3.1勾股定理（第1课时） 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第3章 · 勾股定理
3.1 勾股定理
第1课时　勾股定理
学习目标
1. 经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程，从中体会数形结合思想；
2. 能够应用勾股定理求直角三角形的未知边长的值.
图片欣赏
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1955年希腊发行的一枚纪念邮票.
这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体──毕达哥拉斯学派.
邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的.
观察这枚邮票上的图案，数数图案中各正方形中小方格的个数，你有什么猜想？
操作与思考
画图——计算——验证
1.将每个小正方形的面积看作1，以BC为一边的正方形面积是______；
B
A
C
D
E
9
以AC为一边的正方形面积是____；
16
以AB为一边的正方形面积怎么计算呢？
用“补”的方法
操作与思考
实验1.将每个小正方形的面积看作1，以BC为一边的正方形面积是____；
B
A
C
D
E
9
以AC为一边的正方形面积是____；
16
用“割”的方法
以AB为一边的正方形面积怎么计算呢？
以AB为一边的正方形面积是____.
25
在图中，3个正方形面积之间有怎样的数量关系？
画图——计算——验证
操作与思考
实验2.在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积.
你所画的3个正方形面积之间有怎样的数量关系？请与同学交流.
画图——计算——验证
操作与思考
SBC SAC SAB SBC、 SAC 、SAB 之间的关系
1
2
3
4
5
学生编号
正方形 面积
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
SBC+SAC=SAB
a2+b2=c2
画图——计算——验证
猜想：两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
新知归纳
勾股定理：
直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方.
A
B
C
a
b
c
直角三角形的斜边、直角边有如下关系：
符号语言：
∴ a2+b2=c2
在Rt△ABC中，∠C=90°，
勾
股
弦
知识窗
在我国，据《周髀算经》记载，距今3000多年前的周朝有个叫商高的宰相，有一次和周公谈话时说：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五.”此话的意思是：若折出一个直角勾是三、股是四，则弦必定是五.在古代汉语中勾指较短直角边、股指较长直角边、弦指斜边因此这个定理在中国又称“勾股定理(商高定理)”.
勾
股
勾
股
弦
勾2+股2=弦2
新知应用
例1 求出下列直角三角形中未知边的长度.
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
x2 =100
x2=62+82
∵x>0，
y2+52=132
y2=132-52
y2=144
∴ y=12.
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得:
AC2+BC2=AB2
∵y>0，
A
6
8
x
C
B
5
y
13
C
A
B
∴ x=10.
(1)
(2)
方法总结：利用勾股定理建立方程
新知应用
例2.如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，已知S1=9，S3=25，求S2.
知识延伸
勾股图中的面积关系:
以直角三角形的三边为基础，分别向外作半圆、正方形、等边三角形，如图，它们都形成了简单的勾股图. 对于这些勾股图，它们都具有相同的结论，即S3=S1+S2. 与直角三角形三边相连的图形还可以换成正五边形、正六边形等，结论同样成立.
知识延伸
勾股图中的面积关系:
如图，求S正方形D+S正方形E+S正方形F+S正方形G
1.求下列直角三角形中未知边的长.
5
12
x
8
x
17
x
16
20
新知巩固
2.求下列图中未知数x、y、z的值.
x=15
y=5
z=7
81
16
x
y
144
169
z
625
576
新知巩固
新知巩固
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
(1)若c=15，b=12，求a的长;
(2)若a=11，b=60，求c的长;
(3)若a∶b=3∶4，c=10，求a、b的长.
解：(1)∵a2+b2=c2，
∴a2=c2-b2=152-122=81.
∴a=9.
(2)∵a2+b2=c2，
∴c2=112+602=3721.
∴c=61.
(3)∵a∶b=3∶4，
∴设a=3x，b=4x(x>0).
∵a2+b2=c2，
∴(3x)2+(4x)2=102,
整理，得25x2=100，
∴x2=4.
∴x=2.
∴a=3x=6，b=4x=8.
课堂小结
勾股定理
内容
应用
a2+b2=c2
能运用勾股定理求直角三角形的边长
探索勾股定理基本图形的拓展
1. 如图，一个高3 米，宽4 米的大门，需在相对角的顶点间加一个加固木条，则木条的长为 ( )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
C
3
4
C
B
A
当堂检测
当堂检测
2.如图，正方形中的数据表示它的面积，则第三个正方形的面积为(　 )
A.69 B.18 C.19 D.20
C
25
44
A
B
C
当堂检测
3.如图，根据图中的标注求各直角三角形中的未知边长x、y、z的值.
x=　　　　，y=　　　　，z=　　　　.
12
8
15
当堂检测
解:在Rt△ABC中，∠B=90°,
∴由勾股定理得：
AC2=AB2+BC2=1+1=2.
在Rt△ACD中，∠ACD=90°,
∴由勾股定理得：
∴AD2=AC2+CD2=2+1=3，
即x2=3.
4.求下列直角三角形中未知边的长度.
B
A
C
D
1
1
1
x
当堂检测
5.如图，在△ABC中，AB=AC，BM=CM，AB=13cm，BC=24 cm.求△ABC的面积.
B
A
C
M
6.如图，△ABC和△DEF都不是直角三角形，分别以△ABC和△DEF的各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形面积的和等于大正方形的面积吗？
当堂检测
思维拓展
在Rt△ABC中，a=5，b=12，求c2.
解：由勾股定理得：c2=a2+b2=52+122=169.
上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明错误的原因并改正.
解：①若c为斜边，由勾股定理得：c2=a2+b2=52+122=169；
②若b为斜边，由勾股定理得：c2=b2-a2=122-52=119.
综上可知，c2的值为169或119.