2023—2024学年人教版数学八年级上册11.3多边形及其内角和 同步练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023—2024学年人教版数学八年级上册11.3多边形及其内角和 同步练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 455.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-27 15:48:12 | ||
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文档简介
2023-2024学年人教版八年级数学上册《11.3多边形及其内角和》同步练习题（附答案）
一、单选题
1．若一个多边形的每个内角均是120°，则这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．一个多边形的内角和是，那么这个多边形的对角线的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知一个多边形的内角和与外角和的和为1980°，这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
5．某中学新科技馆铺设地面，已有正方形地砖，现打算购买另一种正多边形地砖（边长与正方形的相等），与正方形地砖作平面镶嵌，则该学校可以购买的地砖形状是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
6．如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．135° B．240° C．270° D．300°
7．在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了1个内角，其和等于1180°，则少算的这个角的度数是（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
8．如图，（ ）．
A．180° B．270° C．360° D．540°
二、填空题
9．从某个多边形的一个顶点可以引出3条对角线，则这个多边形内角和的度数为 ．
10．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的内角和是 ．
11．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为 ．
12．边长相等的正方边形ABFG和正五边形BCDEF如图所示拼接在一起，则∠FGE= °．
13．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠DEF为五边形ABCDE的一个外角，且∠DEF＝60°，则∠D＝ ．
14．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为 ．
15．如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDFH，使点F，H在其内部，连接FE，则∠DFE＝ ．
16．如图，分别过四边形的顶点B和顶点C作和的角平分线，两条角平分线交于点E，且，则 ．
三、解答题
17．已知一个正多边形的内角和是，求这个多边形每个外角的度数．
18．在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题．
(1)填写表中空格．
正多边形的边数 6 8
正多边形每个内角的度数
(2)根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
(3)假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形，个正八边形，求和的值，请写出过程．
19．如图，六边形中，，，
(1)求证：．
(2)若，，求．
20．（1）如图1，在四边形中，延长、交于点E，延长、交于点F．当时，我们就称四边形是“完美四边形”．已知在完美四边形中，．
①若，则______°；
②若，则的取值范围是______．
（2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称这个五边形是“完美五边形”．
如图3，在五边形中，，，该五边形是否为“完美五边形”？请说明你的理由．
21．【感知】如图1所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，若，则___________；
【探究】如图2所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
【应用】如图3所示，分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为___________．
22．阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．
我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．
(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2，、分别平分、，说明：．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．
②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
参考答案
1．解：设所求n边形边数为n，
∵多边形的每个内角均是120°，
∴120n=（n﹣2） 180°，
解得：n=6，
故选：D．
2．解：设所求多边形边数为，
则，
解得，
∴这个多边形的对角线的条数．
故选：D．
3．解：该多边形的外角和为360°，
故内角和为1980°-360°=1620°，
故（n-2） 180°=1620°，
解得n=11．
故选：C．
4．解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故选D.
5．解：A、正五边形每个内角是108°，108°与90°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；
B、正六边形每个内角是120°，120°与90°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；
C、正八边形每个内角是135°，135°×2＋90°＝360°，能密铺，符合题意．
D、正十二边形每个内角是150°，150°与90°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；
故选：C．
6．解答：
解：∵∠5＝90°，
∴∠3＋∠4＝180° 90°＝90°，
∵∠3＋∠4＋∠1＋∠2＝360°，
∴∠1＋∠2＝360° 90°＝270°，
故选：C．
7．解：设多边形的边数是．
依题意有，
解得：，
则多边形的边数；
多边形的内角和是；
则未计算的内角的大小为．
故选：C．
8．解：如图，连接，
则，，
，
，
．
故选：D．
9．解：由从某个多边形的一个顶点可以引出3条对角线，可得：
，
∴，
∴这个多边形的内角和为：；
故答案为720°．
10．解：设这个正多边形的外角为x，则内角为5x﹣60°，
由题意得：x+5x﹣60＝180，
解得：x＝40，
360°÷40°＝9．
（9﹣2）×180°＝1260°
故答案为：1260°．
11．解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，
∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°-500°=40°，
故答案为：40°．
12．解：∵四边形ABFG是正方形，
∴，
又∵五边形BCDEF是正五边形，
∴正五边形的内角和为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
故答案是9．
13．解：∵∠DEF＝60°，
∴∠AED＝120°，
∵∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，
∴∠D＝180°×（5﹣2）﹣80°﹣80°﹣140°﹣120°＝120°，
故答案为：120°．
14．解：设它是n边形，则
（n 2） 180°＝1080°，
解得n＝8．
360°÷8＝45°，
故答案为．
15．解：由正多边形的内角和公式可得：
正五边形ABCDE的内角和为，
∴，
∵四边形CDFH是以CD为边的正方形，
∴，，
∴为等腰三角形，
∴，
故答案为：81°．
16．解：∵，
∴∠ABC＋∠BCD＝360° ∠A ∠D＝150°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC＋∠ECB＝（∠ABC＋∠DCB）＝75°，
∴∠BEC＝180°-75°=105°．
故答案是：105°．
17．解：设正多边形的边数为n，
∵正多边形的内角和为．
∴，
解得：，
∴正多边形的每个外角为：．
18．（1）解：∵正边形的内角为，
∴正五边形的内角为，正六边形的内角为：，正八边形的内角为，
故答案为：；
（2）解：∵仅用一种正多边形镶嵌，
∴，，，，，
∴仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形；
（3）解：∵有个正四边形，个正八边形，
∴且为正整数，
∴，
∴当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
∴，，
即的值为，的值为．
19．（1）解：如图，连接，，
∵，，
∴，，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．解：（1）①∵，，
∴，
，
∴；
故答案为：；
②∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）五边形不是“完美五边形”；理由如下：
延长、交于点F，延长、交于点G，延长、交于点H，延长、交于点K，如图所示：
∵，
∴延长五边形任意不相邻的两边，只能得出4个角，
∴假设五边形为“完美五边形”，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，
在中，
∴，这与矛盾，
∴、、、不可能相等，假设不成立，
∴五边形不是“完美五边形”．
21．解：（感知）四边形的内角和为：，，
，
，，
．
故答案为：．
（探究），理由如下：
，
．
，
．
．
（应用）四边形的内角和为：，，
，
，，
．
．
分别是四边形的外角的平分线，
，，
，
．
故答案为：．
22．（1）解：∵分别平分，
∴，
∴，
由题干的结论得：，∠，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H，
由（1）的结论可知，
∵分别平分，
∴，
∵
∴，
∴，
同理可得，
由题干的结论可得，
∴；
②如图所示，分作的角平分线交于H，
由（1）的结论可知，，
同理可得，，
∴；
③由题干的结论可得，
∵平分，平分的外角，
∴，
∵，
∴，
由题干的结论可知，
∴，
∴
．
一、单选题
1．若一个多边形的每个内角均是120°，则这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．一个多边形的内角和是，那么这个多边形的对角线的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知一个多边形的内角和与外角和的和为1980°，这个多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
5．某中学新科技馆铺设地面，已有正方形地砖，现打算购买另一种正多边形地砖（边长与正方形的相等），与正方形地砖作平面镶嵌，则该学校可以购买的地砖形状是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形
6．如图所示，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．135° B．240° C．270° D．300°
7．在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了1个内角，其和等于1180°，则少算的这个角的度数是（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
8．如图，（ ）．
A．180° B．270° C．360° D．540°
二、填空题
9．从某个多边形的一个顶点可以引出3条对角线，则这个多边形内角和的度数为 ．
10．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的内角和是 ．
11．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为 ．
12．边长相等的正方边形ABFG和正五边形BCDEF如图所示拼接在一起，则∠FGE= °．
13．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，∠DEF为五边形ABCDE的一个外角，且∠DEF＝60°，则∠D＝ ．
14．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为 ．
15．如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDFH，使点F，H在其内部，连接FE，则∠DFE＝ ．
16．如图，分别过四边形的顶点B和顶点C作和的角平分线，两条角平分线交于点E，且，则 ．
三、解答题
17．已知一个正多边形的内角和是，求这个多边形每个外角的度数．
18．在“平面图形的镶嵌”学习中，主要研究了一种或两种正多边形的镶嵌问题，请运用所学知识完成下列问题．
(1)填写表中空格．
正多边形的边数 6 8
正多边形每个内角的度数
(2)根据题意，如果仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
(3)假设在镶嵌的平面图形的一个顶点周围有个正四边形，个正八边形，求和的值，请写出过程．
19．如图，六边形中，，，
(1)求证：．
(2)若，，求．
20．（1）如图1，在四边形中，延长、交于点E，延长、交于点F．当时，我们就称四边形是“完美四边形”．已知在完美四边形中，．
①若，则______°；
②若，则的取值范围是______．
（2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称这个五边形是“完美五边形”．
如图3，在五边形中，，，该五边形是否为“完美五边形”？请说明你的理由．
21．【感知】如图1所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，若，则___________；
【探究】如图2所示，在四边形中，分别是边的延长线，我们把称为四边形的外角，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
【应用】如图3所示，分别是四边形的外角的平分线，若，则的度数为___________．
22．阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．
我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．
(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2，、分别平分、，说明：．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．
②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
参考答案
1．解：设所求n边形边数为n，
∵多边形的每个内角均是120°，
∴120n=（n﹣2） 180°，
解得：n=6，
故选：D．
2．解：设所求多边形边数为，
则，
解得，
∴这个多边形的对角线的条数．
故选：D．
3．解：该多边形的外角和为360°，
故内角和为1980°-360°=1620°，
故（n-2） 180°=1620°，
解得n=11．
故选：C．
4．解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故选D.
5．解：A、正五边形每个内角是108°，108°与90°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；
B、正六边形每个内角是120°，120°与90°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；
C、正八边形每个内角是135°，135°×2＋90°＝360°，能密铺，符合题意．
D、正十二边形每个内角是150°，150°与90°无论怎样也不能组成360°的角，不能密铺，不符合题意；
故选：C．
6．解答：
解：∵∠5＝90°，
∴∠3＋∠4＝180° 90°＝90°，
∵∠3＋∠4＋∠1＋∠2＝360°，
∴∠1＋∠2＝360° 90°＝270°，
故选：C．
7．解：设多边形的边数是．
依题意有，
解得：，
则多边形的边数；
多边形的内角和是；
则未计算的内角的大小为．
故选：C．
8．解：如图，连接，
则，，
，
，
．
故选：D．
9．解：由从某个多边形的一个顶点可以引出3条对角线，可得：
，
∴，
∴这个多边形的内角和为：；
故答案为720°．
10．解：设这个正多边形的外角为x，则内角为5x﹣60°，
由题意得：x+5x﹣60＝180，
解得：x＝40，
360°÷40°＝9．
（9﹣2）×180°＝1260°
故答案为：1260°．
11．解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，
∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°-500°=40°，
故答案为：40°．
12．解：∵四边形ABFG是正方形，
∴，
又∵五边形BCDEF是正五边形，
∴正五边形的内角和为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
故答案是9．
13．解：∵∠DEF＝60°，
∴∠AED＝120°，
∵∠A＝∠C＝80°，∠B＝140°，
∴∠D＝180°×（5﹣2）﹣80°﹣80°﹣140°﹣120°＝120°，
故答案为：120°．
14．解：设它是n边形，则
（n 2） 180°＝1080°，
解得n＝8．
360°÷8＝45°，
故答案为．
15．解：由正多边形的内角和公式可得：
正五边形ABCDE的内角和为，
∴，
∵四边形CDFH是以CD为边的正方形，
∴，，
∴为等腰三角形，
∴，
故答案为：81°．
16．解：∵，
∴∠ABC＋∠BCD＝360° ∠A ∠D＝150°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC＋∠ECB＝（∠ABC＋∠DCB）＝75°，
∴∠BEC＝180°-75°=105°．
故答案是：105°．
17．解：设正多边形的边数为n，
∵正多边形的内角和为．
∴，
解得：，
∴正多边形的每个外角为：．
18．（1）解：∵正边形的内角为，
∴正五边形的内角为，正六边形的内角为：，正八边形的内角为，
故答案为：；
（2）解：∵仅用一种正多边形镶嵌，
∴，，，，，
∴仅用一种正多边形镶嵌，正三角形，正四边形，正六边形能镶嵌成平面图形；
（3）解：∵有个正四边形，个正八边形，
∴且为正整数，
∴，
∴当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
∴，，
即的值为，的值为．
19．（1）解：如图，连接，，
∵，，
∴，，
∴，
即；
（2）∵，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．解：（1）①∵，，
∴，
，
∴；
故答案为：；
②∵，，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）五边形不是“完美五边形”；理由如下：
延长、交于点F，延长、交于点G，延长、交于点H，延长、交于点K，如图所示：
∵，
∴延长五边形任意不相邻的两边，只能得出4个角，
∴假设五边形为“完美五边形”，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，
在中，
∴，这与矛盾，
∴、、、不可能相等，假设不成立，
∴五边形不是“完美五边形”．
21．解：（感知）四边形的内角和为：，，
，
，，
．
故答案为：．
（探究），理由如下：
，
．
，
．
．
（应用）四边形的内角和为：，，
，
，，
．
．
分别是四边形的外角的平分线，
，，
，
．
故答案为：．
22．（1）解：∵分别平分，
∴，
∴，
由题干的结论得：，∠，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H，
由（1）的结论可知，
∵分别平分，
∴，
∵
∴，
∴，
同理可得，
由题干的结论可得，
∴；
②如图所示，分作的角平分线交于H，
由（1）的结论可知，，
同理可得，，
∴；
③由题干的结论可得，
∵平分，平分的外角，
∴，
∵，
∴，
由题干的结论可知，
∴，
∴
．