2023—2024学年人教版数学九年级上册 21.2.1配方法教学设计

21.2.1配方法
【教学目标】
1、理解降次的思想，能用直接开方法解形如（ax+b）2=c（c≥0）的一元二次方程；
2.理解配方法的定义并会用配方法解决一元二次方程.
【教学重点】
理解开方法和配方法的定义.
【教学难点】
理解将次思想，会用配方法解一元二次方程.
【教学过程】
一、复习导入
1.一元二次方程的概念：等号两边都是______，只含有_____未知数，并且未知数的最高次数是____的方程，叫做一元二次方程.
2.使等式左右两边相等的______就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的____.
3.已知0和-1都是某个方程的解，此方程是（　　）
A. x2-1=0 B. x（x+1）=0 C. x2-x=0 D. x2=x+1
教师归纳：第3题应用了代入法求方程的解，接下来我们要学习两种直接求一元二次方程的解的方法.
二、新课探究
【探究点一】用直接开方法解一元二次方程
例1 如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm， P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x，BQ=2x
依题意，得 x·2x=8
x2=8
根据平方根的意义，得x=±2
即x1=2，x2=-2
可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．
思考：对于x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
教师归纳:
回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2，
即2t+1=2，2t+1=-2
方程的两根为t1=-，t2=--.
直接开平方法：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．
【探究点二】用配方法解一元二次方程
例2 1.（1）x2-8x+______=（x-______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；
（3）x2+px+_____=（x+______）2．
答案：根据完全平方公式可得：
（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．
2.解下列方程：
（1）x2+4x=-4;
（2）2x2+4x+1=0；
提示：先将上述方程转化为（x+b）2=c（c≥0）的形式，然后用直接开平方法解方程.
解：（1）x2+4x=-4
即x2+4x+22=-4+22,
（x+2）2=0，所以x1=x2=-2
（2）2x2+4x+1=0
即2x2+4x=-1，
二次项系数化为1，得x2+2x=，
即x2+2x+12=+12，
即（x+1）2=，得x+1=，
所以x1=-1+，x2=-1-.
教师归纳：这种解方程的方法就是配方法.
配方法的定义：把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）变形成左端是一个含有未知数的完全平方公式，右端是一个非负常数，进而可以用直接开方法来求解.
三、巩固练习
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p，q的值分别是（ ）
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）
A．（x-）2=，x=±
B．（x-）2=-，原方程无解
C．（x-）2=，x1=+，x2=
D．（x-）2=1，x1=，x2=-
3.解下列方程：① x2-8x+7=0 ②2x2+8x-2=0
③2x2+1=3x ④3x2-6x+4=0
4. 要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？
四、课堂小结
1.直接开方法：直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．
2.配方法定义：把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）变形成左端是一个含有未知数的完全平方公式，右端是一个非负常数，进而可以用直接开方法来求解.
3.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步骤：
（1）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（2）方程两边同除二次项系数，化二次项系数为1；
（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程变形为（x+n）2=m的形式；
（4）解变形后的一元一次方程：
若m≥0，则直接用开平方法解出；若m<0，则原方程无实数根，即原方程无解.
用配方法解一元二次方程小口诀
　　 二次系数化为一
　　 常数要往右边移
　　 一次系数一半方
两边加上最相当
五、布置作业
课本第16页习题21.2第1、2、3题.