2023年辽宁省阜新市中考数学试卷（含解析）

2023年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如图所示的几何体是由个大小相同的立方块搭成的，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 在下列计算中，正确的是( )
A. B. C. D.
4. 某中学甲、乙两支国旗护卫队的队员身高单位：数据如下：
甲队：，，，，，，，，，；
乙队：，，，，，，，，，．
若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
5. 某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿精神”的概率是( )
A. B. C. D.
6. 不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7. 如图，，，是上的三点，若，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 点在函数图象上
10. 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，的圆心依次按，，，循环，当时，点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算： ______ ．
12. 将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是______ ．
13. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为：，则和的面积比是______ ．
14. 正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，垂足为点，连接，则的面积是______ ．
15. 如图，在矩形中，，连接，在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长是______ ．
16. 德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称今年月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加，甲、乙两名选手同时参加了往返单程的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲，乙之间的距离与甲所用的时间之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
某中学数学兴趣小组的同学们，对函数是常数，的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
当，时，即当时，函数化简为；当时，函数化简为 ______ ．
当，，时，即．
该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表：
其中 ______ ．
在图所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
当，，时，即．
当时，函数化简为 ______ ．
在图所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
请写出函数是常数，的一条性质：______ 若所列性质多于一条，则仅以第一条为准
19. 本小题分
如图，是的直径，点，是上异侧的两点，，交的延长线于点，且平分．
求证：是的切线．
若，，求图中阴影部分的面积．
20. 本小题分
端午节是中华民族的传统节日，节日里吃粽子是传统习俗，为了了解附近居民对肉粽子，蛋黄粽子，红枣粽子，葡萄干粽子四种口味粽子的喜爱情况，某商场随机抽取了某小区的部分居民进行问卷调查每人只能选一种口味，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
参加此次问卷调查的居民共有______ 人
通过计算将条形统计图补充完整．
若该小区共有名居民，请估计喜爱肉粽子的居民约有多少人．
21. 本小题分
如图，小颖家所在居民楼高为从楼顶处测得另一座大厦顶部的仰角是，而大厦底部的俯角是．
求两楼之间的距离．
求大厦的高度．
结果精确到，参考数据：，，
22. 本小题分
为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用元购买足球的数量和用元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多元．
求：足球和排球的单价各是多少元？
根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共个，但要求其总费用不超过元，那么学校最多可以购买多少个足球？
23. 本小题分
如图，在正方形中，线段绕点逆时针旋转到处，旋转角为，点在直线上，且，连接．
如图，当时，
求的大小用含的式子表示．
求证：．
如图，取线段的中点，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中面积的最大值．
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
求这个二次函数的表达式．
如图，二次函数图象的对称轴与直线：交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是：，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】
【解析】解：、，正确，符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
根据有理数的混合运算法则、分母有理化及特殊角的三角函数值进行计算即可．
本题考查的是分母有理化及有理数的混合运算、特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：若要判断哪支护卫队队员身高更为整齐，应该比较两组数据的方差．
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】
【解析】解：用、、分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，
画树数状图为：
共有种等可能的结果，其中他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数为，
所以他们同时选中主题“海州矿精神”的概率．
故选：．
用、、分别表示“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，画树数状图展示所有种等可能的结果，再找出他们同时选中主题“海州矿精神”的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
6.【答案】
【解析】解：移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为得，．
故选：．
先移项，再合并同类项，的系数化为即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
先利用圆周角定理求出，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：月份售价为万元，月均下降率是，月份售价为万元，
．
故选：．
首先根据月份售价为万元，月均下降率是可得出月份的售价为万元，月份的售价为万元，据此根据月份售价为万元可列出方程，进而可得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是表示出月份的售价是解答此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：：由二次函数的图形可知：，，，所以故A错误．
：因为二次函数的对称轴是直线，则，即故B正确．
：因为抛物线与轴有两个交点，所以，即故C错误．
：因为抛物线与轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，所以它与轴的另一个交点的坐标为故D错误．
故选：．
利用二次函数的图象与系数的关系可得出，、、的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与的关系；由抛物线与轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标．
本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得，，的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图得，，，，，，，
点的位置每个一循环，
，
在第三象限，与，，，
符合规律，
坐标为．
故选：．
由题得点的位置每个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，符合同一规律，探究出，，，的规律即可．
本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：
．
首先根据立方根的意义计算，再根据零次幂的运算法则计算，然后再进行加减运算即可得出答案．
此题主要考查了立方根的意义，零次幂的运算法则，理解立方根的意义，熟练掌握零次幂的运算法则是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：三角尺，
，，
，
，
，
直线，
，
故答案为：．
根据题意求出，，，根据平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
13.【答案】：
【解析】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为：，
∽，相似比为：，
与的面积之比为：：．
故答案为：：．
先利用位似的性质得到∽，相似比为：，然后根据相似三角形的性质解决问题．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题知，
，解得或，
即，
又轴，垂足为点，
所以．
则，
故．
所以．
故答案为：．
先求出，两点的坐标，进而得出点的坐标，以为底，则高为，两点间的水平距离，可求得的面积．
本题是一道一次函数和反比例函数的综合题，正确的表示出的面积是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设，
过作于，
在矩形中，，
，
由作图得：平分，
，
，，
≌，
，，
，
在中，有，
即：，
解得：，
故答案为：．
过作于，再根据勾股定理列方程求解．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设甲的速度为千米小时，则乙的速度为千米小时，
则：，
解得：，
，
，
故答案为：．
先根据图象得甲乙的速度差为，再根据相遇时用了小时，列方程求解．
本题考查了一次函数的应用，正确提取图象中的信息是解题的关键．
17.【答案】解：
，
当时，
原式
．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】 当，函数有最低点
【解析】解：当时，函数化简为，
故答案为：；
当时，，
故答案为：；
如图所示：
当时，函数化简为，
故答案为：；
如图所示：
当，函数有最低点；
故答案为：当，函数有最低点．
根据绝对值的意义进行化简；
根据绝对值的意义进行化简；
根据描点法作图；
根据绝对值的意义进行化简；
根据描点法作图；
根据图象解答．
本题考查了一次函数图象上点的特征，掌握绝对值的意义及数形结合思想是解题的关键．
19.【答案】证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：连接，过点作，垂足为，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，
图中阴影部分的面积扇形的面积的面积
，
图中阴影部分的面积为．
【解析】连接，根据垂直定义可得，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答；
连接，过点作，垂足为，根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：参加此次问卷调查的居民共有人，
故答案为：；
喜欢的人数为人，
补全条形统计图如下：
；
人，
答：估计喜爱肉粽子的居民约有人．
根据喜爱的人数和所占的百分比即可求出参加此次问卷调查的居民的人数；
用总人数减去喜欢、、的人数，计算出喜欢的人数，补全条形统计图即可；
利用乘以喜欢的百分比即可．
本题主要考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获得准确的信息．
21.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：，，
在中，，
，
，
两楼之间的距离约为；
在中，，
，
，
大厦的高度约为．
【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：设足球的单价是元，则排球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是元，排球的单价是元．
设学校可以购买个足球，则可以购买个排球，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取的最大值为．
答：学校最多可以购买个足球．
【解析】设足球的单价是元，则排球的单价是元，根据数量总价单价，结合用元购买足球的数量和用元购买排球的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设学校可以购买个足球，则可以购买个足球，利用总价单价数量，结合购买足球和排球的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：四边形是正方形，
，
由题意得，：
，
，
，
，
；
连接．
，
，
，
≌，
，．
，
是等腰直角三角形，
；
解：过点作的垂线，交直线于点，连接，相交于点，，连接，
由得是等腰直角三角形，又点为斜边的中点，
，即，
四边形是正方形，
．
，
点在以点为圆心，为半径的一段弧上，
当点、、在同一直线上时，有最大值，则面积的最大值，
．
面积的最大值为．
【解析】利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算得到，据此求解即可；
连接，计算得到，利用证明≌，推出是等腰直角三角形，据此即可证明；
过点作的垂直，交直线于点，连接，相交于点，连接，利用直角三角形的性质推出点在以点为圆心，为半径的一段弧上，得到当点、、在同一直线上时，有最大值，则面积的最大值，据此求解即可．
本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定
理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：由题意得，
；
如图，
作于，作于，交于，
，，
，
，
抛物线的对称轴是直线：，
，
，
，
，
故只需的边上的高最大时，的面积最大，
设过点与平行的直线的解析式为：，
当直线与抛物线相切时，的面积最大，
由得，
，
由得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，
当点在线段上时，连接，交于，
点和点关于对称，
，
设，
由得，
，
，舍去，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
；
如图，
当点在的延长线上时，由上可知：，
同理可得：，
综上所述：或
【解析】根据抛物线的交点式直接得出结果；
作于，作于，交于，先求出抛物线的对称轴，进而求得，坐标及的长，从而得出过的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的求得的值，进而求得的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果；
分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果．
本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．
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