2023—2024学年人教版数学九年级上册 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教学设计

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
【教学目标】
1、使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会其运用．
2、培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．
【教学重点】
1.根与系数的关系的推导和灵活运用；
2.已知方程求关于根的代数式的值.
【教学难点】
用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．
【教学过程】
一、复习回顾
用公式法求ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的根，
可得x1=______,x2=______.
二、新课探究
【探究点一】一元二次方程的根与系数的关系
1、完成下列表格：
方程
2x2-3x-2=0 2 -1
3x2-4x+1=0 1
①用语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根,用式子表示你发现的规律．
2、利用求根公式推导根与系数的关系（韦达定理）
ax2+bx+c=0的两根= ， = ， = ，
= .
你能总结出根和系数之间的关系吗？
教师归纳：
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
三、典例精讲
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积.
（1）x2-6x-15=0；
（2）3x2+7x-9=0；
（3）5x-1=4x2.
解：（1）x1+x2=-（-6），x1x2=-15.
（2）x1+x2=，x1x2==-3.
（3）方程化为4x2-5x+1=0. x1+x2==，x1x2=.
例2两个根均为负数的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0
解析：若两根均为负数则x1+x2=<0， x1x2=>0，所以选B.
教师归纳：
≥0，且x1x2>0 x1+x2>0 两根同为正数
x1+x2<0 两根同为负数
≥0，且x1x2>0 x1+x2>0 两根异号且正根的绝对值较大
x1+x2<0 两根异号且负根的绝对值较大
例3 已知关于x的一元二次方程2x2-mx-2x+1=0的两根的平方和是，求m的值.
解：设方程的两根为x1，x2，由已知，
得x1+x2= ，x1x2= .
因为= ，
所以（x1+x2）2-2 x1x2=，
所以（）2-2×=.
解得m1=-11，m2=3.
当m=-11时，方程为2x2+11x+23=0，
=112-4×2×23<0，方程无实数根，所以m=-11不合题意，舍去；
当m=3时，方程为2x2-3x-5=0，
=（-3）2-4×2×（-5）>0，方程有两个不相等的实根.所以m的值为3.
教师归纳：当利用根与系数的关系求方程的系数时，千万不要忘记将系数带回验证≥0，因为跟与系数的关系是在一元二次方程中≥0的前提下使用的.
四、巩固练习
1. 若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
2.求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
（1）3x2+7x+2=0；
（2）5x-1=4x2；
（3）5x2-1=4x2+x.
五、课堂小结
1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
3.韦达定理的应用常见题型：
①不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
②已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
③由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
④判断两个根的符号；
⑤不解方程求含有方程的两根的式子的值.
六、布置作业
课本第17页习题21.2第7、13题.