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人教A版选择性必修第三册7.1.1 条件概率 第七章 随机变量及其分布
一、基础达标
1．下面几种概率是条件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 ，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由条件概率的定义知B为条件概率．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结拜条件概率的定义，进而找出是条件概率的选项。
2．已知P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(AB)＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】P(AB)＝P(B|A)P(A)＝ 。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出P(AB)的值。
3．在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有2个红球，8个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】方法一：依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有8个黄球，
而坛子中此时共有9个球，故再取一球为黄球的概率为 。
方法二：设“取出的第一个球为红色”为事件A，“取出的第二个球为黄色”为事件B，
则P(A)＝ ，
P(AB)＝ ，
所以P(B|A) 。
故答案为：A
【分析】方法一：利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出已知第一个球为红色的情况下第二个球为；方法二：利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率。
4．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩， 记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件B：甲和乙选择的景点不同．则条件概率P(B|A)＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】甲和乙至少一人选择庐山对应的样本点有4×4－3×3＝7(个)，因为甲和乙选择的景点不同对应的样本点有 × ＝6(个)，所以P(B|A)＝ 。
【分析】利用已知条件结合组合数公式以及条件概型求概率公式，进而得出 P(B|A) 的值。
5．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻方(n≥3，n∈N*)是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和(简称幻和)相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B，则P(B|A)＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】根据题意，事件A包括的样本点有(8，1，6)，(3，5，7)，(4，9，2)，(8，3，4)，(1，5，9)，(6，7，2)，(8，5，2)，(4，5，6)，共8个；事件AB同时发生包含的样本点有(3，5，7)，(1，5，9)，(8，5，2)，(4，5，6)，共4个，所以P(B|A)＝ 。
【分析】利用已知条件结合列举法合条件概型求概率公式，进而得出P(B|A)的值。
6．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，则有（ ）
A．P(A)＝
B．P(B)＝
C．P(AB)＝
D．当已知蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为
【答案】A,B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设x为掷红色骰子得的点数，y为掷蓝色骰子得的点数，则样本点(x，y)所有可能的结果如图，
显然： 或
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式、对立事件乘法求概率公式、条件概型求概率公式，进而找出正确的选项。
7．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为 ．
【答案】0.72
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”，
因为P(A)＝1－P( )＝96%，P(B|A)＝75%，
且事件B发生时事件A一定发生，
所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72。
答案：0.72。
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式合条件概型求概率公式，进而得出在该厂的产品中任取一件是一等品的概率。
8．从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张．已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率是 ．
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设“第1次抽到A”为事件A，“第2次也抽到A”为事件B，则AB表示两次
都抽到 ， 所以 。
答案： 。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率 。
9．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率．
【答案】解：方法一(定义法)：设Ai＝{第i只是好的}(i＝1，2)．
因为 ，
所以 .
方法二(直接法)：因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【分析】方法一：利用已知条件结合定义法，再结合条件概型求概率公式，进而得出第一只是好的，则第二只也是好的的概率。方法二：利用已知条件结合直接法，再结合条件概型求概率公式，进而得出第一只是好的，则第二只也是好的的概率。
二、能力提升
10．已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用A表示“第一次取到不合格消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则P(B|A)＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】用A表示“第一次取到不合格消毒液”，易知n(A)＝ ＝10，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，所以n(AB)＝ ＝2，故P(B|A) =。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合条件概型求概率公式，进而得出P(B|A)的值。
11．分别用集合M＝{2，4，5，6，7，8，11，12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是 ．
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B.则n(A)＝7，n(AB)＝4，所以P(B|A)＝ 。
答案： 。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出P(B|A)的值。
12．盒子中有20个外形相同的球，其中10个白球、6个黄球、4个黑球．
（1）从中任取1个球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为 ；
（2）从中任取2个球，已知其中有一个黑球，则另一个也是黑球的概率为 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】(1)设事件A表示“取出的球不是白球”，事件B表示“取出的球是黑球”，则 。
(2)设事件C表示“取出的2个球中至少有一个是黑球”，事件D表示“取出的2个球
都是，黑球”.则 ， 所以 。
答案： (1) 。
【分析】（1）利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出它不是白球，则它是黑球的概率。
（2）利用已知条件结合组合数公式合古典概型求概率公式，再结合条件概型求概率公式，进而得出 其中有一个黑球，则另一个也是黑球的概率 。
13．已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同．
（1）先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率；
（2）从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率．
【答案】（1）解：设事件Ai表示第i次摸到的是黑球(i＝1，2，3)，则事件A1A2表示两次摸到的均为黑球．
由题意知 .
于是， 根据乘法公式， 有 .
所以先后两次从中不放回地各摸出一球， 两次摸到的均为黑球的概率为 .
（2）解：设事件 表示第三次才摸到黑球，则 . 由题意知
. 于是， 根据乘法公式， 有
所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为 .
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出两次摸到的均为黑球的概率。
（2）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和条件概型求概率公式，进而得出第三次才摸到黑球的概率。
三、拓展探究
14．三行三列的方阵有9个数aij(i＝1，2，3，j＝1，2，3)，从中任取三个数，已知在取到a22的条件下，则至少有两个数位于同行或同列的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件A＝{任取的三个数中有a22}，事件B＝{三个数中至少有两个数位于同
行或同列 ， 则 三个数互不同行且不同列 ， 依题意得 ， 故 ， 则 ，
即已知在取到 的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为 。
答案： 。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出在取到 的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率。
15．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题，并且已知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.
【答案】解：设“该考生6道题全答对”为事件A，“该考生恰好答对了5道题”为事件B，“该考生恰好答对了4道题”为事件C，“该考生在这次考试中通过”为事件D，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E，则D＝A∪B∪C，E＝A∪B，且A，B，C两两互斥，由古典概型的概率公式知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
，
又 ，
所以 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式，再结合互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，进而得出某考生获得优秀成绩的概率。
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人教A版选择性必修第三册7.1.1 条件概率 第七章 随机变量及其分布
一、基础达标
1．下面几种概率是条件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 ，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
2．已知P(B|A)＝ ，P(A)＝ ，则P(AB)＝（ ）
A． B． C． D．
3．在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有2个红球，8个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩， 记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件B：甲和乙选择的景点不同．则条件概率P(B|A)＝（ ）
A． B． C． D．
5．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻方(n≥3，n∈N*)是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和(简称幻和)相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B，则P(B|A)＝（ ）
A． B． C． D．
6．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，则有（ ）
A．P(A)＝
B．P(B)＝
C．P(AB)＝
D．当已知蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为
7．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为 ．
8．从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张．已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率是 ．
9．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率．
二、能力提升
10．已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用A表示“第一次取到不合格消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，则P(B|A)＝（ ）
A． B． C． D．
11．分别用集合M＝{2，4，5，6，7，8，11，12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是 ．
12．盒子中有20个外形相同的球，其中10个白球、6个黄球、4个黑球．
（1）从中任取1个球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为 ；
（2）从中任取2个球，已知其中有一个黑球，则另一个也是黑球的概率为 ．
13．已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同．
（1）先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率；
（2）从中不放回地摸球，每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率．
三、拓展探究
14．三行三列的方阵有9个数aij(i＝1，2，3，j＝1，2，3)，从中任取三个数，已知在取到a22的条件下，则至少有两个数位于同行或同列的概率为 ．
15．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若能答对其中的5道题就能获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题，并且已知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由条件概率的定义知B为条件概率．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结拜条件概率的定义，进而找出是条件概率的选项。
2．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】P(AB)＝P(B|A)P(A)＝ 。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出P(AB)的值。
3．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】方法一：依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有8个黄球，
而坛子中此时共有9个球，故再取一球为黄球的概率为 。
方法二：设“取出的第一个球为红色”为事件A，“取出的第二个球为黄色”为事件B，
则P(A)＝ ，
P(AB)＝ ，
所以P(B|A) 。
故答案为：A
【分析】方法一：利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出已知第一个球为红色的情况下第二个球为；方法二：利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率。
4．【答案】D
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】甲和乙至少一人选择庐山对应的样本点有4×4－3×3＝7(个)，因为甲和乙选择的景点不同对应的样本点有 × ＝6(个)，所以P(B|A)＝ 。
【分析】利用已知条件结合组合数公式以及条件概型求概率公式，进而得出 P(B|A) 的值。
5．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】根据题意，事件A包括的样本点有(8，1，6)，(3，5，7)，(4，9，2)，(8，3，4)，(1，5，9)，(6，7，2)，(8，5，2)，(4，5，6)，共8个；事件AB同时发生包含的样本点有(3，5，7)，(1，5，9)，(8，5，2)，(4，5，6)，共4个，所以P(B|A)＝ 。
【分析】利用已知条件结合列举法合条件概型求概率公式，进而得出P(B|A)的值。
6．【答案】A,B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设x为掷红色骰子得的点数，y为掷蓝色骰子得的点数，则样本点(x，y)所有可能的结果如图，
显然： 或
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式、对立事件乘法求概率公式、条件概型求概率公式，进而找出正确的选项。
7．【答案】0.72
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”，
因为P(A)＝1－P( )＝96%，P(B|A)＝75%，
且事件B发生时事件A一定发生，
所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72。
答案：0.72。
【分析】利用已知条件结合对立事件求概率公式合条件概型求概率公式，进而得出在该厂的产品中任取一件是一等品的概率。
8．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设“第1次抽到A”为事件A，“第2次也抽到A”为事件B，则AB表示两次
都抽到 ， 所以 。
答案： 。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率 。
9．【答案】解：方法一(定义法)：设Ai＝{第i只是好的}(i＝1，2)．
因为 ，
所以 .
方法二(直接法)：因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【分析】方法一：利用已知条件结合定义法，再结合条件概型求概率公式，进而得出第一只是好的，则第二只也是好的的概率。方法二：利用已知条件结合直接法，再结合条件概型求概率公式，进而得出第一只是好的，则第二只也是好的的概率。
10．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】用A表示“第一次取到不合格消毒液”，易知n(A)＝ ＝10，用B表示“第二次仍取到不合格消毒液”，所以n(AB)＝ ＝2，故P(B|A) =。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合条件概型求概率公式，进而得出P(B|A)的值。
11．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B.则n(A)＝7，n(AB)＝4，所以P(B|A)＝ 。
答案： 。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出P(B|A)的值。
12．【答案】（1）
（2）
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】(1)设事件A表示“取出的球不是白球”，事件B表示“取出的球是黑球”，则 。
(2)设事件C表示“取出的2个球中至少有一个是黑球”，事件D表示“取出的2个球
都是，黑球”.则 ， 所以 。
答案： (1) 。
【分析】（1）利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出它不是白球，则它是黑球的概率。
（2）利用已知条件结合组合数公式合古典概型求概率公式，再结合条件概型求概率公式，进而得出 其中有一个黑球，则另一个也是黑球的概率 。
13．【答案】（1）解：设事件Ai表示第i次摸到的是黑球(i＝1，2，3)，则事件A1A2表示两次摸到的均为黑球．
由题意知 .
于是， 根据乘法公式， 有 .
所以先后两次从中不放回地各摸出一球， 两次摸到的均为黑球的概率为 .
（2）解：设事件 表示第三次才摸到黑球，则 . 由题意知
. 于是， 根据乘法公式， 有
所以从中不放回地摸球，每次各摸一球，第三次才摸到黑球的概率为 .
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出两次摸到的均为黑球的概率。
（2）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和条件概型求概率公式，进而得出第三次才摸到黑球的概率。
14．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】设事件A＝{任取的三个数中有a22}，事件B＝{三个数中至少有两个数位于同
行或同列 ， 则 三个数互不同行且不同列 ， 依题意得 ， 故 ， 则 ，
即已知在取到 的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为 。
答案： 。
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出在取到 的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率。
15．【答案】解：设“该考生6道题全答对”为事件A，“该考生恰好答对了5道题”为事件B，“该考生恰好答对了4道题”为事件C，“该考生在这次考试中通过”为事件D，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E，则D＝A∪B∪C，E＝A∪B，且A，B，C两两互斥，由古典概型的概率公式知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
，
又 ，
所以 .
【知识点】互斥事件的概率加法公式；条件概率与独立事件；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式，再结合互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，进而得出某考生获得优秀成绩的概率。
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