2022-2023学年广西示范性高中高二（下）调研数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西示范性高中高二（下）调研数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知实数集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设复数，则( )
A. B. C. D.
3. 已知平面向量，，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4. 某中学举行全区教研活动，有名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班至少人，每人每天值一班，则教研活动当天不同的排班种数为( )
A. B. C. D.
5. 某田地生长的小麦的株高服从正态分布，则( )
附：若随机变量服从正态分布，则，，
A. B. C. D.
6. 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆若对任意实数，直线：与圆恒有公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 乙同学体温的极差为 B. 甲同学体温的中位数与平均数相等
C. 乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小 D. 甲同学体温的第百分位数为
10. 在空间直角坐标系中，，，，则( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离是
11. 已知，则实数，满足( )
A. B. C. D.
12. 已知抛物线的焦点为点，准线与对称轴的交点为，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为，则下列结论正确的是( )
A. 当，点到准线的最小距离为
B. 当时，直线的斜率最小值为
C. 当直线过点时，斜率
D. 当直线过点时，
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在的二项展开式中，含有项的系数为______结果用数值表示．
14. 有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起；已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，现任取一个零件，则该零件是次品的概率为______ ．
15. 已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为______ ．
16. 设函数在上恰有个零点，且的图象在上恰有个最高点，则的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
内角，，的对边分别为，，已知．
求角；
求的取值范围．
18. 本小题分
一个医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯卫生习惯分为良好和不够良好两类的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了例称为病例组，同时在未患该疾病的人群中随机调查了人称为对照组，得到如表数据：
不够良好 良好
病例组
对照组
再调查病例组例的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
依据小概率值的独立性检验，能否据此推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
已知该地方这种疾病的患者的患病率为，该地方年龄位于区间的人口占该地方总人口的从该地方中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率．
附：
19. 本小题分
已知等比数列的公比，且，，成等差数列，数列前项和为，且．
分别求出数列和的通项公式；
设，其中数列前项和为，求．
20. 本小题分
图是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图．
证明：图中的，，，四点共面，且平面平面；
求图中与平面所成角的正弦值．
21. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，直线：，动点到点的距离与直线的距离之比为．
求动点的轨迹的方程；
设曲线与轴交于、两点，过轴上点作一直线与椭圆交于，两点异于，，若直线与的交点为，记直线与的斜率分别为，，求．
22. 本小题分
已知函数，且．
讨论的值，求函数的单调区间；
求证：当时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：解不等式，得，即有，
由，得，
所以．
故选：．
解一元二次不等式化简集合，再利用交集的定义求解作答．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：复数，
，
故选：．
复数，利用两个复数代数形式的除法法则化简为，从而得到它的共轭复数．
本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为平面向量，，满足，，且，
所以，
所以．
故选：．
通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案．
本题考查向量数量积运算，利用公式与定义运算即可，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：人分成三组，每组至少人，故可分为人，人，人三组，共有种，
再把三组人员安排到早中晚三班，共有种，
由分步乘法计数原理可得共有种．
故选：．
首先对人分成，，三组，再分早中晚三班排列即可得解．
本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题知，，，
所以
．
故选：．
根据正态分布的对称性及所提供数据运算即可．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设点，，，
所以动点的轨迹为阿氏圆：，
又直线：恒过点，
若对任意实数直线：与圆恒有公共点，
在圆的内部或圆上，所以，
所以，解得，
即的取值范围为．
故选：．
设点，求出动点的轨迹圆的方程，再求出直线过定点坐标，依题意点在圆的内部，即可得到不等式，解得即可．
本题考查轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：在中，，，，则，
设外接圆半径为，则，即，令外接圆圆心为，
三棱锥外接球球心为，半径为，有平面，
由平面，得，又，取中点，于是四边形为矩形，
则球心到平面的距离，
因此，所以三棱锥外接球的表面积．
故选：．
利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求解作答．
本题考查求空间几何体外接球的表面积，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：依题可知，在上恒成立，
所以，且，
设，，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，即，
所以的最小值为．
故选：．
根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由乙同学体温折线图知体温的极差为，A错误；
甲同学的体温由低到高为：，，，，，，，
因此中位数为，平均数为，B正确；
乙同学体温的平均数为，与甲同学体温的平均数相同，
甲同学体温的极差为，大于乙同学体温的极差，因此乙同学的体温比甲同学的稳定，
所以乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小，C正确；
由及选项B知，甲同学体温的第百分位数为，D错误．
故选：．
根据给定的折线图，利用极差、中位数、平均数、方差、第百分位数的意义逐项计算判断作答．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：依题意，，，A正确；
显然，B正确；
因为，则异面直线与所成角的余弦值为，C错误；
因为，，所以点到直线的距离是，D正确．
故选：．
利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断；利用异面直线夹角的向量求法判断；利用空间向量求出点到直线距离判断作答．
本题考查空间向量的数量积和模的大小，以及异面直线所成角、点到直线的距离的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，因为，所以，所以，所以A正确；
对于，由，得，，所以，所以C错误；
对于，因为，所以，得，所以D正确；
对于，因为，所以，所以B错误．
故选：．
对于，根据对数函数的性质分析判断，对于，由已知可得，，从而可得，对于，利用基本不等式判断，对于，由，得分析判断．
本题主要考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，作，，，连接，，其中为准线，如图，
由抛物线定义知，，即，
当且仅当在上，且轴时取等号，此时直线的斜率为，与矛盾，A错误；
对于，设：，由消去并整理得，
当时，设，，则，即，
，因此，而，即，
于是，即，解得或舍去，
此时，满足题意，又，
因此直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，B错误；
对于，直线过点时，直线的方程为，
由消去并整理可得，设，，
则，解得，C正确；
因此，即，D正确．
故选：．
根据给定条件结合抛物线定义判断；
设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、数量积的坐标表示结合均值不等式判断；
设出直线的方程，与抛物线方程联立，由判别式及中点坐标公式判断作答．
本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了运算能力、转化思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式系数的性质，本题解题的关键是写出展开式的通项公式，这是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题．
利用二项展开式的通项公式写出第项，令的指数为得到的值，代入通项求出含项的系数，得到结果．
【解答】
解：写出二项式的通项，
通项，
令得项的系数是．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：由全概率公式可得，任取一个零件，则该零件是次品的概率为
．
故答案为：．
根据条件，结合全概率公式求解即可．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设正项等比数列的公比为，当时，，则，
当时，，
，
于是，
所以当时，取得最小值．
故答案为：．
按公比是否为分类讨论，在时，用表示出，，再列式并借助二次函数最值求解作答．
本题主要考查了等比数列的求和公式及性质的应用，考查了数学运算的核心素养，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，所以，
而函数在上恰有个零点，且的图象在上恰有个最高点，
因此，即，
当时，不符合题意，
当时，不等式组为，不等式组无解，
当时，不等式组为，解得，
当时，不等式组无解，
所以的取值范围是．
故答案为：．
结合三角函数的图象性质，找出到满足条件的所在的区间，解不等式组即可作答．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
17.【答案】解：，
在中，由正弦定理得，
又，
则，即，
，
又，则，
，
；
由得，则，
则
，
，
，即，
，
故的取值范围是．
【解析】利用正弦定理边化角得，再结合和角的正弦公式求解，即可得出答案；
由得，利用二倍角的余弦公式、差角的余弦公式、辅助角公式化简，再利用正弦型函数的性质求解，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：设零假设：患该病群体和卫生习惯没有差异；
由数据表得，
又，，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以认为患该疾病群体与末患该疾病群体的卫生习惯有差异；
设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间为事件，此人患这种疾病为事件，
于是，，
所以所求概率为．
【解析】根据给定数表，求出的观测值，再结合临界值表判断作答；
利用条件概率公式计算作答．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了条件概率公式，属于基础题．
19.【答案】解：依题意，由，，成等差数列，
可得，
，，
化简整理，得，
解得舍去，或，
，，
又由，可得当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
，．
由可得，
，
则，
，
两式相减，
可得
，
．
【解析】根据题干已知条件，等差中项的性质并结合等比数列的通项公式列出关于公比的方程，求出公比的值，即可求出数列的通项公式，再根据前项和公式即可求出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再利用错位相减法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列的通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】解：依题意，，，则，即，确定一个平面，
所以，，，四点共面；
显然，，，，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面．
在平面内作，垂足为，而平面平面，
于是平面，由菱形的边长为，，得，
以为原点，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则，，
设平面的法向量，则，取，得，
又，设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值．
【解析】根据给定条件，证明即可得四点共面；再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答．
在平面内作，垂足为，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答．
本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．
21.【答案】解：设，依题意，，整理得，
动点的轨迹是椭圆，其方程为．
由知，不妨令，，设，，，
显然直线不垂直于轴，设直线的方程：，
联立，得，
由，即，
，即有，
由，，和，，三点共线，
得，即，
而，，从而，
因此，解得，而，
．
【解析】设，根据给定条件列出方程，化简即可得答案；
设出直线的方程，与轨迹的方程联立，利用韦达定理、斜率坐标公式推理计算即可．
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：已知，且，函数定义域为，
可得，
若，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
若，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
证明：令，函数，
此时，
由知函数在上单调递减，
所以，当且仅当时等号成立，
则，
即，
当时，，
即，
所以，
令，
此时，
所以
，
故当时，．
【解析】由题意，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可；
将代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，此时，通过放缩可得，结合裂项相消法进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力．
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