双基限时练(一) 简谐运动
1．下列情形中不属于机械振动的是( )
A．水中浮标上下浮动 B．秋千的摆动
C．拨动后的琴弦 D．表针沿表盘转动
解析 物体做机械振动时存在某一平衡位 ( http: / / www.21cnjy.com )置、且物体在这一位置两侧往复运动，A、B、C选项中描述的运动均符合这一要求，D选项表针做圆周运动，它并不是在某一位置两侧往复运动，故D选项不属于机械振动．
答案 D
2．关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．位移的方向总指向平衡位置
B．加速度方向总和位移方向相反
C．位移方向总和速度方向相反
D．速度方向总跟位移方向相同
解析 简谐运动的位移的初始位置是平衡位置，所以简谐运动过程中任一时刻的位移都是背离平衡位置的，故A选项错误；振子的加速度总是指向平衡位置的，而位移总是背离平衡位置的，故B选项正确；振子在平衡位置两侧往复运动，故C、D选项错误．
答案 B
3．如图所示的一弹簧振子，设向右为正方向，O为平衡位置则( )
A．A→O时，位移为负，速度为正
B．O→B时，位移为正，加速度为负
C．B→O时，位移为负，速度为正
D．O→A时，位移为负，加速度为正
解析 位移方向是从平衡位置指向振子所在位置，加速度方向总是指向平衡位置，所以本题正确选项为C.
答案 C
4．(多选题)关于简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A．表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线
B．由图象可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向
C．表示质点的位移随时间变化的规律
D．由图象可判断任一时刻质点的速度方向
解析 振动图象表示质点的位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错、C对；由图象可以判断某时刻质点的位移和速度方向，B、D正确．
答案 BCD
5．简谐运动是下列运动中的( )
A．匀变速运动 B．匀速直线运动
C．非匀变速运动 D．匀加速直线运动
解析 简谐运动的速度是变化的，B错．加速度a也是变化的，A、D错，C对．
答案 C
6．如图所示，为一弹簧振子做简谐运动的振动图线，在t1、t2时刻这个质点的( )
A．加速度相同
B．位移相同
C．速度相同
D．机械能相同
解析 在弹簧振子做简谐运动时机械能守恒，在t1、t2两时刻振子具有相同大小的位移，但方向不同，加速度不同，故A、B不正确；由图象可知t1、t2两时刻速度方向不同故C选项错误．
答案 D
7．一质点做简谐运动的图象如图所示，在4 s内具有最大负方向速度和具有最大负方向位移的时刻分别是( )
A．1 s 4 s B．3 s 2 s
C．1 s 2 s D．3 s 4 s
解析 质点具有最大速度处是在平衡位置，由图中看是1 s处和3 s处，在1 s处振子将向负的最大位移处移动，所以此处速度为负，而3 s处速度为正向最大．在2 s和4 s处都有最大位移，2 s处位移为负方向，4 s处位移为正方向，正确选项为C.
答案 C
8．某弹簧振子的振动图象如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm 后放开，同时开始计时，则在t＝0.15 s时( )
A．振子正在做加速度减小的加速运动
B．振子正在做加速度增大的减速运动
C．振子速度方向沿x轴正方向
D．振子的位移一定等于2 cm
解析 振子正向负的最大位移处运动，加速度在增大，速度在减小，故A错、B对；振子的速度方向沿x轴负方向，C错；在0.1～0.2 s内振子做变速运动，故振子的位移不等于2 cm，D错．
答案 B
9．如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图象，下列有关该图象的说法不正确的是( )
A．该图象的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图象可以看出小球在振动过程中是沿垂直x轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图象中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
解析 该图象的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是沿x轴方向移动的，故A对，B错．由获得图象的方法知C对．频闪照相是在相同时间留下的小球的象，因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，D对．
答案 B
10．一个质点做简谐运动，它的振动图象如图所示，则( )
A．图中的曲线部分是质点的运动轨迹
B．有向线段OA是质点在t1时间内的位移
C．有向线段OA在x轴的投影是质点在t1时刻的位移
D．有向线段OA的斜率是质点在t1时刻的瞬时速率
解析 图中的曲线部分是质点的位移与时间 ( http: / / www.21cnjy.com )的对应关系，不是质点的运动轨迹，故A错；质点在t1时间内的位移，应是曲线在t1时刻的纵坐标，故B错，C对；质点在t1时刻的瞬时速率应是曲线在t1时刻所对应的曲线的斜率，故D错．
答案 C
11．一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图①所示，它的振动图象如图②所示，设向右为正方向，则
①
②
(1)OB＝________cm；
(2)第0.2s末质点的速度方向是________，位移大小为________；
(3)第0.7s时，质点位置在________点与__________点之间；
(4)质点从O经B运动到A所需时间t＝__________s；
(5)质点在0.2s到0.8s内运动的路程为__________cm.
解析 (1)OB＝5 cm.
(2)在第0.2 s末质点沿x轴负方向运动，即加速度向左，此时正处在平衡位置，位移大小为0.
(3)第0.7s时，质点正处于由平衡位置向正向最大位移运动的过程中，即在O点与B点之间．
(4)由图象知，由质点O到B需0.2 s，由对称性可知从O经B运动到A所需时间t＝0.6 s.
(5)由图象知，质点由O点到B点位移为5 cm，由对称性可知质点在0.2 s到0.8 s的运动路程为15 cm.
答案 (1)5 (2)向左 0
(3)O B (4)0.6
(5)15
12．在心电图仪、地震仪等仪 ( http: / / www.21cnjy.com )器工作过程中，要进行振动记录，如图①所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带．当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图②所示．若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，作出P的振动图象．
①
②
解析 图②中运动的位移值可以对应不同的时刻，由x＝vt可知，当x＝20 cm时，对应时间t＝＝0.2 s，作出图象如图所示．
答案 见解析图
13. 如图所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
质点在第2s末的位移是多少？质点在第2s内的位移是多少？在前4s内的路程是多少？
解析 (1)由x—t图象可以读出2 s末质点的位移为零．
(2)质点的最大位移在前4 s发生在1 s末和3 s末，故第2 s内，位移为－10 cm.
(3)前4 s质点正好完成一个往复的全振动．先朝正方向运动了距离为10 cm的一个来回，又在负方向上进行了一个10 cm距离的来回，总路程为40 cm.
答案 0 －10 cm 40 cm双基限时练(二) 简谐运动的描述
1．(多选题)如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间做简谐运动，则( )
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O→D为一次全振动
解析 (1)从全振动中路程与振幅间 ( http: / / www.21cnjy.com )固定关系上解决本题．选项A对应的路程是振幅的2倍，选项B所述过程为振幅的3倍，选项C、D所述过程中路程为振幅的4倍，故C、D选项正确．
(2)从全振动意义上解答此题，即物体完成一次全振动时，一定回到了初始位置，且以相同的速度回到初始位置，可判断C、D选项正确．
答案 CD
2．(多选题)如图是一做简谐运动的物体的振动图象，下列说法正确的是( )
A．振动周期为2×10－2 s
B．前2×10－2 s内物体的位移为－10 cm
C．物体振动的频率为25 Hz
D．物体的振幅为10 cm
答案 CD
3．在1 min内甲振动30次，乙振动75次，则( )
A．甲的周期为0.5 s，乙的周期为1.25 s
B．甲的周期为0.8 s，乙的周期为2 s
C．甲的频率为0.5 Hz，乙的频率为1.25 Hz
D．甲的频率为0.5 Hz，乙的频率为0.8 Hz
解析 T甲＝ s＝2 s，f甲＝＝0.5 Hz，T2＝ s＝0.8 s，f乙＝1.25 Hz.
答案 C
4．某振子做简谐运动的表达式为x＝2sin cm，则该振子振动的振幅和周期为( )
A．2 cm 1 s B．2 cm 2π s
C．1 cm s D．以上三项全错
解析 由x＝Asin(ωt＋φ)与x＝2sin对照可得：A＝2 cm，ω＝2π＝，所以T＝1 s，A选项正确．
答案 A
5．(多选题)关于简谐运动的周期，以下说法正确的是( )
A．间隔一个周期的整数倍的两个时刻物体的振动情况相同
B．间隔半个周期的奇数倍的两个时刻，物体的速度和加速度可能同时相同
C．半个周期内物体的动能变化一定为零
D．一个周期内物体的势能变化一定为零
解析 根据周期的定义可知，物体完成一次全振动，所有的物理量都恢复到初始状态，故A选项正确．当间隔半周期的奇数倍时，所有的矢量都变得大小相等，方向相反，故B选项错误．C、D选项正确．
答案 ACD
6．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置运动到x＝处所经历的时间为t1，第一次从最大位移处运动到x＝所经历的时间为t2，关于t1与t2，以下说法正确的是( )
A．t1＝t2 B．t1＜t2
C．t1＞t2 D．无法判断
解析 用图象法，画出x—t图象，从图象上，我们可以很直观地看出：t1＜t2，因而正确答案为B.
答案 B
7．如图①是演示简谐运动图象的装置，当盛沙漏斗下的木板N被匀速地拉出时，从摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的直线OO1代表时间轴。图②是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线。若板N1和板N2拉动的速度v1和v2的关系为v2＝2v1，则板N1、N2上曲线所代表的振动周期T1和T2的关系为( )
①
②
A．T2＝T1 B．T2＝2T1
C．T2＝4T1 D．T2＝T1
解析 由题图可知，薄木板被匀速拉 ( http: / / www.21cnjy.com )出的距离相同，且v2＝2v1，则木板N1上时间轴单位长度代表的时间t1是木板N2上时间轴单位长度的时间t2的两倍，由图线可知，T1＝t1，T2＝t2，因而得出t1＝4T2，D正确．
答案 D
8．一根自由长度为10 cm的轻弹簧，下端固定，上端连一个质量为m的物块P.在P上再放一个质量为m的物块Q，系统静止后，弹簧长度为6 cm，如图所示，如果迅速向上移去Q，物块P将在竖直方向做简谐运动，此后弹簧的最大长度是( )
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．11 cm
解析 由题可知物块P在竖直方向上做简谐 ( http: / / www.21cnjy.com )运动．平衡位置是重力和弹簧弹力相等的位置，由题中条件可得此时弹簧长度为8 cm，P刚开始运动时弹簧长度为6 cm，所以弹簧的最大长度是10 cm，C选项正确．
答案 C
9．(多选题)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B. 第1 s末与第3 s末的速度相同
C. 3 s末至5 s末的位移方向都相同
D. 3 s末至5 s末的速度方向都相同
解析 将t1＝1 s，t2＝3 s ( http: / / www.21cnjy.com )代入方程可知，位移相等，故A选项正确．由振动方程可知T＝8 s，第1 s末到第3 s末相差 T，位移相同．故第1 s末和第3 s末速度方向相反，故B选项错误．同理可知C选项错误．D选项正确．
答案 AD
10．两个简谐运动分别为x1＝4asin，x2＝2a sin.求它们的振幅之比，各自的频率，以及它们的相位差．
解析 振幅之比＝＝，
它们的频率相同，都是f＝＝＝2b，
它们的相位差Δφ＝φ2－φ1＝π，两振动为反相．
答案 A1?A2＝2?1，频率都为2b，相位差为π
11．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动．则：
(1)试写出用正弦函数表示的振动方程．
(2)10 s内通过的路程是多少？
解析 (1)简谐运动振动方程的一般表示式为
x＝Asin(ωt＋φ)．
根据题目条件，有：A＝0.08 m，ω＝2πf＝π.
所以x＝0.08sin(πt＋φ) m.
将t＝0，x＝0.04 m，代入得0.04＝0.08sinφ，
解得初相位φ＝或φ＝π，
因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，
所以取φ＝π.
故所求的振动方程为x＝0.08sin(πt＋π) m.
(2)周期T＝＝2 s，所以t＝5T，
因1T内的路程是4 A，
则通过的路程s＝5×4 A＝20×8 cm＝1.6 m.
答案 (1)x＝0.08sinm
(2)1.6 m
12．如图所示是弹簧振子的振动图象，请回答下列问题．
(1)振子的振幅、周期、频率分别为多少？
(2)根据振动图象写出该简谐运动的表达式．
解析 (1)由振动图象可知
振幅A＝2 cm，周期T＝0.8 s
频率f＝1.25 Hz.
(2)由图象可知，振子的圆频率
ω＝＝2.5 π，简谐运动的初相φ＝0
则简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ)
＝2sin(2.5πt) cm.
答案 (1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz
(2)x＝2sin(2.5πt) cm双基限时练(三) 简谐运动的回复力和能量
1．如图所示，对做简谐运动的弹簧振子m的受力分析，正确的是( )
A．重力、支持力、弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力
C．重力、支持力、回复力、摩擦力
D．重力、支持力、摩擦力
解析 有不少同学误选B，产生错解的主要原因是对回复力的性质不能理解清楚或者说是对回复力没有弄清楚造成的，一定清楚地认识到回复力是根据效果命名的，它是由其他力所提供的力．
答案 A
2．(多选题)关于简谐振动，以下说法中正确的是( )
A．回复力总指向平衡位置
B．加速度、速度方向永远一致
C．在平衡位置加速度、速度均达到最大值
D．在平衡位置速度达到最大值，而加速度为零
解析 回复力是把物体拉回到平衡位置的力，A对 ( http: / / www.21cnjy.com )；加速度方向始终指向平衡位置，速度方向可能指向平衡位置，也可能远离平衡位置，B错误；平衡位置位移为零，据a＝－知加速度为零，势能最小，动能最大，速度最大，C错，D对．
答案 AD
3．如图所示为一弹簧振子的振动图象，由此可知( )
A．在t1时刻，振子的动能最大，所受的回复力最大
B．在t2时刻，振子的动能最大，所受的回复力最小
C．在t3时刻，振子的动能最大，所受的回复力最小
D．在t4时刻，振子的动能最大，所受的回复力最大
解析 由题图可知，t1时刻振子的位移 ( http: / / www.21cnjy.com )最大，弹簧的弹性势能最大，振子的动能为零，故A选项错误；t2时刻振子在平衡位置，弹性势能最小，振子动能最大，振子所受回复力为零，故B选项正确；同理可知，C、D选项错误．
答案 B
4．(多选题)关于振动平衡位置，下列说法正确的是( )
A．是回复力产生的加速度改变方向的位置
B．是回复力为零的位置
C．是速度最大的位置
D．是加速度最大的位置
解析 物体在平衡位置时，位移为零，回复力为零，回复力产生的加速度为零，平衡位置是加速度方向改变的位置，是速度最大的位置，故A、B、C选项正确．
答案 ABC
5．一个做简谐运动的物体，每次有相同的动能时，下列说法正确的是( )
A．具有相同的速度 B．具有相同的势能
C．具有相同的回复力 D．具有相同的位移
解析 注意矢量和标量的区别，只有B选项正确．
答案 B
6．如图所示为某质点的振动图象，由图可知( )
A．第3 s末质点的位移是－5 cm
B．第2 s末和第3 s末，质点的动量方向相同
C．第2 s内回复力做正功
D．第2 s内的加速度在逐渐变大
解析 从图象可以看出第3 ( http: / / www.21cnjy.com ) s末，位移是0，速度向x轴负方向且最大，而第2 s末v＝0；第2 s内，速度减小，回复力做负功，位移增加，a＝.故正确答案为D.
答案 D
7．(多选题)如图所示是某弹簧振子的振动图象，下列说法中正确的是( )
A．振幅是4 cm
B．周期是8 s
C．4 s末振子的加速度为零，速度为负
D．第14 s末振子的加速度为正，速度最大
解析 由图象可直接读出振 ( http: / / www.21cnjy.com )幅A＝4 cm，周期T＝8 s，所以A选项正确，B选项正确.4 s末通过平衡位置，速度方向沿x轴负向，故C选项正确．由周期性可知，振子在14 s末的运动情况与第6 s末的运动情况相同，加速度最大，方向为正，但速度为零，故D选项错误．
答案 ABC
8．(多选题)如图所示，竖直轻质弹簧 ( http: / / www.21cnjy.com )下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面放置一质量为M的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则( )
A．当振动到最低点时，B对A的压力最大
B．当B振动到最高点时，B对A的压力最小
C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
解析 本题的关键是理解简谐运动的对称性 ( http: / / www.21cnjy.com )．A、B一起做简谐运动，B做简谐运动的回复力是由B的重力和A对B的作用力的合力提供．做简谐运动的物体在最大位移处时有最大回复力，即具有最大的加速度am，在最高点和最低点加速度大小相等，最高点时加速度向下，最低点时加速度向上，由牛顿第二定律
对B在最高点时有：mg－F高＝mam，
得F高＝mg－mam.
在最低点时有：F低－mg＝mam，得F低＝mg＋mam.
经过平衡位置时，加速度为零，A对B的作用力F平＝mg.
故A、B选项正确．
答案 AB
9．一根劲度系数为k的轻弹簧，上端固定，下端接一质量为m的物体，让其上下振动，物体偏离平衡位置的最大位移为A，当物体运动到最高点时，其回复力大小为( )
A．mg＋kA B．mg－kA
C．kA D．kA－mg
解析 在平衡位置时，回复力为零，有mg＝ ( http: / / www.21cnjy.com )kx0.在下端最大位移位置时，回复力F＝k(A＋x0)－mg＝kA.由对称性可知在最高点时的回复力大小也为kA.故C选项正确．
答案 C
10．做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，最大速度为v0，若从某时刻算起，在半个周期内，合外力( )
A．做功一定为0
B．做功可能是0到mv之间的某一个值
C．做功一定不为0
D．做功一定是mv
解析 经过半个周期后，振动的速度大小不变，由动能定理可知，A选项正确．
答案 A
11．一个在y方向上做简谐运动的物体， ( http: / / www.21cnjy.com )其振动图象如图所示．下列关于图①～④的判断正确的是(选项中v、F、a分别表示物体的速度、受到的回复力和加速度)( )
①
②
③
④
A．图①可作为该物体的v－t图象
B．图②可作为该物体的F－t图象
C．图③可作为该物体的F－t图象
D．图④可作为该物体的a－t图象
解析 因为F＝－kx，a＝－，故图③可作为F—t、a—t图象；而v随x增大而减小，故v—t图象应为图②.
答案 C
12．如图所示，光滑的水平面上放有一弹簧振子 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知小球质量m＝0.5 kg，弹簧劲度系数k＝240 N/m，将小球从平衡位置O向左平移，将弹簧压缩5 cm，静止释放后小球在A、B间滑动，则
(1)小球加速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时小球加速度为多大？
(2)小球速度最大是在A、B、O三点中哪点？此时小球速度为多大？(假设整个系统具有的最大弹性势能为0.3 J)
解析 (1)由于简谐运动的加速度a＝＝－x，
故加速度最大的位置在最大位移处的A或B两点，
加速度大小a＝x＝×0.05 m/s2＝24 m/s2
(2)在平衡位置O小球的速度最大．
根据机械能守恒，有Epm＝mv
故vm＝ ＝ m/s＝1.1 m/s
答案 (1)A点或B点，24 m/s2
(2)O点，1.1 m/s
13．一质量为m、底面积为S的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方体木块放在水面上静止(平衡)，如图所示，现用力向下将其压入水中一段深度后撤去外力(没有全部没入水中)，木块在水平面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动．
解析 以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，当木块被压入水中x后所受力如右图所示．
则F回＝mg－F浮①
F浮＝ρgS(Δx＋x)②
由①②式得F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx.
因为mg＝ρgSΔx，所以F回＝－ρgSx
令k＝ρgS，则F回＝－kx
所以木块的振动为简谐运动．
答案 见解析
14．在光滑水平面上有一弹簧振子， ( http: / / www.21cnjy.com )弹簧的劲度系数为k，振子质量为M，振动的最大速度为v0，如图所示，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，则：
(1)要保持物体和振子一起振动起来，两者间的摩擦因数至少是多少？(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(2)一起振动时，两者过平衡位置的速度多大？振幅又是多少？
解析 放物体前最大回复力F＝kA，
振动的最大机械能为Mv.
(1)放物体后，假定一起振动 ( http: / / www.21cnjy.com )，则可能产生的最大加速度a＝，对物体m来说，所需回复力是由M提供的摩擦力，刚放时所需的摩擦力最大，最大静摩擦力为μmg
当μmg≥ma时一起振动，所以μ≥＝
即摩擦因数μ至少为.
(2)由于m于最大位移处放在M上，放上后没有 ( http: / / www.21cnjy.com )改变振动系统的机械能，振动中机械能守恒，过平衡位置时，弹簧为原长，弹性势能为零，有(M＋m)v2＝Mv.
解得v＝v0 .
物体m和振子M在最大位移处动能为零，势能最大，这个势能与没放物体m前相同，所以弹簧的最大形变是相同的，即振幅仍为A.
答案 (1)
(2)v0 A双基限时练(五) 外力作用下的振动
1．随着电信业的发展，手机是常用的通信 ( http: / / www.21cnjy.com )工具，当来电话时，它可以用振动来提示人们．振动原理很简单：是一个微型电动机带动转轴上的叶片转动．当叶片转动后，手机就跟着振动起来．其中叶片的形状是图中的( )
A B C D
解析 手机做受迫振动．
答案 A
2．(多选题)下列说法中正确的是( )
A．阻尼振动是减幅振动
B．实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用
C．阻尼振动的振幅逐渐减小，所以周期也逐渐减小
D．阻尼过大时，系统将不能发生振动
解析 阻尼振动即振动过程中受到阻力作用的振动，因为实际的运动在空气中要受到空气的阻力作用，因此不可避免地受到阻尼作用，即B选项正确；由于振幅是振动系统能量大小的标志，阻尼振动过程中由于要克服阻力做功，消耗系统的机械能，因此系统机械能减小，所以振幅要减小，则A选项正确；但是振动系统的周期与振幅无关，因此阻尼振动尽管是减幅振动，但其固有周期不变，当阻尼过大时由于合外力可能为零，将不能提供回复力，则振动系统将不能发生振动，此时振动系统的周期可看做无穷大，因此C选项不正确，D选项正确．
答案 ABD
3．(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A．某物体做自由振动时，其振动频率与振幅无关
B．某物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关
C．某物体发生共振时的频率就是其自由振动的频率
D．某物体发生共振时的振动就是无阻尼振动
解析 物体做自由振动时， ( http: / / www.21cnjy.com )振动频率为固有频率与振幅无关，故A对；物体做受迫振动时，振动频率总等于驱动力的频率，故B对；物体发生共振时，说明驱动力的频率等于物体的固有频率，故C对；物体发生共振时，同样会受到阻力作用而发生阻尼振动，故D错．
答案 ABC
4．A、B两个弹簧振子，A的固有频率为f，B的固有频率为4f，若它们均在频率为3f的驱动力作用下做受迫振动，则( )
A．振子A的振动幅度较大，振动频率为f
B．振子B的振动幅度较大，振动频率为3f
C．振子A的振动幅度较大，振动频率为3f
D．振子B的振动幅度较大，振动频率为4f
解析 做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，物体的固有频率和驱动力的频率越接近的物体的振动幅度越大，故B选项正确．
答案 B
5．(多选题)一洗衣机脱水桶在正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )
A．正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率大
B．正常工作时，洗衣机脱水桶的运转频率比洗衣机的固有频率小
C．正常工作时，洗衣机脱水桶的运转频率等于洗衣机的固有频率
D．当洗衣机振动最剧烈时，脱水桶的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
解析 切断电源后脱水桶的转速越来越小，即脱水 ( http: / / www.21cnjy.com )桶的运转频率越来越小，由题意，当洗衣机脱水桶正常工作时，非常稳定，可知，正常工作时频率大于洗衣机的固有频率，故A选项正确．当振动最剧烈时，洗衣机发生了共振，即D选项正确．
答案 AD
6．(多选题)如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时振幅与驱动力频率之间的关系图象，由图可知( )
A．振子振动频率为f2时，它处于共振状态
B．驱动力频率为f3时，振子振动频率为f3
C．若撤去驱动力让振子做自由振动，频率是f3
D．振子做自由振动的频率可以为f1、f2、f3
解析 由题意可知，当驱动力的频率变化时，做受迫振动物体的振幅在变化，当驱动力频率为f2时，受迫振动的振幅最大，即发生共振现象，故A选项正确；做受迫振动的频率等于驱动力的频率，B选项正确．若撤去外力，物体自由振动其频率为其固有频率，即应为f2，故C、D选项错误．
答案 AB
7.如图所示是一个弹簧振子做阻尼振动的振动图象，曲线上A、B两点连线与横轴平行，下列说法正确的是( )
A．振子在A时刻的动能等于B时刻的动能
B．振子在A时刻的势能大于B时刻的势能
C．振子在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．振子在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
解析 由于弹簧振子做阻尼振动， ( http: / / www.21cnjy.com )所以A时刻的机械能大于B时刻的机械能，C错、D对；由于弹簧的弹性势能与弹簧的形变量(即位移)有关，振子在A时刻和B时刻的形变量相等，故势能相等，所以B错；通过上述分析振子在A时刻的动能大于B时刻的动能，A错．
答案 D
8. (多选题)如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ:lⅡ＝25:4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
解析 受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期公式T＝2π ，可以得到单摆固有频率f＝＝ ，根据图象中f的信息可以推断摆长或重力加速度的变化情况．
答案 ABC
9．如图所示装置中，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．开始时不转动摇把，让振子上下自由振动，测得弹簧振子的振动频率是2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min.当振子稳定后，它的振动周期为( )
A. s B. s C．2 s D．4 s
解析 设摇把转速用n表示．转动摇把时通过 ( http: / / www.21cnjy.com )曲轴对弹簧振子产生一周期性的驱动力，使弹簧振子做受迫振动，摇把转动的周期(即曲轴转动的周期)T＝ s＝ s.
弹簧振子做受迫振动的周期等于它受到的驱动力的周期
所以振子的振动周期是 s，答案是B.
答案 B
10．如图所示是用来测量各种发动 ( http: / / www.21cnjy.com )机转速计的原理图：在一铁支架MN上焊有固有频率依次为80 Hz、60 Hz、40 Hz、20 Hz的四个钢片a、b、c、d，将M端与正在转动的电动机接触，发现b钢片振幅最大，则电动机的转速为________．
解析 由于四个钢片在电动机 ( http: / / www.21cnjy.com )周期性驱动力作用下做受迫振动，且当钢片的固有频率等于驱动力的频率时，发生共振，振幅最大．由题意可知，b振幅最大，则b处发生共振，此时电机提供的驱动力频率等于b的固有频率60 Hz，则电动机的转速为60 r/s.
答案 60 r/s
11．如图是探究单摆共振条件时得到的图象，它表示了振幅跟驱动力频率之间的关系，(取π2＝g)试分析：
(1)这个单摆的摆长是多少？
(2)如果摆长变长一些，画出来的图象的高峰将向哪个方向移动？
解析 (1)由图可知，单摆的固有频率为0.3 Hz
T＝＝2π ，解得摆长L＝ m.
(2)若摆长变长一些，由T＝2π知其周期变大，又由
f＝知，频率变小，图中最高峰对应的频率即为此频率，故向左移动．
答案 (1) m (2)向左
12．秒摆摆球质量为0.2 kg，它振动到最大位移时距最低点的高度为0.4 cm，当它完成10次全振动回到最大位移处时，因有阻尼作用，距最低点的高度变为0.3 cm.如果每振动10次补充一次能量，使摆球回到原高度，那么1 min内总共应补给多少能量？(g取9.8 m/s2)
解析 每振动10次要补充的能量为ΔE＝mgΔh＝0.2×9.8×(0.4－0.3)×10－2J＝1.96×10－3J.
秒摆的周期为2 s,1 min内完成全振动的次数为30次，
则1 min内总共应补充的能量为E＝3ΔE＝5.88×10－3J.
答案 5.88×10－3J
13．汽车的重量一般支撑在固定于轴承 ( http: / / www.21cnjy.com )上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m，汽车开动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝ (L为车厢在平衡位置时弹簧的压缩长度)．若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感觉到最难受？(g取9.8 m/s2)
解析 人体固有频率为2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受．
即f＝ ＝f固，
所以L＝，
解得L＝0.062 1 m.
由胡克定律有kL＝(m1＋nm2)g，
得n＝＝＝5人
答案 5人双基限时练(四) 单摆
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力
B．摆球在运动中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的
C．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度为零
解析 单摆摆动过程中的回复力是重力沿切线的分力，故A选项错误；摆球在同一位置时有相同的回复力，即有相同的加速度，故B选项正确；摆球摆动中，除了有回复力以外，还有向心力，指向圆心，即有回复加速度和向心加速度，摆球的加速度是时刻变化的，在平衡位置时，摆球受到向心力指向圆心，加速度不为零，故C、D选项错误．
答案 B
2．(多选题)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度短得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只 ( http: / / www.21cnjy.com )计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动．
答案 ABC
3．如图所示是一个单摆(θ＜10°)，其周期为T，则下列说法正确的是( )
A．把摆球质量增加一倍，则周期变小
B．把偏角θ变小时，周期也变小
C．摆球由O→B→O，运动的时间为T
D．摆球由O→B→O，运动的时间为
解析 由T＝2π 可知，单摆的周期T与质量无关，A项错误；偏角θ变小，振幅变小，但单摆的周期T与振幅无关，B项错误；O→B→O→C→O为一次全振动，运动时间等于T，C项错误；由O→B→O仅完成了半个全振动，运动时间等于，D项正确．
答案 D
4．将秒摆的周期变为4 s，下面措施正确的是( )
A．只将摆球质量变为原来的
B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将摆长变为原来的16倍
解析 单摆的周期与摆球的 ( http: / / www.21cnjy.com )质量和振幅均无关，A、B项均错；对秒摆，T0＝2π ＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π ＝4s，故l＝4l0，C项对、D项错．
答案 C
5．在同一地点，单摆甲的周期是单摆乙的周期的4倍，下列说法正确的是( )
A．甲的频率是乙的4倍
B．甲的摆长是乙的16倍
C．甲的振幅是乙的4倍
D．甲的振动能量是乙的4倍
解析 由单摆的周期公式T＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2π 可知L＝，故B选项正确；甲的频率是乙的频率的，故A选项错误；虽然甲、乙两单摆的摆长有L甲＝16L乙，但两个单摆的摆角不确定，两摆球质量不确定，故C、D选项错误．
答案 B
6．一单摆摆长为40 cm，摆球在t＝0时刻正在从平衡位置向右运动，若g＝10 m/s2，则在1 s时摆球的运动情况是( )
A．正向左做减速运动，加速度正在增大
B．正向左做加速运动，加速度正在减小
C．正向右做减速运动，加速度正在增大
D．正向右做加速运动，加速度正在减小
解析 由T＝2π ，得周期T＝ ( http: / / www.21cnjy.com )1.256 s，<1 s答案 D
7．有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，将在地球表面走时准确的摆钟移到该星球表面，秒针走一圈的实际时间为( )
A. min B. min
C. min D．2 min
解析 由万有引力公式得＝mg，天体表面的重力加速度g＝，M＝πR3ρ，所以该天体表面重力加速度g′是地球表面重力加速度的2倍，即g′＝2g，由单摆的周期公式T＝2π ，得出T′＝T，秒针走一圈时，完成全振动的次数相同，由于周期不同，所以实际经历的时间不同，该摆钟在地球上秒针转一圈时间为1 min，在该天体表面秒针转一圈时间为 min，故B选项正确．
答案 B
8．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是( )
A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
解析 由振动图象可知t1和t3时刻 ( http: / / www.21cnjy.com )摆球偏离平衡位置位移最大，此时摆球速度为0，悬线对摆球拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为0，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球拉力最大，故选项D正确．
答案 D
9．如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10 cm，现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达低端的速度分别为v1和v2，经历的时间分别为t1和t2，那么( )
A．v1＜v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2 D．以上三项都有可能
解析 因为AO弧长远小于半径，所以小 ( http: / / www.21cnjy.com )球从A、B处沿圆弧滑下可等效成小角度单摆的摆动，即做简谐运动，等效摆长为2 m，单摆的周期与振幅无关，故有t1＝t2，因mgh＝mv2，所以v＝ ，故v1＞v2，B项正确．
答案 B
10. (多选题)如图所示为甲、乙两单摆的振动图象，则( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲?l乙＝2?1
B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲?l乙＝4?1
C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在的星球的重力加速度之比g甲?g乙＝4?1
D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在的星球的重力加速度之比g甲?g乙＝1?4
解析 由图象可知T甲?T乙＝2?1 ( http: / / www.21cnjy.com )，若两单摆在同一地点摆动，则g甲＝g乙，故两摆长之比为l甲?l乙＝4?1，A错误，B正确；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲?g乙＝1?4，C项错误，D项正确．
答案 BD
11．(多选题)如图所示，三根细线于O ( http: / / www.21cnjy.com )点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使∠AOB成直角，∠BAO＝30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球(直径可忽略)．下列说法中正确的是( )
A．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π
B．让小球在垂直纸面内摆动，周期T＝π
C．让小球在纸面内摆动，周期T＝2π
D．让小球在垂直纸面内摆动，周期T＝2π
解析 如果小球在纸面内摆动，以O ( http: / / www.21cnjy.com )点为悬点摆动，其摆长为L，周期T＝2π ，故A选项正确；如果小球在垂直纸面内摆动，小球以O′为悬点摆动，如图所示
等效摆长L′＝L＋OO′
＝L＋AO·sin30°
＝L＋ABcos30°·sin30°
＝L
故T′＝2π ＝π ，故B选项正确．
答案 AB
12．在“利用单摆测重力加速度”的实验中
(1)以下做法中正确的是( )
A．测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线长
B．测量周期时，从小球到达最大振幅位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时截止，然后求出完成一次全振动的时间
C．要保证单摆自始至终在同一竖直面内摆动
D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于10°
(2)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图所示为__________cm，则单摆的摆长为__________cm；然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图所示为__________s，则单摆的周期为__________s；当地的重力加速度为g＝__________m/s2；
(3)实验中，如果摆球密 ( http: / / www.21cnjy.com )度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计摆球的半径．具体做法如下：第一次量得悬线长L1，测得振动周期为T1；第二次量得悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝__________.
解析 (1)单摆的摆长应为摆线长再加上摆 ( http: / / www.21cnjy.com )球的半径，A错；选择计时起点应以通过平衡位置(速度最大处)为起点可以减小计时误差，B选项错误；单摆振动过程中摆角要小于10°，D选项错误，故C选项正确．
(2)摆球直径为21＋5×0.05＝21.25 mm
＝2.125 cm.
摆长为97.43＋2.125/2＝98.49 cm.
秒表读数为90＋10.0＝100.0 s
周期T＝＝2 s．而g＝4π2＝9.75 m/s2.
(3)设摆线底端到重心的距离为r，
则有T1＝2π ，T2＝2π ，
由两式得g＝4π2.
答案 (1)C
(2)2.125 98.49 100.0 2.0 9.75
(3)4π2
13．将地面上校准的摆钟拿到月球 ( http: / / www.21cnjy.com )上去，若此钟在月球上记录的时间是1 h，那么实际的时间是多少？若要在月球上该钟与地面上时一样准确，应该如何调节？(g月＝)
解析 (1)设在地球上该钟的周期 ( http: / / www.21cnjy.com )为T0.在月球上该钟的周期为T，指示时间为t，则在月球上该钟在时间t内完成全振动的次数n＝，在地面上完成n次全振动所记录的时间t0.则有n＝.
即＝，所以t0＝·t＝ ·t＝h.
地面上的实际时间为 h.
(2)要使其在月球上与地面上走得一样准确．即应T＝T0
即2π ＝2π ，L′＝L＝L.
应将摆长调到原来的.
答案 h，将摆长调到原来的
14.
如图所示，光滑的半球壳半 ( http: / / www.21cnjy.com )径为R，O点在球心的正下方，一小球在距O点很近的A点由静止放开，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，求小球应从多高处自由落下( R)
解析 小球由A点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动．
因为 R，所以小球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间相等．
小球从A点由静止释放运动到O点的时间为
(2n－1)(n＝1,2,3…)，
由于从O点正上方自由落下的小球到O的时间也为(2n－1)时两球才能在O点相碰，
所以h＝gt2＝g(2n－1)2＝ (n＝1,2,3…)．
答案 (n＝1,2,3…)《机械振动》章末测试
说明：本测试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间90分钟，满分100分．
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本题包括10小题，每小题5分，共50分．每小题至少有一个选项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分)
1.
如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组 ( http: / / www.21cnjy.com )成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是( )
A．钢球运动的最高处为平衡位置
B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度为零处为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
解析 钢球以平衡位置为中心做往复运动，在平衡位置处速度最大，故A、B、C项不正确，D选项正确．
答案 D
2．(多选题)下列说法正确的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后频率与自身物理条件无关
解析 实际的自由振动，必须不断克服外界阻力做功而消耗能量，振幅会逐渐减小，必然是阻尼振动，故A、C项正确；只有在周期性外力(驱动力)的作用下物体所做的振动才是受迫振动，B项错；受迫振动稳定后的频率由驱动力的频率决定，与自身物理条件无关，D项对．
答案 ACD
3.
(多选题)如图所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N位移是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
解析 物体经过平衡位置向正方向运动，先后经 ( http: / / www.21cnjy.com )过P、Q两点，故位移增大，速度减小；物体从正方向最大位移处向负方向运动，先后经过M、N两点，且N点在平衡位置另一侧，故从M→N位移先减小后增大．
答案 AC
4．登山运动员登雪山时，不许高声叫喊，主要原因是( )
A．避免产生回声
B．减小对雪山的冲击
C．避免使雪山共振
D．使登山运动员耗散能量减少
解析 登山运动员登雪山时，山上常年积雪，雪山内部温度高，有部分雪熔化成水，对雪山积雪有润滑作用，高声叫喊，容易引起雪山共振发生雪崩．
答案 C
5．一个单摆和一个弹簧振子，在南京调节使它 ( http: / / www.21cnjy.com )们的振动周期相等(设为T)，现把它们一起拿到莫斯科，若不再做任何调节，这时单摆的周期为T1，弹簧振子的周期为T2，则它们周期大小关系为( )
A．T1C．T1>T2＝T D．T1解析 弹簧振子的周期由弹簧振子本身决定．在南京和莫斯科，该系统没有变化，因周期不变即T2＝T，而单摆周期与当地重力加速度有关，在莫斯科重力加速度大于南京的重力加速度，则T1答案 A
6．(多选题)一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点振动的频率是4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．在5 s末，速度为零，加速度最大
D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s时，质点的位移大小相等
解析 由题意可知，做简谐运动的周期T＝4 s，f＝0.25 Hz，每个周期质点经过的路程为振幅的4倍，所以10 s内经过的路程为20 cm，故B选项正确；5 s末质点在最大位移处，速度为零，加速度最大，故C选项正确；由图象可知，t＝1.5 s和t＝4.5 s时质点的位移相同，故D选项正确．
答案 BCD
7．(多选题)如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图象，已知甲、乙两个振子质量相等，则( )
A．甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm
B．甲、乙两个振子的相位差总为π
C．前2 s内甲、乙两振子的加速度均为正值
D．第2 s末甲的速度最大，乙的加速度最大
解析 由图可知，A甲＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，A乙＝1 cm，故A选项正确；两振子的频率不相等，相位差为一变量，故B选项错误；前2 s甲的位移为正值，回复力为负值，加速度为负值，故C选项错误；第2 s末甲在平衡位置，乙在负向最大位移处，故D选项正确．
答案 AD
8．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的运动表达式是( )
A．x＝8×10－3sin m
B．x＝8×10－3sin m
C．x＝8×10－1sin m
D．x＝8×10－1sin m
解析 由题给条件可得：A＝0.8 cm＝8×10－3 m，ω＝＝4π，φ＝，所以振动表达式为A项.
答案 A
9．如图①，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，如图②是振子做简谐运动时的位移－时间图象．则关于振子的加速度随时间的变化规律．下列四个图象中正确的是( )
①
②
A
B
C
D
解析 设弹簧劲度系数为k，位移与加速度方向相反，由牛顿第二定律得a＝－，故C项正确．
答案 C
10．如图所示，光滑槽的半径R远大于小 ( http: / / www.21cnjy.com )球运动的弧长．今有两个小球(视为质点)同时由静止释放，其中甲球开始时离槽最低点O远些，则它们第一次相遇的地点在( )
A．O点
B．O点偏左
C．O点偏右
D．无法确定，因为两小球质量关系未定
解析 由于半径R远大于运动的弧长，所以小球做简谐运动，其周期都为T＝2π ，与位移的大小无关，故同时到达O点，A项正确．
答案 A
第Ⅱ卷(非选择题)
二、实验题(本题包括2小题，共14分)
11．(6分)某同学做实验时，一时找不到摆球，就用重锤代替摆球，分别用不同的摆长做了两次实验，测摆长时只测了摆线长，其长度分别为l1和l2，并测出相应周期为T1和T2，用上述测量的数据正确计算出g值，那么他计算重力加速度的表达式应为g＝________.
解析 设重锤的等效半径为r，
由单摆的周期公式T＝2π ，得g＝，
则g＝ ①
g＝ ②
由①②式解得g＝.
答案
12．(8分)某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．
(1)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示．这样做的目的是________(填选项前字母)．
A．保证摆动过程中摆长不变
B．可使周期测量得更加准确
C．需要改变摆长时便于调节
D．保证摆球在同一竖直平面内摆动
(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为__________ mm，单摆摆长为______m.
(3)下列振动图象真实地描述了对 ( http: / / www.21cnjy.com )摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填选项前字母)．
A
B
C
D
解析 (1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变摆长时便于调节，选项A、C正确．
(2)根据游标卡尺读数规则，摆球直径为12.0 mm，单摆摆长为L－＝0.999 0 m－0.006 0 m＝0.993 0 m.
(3)单摆测量周期，必须从平衡位置开始计时，且摆角小于10°，所以合乎实验要求且误差最小的是A项．
答案 (1)AC
(2)12.0 0.993 0
(3)A
三、计算题(本题包括3小题，共36分，计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
13．(10分)如图所示，当小球在 ( http: / / www.21cnjy.com )两个高为h的光滑斜面之间来回滑动时，小球将做机械振动，如果在运动中，小球经过两斜边接口处能量损失不计，问：
(1)小球的振动是否为简谐运动？
(2)小球的振动周期．
解析 (1)小球在斜面上运动时回复力大小总等于mgsinα，与运动位移无关，故小球的振动不是简谐运动．
(2)小球斜放后向最低点做匀加速直线运动，设其周期为T，则有
s＝a()2①
s＝②
a＝gsinα③
①②③联立，解得T＝·.
答案 (1)不是
(2)T＝·
14．(12分)如图所示是一个质点做简谐运动的图象，根据图象回答下面的问题：
(1)振动质点离开平衡位置的最大距离；
(2)写出此振动质点的运动表达式；
(3)振动质点在0～0.6 s的时间内质点通过的路程；
(4)振动质点在t＝0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s时质点的振动方向；
(5)振动质点在0.6～0.8 s这段时间内速度和加速度是怎样变化的？
(6)振动质点在0.4～0.8 s这段时间内的动能变化是多少？
解析 (1)由图象可知A＝5 cm.
(2)由图象可知T＝0.8 s，φ＝0
则x＝A·sin(ωt＋φ)
＝5sin2.5πt cm.
(3)从0时刻到0.6 s时间内通过的路程
s＝3A＝3×5 cm＝15 cm.
(4)t＝0.1 s时，振动质点处于位移为正 ( http: / / www.21cnjy.com )值的某一位置，从图象可知经过极短时间Δt，振动质点的位移增大，由此可知，t＝0.1 s振动方向沿x轴正方向，同理可知，t＝0.3 s时，沿x轴负方向，t＝0.5 s时，沿x轴负方向，t＝0.7 s时沿x轴正方向．
(5)0.6～0.8 s时 ( http: / / www.21cnjy.com )间内，振动物体的位移越来越小，即加速度越来越小，但加速度与速度同向，故速度越来越大．即0.6～0.8 s振动质点做加速度越来越小的加速运动．
(6)0.4 s和0.8 s两个时刻质点都在平衡位置，动能相同，故动能变化为零．
答案 见解析
15．(14分)两木块A ( http: / / www.21cnjy.com )、B质量分别为m、M，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，如右图所示，用外力将木块A压下一段距离静止，释放后A做简谐运动，在A振动过程中，木块B刚好始终未离开地面．求：
(1)木块A的最大加速度；
(2)木块B对地面的最大压力；
(3)要使B离开地面，外力至少多大？
解析 (1)除去外力后，A以未加外力时 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置为平衡位置做简谐运动．当A运动到平衡位置上方最大位移处时，B恰好对地面压力为零，A加速度最大，设为am，对整体由牛顿第二定律有：
am＝(M＋m)g/m，方向向下．
(2)当A运动到平衡位置下方最大位移处 ( http: / / www.21cnjy.com )时，A有向上的最大加速度am(超重)，木块对地面压力最大，又对整体由牛顿第二定律得FN－(M＋m)g＝M×0＋mam，
则FN＝(M＋m)g＋mam＝2(M＋m)g，
由牛顿第三定律得，B对地面最大压力：
F′＝(M＋m)g＋mam＝2(M＋m)g，
F′＝2(M＋m)g，方向向下．
(3)不加外力时，对m：kx0＝mg①
加外力F静止时，对m：k(x＋x0)＝F＋mg②
M刚离地面时对M：k(x－x0)＝Mg③
解①②③得F＝(M＋m)g.
答案 (1)(M＋m)g/m，方向向下
(2)2(M＋m)g，方向向下
(3)(M＋m)g
