来.
7．如在 ABCD中，AB=6，AC=10，AD=8.求证： ABCD是矩形.
8．如示，在 ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，则中的平行四边形有 （ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
9．已知：如在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.
求证：四边形AEDF是菱形.
10．如，在矩形ABCD中，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3 cm的速度向点B移动，点Q以每秒2 cm的速度向点D移动，当点P到达点B时，两点均停止移动.是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形 若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由.
11．如①所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2.②，③，④是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.请用三种方法将中所给的四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形(非矩形)的周长互不相等，并把你所拼得的形分别画在②，③，④的方格纸上.
要求：(1)所画形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；(2)画时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：A
【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；故小明的正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故小亮的错误；
故答案为：B
【分析】利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，AD=CD，
∴四边形ACD是正方形.
故答案为：C
【分析】利用有一组邻边相等的矩形是正方形，据此可得答案.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD正方形.
故答案为：C
【分析】利用有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，即可求解.
5．【答案】（1）矩形
（2）ac
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：(1)根据三个角是直角的四边形是矩形可得搭出的木框(木框的宽度忽略不计)的形状是矩形；
故答案为：矩形
(2)用(1)中的四根木条重新组合，搭出(1)中形状的木框的最大面积是ac.
故答案为：ac
【分析】（1）利用有三个角是直角的四边形是矩形，可得答案.
（2）利用矩形的性质可求解.
6．【答案】解：如图，
分别以AB，AC，BC为对角线画出平行四边形，一共有3个.
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】观察图形，分别以AB，AC，BC为对角线画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形，各有1个，即可求解.
7．【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=8.
∵AB2+BC2=100，AC2=100，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
则∠ABC=90°，
∴ ABCD是矩形.
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可求出BC的长，再利用勾股定理的逆定理去证明AB2+BC2=AC2，由此可推出∠ABC=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【解答】解：∵ ABCD，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AB∥CD∥GH，AD∥BC∥EF，
∴四边形ABHG，ABCD，AEOG，AEFD，BEOH，BEFC，GOFD，OHCF，GHCD都是平行四边形，
∴图中的平行四边形有9个.
故答案为：C
【分析】利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，再利用同平行于一条直线的两直线平行，可证得AB∥CD∥GH，AD∥BC∥EF，然后利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得平行四边形的个数.
9．【答案】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD(角平分线的定义).
∵DE∥AC，
∴∠FAD=∠EDA(两直线平行，内错角相等)，
∴∠EAD=∠EDA(等量代换)，
∴AE=DE，
∴四边形AEDF是菱形.
【知识点】平行线的性质；菱形的判定；角平分线的定义；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AEDF是平行四边形，利用角平分线的定义和平行线的性质可推出∠EAD=∠EDA，再根据等角对等边可证得AE=DE，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
10．【答案】解：不存在.理由：设存在某时刻t，使得四边形PBCQ是正方形，则BP=CQ，即16-3t=2t，解得t= ，
∴CQ=2t= ≠6，即CQ≠CB，
∴四边形PBCQ是正方形不成立.
故不存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形.
【知识点】正方形的判定；四边形-动点问题；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】设存在某时刻t，使得四边形PBCQ是正方形，利用正方形的性质可知BP=CQ，再利用点P和点Q的运动速度和方向，分别表示出CQ，BP，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，可得到CQ的长；然后利用正方形的四边相等及BC=6，可作出判断.
11．【答案】解：如图所示
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】利用边长为1和2的直角三角形拼出一个矩形，再将边长为2的两个直角三角形即可；可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形，即可求解.
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