人教版高中数学必修5等比数列及前n项和测试
一、单选题
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 等于（ ）
A．32 B．48 C．62 D．93
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）设数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，设 ，那么数列 的前10项和为 （ ）
A． B． C．50 D．55
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）在数列 中， ， ，记 的前 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念）已知等差数列 的公差为2，且 是 与 的等比中项，则 等于（ ）
A．6 B．4 C．3 D．-1
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过n天，该木锤剩余的长度为 （尺），则 与n的关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念）在等比数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2021·新乡模拟）已知数列 满足 ， ，则数列 的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·江阴期中）关于递增等比数列 ，下列说法不正确的是（ ）
A．当a1>0时，q>1 B．
C． D．
10．（2020高二上·望城期末）在公比为 等比数列 中， 是数列 的前n项和，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
11．（2020高二上·启东期末）已知数列 的前n项和是 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则 ， ，成等差数列
D．若 是等比数列，则 ， 成等比数列
12．（2020高二上·连云港期中）设数列 的前 项和为 ，关于数列 ，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 既是等差数列又是等比数列
B．若 ( ， 为常数， )，则 是等差数列
C．若 ，则 是等比数列
D．若 是等差数列，则 ， ， 也成等差数列
三、填空题
13．（2021高二下·天津月考）在各项均为正数的等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，记 是数列 的前n项和，则 .
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 的公比为2， ，则 .
15．（2020高二上·桂林期末）数列 的前 项和 满足 ，则数列 的通项公式 .
16．（2019高二上·郑州月考）已知数列 的前 项和为 ，首项 且 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题
17．（2021·湛江模拟）已知数列{an}满足 ，a2-a1=1.
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）若a1= ，求数列{an}的通项公式.
18．（2021·安徽模拟）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=an+1-1.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足2bn+1+Sn+1=2bn+2an，证明数列{an+bn}为等差数列，并求其公差.
19．（2021·张家口模拟）已知公比小于1的等比数列 中，其前n项和为 ．
（1）求 ；
（2）求证： ．
20．（2021高二下·天津月考）设 是等比数列，公比大于0， 是等差数列，.已知 ， ， ， .
（1）求 和 的通项公式：
（2）设数列 满足 ， ，其中 ，求数列 的前n项和.
21．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知数列 是等差数列，满足 ， ，数列 是公比为2的等比数列，且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
22．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念）在数列 中， 为数列 的前 项和， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由 可知数列为等比数列，且公比为2，首项为3，故 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义，进而推出数列为等比数列，且公比为2，首项为3，再利用等比数列前n项和公式，进而求出等比数列前5项的和。
2．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，
所以数列 是首项为-1，公比为 的等比数列，
所以 。
故答案为：D
【分析】利用结合等比数列的定义，进而推出数列 是首项为-1，公比为 的等比数列，再利用等比数列前n项和公式，进而求出 。
3．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ，
所以 ，
则等差数列 的前 项和 ，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，进而解方程组求出首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用对数的运算法则结合已知条件，进而求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列 的前10项和。
4．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
又 ，∴数列 是以1为首项， 为比的等比数列，
∴ ，∴ 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义推出数列 是以1为首项， 为比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再结合等比数列的前n项和公式，进而求出的关系式。
5．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】等差数列 的公差d为2，且 是 与 的等比中项，
可得 ，即 ，
则 。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合等比中项公式，再结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的首项的值。
6．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题得每天取的木锤组成一个等比数列，
所以 。
故答案为：C
【分析】由题得每天取的木锤组成一个等比数列，再结合等比数列前n项和公式，进而求出 与n的关系 。
7．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】∵数列 是等比数列，∴ ，
∴
。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合等比数列的性质，进而求出的值，从而求出的值。
8．【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意可得， ，两式相减得： ， ，两式相加得： ，故
.
故答案为：A
【分析】 数列 满足 ， ，可得，又可得，通过分组求和及其利用等比数列的求和公式即可得出．
9．【答案】B,C,D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】 ，当 a1>0时，q>1 ，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列 递增，正确；
，当 ， 时， 为摆动数列，故错误；
，当 ， 时，数列 为递减数列，故错误；
，若 ， 且取负数时，则 为 摆动数列，故错误，
故答案为：BCD．
【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项 ，公比 不同情况的讨论即可求得答案．
10．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以有 ，因此A符合题意；
因为 ，所以 ，
因为 常数，
所以数列 不是等比数列，B不正确；
因为 ，所以C符合题意；
，
因为当 时， ，所以D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据题意由等比数列的通项公式结合已知条件即可求出公比，再由等比数列的项性质以及等比数列前n项和公式和对数的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】若 ，当 时， ,
时， ，
, ， 是等差数列，A符合题意；
若 ，当 时， , ，
时， ， ， 是等比数列，B符合题意；
设等差数列 的公差为 ，首项是 ,
，同理 ，因此 则 ， ，成等差数列，C符合题意；
若等比数列 的公比 ，则 不可能成等比数列，D不符合题意；
故答案为：ABC.
【分析】由数列前n项和公式与数列通项公式之间的关系即可求出数列的通项公式由此判断出数列的性质，进而判断出选项A、B正确；再由等差数列和等比数列的性质即可得出数列前n项和公式也满足等差和等比的性质由此判断出选项C正确，D错误；由此即可得出答案。
12．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】A: , 得 是等差数列，当 时不是等比数列，故错;
B: , ,得 是等差数列，故对;
C: , ,当 时也成立， 是等比数列，故对;
D: 是等差数列，由等差数列性质得 ， ， 是等差数列，故对;
故答案为：BCD。
【分析】利用递推关系变形结合已知条件，再利用等差数列、等比数列的定义，再利用与的关系式，从而求出数列 的通项公式，再利用等差数列的性质结合等差数列的前n项和公式，从而找出命题正确的选项。
13．【答案】30
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】设项均为正数的等比数列 的公比为q ，则 ，
由题意可得： ，
即 ，
解得： ，
所以 。
故答案为：30。
【分析】利用已知条件结合等比数列通项公式结合等差中项公式，进而求出公比的值，再利用等比数列前n项和公式，进而求出等比数列前4项的和。
14．【答案】44
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为{an}是公比为2的等比数列，
设a3+a6+a9+…+a99＝x，则 a1+a4+a7+…+a97 ，a2+a5+a6+…+a98 ．
S99＝77＝（a1+a4+a7+…+a97）+（a2+a5+a6+…+a98）+（a3+a6+a9+…+a99）＝x ，
∴a3+a6+a9+…a99＝44，
故答案为44。
【分析】利用已知条件结合等比数列的性质，进而设a3+a6+a9+…+a99＝x，则 a1+a4+a7+…+a97 ，a2+a5+a6+…+a98 ，再利用分组求和的方法，进而求出x的值，从而求出a3+a6+a9+…a99的值。
15．【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
则 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
故数列 是首项为2、公比为2的等比数列， ，
故答案为： 。
【分析】利用与的关系式结合已知条件，从而结合分类讨论的方法，进而结合等比数列的定义，推出数列 是首项为2、公比为2的等比数列，再利用等比数列通项公式求出数列 的通项公式。
16．【答案】[-3,8]
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
∴数列 是以 为首项，公比为2的等比数列，
∴ ， .
因此 .
所以 对 恒成立，可化为 对 恒成立.
当 为奇数时， ，所以 ，即 ；
当 为偶数时， ，解得 .
综上，实数 的取值范围是[-3,8].
故答案为[-3,8]
【分析】先由 得到数列 是以 为首项，公比为2的等比数列，求出其通项公式，再得到 ，根据题意，再得到 对 恒成立，分别讨论 为奇数和 为偶数两种情况，即可求出结果.
17．【答案】（1）证明：依题意 ，所以 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以
（2）解：由（1）得 ，所以 ，
所以
.
即
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【分析】 （1）先由题设得到： ，再由 即可证明结论；
（2）先由（1）得到： ，再由累加法求得an．
18．【答案】（1）解：当 时，由Sn=an+1-1，得 ，
两式相减得 即
又因为
所以 .
综上 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以
（2）解：由Sn=an+1-1，得 ，
又2bn+1+Sn+1=2bn+2an，
所以
即 ，
所以 是以 为公差的等差数列.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合与的关系式，再结合分类讨论的方法结合等比数列的定义，进而得出数列 是以1为首项，2为公比的等比数列， 再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2）由（1）求出的数列 的通项公式结合 2bn+1+Sn+1=2bn+2an， 再结合与的关系式，再结合等差数列的定义，进而证出数列{an+bn}为等差数列，并求出其公差。
19．【答案】（1）解：设等比数列 的公比为q．
由 得
解得 或 （舍去），
所以
（2）证明：由（1）得 ，
所以 ．
因为 在R上为减函数，且 恒成立，
所以当 ，即 时， ，
所以
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】 （1）根据等比数列的求和通项公式即可求出；
（2）根据等比数列的求和公式，再利用数列的函数特征即可证明．
20．【答案】（1）解：
解得 或 （舍）
所以
所以
（2）解： ，
设
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式合等比数列的通项公式，进而求出公差合等比数列的首项和公比，再结合等差数列的通项公式结合等比数列的通项公式，进而求出数列 和 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 和 的通项公式结合数列 满足 ， ， 进而求出数列 的通项公式，再利用分组求和的方法结合等比数列前n项和公式，进而求出数列 的前n项和。
21．【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，则 ，
∴数列 的通项公式为 ，∴ .
又 ，∴ ，
∵数列 是公比为2的等比数列，
∴ ，∴
（2）解：由题意得，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的公差，再结合等差数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，进而结合数列 的通项公式求出数列 的通项公式。
（2）利用数列 的通项公式结合分组求和的方法，再结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
22．【答案】（1）解：∵ ，∴ ，
两式相减得 ，∴ .
又 ，∴ ，∴ .∴ ，
所以 ，故 ，∴数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴ ，∴
（2）证明：由（1）可得，
，
∴
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式，再结合与的关系式，再利用分类讨论的方法，进而求出数列 的通项公式。
（2）由（1）求出的数列 的通项公式结合 ， 求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，进而求出数列 的前 项和，再利用放缩法证出 。
1 / 1人教版高中数学必修5等比数列及前n项和测试
一、单选题
1．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 等于（ ）
A．32 B．48 C．62 D．93
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由 可知数列为等比数列，且公比为2，首项为3，故 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义，进而推出数列为等比数列，且公比为2，首项为3，再利用等比数列前n项和公式，进而求出等比数列前5项的和。
2．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）设数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，
所以数列 是首项为-1，公比为 的等比数列，
所以 。
故答案为：D
【分析】利用结合等比数列的定义，进而推出数列 是首项为-1，公比为 的等比数列，再利用等比数列前n项和公式，进而求出 。
3．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，设 ，那么数列 的前10项和为 （ ）
A． B． C．50 D．55
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ，
所以 ，
则等差数列 的前 项和 ，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，进而解方程组求出首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，再利用对数的运算法则结合已知条件，进而求出数列 的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列 的前10项和。
4．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）在数列 中， ， ，记 的前 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
又 ，∴数列 是以1为首项， 为比的等比数列，
∴ ，∴ 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义推出数列 是以1为首项， 为比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再结合等比数列的前n项和公式，进而求出的关系式。
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念）已知等差数列 的公差为2，且 是 与 的等比中项，则 等于（ ）
A．6 B．4 C．3 D．-1
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】等差数列 的公差d为2，且 是 与 的等比中项，
可得 ，即 ，
则 。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合等比中项公式，再结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的首项的值。
6．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如果经过n天，该木锤剩余的长度为 （尺），则 与n的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题得每天取的木锤组成一个等比数列，
所以 。
故答案为：C
【分析】由题得每天取的木锤组成一个等比数列，再结合等比数列前n项和公式，进而求出 与n的关系 。
7．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念）在等比数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】∵数列 是等比数列，∴ ，
∴
。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合等比数列的性质，进而求出的值，从而求出的值。
8．（2021·新乡模拟）已知数列 满足 ， ，则数列 的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意可得， ，两式相减得： ， ，两式相加得： ，故
.
故答案为：A
【分析】 数列 满足 ， ，可得，又可得，通过分组求和及其利用等比数列的求和公式即可得出．
二、多选题
9．（2020高二上·江阴期中）关于递增等比数列 ，下列说法不正确的是（ ）
A．当a1>0时，q>1 B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】 ，当 a1>0时，q>1 ，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列 递增，正确；
，当 ， 时， 为摆动数列，故错误；
，当 ， 时，数列 为递减数列，故错误；
，若 ， 且取负数时，则 为 摆动数列，故错误，
故答案为：BCD．
【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项 ，公比 不同情况的讨论即可求得答案．
10．（2020高二上·望城期末）在公比为 等比数列 中， 是数列 的前n项和，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以有 ，因此A符合题意；
因为 ，所以 ，
因为 常数，
所以数列 不是等比数列，B不正确；
因为 ，所以C符合题意；
，
因为当 时， ，所以D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据题意由等比数列的通项公式结合已知条件即可求出公比，再由等比数列的项性质以及等比数列前n项和公式和对数的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2020高二上·启东期末）已知数列 的前n项和是 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则 ， ，成等差数列
D．若 是等比数列，则 ， 成等比数列
【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】若 ，当 时， ,
时， ，
, ， 是等差数列，A符合题意；
若 ，当 时， , ，
时， ， ， 是等比数列，B符合题意；
设等差数列 的公差为 ，首项是 ,
，同理 ，因此 则 ， ，成等差数列，C符合题意；
若等比数列 的公比 ，则 不可能成等比数列，D不符合题意；
故答案为：ABC.
【分析】由数列前n项和公式与数列通项公式之间的关系即可求出数列的通项公式由此判断出数列的性质，进而判断出选项A、B正确；再由等差数列和等比数列的性质即可得出数列前n项和公式也满足等差和等比的性质由此判断出选项C正确，D错误；由此即可得出答案。
12．（2020高二上·连云港期中）设数列 的前 项和为 ，关于数列 ，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 既是等差数列又是等比数列
B．若 ( ， 为常数， )，则 是等差数列
C．若 ，则 是等比数列
D．若 是等差数列，则 ， ， 也成等差数列
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等差数列的性质
【解析】【解答】A: , 得 是等差数列，当 时不是等比数列，故错;
B: , ,得 是等差数列，故对;
C: , ,当 时也成立， 是等比数列，故对;
D: 是等差数列，由等差数列性质得 ， ， 是等差数列，故对;
故答案为：BCD。
【分析】利用递推关系变形结合已知条件，再利用等差数列、等比数列的定义，再利用与的关系式，从而求出数列 的通项公式，再利用等差数列的性质结合等差数列的前n项和公式，从而找出命题正确的选项。
三、填空题
13．（2021高二下·天津月考）在各项均为正数的等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，记 是数列 的前n项和，则 .
【答案】30
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】设项均为正数的等比数列 的公比为q ，则 ，
由题意可得： ，
即 ，
解得： ，
所以 。
故答案为：30。
【分析】利用已知条件结合等比数列通项公式结合等差中项公式，进而求出公比的值，再利用等比数列前n项和公式，进而求出等比数列前4项的和。
14．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知等比数列 的公比为2， ，则 .
【答案】44
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为{an}是公比为2的等比数列，
设a3+a6+a9+…+a99＝x，则 a1+a4+a7+…+a97 ，a2+a5+a6+…+a98 ．
S99＝77＝（a1+a4+a7+…+a97）+（a2+a5+a6+…+a98）+（a3+a6+a9+…+a99）＝x ，
∴a3+a6+a9+…a99＝44，
故答案为44。
【分析】利用已知条件结合等比数列的性质，进而设a3+a6+a9+…+a99＝x，则 a1+a4+a7+…+a97 ，a2+a5+a6+…+a98 ，再利用分组求和的方法，进而求出x的值，从而求出a3+a6+a9+…a99的值。
15．（2020高二上·桂林期末）数列 的前 项和 满足 ，则数列 的通项公式 .
【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
则 ，即 ，
当 时， ，解得 ，
故数列 是首项为2、公比为2的等比数列， ，
故答案为： 。
【分析】利用与的关系式结合已知条件，从而结合分类讨论的方法，进而结合等比数列的定义，推出数列 是首项为2、公比为2的等比数列，再利用等比数列通项公式求出数列 的通项公式。
16．（2019高二上·郑州月考）已知数列 的前 项和为 ，首项 且 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】[-3,8]
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
∴数列 是以 为首项，公比为2的等比数列，
∴ ， .
因此 .
所以 对 恒成立，可化为 对 恒成立.
当 为奇数时， ，所以 ，即 ；
当 为偶数时， ，解得 .
综上，实数 的取值范围是[-3,8].
故答案为[-3,8]
【分析】先由 得到数列 是以 为首项，公比为2的等比数列，求出其通项公式，再得到 ，根据题意，再得到 对 恒成立，分别讨论 为奇数和 为偶数两种情况，即可求出结果.
四、解答题
17．（2021·湛江模拟）已知数列{an}满足 ，a2-a1=1.
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）若a1= ，求数列{an}的通项公式.
【答案】（1）证明：依题意 ，所以 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以
（2）解：由（1）得 ，所以 ，
所以
.
即
【知识点】等比数列概念与表示
【解析】【分析】 （1）先由题设得到： ，再由 即可证明结论；
（2）先由（1）得到： ，再由累加法求得an．
18．（2021·安徽模拟）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=an+1-1.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足2bn+1+Sn+1=2bn+2an，证明数列{an+bn}为等差数列，并求其公差.
【答案】（1）解：当 时，由Sn=an+1-1，得 ，
两式相减得 即
又因为
所以 .
综上 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以
（2）解：由Sn=an+1-1，得 ，
又2bn+1+Sn+1=2bn+2an，
所以
即 ，
所以 是以 为公差的等差数列.
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合与的关系式，再结合分类讨论的方法结合等比数列的定义，进而得出数列 是以1为首项，2为公比的等比数列， 再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
（2）由（1）求出的数列 的通项公式结合 2bn+1+Sn+1=2bn+2an， 再结合与的关系式，再结合等差数列的定义，进而证出数列{an+bn}为等差数列，并求出其公差。
19．（2021·张家口模拟）已知公比小于1的等比数列 中，其前n项和为 ．
（1）求 ；
（2）求证： ．
【答案】（1）解：设等比数列 的公比为q．
由 得
解得 或 （舍去），
所以
（2）证明：由（1）得 ，
所以 ．
因为 在R上为减函数，且 恒成立，
所以当 ，即 时， ，
所以
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】 （1）根据等比数列的求和通项公式即可求出；
（2）根据等比数列的求和公式，再利用数列的函数特征即可证明．
20．（2021高二下·天津月考）设 是等比数列，公比大于0， 是等差数列，.已知 ， ， ， .
（1）求 和 的通项公式：
（2）设数列 满足 ， ，其中 ，求数列 的前n项和.
【答案】（1）解：
解得 或 （舍）
所以
所以
（2）解： ，
设
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式合等比数列的通项公式，进而求出公差合等比数列的首项和公比，再结合等差数列的通项公式结合等比数列的通项公式，进而求出数列 和 的通项公式。
（2）利用（1）求出的数列 和 的通项公式结合数列 满足 ， ， 进而求出数列 的通项公式，再利用分组求和的方法结合等比数列前n项和公式，进而求出数列 的前n项和。
21．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式）已知数列 是等差数列，满足 ， ，数列 是公比为2的等比数列，且 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：设等差数列 的公差为 ，则 ，
∴数列 的通项公式为 ，∴ .
又 ，∴ ，
∵数列 是公比为2的等比数列，
∴ ，∴
（2）解：由题意得，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的公差，再结合等差数列的通项公式求出数列 的通项公式，再利用已知条件结合等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，进而结合数列 的通项公式求出数列 的通项公式。
（2）利用数列 的通项公式结合分组求和的方法，再结合等差数列前n项和公式和等比数列前n项和公式，进而求出数列 的前 项和。
22．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念）在数列 中， 为数列 的前 项和， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明 .
【答案】（1）解：∵ ，∴ ，
两式相减得 ，∴ .
又 ，∴ ，∴ .∴ ，
所以 ，故 ，∴数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴ ，∴
（2）证明：由（1）可得，
，
∴
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式，再结合与的关系式，再利用分类讨论的方法，进而求出数列 的通项公式。
（2）由（1）求出的数列 的通项公式结合 ， 求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，进而求出数列 的前 项和，再利用放缩法证出 。
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