高2021级高三上期入学考试
数学（理科）
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B A A A B C C D C D
二、填空题
13． 1 14. 15. ， 16.①④
三、解答题：
17.解：（1）因为，所以由余弦定理得：
，...............................................................................................6分
因为，，
所以，................................................................................................8分
设外接圆的半径为，
由正弦定理得，...................................................................................10分
解得，
即外接圆的半径为5．...................................................................................................12分
18．解：（1）
，.............................................4分
所以的最小正周期．......................................................................................6分
（2）由题意可得:
...............................................8分
当时，，
所以当，即时，，...................................10分
若存在，使得成立，只需，
所以，即实数的取值范围为...............................................................12分
解：（1），
则，........................................................................................................1分
得．..............................................................................................................,.................3分
由题意，可得曲线在点，处的切线方程为，即．..............................................................................................................................5分
（2）由已知得．
又由（1）知，所以..............................................................................................6分
故．，，，
由，得，或；............................................................................8分
由，得．..................................................................................................10分
故在，上的单调递增区间为和；
单调递减区间为．......................................................................................................12分
20．解：（1）几何体是圆柱的一部分，
它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形．
，，则这个几何体的表面积为
.....................................................................5分
（2）是弧的中点，是弧上的一点，且，
，，平面，..................................................................8分
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，，，，0，，，1，，
，，，1，，
设异面直线与所成角为，
则，.........................................................................................10分
，
异面直线与所成角的大小为．.........................................................................12分
21.解：（1）当时，．
．...................................................................................................................1分
，当时，；当时，．
函数单调递减区间为，单调递增区间为．.............................................3分
的极小值为，无极大值.................................................................................4分
（2），，，...................................................................5分
令，则．
令，则．
当时，；当时，．
函数在上单调递增，在上单调递减．
（e），方程有唯一解．........................................................................7分
方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．
等价于方程有两个不相等的实数解．
构造函数，则．
，当时，；当时，．
函数在上单调递增，在上单调递减．
，；，．
只需要（a），即．...........................................................9分
构造函数，则．
当时，（a）；当时，（a）．
函数（a）在上单调递减，在上单调递增．
（1），当时，恒成立．.........................................................10分
的取值范围为，，．..................................................................................12分
22．解：（1）为曲线为参数）上的动点，
化为普通方程为：．...............................................................................1分
设，，可得，...............................................................................2分
消去和得到：．..................................................................................3分
即，
根据，转换为极坐标方程为．....................................................4分
（2）设，，，....................................................................................5分
则，，
.....................................6分
，
..........................................................................................................8分
当时，有最大值：．...............................................................10分
23．解：（1）当时，，.......................2分
，
或，........................................................................................................................4分
不等式的解集为，，．..............................................................................5分
（2），........................................................6分
当且仅当上式等号成立，.................................................................................7分
有解，，则，解得.........................................8分
实数的取值范围是.................................................................................................10分高2021级高三上期入学考试
数学（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A．， B．， C．， D．，
2．命题“，且”的否定形式是
A．，且 B．，或
C．，且 D．，或
3．下列函数中，在上是增函数的是
A． B． C． D．
4．已知命题：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题：空间中三个平面，，，若，，，则．则下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
5．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（参考数据：，
A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年
6．已知且，“为增函数”是“在上单调递增”的
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，，则图象为如图的函数可能是
A． B．
C． D．
8．如图是某三棱锥的三视图，已知网格纸的小正方形边长是1，则这个三棱锥中最长棱的长为
A．5 B． C． D．7
9．若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为
A． B． C． D．
10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，．已知，则函数的值域为
A．，， B．，0， C． D．，
11．已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为
A．，， B．， C． D．，
12．设，，，，则
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）
13．已知幂函数在上单调递增，则实数的值为 ．
14．已知圆锥的高为2，体积为，若该圆锥顶点和底面圆周上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为 ．
15．已知函数，若，则的取值范围为 ．
16．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是 ．（只填序号）
①为偶函数；
②为奇函数；
③；
④．
解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．
17．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，求外接圆的半径．
18．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）现将图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象，若存在，使得成立，求实数的取值范围．
19．设为函数的导函数，已知，且的图像经过点．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）求函数在，上的单调区间．
20．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形．
（1）设，，求这个几何体的表面积；
（2）设是弧的中点，设是弧上的一点，且．求异面直线与所成角的大小．
21．已知函数，其中，．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系中，为曲线为参数）上的动点，若将点的横坐标变为原来的一半，纵坐标保持不变，得到点，记点的轨迹为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求的极坐标方程；
（2）设，是上异于极点的两点，且，求面积的最大值．
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若有解，求实数的取值范围．
