双基限时练(一) 曲线运动
1．做曲线运动的物体在运动过程中，下列说法正确的是( )
A．速度大小一定改变 B．加速度大小一定改变
C．速度方向一定改变 D．加速度方向一定改变
解析 物体做曲线运动时，其速度方向沿轨迹切线方向，故一定变化，而加速度可能变化也可能不变化，故答案为C.
答案 C
2．下列说法中正确的是( )
A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B．物体在变力作用下一定做曲线运动
C．物体在恒力和变力作用下，都可能做曲线运动
D．做曲线运动的物体受合外力一定不为零
解析 物体是否做曲线运动与物体受力大小无关 ( http: / / www.21cnjy.com )，取决于合外力方向与初速度方向是否在一条直线上．只要合外力与物体速度在一条直线上，物体就做直线运动，只要合外力与速度不在同一直线上，物体就做曲线运动．如果物体受到大小变化而方向不变的外力作用，而速度与外力在同一直线上，则物体做直线运动，故选项A、B错误，选项C正确；若物体做曲线运动，则物体的速度方向一定变化，即物体的速度一定变化，则物体一定只有加速度，物体所受合外力一定不为零，选项D正确．
答案 CD
3．如下图，小铁球m以初速度v0在光滑 ( http: / / www.21cnjy.com )水平面上运动后，受到磁极的侧向作用力而做图示的曲线运动到D点，从图示可知磁极的位置及极性可能是( )
A．磁极在A位置，极性一定是N极
B．磁极在B位置，极性一定是S极
C．磁极在C位置，极性一定是N极
D．磁极在B位置，极性无法确定
解析 铁球受磁极的吸引力而做曲线运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，运动方向只会向受吸引力的方向偏转，因而磁极位置只可能在B点而不可能在图中的A点或C点．又磁极的N极或S极对铁球都有吸引力，故极性无法确定．
答案 D
4．如图所示是由v1、v2、v3 ( http: / / www.21cnjy.com )为边长组成的四个三角形，且v1( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
解析 由三角形定则，图A中v1、v2的 ( http: / / www.21cnjy.com )合速度为v3，再与图中v3合成，合速度为2v3；图B中合速度为0，图C中合速度为2v1，图D中合速度为2v2，其中最大的合速度为2v3，A项正确．
答案 A
5．关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是( )
A．一定是直线运动
B．一定是曲线运动
C．可能是直线运动，也可能是曲线运动
D．以上说法都不对
解析
两个运动的初速度合成、加速度合成如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示．当a与v共线时，物体做直线运动；当a与v不共线时，物体做曲线运动．由于题目没有给出两个运动的加速度和速度的具体数值与方向，所以以上两种情况都有可能，故正确选项为C.可见，判断物体是否做曲线运动，主要是判断合速度与合加速度是否在同一直线上，所以首先要判断出合加速度与合速度的方向．
答案 C
6．关于运动的合成与分解，下列说法不正确的是( )
A．由两个分运动求合运动，合运动是唯一确定的
B．由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法
C．物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动
D．任何形式的运动，都可以用几个分运动代替
解析 根据平行四边形定则，两个分运动 ( http: / / www.21cnjy.com )的合运动就是以两个分运动为邻边的平行四边形的对角线，A正确；而将合运动分解为两个分运动时，可以在不同方向上分解，从而得到不同的解，B正确；任何形式的运动都可以分解，故C错误，D正确.
答案 C
7．物体受到几个力的作用而处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能做( )
A．静止或匀速直线运动
B．匀变速直线运动
C．曲线运动
D．匀变速曲线运动
解析 物体处于平衡状态，则原来几个力的 ( http: / / www.21cnjy.com )合力一定为零，现受到另一恒力作用，物体一定做变速运动，故选项A错误；若物体原来静止则现在一定做匀加速直线运动，若物体原来做匀速直线运动，且速度与恒力方向共线则做匀变速直线运动(F与v同向做匀加速，F与v反向做匀减速)，故选项B正确；若速度与力不在同一直线上，物体则做曲线运动，因力是恒力，加速度则也是恒定的，因此物体做匀变速曲线运动．
答案 BCD
8．一质点做曲线运动，它的轨迹由上到下(如下图曲线)，关于质点通过轨迹中点时的速度v的方向和加速度a的方向可能正确的是下图中的( )
解析 C图中a和运动轨迹偏转方向与Δv的方向不一致，故C选项不正确；A、D选项也不正确；本题只有B选项正确．
答案 B
9．一质点在水平面内运动 ( http: / / www.21cnjy.com )，在xOy直角坐标系中，质点的坐标(x，y)随时间t变化的规律是：x＝0.75 t＋0.2 t2 m，y＝2.25 t＋0.6 t2 m，则( )
A．质点的运动是匀速直线运动
B．质点的运动是匀加速直线运动
C．质点的运动是非匀变速直线运动
D．质点的运动是非匀变速曲线运动
解析 两个分运动的初速度分别为：v ( http: / / www.21cnjy.com )0x＝0.75 m/s，v0y＝2.25 m/s；加速度分别为：ax＝0.4 m/s2，ay＝1.2 m/s2，合速度与x轴的夹角：tanα＝＝3，合加速度与x轴的夹角：tanβ＝＝3，所以α＝β，即加速度与初速度同向，所以质点做匀加速直线运动，B正确．
答案 B
10.
如图所示，一根长直轻杆A ( http: / / www.21cnjy.com )B在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cosθ
C．v1＝v2tanθ D．v1＝v2sinθ
解析
A、B两点速度分解如图，由沿杆方向的速度相等得：v1cosθ＝v2sinθ，
所以v1＝v2tanθ，故C对．
答案 C
11．降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )
A．下落的时间越短 B．下落的时间越长
C．落地时速度越小 D．落地时速度越大
解析 降落伞在下落过程中的运动可分 ( http: / / www.21cnjy.com )解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动，风速变化，则降落伞沿水平方向的速度发生变化，合速度发生变化，但竖直方向的速度不变，所以下落的时间不变．根据v＝，若风速越大，vx越大，则降落伞落地时速度越大，故选项D正确．
答案 D
12．民族运动会上有一个骑射项目 ( http: / / www.21cnjy.com )，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射击侧向的固定目标．若运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，直线跑道离固定目标的最近距离为d.要想射出的弓箭在最短时间内射中目标，则运动员放箭处离目标的距离应该为(不计空气和重力的影响)( )
A. B.
C. D.
解析
运动员射出的箭参与了两个分运动，一 ( http: / / www.21cnjy.com )个是马奔驰的速度v1，另一个是静止时射出弓箭的速度v2，两个分运动具有独立性和等时性．如图所示，要想在最短的时间内射中目标，则必须沿垂直直线跑道的方向射箭，利用这个方向的分运动可计算需要的最短时间为t min＝，所以运动员放箭处离目标的距离为x＝v合t min＝.
答案 B
13．如图所示，甲图表示某物体在x轴方向上分速度的vx－t图象，乙图表示该物体在y轴方向上分速度的vy－t图象．求：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)物体在t＝0时的速度大小；
(2)t＝8 s时物体的速度大小；
(3)t＝4 s时物体的位移大小．
解析 根据图象可以知道，
物体在x轴方向上以3 m/s的速度做匀速直线运动，
在y轴方向上做初速度为0、加速度为0.5 m/s2的匀加速直线运动，合运动是曲线运动．
(1)在t＝0时刻，
物体的速度v＝＝3 m/s.
(2)在t＝8 s时刻，物体在x轴方向上速度为3 m/s，物体在y轴方向上速度为4 m/s，
所以物体的速度为v＝＝5 m/s.
(3)在4 s的时间内物体在x轴方向上发生的位移为
x＝12 m，
物体在y轴方向上发生的位移为y＝at2＝4 m，
所以4 s内物体发生的位移为s＝＝4 m.
答案 (1)3 m/s (2)5 m/s (3)4 m
14．玻璃板生产线上，宽9 ( http: / / www.21cnjy.com ) m的成型玻璃板以2 m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻割刀的走刀速度为10 m/s.为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次的时间是多长？
解析
只有使割刀的走刀速度在玻璃板运动方向上的分速度等于玻璃板的运动速度，才能使割下的玻璃板成规定尺寸的矩形.
如图所示，设玻璃板向右运动，
割刀的走刀速度v是合速度，
玻璃板的运动速度v2是分速度，
另一分速度v1是实际切割玻璃板的速度.
设v的方向与v2的方向的夹角为θ，
则vcosθ＝v2
代入数据解得θ＝arccos
故金刚钻割刀的轨道应取图中v的方向，
且使θ＝arccos.
切割一次所用时间t＝＝，
代入数据解得t＝0.92 s
答案 割刀与玻璃板运动方向的夹角θ＝arccos 切割一次的时间为0.92 s双基限时练(四) 实验：研究平抛运动
1．如图所示，在研究平抛运动时， ( http: / / www.21cnjy.com )小球A沿轨道滑下，离开轨道末端(末端水平) 时撞开轻质接触式开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落，改变整个装置的高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两球总是同时落地，该实验现象说明了A球在离开轨道后( )
A．水平方向的分运动是匀速直线运动
B．水平方向的分运动是匀加速直线运动
C．竖直方向的分运动是自由落体运动
D．竖直方向的分运动是匀速直线运动
解析 改变高度做实验，发现A、B两球仍同时落地，只能说明A球的竖直分运动与B球自由落体运动情况相同，故C项正确．
答案 C
2．在探究平抛运动的规律时，可以选用下列各种装置图，以下操作合理的是( )
A．选用装置1研究平抛物体竖直分运动，应该用眼睛看A、B两球是否同时落地
B．选用装置2要获得稳定的细水柱所显示的平抛轨迹，竖直管上端A一定要低于水面
C．选用装置3要获得钢球的平抛轨迹，每次不一定要从斜槽上同一位置由静止释放
D．除上述装置外，也能用数码照相机拍摄钢球做平抛运动时每秒15帧的录像获得平抛轨迹
解析 选用装置1研究平抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物体竖直分运动，由于两个小球不是落在同一点，应该用耳朵听A、B两球是否同时落地，A操作不合理；只有当装置2中竖直管上端A低于水面时才能保证出水口处水压恒定，水流速度恒定，就能获得稳定的细水柱所显示的平抛轨迹，所以B操作合理；选用装置图3要获得钢球的平抛轨迹，每次一定要从斜槽上同一位置由静止释放钢球，才能保证平抛小球的初速度相同，所以C操作不合理．能用数码照相机拍摄钢球做平抛运动时每秒15帧的录像获得平抛轨迹，D操作合理．
答案 BD
3．在研究平抛运动实验中，为减小空气阻力对小球运动的影响，应采用( )
A．实心小铁球 B．空心小铁球
C．实心小木球 D．以上三种小球都可以
解析 为减小空气阻力对小球运动的影响，阻力和球的重力相比越小，影响越小，故A选项正确．
答案 A
4．安装实验装置的过程中，斜槽末端的切线必须是水平的，这样做的目的是( )
A．保证小球飞出时，速度既不太大，也不太小
B．保证小球飞出时，初速度水平
C．保证小球在空中运动的时间每次都相等
D．保证小球运动的轨迹是一条抛物线
解析 平抛运动初速度的大小不是 ( http: / / www.21cnjy.com )由斜槽末端是否水平决定的，而是由小球释放点到斜槽水平端的竖直高度决定的，故A项不正确；研究平抛物体的运动，旨在弄清物体在水平和竖直两个方向上怎样运动，必须保证小球抛出时速度是水平的，并非要研究小球在空中运动的时间，故B项正确，C项不正确；无论小球飞出的初速度是水平还是倾斜的，其运动轨迹都是一条抛物线，故D项不正确．
答案 B
5．下列哪些因素会使“探究平抛物体的运动”实验的误差增大( )
A．小球与斜槽之间有摩擦
B．安装斜槽时其末端不水平
C．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点
D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较远
解析 从本实验的实验目的来看， ( http: / / www.21cnjy.com )就是要“描出平抛物体的运动轨迹，并求出平抛物体的初速度”，有时学生认为如果小球与斜槽之间有摩擦，小球离开斜槽末端的平抛初速度比光滑斜槽的小，而错选了A.如果仔细考虑一下小球在斜槽中的运动，实验中要求“应使小球每次从槽上滚下时开始的位置都相同”，目的就是要保证小球离开斜槽末端时的平抛初速度相等．
而y＝gt2，x＝v0t，得v0＝x·.
其中x、y均由刻度尺进行测量，计算 ( http: / / www.21cnjy.com )点距抛出点O越远，x、y值就越大，误差越小．因此小球与斜槽之间有摩擦，只要保证小球每次从槽上滚下的初始位置都相同，平抛时的初速度就都相同，不会引起误差．如果安装斜槽时其末端不水平，其运动就不是平抛而是斜抛运动，会引起误差．应以斜槽末端小球重心所在的位置为坐标原点，否则会引起误差．取值范围越大，误差越小．选项B、C正确．
答案 BC
6．数码相机大多具有摄像功能，每秒钟拍摄大约15帧照片，一同学用它拍摄小球从水平面飞出后做平抛运动的几张连续照片，下列处理正确的是( )
A．只要测出相邻三照片上小球的距离，就能判断平抛运动的特点
B．只要测出相邻三照片上小球的水平距离，就能判断平抛运动在水平方向上的运动特点
C．只要测出相邻三照片上小球的竖直距离，就能判断平抛运动在水平方向上的运动特点
D．只要测出相邻三照片上小球的竖直距离，就能判断平抛运动在竖直方向上的运动特点
解析 连续照片之间的时间间隔已知道，因此只需测量两个方向上的对应距离，即可研究两个分运动的性质．
答案 BD
7．在做“探究平抛运动”的实验时，让小球 ( http: / / www.21cnjy.com )多次从同一高度释放沿同一轨道运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹．为了能较准确地描绘运动轨迹．下面列出了一些操作要求，将正确的选项前面的字母填在横线上________．
A．调节斜槽的末端保持水平
B．每次释放小球的位置必须不同
C．每次必须由静止释放小球
D．记录小球位置用的木条(或凹槽)每次必须严格地等距离下降
E．小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相接触
F．将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
解析 物理实验具体操作方式并不是 ( http: / / www.21cnjy.com )一成不变的，根据实验原理和要达到的目的，再结合现有实验条件，灵活地、创造性地设计实验方案、操作要求和操作规范是学习者应具备的素质．
实验操作的要求是根据实验原理和要达到的 ( http: / / www.21cnjy.com )精度而设置的，要确定每一个操作是否正确必须从实验原理入手思考．例如，研究平抛物体的运动，实验操作必须保证小球做平抛运动；要描绘平抛物体的运动轨迹，必须是同一个运动过程物体经过的位置的连线，因此每次释放小球必须从同一高度，以保证每一次平抛运动轨迹重合．
答案 ACE
8．某同学做平抛物体运动的实验时，用带孔的硬纸卡来确定小球位置，如图所示，下面实验步骤正确的排列顺序是__________．
A．把钢球从斜槽上的某点释放，它飞出后开 ( http: / / www.21cnjy.com )始做平抛运动，在小球运动轨迹的某处用带孔的卡片迎接小球，使球恰从小孔中央通过，然后对准孔中央在白纸上记下一个点
B．把小球放在斜槽末端，以球心位置作为平抛运动起点O，在白纸上标出O点位置
C．取下白纸，在纸上画一条与竖直线Oy垂直的水平线Ox
D．用光滑曲线把记录到小球通过位置的若干点连接起来，得到平抛运动的轨迹
E．从斜槽上相同位置释放小球，用步骤A的方法确定平抛轨迹上的其他点
F．在轨迹上取几个不同的点，测出它们的坐标x和y，利用g值，求出初速度再取平均值
G．利用重锤线画出竖直线Oy
H．把白纸用图钉固定在竖直木板上，把小球放在斜槽末端水平部分，调整到小球不滚动，再固定斜槽
答案 HBGAECDF
9．在研究平抛运动的实验中， ( http: / / www.21cnjy.com )用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L＝1.25 cm，若小球在平抛运动中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则小球的初速度的计算公式为v0＝__________(用L、g表示)，其值是__________(取g＝9.8 m/s2)．
解析 ab、bc、cd水平方向等间距：x＝2L＝v0T.
竖直方向：Δy＝aT2，即L＝gT2.
所以v0＝＝＝2
＝2× m/s
＝0.70 m/s.
答案 2 0.7 m/s
10．利用单摆验证小球平 ( http: / / www.21cnjy.com )抛运动规律，设计方案如图甲所示，在悬点O正下方有水平放置的炽热的电热丝P，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断：MN为水平木板，已知悬线长为L，悬点与木板间的距离OO′＝h(h>L)．
(1)电热丝P必须置于悬点正下方的理由是__________________
_______________________________________________________.
(2)将小球向左拉起后自由释放，最后小球落在木板上的C点，O′C＝s，则小球做平抛运动的初速度v0为________．
(3)在其他条件不变的情况下，若改变释放 ( http: / / www.21cnjy.com )小球时悬线与竖直方向间的夹角θ，小球落点与O′点的水平距离s将随之改变，经多次实验，以s2为纵坐标，得到如图乙所示图象，则当θ＝30°时，s为________m.
解析 (1)使小球运动到正下方，此时速度v0为水平方向，保证小球做平抛运动．
(2)小球做平抛运动的下落高度H＝h－L，满足h－L＝gt2，s＝v0t，由此得v0＝s .
(3)由s2－cosθ图象可知s2与c ( http: / / www.21cnjy.com )osθ的关系满足s2＝acosθ＋b，将(0,2.0)和(1.0,0)代入得a＝－2.0，b＝2.0.则s2与cosθ的关系为s2＝－2cosθ＋2，当θ＝30°时，可解得s＝0.52 m.
答案 (1)保证小球沿水平方向抛出
(2)s
(3)0.52
11．在做“研究平抛运动”的实验中，为了确定小球在不同时刻在空中所通过的位置，实验时用了如图所示的装置．
先将斜槽轨道的末端调整水平，在一块平整 ( http: / / www.21cnjy.com )的木板表面钉上白纸和复写纸．将该木板竖直立于水平地面上，使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A；将木板向远离槽口平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B；又将木板再向远离槽口平移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，再得到痕迹C.
若测得木板每次移动距离x＝10. ( http: / / www.21cnjy.com )00 cm，A、B间距离y1＝5.02 cm，B、C间距离y2＝14.82 cm.请回答以下问题(g＝9.80 m/s2)
(1)为什么每次都要使小球 ( http: / / www.21cnjy.com )从斜槽上紧靠挡板处由静止释放？_____________________________________________________________________________________________________________________.
(2)根据以上直接测量的物理量来求得小球初速度的表达式为v0＝________.(用题中所给字母表示)
(3)小球初速度的值为v0＝________ m/s.
解析 (1)每次从斜槽上紧靠挡板处由静止释放小球，是为了使小球有相同的初速度．
(2)根据平抛运动在水平方向上为匀速直线运动，则物体从A到B和从B到C运动时间相等，设为T；
竖直方向由匀变速直线运动推论有：y2－y1＝gT2，且v0T＝x.解以上两式得：v0＝x.
(3)代入数据解得v0＝1.00 m/s.
答案 (1)为了保证小球每次做平抛运动的初速度相同
(2)x
(3)1.00双基限时练(八) 生活中的圆周运动
1．当汽车驶向一凸形桥时，为使在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应( )
A．以尽可能小的速度通过桥顶
B．增大速度通过桥顶
C．以任何速度匀速通过桥顶
D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小
解析 在桥顶时汽车受力mg－FN＝m，
得FN＝mg－m.
由此可知线速度越大，汽车在桥顶受到的支持力越小，即车对桥的压力越小．
答案 B
2.
如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
解析 若F突然消失，小球所受合外力突变为零 ( http: / / www.21cnjy.com )，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误．
答案 A
3．冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≤ D．v≤
解析 水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v满足：kmg≥m，解得v ≤.
答案 B
4．一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为( )
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
解析 当N＝G时，因为G－N＝m，所以G＝m；
当N＝0时，G＝m，所以v′＝2v＝20 m/s.
答案 B
5．铁路转弯处的圆弧半径为R，内侧和外侧的高度差为h，L为两轨间的距离，且L>h.如果列车转弯速率大于，则( )
A．外侧铁轨与轮缘间产生挤压
B．铁轨与轮缘间无挤压
C．内侧铁轨与轮缘间产生挤压
D．内外侧铁轨与轮缘间均有挤压
解析 当v＝时，铁轨与轮缘间无挤压，当v>时，火车需要更大的向心力，所以挤压外轨．
答案 A
6．宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动．下列说法中正确的是( )
A．可以用天平测量飞船内物体的质量
B．可以用水银气压计测舱内气压
C．可以用弹簧测力计测拉力
D．在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为零，但重物仍受地球引力
解析 因为飞船内的物体处于完全失 ( http: / / www.21cnjy.com )重状态，故放在天平上的物体对天平没有压力．因此，用天平不能称出物体的质量；水银气压计中水银柱也不会产生压力，故水银气压计无法测量气压；挂在弹簧测力计上的物体也不会对弹簧产生拉力，无论挂多重的物体，弹簧测力计的示数皆为零，但地球表面及其附近的物体都受重力，故A、B选项错误，D选项正确；弹簧测力计是根据胡克定律制成的．拉力的大小跟弹簧的伸长量成正比，故C选项正确．
答案 CD
7.
如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
解析 由于不知道小球在圆周最高点 ( http: / / www.21cnjy.com )时的速率，故无法确定绳子的拉力大小，A、B选项错误；若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率满足mg＝m，推导可得v＝，C正确；小球过最低点时，向心力方向向上，故绳子的拉力一定大于小球重力，D选项也正确．
答案 CD
8.
摆式列车是集电脑、自动控制等高新技 ( http: / / www.21cnjy.com )术于一体的新型高速列车，如图所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心作用．行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．它的优点是能够在现有线路上运行，勿须对线路等设施进行较大的改造，而是靠摆式车体的先进性，实现高速行车，并能达到既安全又舒适的要求．运行实践表明：摆式列车通过曲线速度可提高20%～40%，最高可达50%，摆式列车不愧为“曲线冲刺能手”．假设有一超高速列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度拐弯，拐弯半径为1 km，则质量为50 kg的乘客，在拐弯过程中所需向心力为( )
A．500 N B．1 000 N
C．500 N D．0
解析 360 km/h＝100m/s，乘客在列车转弯过程中所受的合外力提供向心力F＝m＝50× N＝500 N.
答案 A
9．如图所示，OO′为竖直转轴，MN为固 ( http: / / www.21cnjy.com )定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相等的金属小球A、B套在水平杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细绳，C端固定在OO′上，当线拉直时，A、B两球转动半径比值为2:1，当转轴角速度逐渐增大时( )
A．AC线先断 B．BC线先断
C．两绳同时断 D．不能确定哪个线先断
解析 两小球具有相同的角速度，线的拉力的水平分量提供小球做圆周运动的向心力，如图所示，则有
FTA·cosα＝mrAω2，
FTB·cosβ＝mrBω2，
＝＝.
因为AC>BC，所以FTA>FTB，故AC线先断．
答案 A
10．一根水平硬质杆以恒定角 ( http: / / www.21cnjy.com )速度ω绕竖直轴OO′转动，两个质量均为m的小球能够沿杆无摩擦运动，两球间以劲度系数为k的轻弹簧连接，弹簧原长为L0，靠近转轴的A球与轴之间也用同样弹簧与轴相连，如图所示，求每根弹簧的长度．
解析 设左右弹簧分别伸长x1与x2，则对A球有
kx1－kx2＝mω2L1，
对B球有kx2＝mω2(L1＋L2)，
又有L1＝L0＋x1，L2＝L0＋x2.
联立以上各式，解得L1＝，
L2＝.
答案 L1＝
L2＝
11．如图所示，有一绳长为L，上端固定在 ( http: / / www.21cnjy.com )滚轴A的轴上，下端挂一质量为m的物体，现滚轮和物体一起以速度v匀速向右运动，当滚轮碰到固定的挡板B，突然停止的瞬间，绳子的拉力为多大？
解析 当滚轮碰到固定挡板突然停止时，物体 ( http: / / www.21cnjy.com )m的速度仍为v，绳子对物体的拉力突然变化，与重力的合力提供物体做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得F－mg＝，解得F＝＋mg.
答案 ＋mg
12．如图所示，半径为R、内径很小的 ( http: / / www.21cnjy.com )光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3 mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75 mg.求A、B两球落地点间的距离．
解析 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作 ( http: / / www.21cnjy.com )用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对A球应用牛顿第二定律得3mg＋mg＝m
解得A球通过最高点C时的速度vA＝
对B球应用牛顿第二定律得mg－0.75 mg＝m
解得B球通过最高点C时的速度vB＝
两球做平抛运动的水平分位移分别为
sA＝vAt＝vA ＝4R
sB＝vBt＝vB ＝R
A、B两球落地点间的距离sA－sB＝3R
答案 3R
13．如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半 ( http: / / www.21cnjy.com )径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到圆盘转轴的距离分别为rA＝20 cm，rB＝30 cm.A、B与盘面的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求(g＝10 m/s2)：
(1)当细线开始出现张力时，圆盘的角速度；
(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度；
(3)当A即将滑动时，烧断细线，A、B所处的状态怎样？
解析 (1)由于rB>rA，当圆盘以角速 ( http: / / www.21cnjy.com )度ω转动时，物体B所需向心力大，当ω增大到一定值时，细线开始被拉紧产生张力，因此，由向心力公式kmg＝mωrB
ω1＝ ＝ rad/s＝3.65 rad/s
(2)当A开始滑动时，对B满足kmg＋F＝mωrB
对A满足kmg－F＝mωrA
联立得ω2＝ ＝ rad/s＝4 rad/s
(3)当A即将滑动时，将细线烧 ( http: / / www.21cnjy.com )断，F突然消失，对B来说kmgFAN，由此可知B将做离心运动，A仍随圆盘做匀速圆周运动．
答案 (1)3.65 rad/s
(2)4 rad/s
(3)见解析双基限时练(五) 圆周运动
1．做匀速圆周运动的物体，下列各物理量中不变的是( )
A．线速度 B．角速度
C．周期 D．转速
解析 圆周运动的物体线速度是矢量，其方向时 ( http: / / www.21cnjy.com )刻变化，故A选项错误；匀速圆周运动的角速度大小和方向都不变，周期和转速是标量，匀速圆周运动其值不变，故B、C、D选项正确．
答案 BCD
2．下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法正确的是( )
A．甲、乙两物体线速度相等，角速度一定也相等
B．甲、乙两物体角速度相等，线速度一定也相等
C．甲、乙两物体周期相等，角速度一定也相等
D．甲、乙两物体周期相等，线速度一定也相等
解析 由ω＝可知，周期相同，角速度一定也相等，故C选项正确．
答案 C
3.
如图所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
解析 a、b和c均是同一陀螺 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B对，C错．三点的运动半径关系ra＝rb>rc，据v＝ωr可知，三点的线速度关系va＝vb>vc，A、D错．
答案 B
4．地球自转一周为一昼夜时间( ( http: / / www.21cnjy.com )24 h)，新疆乌鲁木齐市处于较高纬度地区，而广州则处于低纬度地区，由于地球自转方向由西向东，每天早晨广州要比乌鲁木齐天亮得早，关于两地所在处物体具有的角速度和线速度相比较( )
A．乌鲁木齐处物体的角速度大，广州处物体的线速度大
B．乌鲁木齐处物体的线速度大，广州处物体的角速度大
C．两处物体的角速度、线速度都一样大
D．两处物体的角速度一样大，但广州物体的线速度比乌鲁木齐处物体线速度要大
解析 由于地球绕地轴由西向东自转，地 ( http: / / www.21cnjy.com )球上任何点都在随地球自转，具有相同的周期，根据ω＝可知，地球上不同区域的自转角速度相同，但由于纬度不同，不同区域的自转线速度大小不相等，纬度越低，自转的半径越大．由v＝ωr可知，广州的物体自转的线速度大于乌鲁木齐处物体的线速度，选项D正确．
答案 D
5．两个小球固定在一根长为L的杆的 ( http: / / www.21cnjy.com )两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示．当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离为( )
A.L B.L
C.L D.L
解析 两小球固定于同一杆的两端，绕同一轴转动，故角速度相同，因此，v1＝ωR1，v2＝ωR2，且R1＋R2＝L，联立
解得R2＝L.
答案 B
6．一质点做圆周运动，在时间t内转过n周．已知圆周半径为R，则该质点的线速度大小为( )
A. B.
C. D.
解析 质点做圆周运动的周期T＝，由公式v＝得v＝＝，故B选项正确．
答案 B
7．一小球沿半径为2 m的轨道做匀速圆周运动，若周期T＝πs，则( )
A．小球的线速率是4 m/s
B．经过s，小球的位移为π m
C．经过s，小球的位移为2 m
D．经过s，小球的位移大小为4 m
解析 根据v＝得v＝m/s＝4 m/s ( http: / / www.21cnjy.com )，故A选项正确；经过s即经周期，小球的位移为x＝r＝2 m，故C选项正确，B选项错误；同理经s小球经过半个圆周，其位移为2r＝4 m，故D选项正确．
答案 ACD
8．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮的角速度为( )
A. B. C. D.
解析 各轮边缘各点的线速度大小相等，则有ωr1＝ω′r3，所以ω′＝，故A正确．
答案 A
9．如图所示的装置中可测量子弹的飞 ( http: / / www.21cnjy.com )行速度，在一根轴上相隔s＝1 m处安装两个平行的薄圆盘，使轴带动两圆盘以n＝3 000 r/min匀速转动，飞行的子弹平行于轴沿一直线穿过两圆盘，即在盘上留下两个孔，现测得两小孔所在半径间的夹角为30°，子弹飞行速度大小可能是下列中的( )
A．500 m/s B．600 m/s
C．700 m/s D．800 m/s
解析 圆盘转速n＝3 000 r/mi ( http: / / www.21cnjy.com )n＝50 r/s，圆盘的角速度ω＝100 π rad/s，在子弹穿过圆盘时，两小孔所在半径间的夹角为30°，说明了子弹穿透两圆盘时，圆盘至少转过的角度θ＝·2π＝ rad，通式应为θ＝2nπ＋，故子弹穿过两圆盘所用时间t＝＝ s，由平抛运动的知识得，子弹的飞行速度为v0＝＝ m/s，当n＝0时，v0＝600 m/s，当n＝1时，v0＝46 m/s.
答案 B
10．机械手表的分针与秒针从重合至第二次重合，中间经历的时间为( )
A. min B．1 min
C. min D. min
解析 先求出分针与秒针的角速度：
ω分＝ rad/s，ω秒＝ rad/s.
设两次重合时间间隔为Δt，则有
φ分＝ω分Δt，φ秒＝ω 秒Δt，φ秒－φ分＝2π，
即Δt＝＝ min＝ min.
故选项C正确．
答案 C
11.
如图所示，电风扇在闪光灯下运转， ( http: / / www.21cnjy.com )闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角．当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是( )
A．600 r/min B．900 r/min
C．1 200 r/min D．3 000 r/min
解析 风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，说明在每相邻两次闪光的时间间隔T灯内，风扇转过的角度是120°的整数倍，
即圈的整数倍．T灯＝ s.
风扇的最小转速nmin＝＝10 r/s＝600 r/ min
故满足题意的可能转速n＝knmin( ( http: / / www.21cnjy.com )k＝1,2,3，…)．匀速圆周运动是一种周期性的运动，分析此类问题，关键是抓住周期性这一特点，得出可能的多解通式．
答案 ACD
12．如图所示，直径为d的 ( http: / / www.21cnjy.com )纸制圆筒以角速度ω绕垂直纸面的轴O匀速运动(图示为截面)．从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒．若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上留下a、b两个弹孔，已知aO与bO夹角为θ，求子弹的速度．
解析 设子弹速度为v，则子弹穿过筒的时间t＝.
此时间内圆筒转过的角度α＝π－θ.
据α＝ωt，得π－θ＝ω，
则子弹速度v＝ .
答案
13．如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )运动，半径为r，当Q球运动到与O在同一水平线上时，有另一小球P在圆面内距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点处相碰，Q球的角速度ω应满足什么条件？
解析 由自由落体运动的位移公式h＝gt2，可求得小球P自由下落至圆周最高点的时间t1＝ .①
设小球Q做匀速圆周运动的周期为T，则有T＝，②
由题意知，小球Q由图示位置至圆周最高点所用的时间
t2＝T(n＝0,1,2，…)．③
要使两球在圆周最高点相碰，需使t1＝t2，④
①②③④式联立，解得小球Q做匀速圆周运动的角速度
ω＝π(4n＋1) (n＝0,1,2，…)．
答案 ω＝π(4n＋1) (n＝0,1,2，…)
14.
一半径为R的雨伞绕柄以角速度ω匀速旋转，如图所示，伞边缘距地面高h，水平甩出的水滴在地面上形成一个圆，求此圆半径r为多少？
解析 雨滴离开伞边缘后沿切线方向水平抛出，特别注意不是沿半径方向飞出，其间距关系如图所示(俯视图)．
雨滴飞出的速度大小为v＝ωR，
雨滴做平抛运动在竖直方向上有h＝gt2，
在水平方向上有l＝vt
由几何关系知，雨滴半径r＝，
解以上几式得r＝R .
答案 R .双基限时练(七) 向心力
1．关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体受到向心力的作用才能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合外力，它是根据力的作用效果命名的
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某种力的分力
D．向心力只改变物体的运动方向，不可能改变物体运动的快慢
解析 向心力是根据力的作用效 ( http: / / www.21cnjy.com )果命名的，而不是一种性质力，物体之所以能做匀速圆周运动，不是因为物体多受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合外力始终指向圆心，从而只改变速度的方向而不改变速度的大小，故选项A错误，B、C、D三个选项正确．
答案 BCD
2．用长短不同、材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么( )
A．两小球以相同的线速度运动时，长绳易断
B．两小球以相同的角速度运动时，长绳易断
C．两小球以相同的角速度运动时，短绳易断
D．不管怎样，都是短绳易断
解析 绳子最大承受拉力相同，由向心力公式F＝mω2r＝可知，角速度相同，半径越大，向心力越大，故B选项正确．
答案 B
3．如图所示，在光滑的以角速度ω旋转的细杆上穿有质量分别为m和M的两球，两球用轻细线连接，若M>m，则( )
A．当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动
B．当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动
C．若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为2ω两球也不动
D．若两球相对于杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动
解析 由牛顿第三定律知，M、m间的作用力大小相等，即FM＝Fm.
所以有Mω2rM＝mω2rm，得rM?rm＝m?M.
所以A、B项不对，C项对(不动的条件与ω无关)；若相向滑动则绳子将不能提供向心力，D项对．
答案 CD
4.
如图所示，A、B两个小球质量相等，用一根轻 ( http: / / www.21cnjy.com )绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )
A．F1:F2＝2:3 B．F1:F2＝3:2
C．F1:F2＝5:3 D．F1:F2＝2:1
解析 小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动， ( http: / / www.21cnjy.com )设角速度为ω，在竖直方向上所受重力与桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦力，绳子的拉力提供向心力．由牛顿第二定律，对A球有F2＝mr2ω2，对B球有F1－F2＝mr1ω2，已知r2＝2r1，各式联立解得F1＝F2，故B对，A、C、D错．
答案 B
5．质量为m的A球在光滑水平面上做匀速圆 ( http: / / www.21cnjy.com )周运动，小球A用细线拉着，细线穿过板上光滑小孔O，下端系一相同质量的B球，如图所示，当平板上A球绕O点分别以ω和2ω角速度转动时，A球距O点距离之比是( )
A．1:2 B．1:4
C．4:1 D．2:1
解析 A球做圆周运动的向心力大小等于B球重力．由F＝mω2r向心力相同，得
＝＝＝.
答案 C
6．游客乘坐过山车，在圆弧轨 ( http: / / www.21cnjy.com )道最低点处获得向心加速度达20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置的座椅对游客的作用力相当于游客重力的( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
解析 游客乘坐过山车在圆弧轨道最低点的受力如图所示，
由牛顿第二定律得，
FN－mg＝man，
FN＝man＋mg＝3 mg，
故C选项正确．
答案 C
7.
一质量为m的物体，沿半径 ( http: / / www.21cnjy.com )为R的向下凹的圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为( )
A．μmg B.
C．μm D．μm
解析 在最低点由向心力公式FN－mg＝m，得FN＝mg＋m，又由摩擦力公式F＝μFN＝μm，C对．
答案 C
8．如图所示，光滑杆偏离竖直方向的夹角为α，杆以O为支点绕竖直线旋转，质量
为m的小球套在杆上可沿杆 ( http: / / www.21cnjy.com )滑动，当杆角速度为ω1时，小球旋转平面在A处，当杆角速度为ω2时，小球旋转平面在B处，设杆对小球的支持力在A、B处分别为FN1、FN2，则有( )
A．FN1＝FN2
B．FN1>FN2
C．ω1<ω2
D．ω1>ω2
解析 小球做圆周运动的向心力由小球重力和杆的弹力的合力提供，垂直轨迹平面方向的合力为零，即如图
FNsinα＝mg，
FNcosα＝mω2r，
解得mω2r＝mgcotα，ω＝ .
故FN1＝FN2，ω1>ω2，选项A、D正确．
答案 AD
9．如图所示，圆盘上叠放着两个物块A和B.当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )
A．A物块不受摩擦力作用
B．物块B受5个力作用
C．当转速增大时，A受摩擦力增大，B所受摩擦力也增大
D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴
解析 A物块做匀速圆周运动，一定需要向心力 ( http: / / www.21cnjy.com )，向心力只可能由B对A的静摩擦力提供，故A选项错误；B物体做匀速圆周运动，受到重力、圆盘的支持力、圆盘的静摩擦力，A对B物体的压力和静摩擦力，故B选项正确；当转速增大时，A、B所受向心力均增大，故C选项正确；A对B的静摩擦力背向圆心，故D选项错误．
答案 BC
10．甲、乙两名溜冰运动员，M甲＝80 k ( http: / / www.21cnjy.com )g，M乙＝40 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示，两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，下列判断中正确的是( )
A．两人的线速度相同，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，为6 rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
解析 甲、乙两人受到的向心力大小相等，绕两者连线上某一点做匀速圆周运动，其角速度相等，由
Fn＝mω2r可知m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙，
r甲＋r乙＝0.9 m.
解得r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m，故D选项正确；
ω＝ ＝ rad/s＝ rad/s，故B选项错误．
答案 D
11．如图所示，在匀速运动的水平 ( http: / / www.21cnjy.com )圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是( )
A．两物体沿切向方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
解析 当圆盘转动到两个物体刚好未发生滑动时 ( http: / / www.21cnjy.com )，设圆盘的角速度为ω，则A、B两物体随圆盘转动的角速度都为ω，由于rA>rB，根据Fn＝mω2r.可知，A物体的向心力FnA大于B物体做圆周运动的向心力FnB，且FnA＝f＋T，FnB＝f－T.其中T为绳的拉力，f为A、B物体受到圆盘的最大静摩擦力，当线烧断后，B物体受到静摩擦力随圆盘做匀速圆周运动，而A物体由于所受最大静摩擦力不是提供其椭圆转动的向心力，从而使其发生滑动，做离心运动，离圆盘圆心越来越远，故选项D正确．
答案 D
12．原长为L的轻弹簧一端固定一小铁块， ( http: / / www.21cnjy.com )另一端连接在竖直轴OO′上，弹簧的劲度系数为k，小铁块放在水平圆盘上，若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为5L/4，现将弹簧长度拉长到6L/5后，把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕其中心轴OO′以一定角速度匀速转动，如图所示，已知小铁块的质量为m，为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度ω最大不得超过多少？
解析 以小铁块为研究对象，圆盘静止时，设铁块受到的最大静摩擦力为fm，有fm＝kL/4.
圆盘转动的角速度ω最大时，铁块受到的摩擦力f与弹簧的拉力kx的合力提供向心力，由牛顿第二定律得kx＋fm＝m(6L/5)ω2.
又x＝L/5，
解以上三式得角速度的最大值ω＝.
答案
13．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L ( http: / / www.21cnjy.com )的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面，则此时绳的拉力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少多大？
解析 小球在锥面上受到拉力、支持力、重力的作用，如图所示．建立如图所示的平面直角坐标系．
对其受力进行正交分解．
在y轴方向，根据平衡条件，得
Fcosθ＋FNsinθ＝mg，
在x轴方向，根据牛顿第二定律，得
Fsinθ－FNcosθ＝mLω2sinθ，
解得F＝m(gcosθ＋Lω2sin2θ)．
要使球离开锥面，则
FN＝0，解得ω＝ .
答案 m(gcosθ＋Lω2sin2θ)
14．如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 ( http: / / www.21cnjy.com ) kg的小球．上面绳长l＝2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°.问球的角速度满足什么条件，两绳始终张紧？
解析 分析两绳始终张紧的制约条 ( http: / / www.21cnjy.com )件：当ω由零逐渐增大时可能出现两个临界值，其一是BC恰好拉直，但不受拉力；其二是AC仍然拉直，但不受拉力．设两种情况下的转动角速度分别为ω1和ω2，小球受力情况如图所示．
对第一种情况，有
可得ω1＝2.4 rad/s.
对第二种情况，有
可得ω2＝3.16 rad/s.
所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是：
2．4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.
答案 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s双基限时练(二) 平抛运动
1．关于平抛运动的说法正确的是( )
A．平抛运动是匀变速曲线运动
B．平抛物体在t时刻速度的方向与t时间内位移的方向相同
C．平抛物体在空中运动的时间随初速度增大而增大
D．若平抛物体运动的时间足够长，则速度方向将会竖直向下
解析 平抛运动的物体只受到重 ( http: / / www.21cnjy.com )力作用，所以做平抛运动的物体的加速度为重力加速度，所以平抛运动是加速度恒定的变速运动，即平抛运动是匀变速曲线运动，选项A正确；平抛运动物体，t时刻的速度方向为该时刻曲线的切线方向，t时刻的位移方向为从初始位置到t时刻所在位置连线的方向，两者是不同的，选项B错误；平抛运动的时间由竖直分运动的高度h＝gt2决定，即t＝ ，与平抛运动的水平初速度无关，选项C错误；平抛运动的速度为水平速度与竖直速度的合速度，所以平抛运动的速度不会是竖直向下，选项D错误．
答案 A
2．从离地面H高处投出A、B、C三个小球，使 ( http: / / www.21cnjy.com )A球自由下落，B球以速率v水平抛出，C球以速率2v水平抛出，设三个小球落地时间分别tA、tB、tC，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．tAtB>tC
C．tA解析 三个小球在竖直方向上都做自由落体运动，由h＝gt2得t＝ ，选项D正确．
答案 D
3．某同学对着墙壁打网球，假定球在墙面以2 ( http: / / www.21cnjy.com )5 m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m到15 m之间，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，球在墙面上反弹点的高度范围是( )
A．0.8 m至1.8 m B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m D．1.0 m至1.8 m
解析 由题意可知网球做平抛运动的初速度v0＝ ( http: / / www.21cnjy.com )25 m/s，水平位移在x1＝10 m至x2＝15 m之间，而水平位移x＝v0t＝v0，由此得h＝，代入数据得h1＝0.8 m，h2＝1.8 m，故A选项正确．
答案 A
4．物体在高处以初速度v0水平抛出，落地时速度大小为v，那么该物体在空中运动的时间为( )
A．(v－v0)/g B．(v＋v0)/g
C./g D./g
解析 把速度分解，有vy＝，又因为vy＝gt，可求得时间．
答案 C
5．初速度为v0的平抛物体，某时刻物体的水平分位移与竖直分位移大小相等，下列说法错误的是( )
A．该时刻物体的水平分速度与竖直分速度相等
B．该时刻物体的速度等于v0
C．物体运动的时间为
D．该时刻物体位移的大小等于
解析 设物体运动时间为t，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )题意可列方程v0t＝gt2，解得t＝，可知C项正确；物体的合位移大小s＝＝v0t＝ ，选项D正确；t＝时，其竖直分速度vy＝gt＝2v0，水平分速度vx＝v0，该时刻物体瞬时速度为v＝＝v0，可见选项A错误，B正确．
答案 A
6．人在距地面高h、离靶面距离L处，将质量为 ( http: / / www.21cnjy.com )m的飞镖以速度v0水平投出，落在靶心正下方，如图所示．只改变m、h、L、v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是( )
A．适当减小v0 B．适当提高h
C．适当减小m D．适当减小L
解析 适当提高h，可使飞镖 ( http: / / www.21cnjy.com )投中靶心，选项B正确；由Δh＝gt2，L＝v0t，联立得Δh＝(与飞镖的质量无关)，适当增大v0，或适当减小L，使飞镖在竖直方向下落的距离减小，也可以使飞镖投中靶心，选项A、C错而D对．
答案 BD
7．甲、乙两球位于同一竖直 ( http: / / www.21cnjy.com )直线上的不同位置，甲比乙高h，如图所示，将甲、乙两球分别以v1、v2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是( )
A．同时抛出，且v1B．甲迟抛出，且v1>v2
C．甲早抛出，且v1>v2
D．甲早抛出，且v1解析 两球在空中相遇，水平位移相等， ( http: / / www.21cnjy.com )即v甲t甲＝v乙t乙，但t甲>t乙，则需要v甲答案 D
8．如图所示，在同一竖直平面内，小球a、 ( http: / / www.21cnjy.com )b从高度不同的两点分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点，若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．ta>tb vatb va>vb
C．tavb
解析 平抛运动落到同一水平面上的时间由射出点的高度决定，故A选项正确．
答案 A
9．如图所示，在一次空地演习中，离 ( http: / / www.21cnjy.com )地H高处的飞机发射一颗炮弹，炮弹以水平速度v1飞出，欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹进行拦截，设飞机发射炮弹时与拦截系统的水平距离为s，若拦截成功．不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足( )
A．v1＝v2
B．v1＝v2
C．v1＝
D．v1＝v2
解析 当飞机发射的炮弹运动到拦截炮 ( http: / / www.21cnjy.com )弹正上方时，满足s＝v1t，h＝gt2，此过程中拦截炮弹满足H－h＝v2t－gt2，即H＝v2t＝v2·，则v1＝v2，故B选项正确．
答案 B
10.
如图所示，从一根内壁光滑的空 ( http: / / www.21cnjy.com )心竖直钢管A的上端边缘，沿直径方向向管内水平抛入一钢球，球与管壁多次相碰后落地(球与管壁相碰时间不计)．若换一根等高但较粗的内壁光滑的钢管B，用同样的方法抛入此钢球，则运动时间( )
A．在A管中的球运动时间长
B．在B管中的球运动时间长
C．在两管中的球运动时间一样长
D．无法确定
解析 小球被抛出后，做平抛运动， ( http: / / www.21cnjy.com )与管壁发生碰撞，但竖直方向仍然只受重力，做自由落体运动，小球的落地时间只取决于竖直高度，所以从同一高度水平抛出，小球在空中的运动时间不会改变.
答案 C
11．如图所示，相对的两个斜面，倾角 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为37°和53°，在顶点两个小球A、B以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两个小球运动时间之比为( )
A．1:1 B．4:3
C．16:9 D．9:16
解析 结合平抛运动知识，
A球满足tan 37°＝，
B球满足tan 53°＝，
所以t1:t2＝tan 37°:tan 53°＝9:16，故D选项正确．
答案 D
12．如图所示，飞机距地面高H＝50 ( http: / / www.21cnjy.com )0 m，水平飞行速度为v1＝100 m/s，追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距汽车水平距离多远处投弹？
解析 炸弹竖直方向的分运动为自由落体运动，
由h＝gt2
得炸弹下落时间t＝ ＝10 s
这段时间内，炸弹的水平分位移x1＝v1t＝1000 m
汽车的位移x2＝v2t＝200 m
故飞机应在距汽车的水平距离s＝x1－x2＝800 m时投弹．
答案 800 m
13.
光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一小物体从斜面上方左端顶点P水平射入，恰能从右下方端点Q离开斜面．试求其入射的初速度v0.
解析 利用分解的思路来解，物体从P到Q的时间为t，由平抛运动的规律可得物体沿斜面方向的运动a＝gsinθ·t2
水平方向上匀速直线运动，故
b＝v0t，可求得v0＝b .
答案 b
14．A、B两个小球由柔软的细线相 ( http: / / www.21cnjy.com )连，线长l＝6 m；将A、B球先后以相同的初速度v0＝4.5 m/s，从同一点水平抛出(先A后B)，相隔时间Δt＝0.8 s．(g取10 m/s2)
(1)A球抛出后经多少时间，细线刚好被拉直？
(2)细线刚被拉直时，A、B球的水平位移(相对于抛出点)各多大？
解析 (1)两球水平方向位移之差恒为4.5×0.8 m＝3.6 m，
AB竖直方向的位移差随时间变化，当竖直方向位移差与水平方向位移差的合位移差等于6 m时细线被拉直．
由水平方向位移差3.6 m，细线长6 m，可以求得竖直方向位移差为h时细线绷紧．
h＝ m＝4.8 m，
有gt2－g(t－0.8 s)2＝4.8 m，
得t＝1 s.
(2)细线刚被拉直时，
A球的水平位移为4.5×1 m＝4.5 m，
B球的水平位移为4.5×(1－0.8) m＝0.9 m.
答案 (1)1 s
(2)A球的水平位移为4.5 m，B球的水平位移为0.9 m双基限时练(三) 习题课(一)
1．在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则( )
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
解析 垒球做平抛运动，水平 ( http: / / www.21cnjy.com )方向：v水＝v0，s水＝v0t，水平位移由时间和初速度共同决定，C选项错误；竖直方向：v垂＝gt，h＝gt2，则t＝，时间由高度决定，所以D选项正确；垒球的速度为v＝，落地时的速度由初速度和竖直方向速度共同决定，A、B选项均错误．
答案 D
2．以初速度v0水平抛出的物体经时间t速度的大小为vt，则经过时间2 t，速度大小应是( )
A．v0＋2gt B．vt＋gt
C. D.
解析 做平抛运动的物体t时刻的速度为v＝，而vy＝gt，所以vt＝，v2t＝＝，D对．
答案 D
3．物体在平抛运动过程中，在相等的时间内，下列哪个量是相等的( )
A．速度的增量 B．加速度
C．位移 D．平均速率
解析 物体在平抛运动过程中，只受重力作用，据 ( http: / / www.21cnjy.com )牛顿第二定律可知，物体的加速度g保持不变，另外在相等的时间t内Δv＝gt也是恒量，故A、B正确；位移在相等的时间t内大小不等，方向不同，故C错；平均速率是路程与时间的比值，因运动轨迹是一个抛物线，在相等的时间t内路程也不同，D错．
答案 AB
4．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
A．tanφ＝sinθ B．tanφ＝cosθ
C．tanφ＝tanθ D．tanφ＝2tanθ
解析 物体从斜面顶端抛出落到斜面上，物体的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，
即tan θ＝＝＝ ①
落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tanφ＝＝ ②
由①②可得tan φ＝2tan θ，D正确．
答案 D
5．斜抛运动与平抛运动相比较，正确的是( )
A．斜抛运动是曲线运动，它的速度方向不断改变，不可能是匀变速运动
B．都是加速度逐渐增大的曲线运动
C．平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛运动是速度一直减小的运动
D．都是任意两段相等时间内的速度变化大小相等的运动
解析 斜抛运动和平抛运动都是只受重 ( http: / / www.21cnjy.com )力作用，加速度恒为g的匀变速曲线运动，A、B错；斜抛运动的速度是增大还是减小，要看速度与重力的夹角，成锐角，速度增大；成钝角，速度减小．斜下抛运动也是速度增大的运动，C错；由Δv＝gΔt知D对．
答案 D
6．农民在精选谷种时，常用一种叫“风车 ( http: / / www.21cnjy.com )”的农具进行分选．在同一风力作用下，谷种和瘪谷(空壳)谷粒都从洞口水平飞出，结果谷种和瘪谷落地点不同，自然分开，如图所示．对这一现象，下列分析正确的是( )
A．N处是谷种，M处是瘪谷
B．谷种质量大，惯性大，飞得远些
C．谷种飞出洞口时的速度比瘪谷飞出洞口时的速度小些
D．谷种和瘪谷在竖直方向做自由落体运动
解析 由于空气阻力的影响，谷种和瘪谷在竖直方 ( http: / / www.21cnjy.com )向都不是自由落体运动，瘪谷落地所用时间较长．瘪谷质量小，在同一风力作用下，从洞口水平飞出时的速度较大，因而瘪谷飞得远些．正确选项为C.
答案 C
7．质量为m的子弹在h＝10 m高处以 ( http: / / www.21cnjy.com )800 m/s的水平速度射出枪口，质量为M(已知M＞m)的物体也在同一地方同时以10 m/s的水平速度抛出(不计空气阻力)，则有( )
A．子弹和物体同时落地
B．子弹落地比物体迟
C．子弹水平飞行距离较长
D．无法确定
解析 决定一个平抛运动在空中运动总时间的因素是抛出时的竖直高度．做平抛运动的物体在水平方向通过的最大距离取决于物体的高度和初速度．
答案 AC
8. 如图所示，x轴在水平地面 ( http: / / www.21cnjy.com )内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
解析 平抛运动在竖直方向上的 ( http: / / www.21cnjy.com )分运动为自由落体运动，由h＝gt2可知，飞行时间由高度决定，hb＝hc>ha，故b与c的飞行时间相同，均大于a的飞行时间，A错，B对；由题图可知a、b的水平位移满足xa>xb，由于飞行时间tb>ta，根据x＝v0t得v0a>v0b，C错；同理可得v0b>v0c，D对．
答案 BD
9.
跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用依山势特别 ( http: / / www.21cnjy.com )建造的跳台进行的，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上取得高速后起跳，在空中飞行一段距离后着陆．这项运动极为壮观．设一位运动员由a点沿水平方向跃起，到b点着陆，如图所示，测得ab间距离L＝40 m，山坡倾角θ＝30°，计算运动员起跳的速度和他在空中飞行的时间．(不计空气阻力，g取10 m/s2)
解析 将运动员看作平抛运动的质点，依据平抛运动水平方向与竖直方向的位移规律列方程求解．
运动员做平抛运动，
易知水平位移x＝v0t＝Lcos30°，
故可解出运动员起跳的速度v0＝＝17.3 m/s.
其竖直分位移y＝gt2＝Lsin30°，
在空中飞行的时间t＝ ＝ ＝2 s
答案 17.3 m/s 2 s
10．如图所示为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5 cm.如果取g＝10 m/s2，那么：
(1)闪光频率是多少？
(2)小球运动中水平分速度的大小；
(3)小球经过B点时的速度大小．
解析 (1)A、B、C三点水平间隔相等，故相邻各点的时间间隔相等，设为T.
在竖直方向：Δh＝gT2，
即(5－3)×0.05 m＝gT2，
得T＝0.1 s，
则频率f＝10 Hz.
(2)水平方向分运动为匀速直线运动，
有3×0.05 m＝v0T，
解得v0＝1.5 m/s.
(3)竖直方向的分运动为自由落体运动，B点的竖直分速度vBy＝＝2 m/s，
又由vB＝，
解得vB＝2.5 m/s.
答案 (1)10 Hz (2)1.5 m/s (3)2.5 m/s
11．如图所示，排球场总长为18 m，网 ( http: / / www.21cnjy.com )高2.24 m，女排比赛时，某运动员进行了一次跳发球，若击球点恰在发球处底线上方3.04 m高处，击球后排球以25.0 m/s的速度水
平飞出，球初速度方向与底线垂直，试计算说明：(不计空气阻力，取g＝10 m/s2.)
(1)此球是否能过网？
(2)是否落在对方界内？
解析 (1)球以v0＝25.0 m/s的初速度做平抛运动，根据y＝gt2
下落高度y＝3.04 m－2.24 m＝0.8 m
所需时间t1＝ ＝0.4 s，
在此时间内水平位移为x1＝v0t＝10 m＞9 m，
所以能过网．
(2)球落在地上所需时间为t2＝ ＝ s＝0.780 s
发生的水平位移x2＝v0t2＝19.5 m＞18 m，
所以球不能落在界内．
答案 (1)能过网 (2)不能落在界内
12．如图所示，水平台面AB距 ( http: / / www.21cnjy.com )地面高度h＝0.80 m．有一滑块从A点以v0＝6.0 m/s的初速度在台面上做匀变速直线运动，滑块与水平台面间的动摩擦因数μ＝0.25.滑块运动到平台边缘的B点后水平飞出．已知AB＝2.2 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，结果保留两位有效数字．求：
(1)滑块从B点飞出时的速度大小；
(2)滑块落地点到平台边缘的水平距离．
解析 (1)设滑块从B点飞出时的速度大小为v，由牛顿第二定律和运动学方程分别得－μmg＝ma，
v2－v＝2ax，
解得v＝，
代入数据得v＝5.0 m/s.
(2)设滑块落地点到平台边缘的水平距离为x1，由平抛运动的规律得x1＝vt，
h＝gt2，
解得x1＝v ，
代入数据得x1＝2.0 m.
答案 (1)5.0 m/s (2)2.0 m双基限时练(六) 向心加速度
1．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为an，那么( )
A．小球运动的角速度ω＝
B．小球在时间t内通过的路程s＝t
C．小球做匀速圆周运动的周期T＝
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
解析 由an＝Rω2可得ω ( http: / / www.21cnjy.com )＝ ，A项正确；由an＝可得v＝，所以t时间内通过的路程s＝vt＝t，B项正确；由an＝Rω2＝·R，可知T＝2π，C项错误；位移由初位置指向末位置的有向线段来描述，对于做圆周运动的小球而言，位移大小即为圆周上两点间的距离，最大值为2R，D项正确．
答案 ABD
2．由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则有( )
A．它们的角速度之比ω1:ω2＝2:1
B．它们的线速度之比v1:v2＝2:1
C．它们的向心加速度之比a1:a2＝2:1
D．它们的向心加速度之比a1:a2＝4:1
解析 同在地球上，物体1和物体2的角速度必相 ( http: / / www.21cnjy.com )等，设物体1的轨道半径为R，则物体2的轨道半径为Rcos60°，所以，v1:v2＝ωR:ωRcos60°＝2:1，
a1:a2＝ω2R:ω2Rcos60°＝2:1.
答案 BC
3．一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s，则物体在运动过程的任意时刻，速度变化率大小为( )
A．2 m/s2 B．4 m/s2
C．0 D．4π m/s2
解析 做匀速圆周运动的物体的速度变化率大小即为向心加速度大小，an＝ωv＝v＝×4 m/s2＝4π m/s2，故D选项正确．
答案 D
4．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．由于an＝，所以线速度大的物体向心加速度大
B．由于an＝，所以旋转半径大的物体向心加速度小
C．由于an＝ω2r，所以角速度大的物体向心加速度大
D．以上结论都不正确
解析 对于an＝，只有半径一定的前提下， ( http: / / www.21cnjy.com )才能说线速度越大，向心加速度越大，选项A错误，同理选项B错误；对于an＝ω2r，只有半径一定的前提下，才能说角速度越大，向心加速度越大，故选项C错误．
答案 D
5．在图中，A、B为咬合传动的两齿轮，RA＝2RB，则A、B两轮边缘上两点的关系正确的是( )
A．角速度之比为2:1
B．向心加速度之比为1:2
C．周期之比为1:2
D．转速之比为2:1
解析 根据两轮边缘线速度大小相等．由v＝r ( http: / / www.21cnjy.com )ω、ω＝知角速度之比为1:2，A项错误；由an＝得向心加速度之比为1:2，B项正确；由T＝得周期之比为2:1，C项错误；由n＝，转速之比为1:2，故D项错误．
答案 B
6．如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向 ( http: / / www.21cnjy.com )心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知( )
A．质点P的线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
解析 由图线可知，对质点P，其向心加 ( http: / / www.21cnjy.com )速度an与半径r的乘积为常量，即anr＝常量＝·r＝v2，所以质点P的线速度大小不变，故A选项正确，B选项错误；质点Q的向心加速度跟r成正比，即an＝ω2r，所以质点Q做圆周运动的角速度不变，线速度随半径增大而增大，故C、D选项错误．
答案 A
7．如图所示，长为L的悬线固定在O点 ( http: / / www.21cnjy.com )，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A．线速度突然增大
B．角速度突然增大
C．向心加速度突然增大
D．以上说法均不对
解析 当小球运动到O点正下 ( http: / / www.21cnjy.com )方时，由于圆心由O点变成C点，小球做圆周运动的半径突然减小，而小球的线速度不能突变，即线速度不变，由v＝ωr，可知角速度会突然增大，故A选项错误，B选项正确；由an＝可知向心加速度突然增大，故C选项正确．
答案 BC
8．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3:4，在相同的时间里甲转过60圈时，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为( )
A．3:4 B．4:3
C．4:9 D．9:16
解析 根据an＝ω2r，ω＝，得＝，又因T甲＝，T乙＝，所以＝×＝，故B选项正确．
答案 B
9．质量相等的A、B两质点分别做匀速圆 ( http: / / www.21cnjy.com )周运动，若在相等的时间内通过的弧长之比为2:3，而转过的角度之比为3:2，则A、B两质点周期之比TA:TB＝__________，向心加速度之比aA:aB＝__________.
解析 t相等，故v＝∝s，vA:vB＝2:3，
又ω＝∝θ，ωA:ωB＝3:2.
由T＝∝，得TA:TB＝2:3，
由a＝vω，得aA:aB＝1:1.
答案 2:3 1:1
10．如图所示，摩擦轮A和B通过中介轮C进 ( http: / / www.21cnjy.com )行传动，A为主动轮，A的半径为20 cm，B的半径为10 cm，A、B两轮边缘上的点，角速度之比为__________；向心加速度之比为__________．
解析 由题知，A、B、C三轮边缘上的点的线速度相等．所以v＝rAωA＝rBωB，故＝＝，又a＝vω∝ω，所以＝.
答案 1:2 1:2
11.
如图所示，一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆形跑道行驶，当轿车从A运动到B时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°，求：
(1)此过程中轿车的位移大小；
(2)此过程中轿车通过的路程；
(3)轿车运动的向心加速度大小．
解析 由题中条件可知：v＝30 m/s，r＝60 m，θ＝90°＝.
(1)轿车的位移为从初位置A到末位置B的有向线段的长度x＝r＝×60 m≈85 m.
(2)路程等于弧长l＝rθ＝60× m≈94.2 m.
(3)向心加速度大小a＝＝ m/s2＝15 m/s2.
答案 (1)85 m (2)94.2 m (3)15 m/s2
12．飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可以看成 ( http: / / www.21cnjy.com )圆弧，如图所示，如果这段圆弧的半径r＝800 m，飞行员承受的加速度为8 g．飞机在最低点P的速率不得超过多少？(g＝10 m/s2)
解析 飞机在最低点做圆周运动，其向心加速度最大不得超过8 g才能保持飞行员安全，由an＝得v＝＝ m/s＝80 m/s.
答案 80 m/s
13．如图所示，质量为m的小球用长为l ( http: / / www.21cnjy.com )的悬绳固定于O点．在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比为多少？
解析 在悬绳碰到钉子的前后瞬间，速度不变，做圆周运动的半径从l变为l，则根据加速度公式an＝，an1＝，an2＝，＝.
答案 《曲线运动》章末检测
时间：90分钟 满分：100分
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项符合题目要求，有的有多个选项符合题目要求)
1．关于互成角度的两个初速度为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是( )
A．一定是直线运动
B．一定是曲线运动
C．可能是直线运动，也可能是曲线运动
D．以上都不对
解析 两个初速度为零的匀变速直线运动，即物体受到两个互成角度的恒力作用下，做初速度为零的匀加速直线运动，故A选项正确．
答案 A
2．一艘小船在静水中的速度为3 m/s，渡过一条宽150 m，水流速度为4 m/s的河流，则该小船( )
A．能到达正对岸
B．以最短时间渡河时，沿水流方向的位移大小为200 m
C．渡河的时间可能少于50 s
D．以最短位移渡河时，位移大小为150 m
解析 由于小船在静水中的速度3 m/s小 ( http: / / www.21cnjy.com )于水流的速度4 m/s，所以小船不能到达正对岸，选项A错误；当小船船头垂直河岸时，小船渡河的时间最短，t短＝＝s＝50 s，所以小船渡河的最短时间为50 s，而小船的合运动可分解为沿垂直河岸方向1.5v1＝3 m/s的匀速直线运动和沿河岸平行方向1.5v2＝4 m/s的匀速直线运动，则渡河后，小船的位移为＝250 m，故选项B错误，选项C正确；小船不能达到正对岸，则小船渡河后的位移必须大于150 m，故选项D错误．
答案 C
3．关于平抛运动，下列说法中正确的是( )
A．平抛运动是匀变速运动
B．做平抛运动的物体，在任何时间内，速度改变量的方向都是竖直向下的
C．平抛运动可以分解为水平的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D．平抛运动物体的落地速度和在空中运动时间只与抛出点离地面高度有关
解析 做平抛运动的物体只受重力作用，故加速 ( http: / / www.21cnjy.com )度恒定，是匀变速曲线运动，它可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动；因为Δv＝at，而a方向竖直向下，故Δv的方向也竖直向下；物体在空中的飞行时间只由高度决定，但落地速度应由高度与初速度共同来决定．
答案 ABC
4．如图所示为一种“滚轮—平盘无极变速器” ( http: / / www.21cnjy.com )的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴转速n1、从动轴转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是( )
A．n2＝n1 B．n2＝n1
C．n2＝n1 D．n2＝n1
解析 滚轮因与平盘有摩擦的作用而转动，并且认为不打滑，所以滚轮边缘的线速度与平盘上x处的线速度相等，即n1x＝n2r，所以选项A正确．
答案 A
5．如图所示，可视为质点的质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管内做圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．小球能够通过最高点的最小速度为0
B．小球能通过最高点的最小速度为
C．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道有向上的作用力
D．如果小球在最低点时的速度大小为，则小球通过该点时与管道间无相互作用力
解析 小球在管内做圆周运动 ( http: / / www.21cnjy.com )，在最高点小球受到合外力可以为零，故通过最高点的最小速度为0，选项A正确，选项B错误；在最高点速度为2，则有，FN＋mg＝，解得FN＝3mg，即管道的外轨道对小球有向内的作用力为3mg，由牛顿第三定律可知，小球对管道有向外，即向上的作用力，选项C正确；小球在最低点速度为时，小球受到管道向上的作用力，大小为F′N＝2mg，故选项D错误．
答案 AC
6．如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为a方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向为b方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向为c方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向为d方向
解析 圆周运动，沿半径方向一定受力；匀 ( http: / / www.21cnjy.com )速圆周运动，切向方向不受力；变速圆周运动，切向方向一定受力，加速沿a方向，减速沿a反方向．摩擦力即为两个方向的合力．由此可判断B、D正确．
答案 BD
7．平抛物体的初速度为v0，当水平方向分位移与竖直方向分位移相等时( )
A．运动的时间t＝
B．瞬时速率vt＝v0
C．水平分速度与竖直分速度大小相等
D．位移大小等于2v/g
解析 平抛运动可分解为水平匀速运动 ( http: / / www.21cnjy.com )和竖直的自由落体运动，当竖直位移和水平位移大小相等时，即v0t＝gt2，得t＝，故A选项正确；物体的竖直分速度vy＝gt＝2v0，则此时物体的速度vt＝＝v0，故B选项正确，C选项错误；物体的位移l＝＝＝，故D选项正确．
答案 ABD
8.
质量为m的物体随水平传送带一起匀速 ( http: / / www.21cnjy.com )运动，A为传送带的终端皮带轮．如图所示，皮带轮半径为r，要使物体通过终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为( )
A. B.
C. D.
解析 要使物体通过终端时能水平抛出，则有mg＝，皮带转动的线速度至少为，故C选项正确．
答案 C
9.
两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动．则它们的( )
A．运动周期相同
B．运动的线速度相同
C．运动的角速度相同
D．向心加速度相同
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ，水平面距悬 ( http: / / www.21cnjy.com )点的高度为h，细线的拉力与重力的合力提供向心力，则mgtanθ＝m2htanθ，解得T＝2π，由此可知T与细线长无关，A、C正确，B、D错误．
答案 AC
10．如图所示，一质点从倾角为θ的斜面顶点以水平速度v0抛出，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．质点自抛出后，经时间离斜面最远
B．质点抛出后，当离斜面最远时速度大小为
C．质点抛出后，当离斜面最远时速度大小为
D．质点抛出后，经时间离斜面最远
解析 质点做平抛运动过程中，当速度与斜面平行时离斜面最远，如图所示，则vy＝v0tanθ＝gt
可得t＝，故A选项正确；其合速度v＝，故C选项正确．
答案 AC
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、实验题(本题共2小题，共18分)
11．(10分)如图甲所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm.图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点．
甲
乙
(1)请在图乙中画出蜡块4 s内的轨迹；
(2)玻璃管向右平移的加速度a＝________；
(3)t＝2 s时蜡块的速度v2＝________.
解析 (1)如图
(2)因为Δx＝aT2，
所以a＝＝ m/s2＝5×10－2 m/s2.
(3)vy＝＝ m/s＝0.1 m/s，
vx＝at＝5×10－2×2 m/s＝0.1 m/s，
v2＝＝ m/s＝0.14 m/s.
答案 (1)见解析图
(2)5×10－2 m/s2
(3)0.14 m/s
12．(8分)一个有一定 ( http: / / www.21cnjy.com )厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动．用下面的方法测量它匀速转动时的角速度．实验器材：电磁打点计时器(50 Hz)、米尺、纸带、复写纸片．
甲
实验步骤：①如图甲所示，将电磁打点计时 ( http: / / www.21cnjy.com )器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔后，固定在待测圆盘的侧面上，使得圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上；②启动控制装置使圆盘转动，同时接通电源，打点计时器开始打点；③经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带，进行测量．
(1)由已知量和测得量表示的角速度的表 ( http: / / www.21cnjy.com )达式为ω＝________，式中各量的意义是_____________________________________.
(2)某次实验测得圆盘半径r＝5.50×10－2 m，得到的纸带的一段如图乙所示，求得角速度为________．(保留两位有效数字)
乙
解析 (1)圆盘匀速转动，纸带匀速运动，有
x2－x1＝vt，
t＝(n－1)T，v＝ωr，
由以上三式得ω＝ .T为打点计时 ( http: / / www.21cnjy.com )器打点的时间间隔，r为圆盘半径，x1、x2是纸带选定的两点分别对应米尺上的刻度值，n为选定的两点间的打点数(含两点)．
(2)取x1和x2对应米尺上的刻度值分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为x1＝0和x2＝10.5×10－2 m，数得打点数n＝15个，T＝0.02 s，r＝5.50×10－2 m，代入公式得ω＝6.8 rad/s.
答案 (1) T为打点计时器打点的 ( http: / / www.21cnjy.com )时间间隔，r为圆盘半径，x1，x2是纸带选定的两点分别对应米尺上的刻度值，n为选定的两点间的打点数(含两点)
(2)6.8 rad/s
三、解答题(本题共4小题，共42分．解 ( http: / / www.21cnjy.com )答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
13．(8分)如图所示飞机以恒 ( http: / / www.21cnjy.com )定的水平速度飞行，距地面高度2000 m，在飞行过程中释放一炸弹，经30 s飞行员听到了炸弹着地后的爆炸声．设炸弹着地立即爆炸，不计空气阻力，声速为320 m/s，求飞机的飞行速度v0.(g取10m/s2)
解析 炸弹离开飞机后做平抛运动，初速度即飞机的飞行速度，如图所示．
设炸弹落地时间为t1，则声音传到飞行员的时间t2＝t－t1.
由平抛知识得t1＝ ＝ s＝20 s，
由运动的等时性知，炸弹落地时，飞机运动到落地点的正上方B点，
故＝v0t2＝v0(t－t1)＝10v0，
＝v(t－t1)＝320×(30－20) m＝3 200 m.
由几何关系()2＝()2＋h2，得3 2002＝(10v0)2＋2 0002，
解得v0≈250 m/s.
答案 250 m/s
14．(8分)如图所示，质量m＝1 k ( http: / / www.21cnjy.com )g的小球用细线拴住，线长l＝0.5 m，细线所受的拉力达到F＝18 N时就会被拉断．当小球从图示位置释放后摆到悬点的正下方时，细线恰好被拉断．若此时小球距水平地面的高度h＝5 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球落地处到地面上P点的距离．(P点在悬点的正下方)
解析 由向心力公式F－mg＝m得v＝2 m/s，
又由平抛运动的知识
x＝v0 ＝2 m.
答案 2 m
15.
(13分)如图所示，有一水平放置的圆盘，上 ( http: / / www.21cnjy.com )面放有一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的一端固定于轴O点，另一端拴一质量为m的物体，物体与盘面间最大静摩擦力为其重力的μ倍，开始时弹簧处于自然长度，长为R，求：
(1)盘的转速n0多大时，物体开始滑动？
(2)当转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多大？(结果用μ、m、R、k、g表示)
解析 (1)当圆盘开始转动时，物体所需向心力较小，当未滑动时，由静摩擦力提供向心力，
设最大静摩擦力对应的最大角速度为ω0，
则μmg＝mRω，
又ω0＝2πn0，
所以物体开始滑动时的转速n0＝ .
(2)转速增大到2n0时，由最大静摩擦力和弹力的合力提供向心力，
由牛顿第二定律有：μmg＋kΔx＝mω2r，
此时r＝R＋Δx，ω＝4πn0，
由以上各式解得Δx＝.
答案 (1) (2)
16．(13分)如图所示，一 ( http: / / www.21cnjy.com )根长0.1 m的细线，一端系着一个质量为0.18 kg的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，当小球的转速增加到原转速3倍时，测得线拉力比原来大40 N，此时线突然断裂．求：
(1)线断裂的瞬间，线的拉力；
(2)线断裂时小球运动的线速度；
(3)如果桌面高出地面0.8 m，线断后小球飞出去落在离桌面的水平距离为多少的地方？(g取10m/s2)
解析 (1)小球在光滑桌面上做匀速圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )运动时受三个力作用，重力mg、桌面弹力FN和线的拉力F.重力mg和弹力FN平衡．线的拉力提供向心力，F向＝F＝mω2R.
设原来的角速度为ω0，线的拉力是F0，加快后的角速度为ω，线断时的拉力是F.
则F?F0＝ω2?ω＝9?1.
由题意知F＝F0＋40 N，
解得F0＝5 N，F＝45 N.
(2)设线断时小球的线速度为v，
由F＝
得v＝ ＝ m/s＝5 m/s.
(3)由平抛运动规律得小球在空中运动的时间
t＝ ＝ s＝0.4 s.
小球落地处离开桌面的水平距离s＝vt＝5×0.4 m＝2 m.
答案 (1)45 N (2)5 m/s (3)2 m
