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人教A版（2019） 必修一 4.3 对数
一、单选题
1．（2020高一下·海淀期中）若实数a，b满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
2．（2020高二下·北京期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D． 时
3．（2020高一上·绍兴期末）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． ，则 D．若 ，则
4．（2020高一上·铜山期中）下列各式化简运算结果为1的是：（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020高一上·合肥期末）计算： （ ）
A．1 B．4 C．5 D．7
6．（2020高二下·杭州期末） （ ）
A． B．6 C． D．9
7．（2020高二下·诸暨期中）已知log43＝p，log325＝q，则lg5＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二下·武汉期中）若 ，则a+b的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020高一上·安庆期末）计算: ( )
A．1 B．-1 C． D．
二、填空题
10．（2020高二下·南宁期末）计算: .
11．（2020高二下·苏州期中）已知 ， ，则 .（用a，b表示）
12．（2020高一上·诸暨期末）若 ；则 .
13．（2020高一上·绍兴期末）若 ，则 .
14．（2020高一上·嘉兴期末）若 ,则 = , = .
15．（201920高三上·长宁期末）方程 的解为 .
16．（2019高一上·西安月考）若 则 .
17．（2020高一上·上海期中）已知 用 表示 和 分别为
18．（2020高一上·上海期中）已知 是不为1的正数，且 ，则 的值为
19．（2020高一上·上海期中）若 则 的值为
三、解答题
20．（2020高一下·黄浦期末）
（1）证明对数换底公式： （其中 且 ， 且 ， ）
（2）已知 ，试用m表示 .
21．（2020高一上·芜湖期末）计算:
.
22．（2020高一上·南开期末）求值：
（1） ；
（2）已知 ， ，求 的值．
23．（2020高一上·武汉期末）一种药在病人血液中的量保持在 以上，才有疗效；而低于 ，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时 的比例衰减，那么应在什么时候范围再向病人的血液补充这种药？（精确到 ）（参考数据： ， ， ）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
．
故答案为：D．
【分析】先将指数式化成对数式，求出 ，再利用换底公式的推论 以及对数的运算法则即可求出．
2．【答案】C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，A不符合题意；
，B不符合题意； ，C符合题意；
当 时， ，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】直接利用指数式、对数式的运算性质计算即可.
3．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A. 若 ，则 ，当 时不成立，错误；
B. 若 ，则 ，正确；
C. ，则 ， 也成立，错误；
D. 若 ，则 ，当 不成立，错误；
故答案为：B
【分析】依次判断每个选项：当 时不成立， 错误； 正确； 也成立， 错误；当 不成立， 错误；得到答案.
4．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A. ，故正确；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，故错误
故答案为：A
【分析】直接利用对数的运算性质和运算法则求解.
5．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】根据对数运算及指数幂运算,化简可得
故答案为：C
【分析】由对数的运算性质,结合零次幂的值,即可求得算式的值.
6．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可.
7．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：（换底公式） ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】计算 ,利用对数换底公式、对数运算性质变形，化为 的式子后可得 .
8．【答案】A
【知识点】换底公式的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
，即 ，
由基本不等式得
，
当且仅当 时，等号成立，
因此，a+b的最小值是 .
故答案为：A.
【分析】利用换底公式得出 ，可得 ，将a+b与 相乘，展开后利用基本不等式，即可求出a+b的最小值.
9．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
则
故答案为：B.
【分析】根据 ,化简 即可求得答案.
10．【答案】0
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解: 原式 .
故答案为：0
【分析】根据指数式对数式恒等式、对数的定义和性质直接计算即可.
11．【答案】1+b-a
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】由对数运算法则求解．
12．【答案】4
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】因为 .故 ,即 .
由对数函数定义域有 ,故 .
故答案为：4
【分析】利用换底公式化成同底的对数方程求解即可.
13．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，则
故答案为：
【分析】利用对数指数运算法则计算得到答案.
14．【答案】1；0
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】①由题： ,
则 ；
②由①可得： .
故答案为：1；0
【分析】①根据换底公式计算即可得解；②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.
15．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解： ，∴指数式化为对数式得： ，
故答案为： ．
【分析】把指数式化为对数式即可求出方程的解．
16．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
根据指数与对数之间的关系可得:
故答案为: .
【分析】根据指数与对数之间的关系,求出 ,利用对数的换底公式,即可求得答案.
17．【答案】1-a和2-a
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
故答案为：1-a和2-a
【分析】根据对数的运算求解即可.
18．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由 ，
可得 ， ， ，
．
故答案为：
【分析】根据对数运算公式，可以将 转化，得到 ， ， 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决．
19．【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意可得， ， ，
∵
故答案为：1
【分析】将指数式化为对数式得 ， ，代入可得， ，根据换底公式可求值.
20．【答案】（1）解：设 ，写成指数式 .
两边取以 为底的对数，得 .
因为 ， ， ，因此上式两边可除以 ，得 .
所以，
（2）解：
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
21．【答案】解：(方法一)原式
.
(方法二)原式
=13
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】利用对数运算公式，化简求得所求表达式的值.
22．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】有理数指数幂的化简求值；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值；（2）利用立方和公式得出 ，结合 可求出所求代数式的值.
23．【答案】解：设应在病人注射这种药 小时后再向病人的血液补充这种药，
依题意，可得 ，
整理，得 ，
∴ ，
∴ ，
同理得 ，
解得： ，
答：应在用药 小时后及 小时前再向病人的血液补充药．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．
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人教A版（2019） 必修一 4.3 对数
一、单选题
1．（2020高一下·海淀期中）若实数a，b满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
．
故答案为：D．
【分析】先将指数式化成对数式，求出 ，再利用换底公式的推论 以及对数的运算法则即可求出．
2．（2020高二下·北京期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D． 时
【答案】C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，A不符合题意；
，B不符合题意； ，C符合题意；
当 时， ，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】直接利用指数式、对数式的运算性质计算即可.
3．（2020高一上·绍兴期末）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． ，则 D．若 ，则
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A. 若 ，则 ，当 时不成立，错误；
B. 若 ，则 ，正确；
C. ，则 ， 也成立，错误；
D. 若 ，则 ，当 不成立，错误；
故答案为：B
【分析】依次判断每个选项：当 时不成立， 错误； 正确； 也成立， 错误；当 不成立， 错误；得到答案.
4．（2020高一上·铜山期中）下列各式化简运算结果为1的是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A. ，故正确；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，故错误
故答案为：A
【分析】直接利用对数的运算性质和运算法则求解.
5．（2020高一上·合肥期末）计算： （ ）
A．1 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】根据对数运算及指数幂运算,化简可得
故答案为：C
【分析】由对数的运算性质,结合零次幂的值,即可求得算式的值.
6．（2020高二下·杭州期末） （ ）
A． B．6 C． D．9
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】根据指数运算法则以及对数运算法则求解即可.
7．（2020高二下·诸暨期中）已知log43＝p，log325＝q，则lg5＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：（换底公式） ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】计算 ,利用对数换底公式、对数运算性质变形，化为 的式子后可得 .
8．（2020高二下·武汉期中）若 ，则a+b的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】换底公式的应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
，即 ，
由基本不等式得
，
当且仅当 时，等号成立，
因此，a+b的最小值是 .
故答案为：A.
【分析】利用换底公式得出 ，可得 ，将a+b与 相乘，展开后利用基本不等式，即可求出a+b的最小值.
9．（2020高一上·安庆期末）计算: ( )
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
则
故答案为：B.
【分析】根据 ,化简 即可求得答案.
二、填空题
10．（2020高二下·南宁期末）计算: .
【答案】0
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解: 原式 .
故答案为：0
【分析】根据指数式对数式恒等式、对数的定义和性质直接计算即可.
11．（2020高二下·苏州期中）已知 ， ，则 .（用a，b表示）
【答案】1+b-a
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】由对数运算法则求解．
12．（2020高一上·诸暨期末）若 ；则 .
【答案】4
【知识点】换底公式的应用
【解析】【解答】因为 .故 ,即 .
由对数函数定义域有 ,故 .
故答案为：4
【分析】利用换底公式化成同底的对数方程求解即可.
13．（2020高一上·绍兴期末）若 ，则 .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】 ，则
故答案为：
【分析】利用对数指数运算法则计算得到答案.
14．（2020高一上·嘉兴期末）若 ,则 = , = .
【答案】1；0
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】①由题： ,
则 ；
②由①可得： .
故答案为：1；0
【分析】①根据换底公式计算即可得解；②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.
15．（201920高三上·长宁期末）方程 的解为 .
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解： ，∴指数式化为对数式得： ，
故答案为： ．
【分析】把指数式化为对数式即可求出方程的解．
16．（2019高一上·西安月考）若 则 .
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
根据指数与对数之间的关系可得:
故答案为: .
【分析】根据指数与对数之间的关系,求出 ,利用对数的换底公式,即可求得答案.
17．（2020高一上·上海期中）已知 用 表示 和 分别为
【答案】1-a和2-a
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
故答案为：1-a和2-a
【分析】根据对数的运算求解即可.
18．（2020高一上·上海期中）已知 是不为1的正数，且 ，则 的值为
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由 ，
可得 ， ， ，
．
故答案为：
【分析】根据对数运算公式，可以将 转化，得到 ， ， 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决．
19．（2020高一上·上海期中）若 则 的值为
【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意可得， ， ，
∵
故答案为：1
【分析】将指数式化为对数式得 ， ，代入可得， ，根据换底公式可求值.
三、解答题
20．（2020高一下·黄浦期末）
（1）证明对数换底公式： （其中 且 ， 且 ， ）
（2）已知 ，试用m表示 .
【答案】（1）解：设 ，写成指数式 .
两边取以 为底的对数，得 .
因为 ， ， ，因此上式两边可除以 ，得 .
所以，
（2）解：
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明.（2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得.
21．（2020高一上·芜湖期末）计算:
.
【答案】解：(方法一)原式
.
(方法二)原式
=13
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】利用对数运算公式，化简求得所求表达式的值.
22．（2020高一上·南开期末）求值：
（1） ；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】有理数指数幂的化简求值；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值；（2）利用立方和公式得出 ，结合 可求出所求代数式的值.
23．（2020高一上·武汉期末）一种药在病人血液中的量保持在 以上，才有疗效；而低于 ，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时 的比例衰减，那么应在什么时候范围再向病人的血液补充这种药？（精确到 ）（参考数据： ， ， ）
【答案】解：设应在病人注射这种药 小时后再向病人的血液补充这种药，
依题意，可得 ，
整理，得 ，
∴ ，
∴ ，
同理得 ，
解得： ，
答：应在用药 小时后及 小时前再向病人的血液补充药．
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．
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