初中数学苏科版八年级下册10.2 分式的基本性质 同步训练
一、单选题
1．（2020八上·滦州期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020八上·海伦期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八上·永年期末）分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·南宁期末）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020八上·铁力期末）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020八下·江阴月考）给出下列4个关于分式的变形,其中正确的个数为（ ）
① ，② ，③ ，④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021八上·喀什期末）如果把分式 中的 和 的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）.
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的一半
8．（2020八下·兴化期末）已知b≠0，n≠0，下列各式中，不一定成立的是（ ）
A． = B． =
C． D．
9．（2020八上·邢台期中）在等式 中，M为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020八下·青羊期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A． ＝﹣ B． ＝
C． ＝ D． ＝
二、填空题
11．（2020八下·九江期末）化简： ．
12．（2021八上·河池期末）化简： .
13．把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分.其依据是 ;其目的是将分式转化成分子和分母没有 ,即将分式转化为最简分式.
14．（2020八下·江阴月考）给出下列3个分式：① ，② ，③ .其中的最简分式有 （填写出所有符合要求的分式的序号）.
15．（2020八上·唐山月考）① ② .
16．（2019八上·海安月考）不改变分式的值，使分子、分母各项的系数都化为整数，则 .
17．（2019八下·渠县期末）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ＝ ．
18．不改变分式的值，将分式 的分子、分母的各项系数都化为整数 ．
三、解答题
19．不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数．
20．不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数
21．问题：当a为何值时，分式无意义？
小明是这样解答的：解：因为，由a﹣3=0，得a=3，所以当a=3时，分式无意义．
你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因．
22．综合题
（1）不改变分式的值,使分式 的分子与分母的各项的系数是整数.
（2）不改变分式的值,使分式 的分子与分母的最高次项的系数是正数.
（3）当x满足什么条件时,分式 的值,①等于0 ②小于0
23．（2019八上·椒江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式： ； ； ； 其中是“和谐分式”是 填写序号即可 ；
（2）若a为正整数，且 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；
（3）在化简 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：
小强：
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，请你接着小强的方法完成化简．
24．（2020八上·昌平月考）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】A、 ；
B、 的分子分母不能再进行约分，是最简分式；
C、 ；
D、 ；
故答案为：B．
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分；
2．【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解：A、 是最简分式，不符合题意;
B、 不是最简分式，符合题意;
C、 是最简分式，不符合题意;
D、 是最简分式，不符合题意;
故答案为：B.
【分析】最简分式的标准是分子,分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子,分母分解因式,观察互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而约分.
3．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】 = =-
故答案为：B．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
4．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 ＝ ＝ ，故本选项符合题意；
B、 ≠ ，故本选项不符合题意；
C、 ＝ ，故本选项不符合题意；
D、 ＝ ＝ ，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式的基本性质性质分别化简即可判断.
5．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 ，本选项不符合题意；
B、 分子分母没有公因式，不能约分，本选项不符合题意；
C、 ，本选项符合题意；
D、 分子分母没有公因式，不能约分，本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用分式的基本性质及约分逐项判定即可。
6．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：① ，故①正确；
② ，故②正确；
③ ，故③错误；
④ =-1，故④正确.
故答案为：C.
【分析】分式的基本性质：分式的分子、分母同乘一个不为0的整式，分式的值不变，根据性质即可一一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意 = ，
所以把分式 中的x、y都扩大为原来的3倍，此分式的值不变.
故答案为：B.
【分析】当把分式 中的x、y都扩大为原来的3倍得到 ，根据分式的基本性质约分得 然后判断即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 不一定等于 ，符合题意；
B、该分式的分子、分母同时扩大n 倍，所以 ＝ 成立，不符合题意；
C、该分式的分子、分母同时缩小n 倍，所以 ＝ 成立，不符合题意；
D、该分式的分子、分母同时扩大（n+1） 倍，所以 ＝ 成立，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式的基本性质：“分式的分子，分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变”即可求解.
9．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】 ，
即 ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】将等式左边的分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式，利用等式的性质即可求解．
10．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】A、 ，故A不符合题意；
B、分子、分母同时扩大10倍，结果不变，则 ，故B不符合题意；
C、a＝1，b＝2时，此时原式不成立，故C不符合题意；
D、分子、分母都除以a＋3，值不变，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据分式的基本性质对各个选项进行判断．
11．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原式=
【分析】按照分式的基本性质对分式进行化简即可．
12．【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：原式=
=
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式，平方差公式分别将分子与分母分解，然后约分即可.
13．【答案】公因式；分式的基本性质；公因式
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；最简分式
【解析】【解答】解：把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.其依据是分式的基本性质;其目的是将分式转化成分子和分母没有公因式,即将分式转化为最简分式。
故答案为：公因式；分式的基本性质；公因式.
【分析】根据约分的定义及最简分式的定义求解即可。
14．【答案】①②
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：① ，最简分式，符合题意；
② ，最简分式，符合题意；
③ = ，故③不是最简分式，故不符合题意.
故答案为：①②.
【分析】最简分式就是分子、分母没有公因式的分式，根据定义即可一一判断得出答案.
15．【答案】；
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】① ；
② .
故答案为①6a2；② .
【分析】①利用分式的基本性质分子分母同乘2a即得；②利用分式的基本性质分子分母同除以（a+2）即得；
16．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
故答案为:
【分析】根据分式的基本性质,把分子分母同乘以10即可.
17．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】原式＝ ＝ ，
故答案为：
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
18．【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解: ．故答案为：
【分析】先求出3、5、2的最小公倍数30，然后根据分数的基本性质把分式的分子、分母分别扩大30倍即可得出答案。
19．【答案】解：原式=﹣
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案
20．【答案】解：原式=
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案
21．【答案】解：不正确，理由如下：
∵a2﹣9=0，即a=±3时，分式无意义，
∴小明的解答错误．
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】
根据分式无意义的条件为：分母不等于0即可判断．
22．【答案】（1）解:原式=
（2）解:原式=-
（3）解:①由 =0,得 解得x= .
②由 <0,得2-3x<0,解得x>
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）观察原分式的分子分母的最小公倍数为6，因此将原分式的分子分母同时乘以6，即可得出答案。
（2）观察原分式分子中的最高次项是-y2,因此改变分子、分式本身的符号，分式的值不变。
（3）①根据分式的值为0，则分母≠0，且分子=0 ，建立方程和不等式求解即可；②观察分子分母的特点，分母4x2+1是正数，因此要使分式的值小于0，分子分母异号，则分子小于0，建立不等式求解即可。
23．【答案】（1）②
（2）解：a=4，a=-4，a=5
（3）
【知识点】因式分解的定义；分式的约分
【解析】【分析】（1）根据 “和谐分式”的定义，可以判定题目中的的和谐分式。
（2）抓住已知条件 a为正整数，且 为“和谐分式” ，由于分子不能分解因式，因此分母必须能分解因式且不能含有因式x-1即可，再求出满足条件的a的所有的值。
（3）根据题意，利用“和谐分式”的定义就可解答此题。
24．【答案】（1）
（2）解：原式
因为 的值是整数，分式的值也是整数，
所以 或 ，
所以 、 、0、 ．
所以分式的值为整数， 的值可以是： 、 、0、 ．
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）
故答案为： ；
【分析】（1）根据“真分式”定义，仿照例题解答即可；
（2）先把分式化为真分式为，由于x的值是整数，分式的值也是整数，可得 或
1 / 1初中数学苏科版八年级下册10.2 分式的基本性质 同步训练
一、单选题
1．（2020八上·滦州期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】A、 ；
B、 的分子分母不能再进行约分，是最简分式；
C、 ；
D、 ；
故答案为：B．
【分析】最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分；
2．（2020八上·海伦期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解：A、 是最简分式，不符合题意;
B、 不是最简分式，符合题意;
C、 是最简分式，不符合题意;
D、 是最简分式，不符合题意;
故答案为：B.
【分析】最简分式的标准是分子,分母中不含有公因式,不能再约分.判断的方法是把分子,分母分解因式,观察互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而约分.
3．（2020八上·永年期末）分式 可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】 = =-
故答案为：B．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
4．（2021八上·南宁期末）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 ＝ ＝ ，故本选项符合题意；
B、 ≠ ，故本选项不符合题意；
C、 ＝ ，故本选项不符合题意；
D、 ＝ ＝ ，故本选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式的基本性质性质分别化简即可判断.
5．（2020八上·铁力期末）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 ，本选项不符合题意；
B、 分子分母没有公因式，不能约分，本选项不符合题意；
C、 ，本选项符合题意；
D、 分子分母没有公因式，不能约分，本选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用分式的基本性质及约分逐项判定即可。
6．（2020八下·江阴月考）给出下列4个关于分式的变形,其中正确的个数为（ ）
① ，② ，③ ，④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：① ，故①正确；
② ，故②正确；
③ ，故③错误；
④ =-1，故④正确.
故答案为：C.
【分析】分式的基本性质：分式的分子、分母同乘一个不为0的整式，分式的值不变，根据性质即可一一判断得出答案.
7．（2021八上·喀什期末）如果把分式 中的 和 的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）.
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的一半
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意 = ，
所以把分式 中的x、y都扩大为原来的3倍，此分式的值不变.
故答案为：B.
【分析】当把分式 中的x、y都扩大为原来的3倍得到 ，根据分式的基本性质约分得 然后判断即可得出答案.
8．（2020八下·兴化期末）已知b≠0，n≠0，下列各式中，不一定成立的是（ ）
A． = B． =
C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、 不一定等于 ，符合题意；
B、该分式的分子、分母同时扩大n 倍，所以 ＝ 成立，不符合题意；
C、该分式的分子、分母同时缩小n 倍，所以 ＝ 成立，不符合题意；
D、该分式的分子、分母同时扩大（n+1） 倍，所以 ＝ 成立，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式的基本性质：“分式的分子，分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变”即可求解.
9．（2020八上·邢台期中）在等式 中，M为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】 ，
即 ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】将等式左边的分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式，利用等式的性质即可求解．
10．（2020八下·青羊期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A． ＝﹣ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】A、 ，故A不符合题意；
B、分子、分母同时扩大10倍，结果不变，则 ，故B不符合题意；
C、a＝1，b＝2时，此时原式不成立，故C不符合题意；
D、分子、分母都除以a＋3，值不变，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据分式的基本性质对各个选项进行判断．
二、填空题
11．（2020八下·九江期末）化简： ．
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：原式=
【分析】按照分式的基本性质对分式进行化简即可．
12．（2021八上·河池期末）化简： .
【答案】
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：原式=
=
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式，平方差公式分别将分子与分母分解，然后约分即可.
13．把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分.其依据是 ;其目的是将分式转化成分子和分母没有 ,即将分式转化为最简分式.
【答案】公因式；分式的基本性质；公因式
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；最简分式
【解析】【解答】解：把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.其依据是分式的基本性质;其目的是将分式转化成分子和分母没有公因式,即将分式转化为最简分式。
故答案为：公因式；分式的基本性质；公因式.
【分析】根据约分的定义及最简分式的定义求解即可。
14．（2020八下·江阴月考）给出下列3个分式：① ，② ，③ .其中的最简分式有 （填写出所有符合要求的分式的序号）.
【答案】①②
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：① ，最简分式，符合题意；
② ，最简分式，符合题意；
③ = ，故③不是最简分式，故不符合题意.
故答案为：①②.
【分析】最简分式就是分子、分母没有公因式的分式，根据定义即可一一判断得出答案.
15．（2020八上·唐山月考）① ② .
【答案】；
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】① ；
② .
故答案为①6a2；② .
【分析】①利用分式的基本性质分子分母同乘2a即得；②利用分式的基本性质分子分母同除以（a+2）即得；
16．（2019八上·海安月考）不改变分式的值，使分子、分母各项的系数都化为整数，则 .
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】
故答案为:
【分析】根据分式的基本性质,把分子分母同乘以10即可.
17．（2019八下·渠县期末）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ＝ ．
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】原式＝ ＝ ，
故答案为：
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
18．不改变分式的值，将分式 的分子、分母的各项系数都化为整数 ．
【答案】
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解: ．故答案为：
【分析】先求出3、5、2的最小公倍数30，然后根据分数的基本性质把分式的分子、分母分别扩大30倍即可得出答案。
三、解答题
19．不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数．
【答案】解：原式=﹣
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案
20．不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数
【答案】解：原式=
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案
21．问题：当a为何值时，分式无意义？
小明是这样解答的：解：因为，由a﹣3=0，得a=3，所以当a=3时，分式无意义．
你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因．
【答案】解：不正确，理由如下：
∵a2﹣9=0，即a=±3时，分式无意义，
∴小明的解答错误．
【知识点】分式的约分
【解析】【分析】
根据分式无意义的条件为：分母不等于0即可判断．
22．综合题
（1）不改变分式的值,使分式 的分子与分母的各项的系数是整数.
（2）不改变分式的值,使分式 的分子与分母的最高次项的系数是正数.
（3）当x满足什么条件时,分式 的值,①等于0 ②小于0
【答案】（1）解:原式=
（2）解:原式=-
（3）解:①由 =0,得 解得x= .
②由 <0,得2-3x<0,解得x>
【知识点】分式的值为零的条件；分式的基本性质；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）观察原分式的分子分母的最小公倍数为6，因此将原分式的分子分母同时乘以6，即可得出答案。
（2）观察原分式分子中的最高次项是-y2,因此改变分子、分式本身的符号，分式的值不变。
（3）①根据分式的值为0，则分母≠0，且分子=0 ，建立方程和不等式求解即可；②观察分子分母的特点，分母4x2+1是正数，因此要使分式的值小于0，分子分母异号，则分子小于0，建立不等式求解即可。
23．（2019八上·椒江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式： ； ； ； 其中是“和谐分式”是 填写序号即可 ；
（2）若a为正整数，且 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；
（3）在化简 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：
小强：
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，请你接着小强的方法完成化简．
【答案】（1）②
（2）解：a=4，a=-4，a=5
（3）
【知识点】因式分解的定义；分式的约分
【解析】【分析】（1）根据 “和谐分式”的定义，可以判定题目中的的和谐分式。
（2）抓住已知条件 a为正整数，且 为“和谐分式” ，由于分子不能分解因式，因此分母必须能分解因式且不能含有因式x-1即可，再求出满足条件的a的所有的值。
（3）根据题意，利用“和谐分式”的定义就可解答此题。
24．（2020八上·昌平月考）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
【答案】（1）
（2）解：原式
因为 的值是整数，分式的值也是整数，
所以 或 ，
所以 、 、0、 ．
所以分式的值为整数， 的值可以是： 、 、0、 ．
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】解：（1）
故答案为： ；
【分析】（1）根据“真分式”定义，仿照例题解答即可；
（2）先把分式化为真分式为，由于x的值是整数，分式的值也是整数，可得 或
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