人教新课标A版 选修2-3 2.1离散型随机变量及其分布列

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人教新课标A版 选修2-3 2.1离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．（2020高二下·莲湖期末）已知随机变量 的分布列如下，则 （　　）
X 0 1 2 3
P p
A． B． C． D．
2．（2020高二下·莲湖期末）若随机变量 的分布列如下：
X -3 -2 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当 时， 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高二下·通辽期末）一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则事件A发生的条件下事件B发生的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高二下·海林期末）若随机变量X的分布列如下表，则 （　　）
X 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
A． B． C． D．
5．（2020高二下·重庆期末）随机变量X的取值范围为0，1，2，若 ，则D（X）＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高二下·莲湖期末）一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量 ，则 （　　）．
A． B． C． D．
7．（2020高二下·东莞期末）随机变量 的分布列如下表所示，则 （　　）
X -2 -1 1
P a
A．0 B． C．-1 D．-2
8．（2020高一下·胶州期中）若样本数据 的标准差为8，则数据 ， ， ， 的标准差为（　　）
A．8 B．15 C．16 D．32
9．（2020高二下·呼和浩特期末）已知随机变量 和 ，其中 ，且 ，若 的分布列如下表，则m的值为（　　）
ξ 1 2 3 4
P m n
A． B． C． D．
10．（2020高二下·宁波期末）已知随机变量 的取值为 .若 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
11．（2020高二下·浙江期末）已知 ，随机变量 的分布列如下表所示，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2020高二下·宁波月考）一个长方形塑料箱子中装有20个大小相同的乒乓球，其中标有数字0的有10个，标有数字 的有 个（ ）. 现从该长方形塑料箱子中任取一球，其中 表示所取球的标号. 若 ，则 （　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
13．（2020高二下·东台期中）设随机变量 的分布列为 ，则 (　　)
A． B．
C． D．
三、填空题
14．（2020高二下·开鲁期末）已知X服从二项分布 ，则 　 　.
15．（2020高二下·重庆期末）每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次 ，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若 ，则n的最小值为　 　.
16．（2020高二下·东莞期末）有一种游戏，其规则为：每局游戏进行两轮积分，玩家先从标有1 2 3 4的4张卡片中随机抽取一张卡片，将卡片上数字的相反数作为得分；再从标有1 2 3 4的4张卡片中随机抽取两张卡片，将两张卡片数字之差的绝对值的1.2倍作为得分.则玩家玩一局游戏的得分期望为　 　.
17．（2020高二下·邢台期中）设随机变量 的分布列如下：
X 0 1 2
P
若 ，则 的最大值是　 　， 的最大值是　 　.
四、解答题
18．（2020高二下·奉化期中）编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是 .
（1）求随机变量 的取值和对应的概率，并列出分布列；
（2）求随机变量 的数学期望及方差.
19．（2020高二下·天津期末）一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是 ，试验不成功的概率都是 甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套.
（1）求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；
（2）记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X，求X的分布列和期望 .
20．（2020高二下·宁波期末）一个袋中有10个大小相同的球，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有5个，标号3的球有2个.第一次从袋中任取一个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）.记两次取到球的标号之和为X.
（1）求随机变量X的分布列；
（2）求随机变量X的数学期望.
21．（2020·江苏模拟）口袋里装有大小相同的小球8个，其中红色球3个，黄色球3个，蓝色球2个。第一次从口袋里任意取球一个，记下颜色后放回口袋，第二次再任意取球一个，记下颜色后放回口袋，规定取到红色球记1分，取到黄色球记2分，取到蓝色球记3分．第一次与第二次取到球的得分之和为ξ。
（1）当ξ为何值时，其发生的概率最小？请说明理由；
（2）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）。
22．（2020·菏泽模拟）某服装店每年春季以每件15元的价格购入M型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的M型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的M型号童裤将以每件10元的价格低价处理（根据经验，1个月内完全能够把M型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进M型号童裤）．该服装店统计了过去18年中每年该季度M型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．
前2月内的销售量（单位：件） 30 40 50
频数（单位：年） 6 8 4
（1）若今年该季度服装店购进M型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售M型号童裤获取利润X的分布列和期望；（结果保留一位小数）
（2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件M型号童裤时所获得的平均利润最大．
23．（2020高二下·莲湖期末）某环保小组为了检测n（ 且 ）条河流是否含有某种细菌，现对这n条河流进行取样检测（每一条河流取一份水样样本）．以往的检测方法是将样本逐份检测，为了提高检测的效率，该环保小组设计了混合检测法，其步骤如下：将其中m（ 且 ）份水样样本分别取样混合在一起检测，若检测结果不含该细菌，则这 份水样样本只要检测这一次即可；若检测结果含有该细菌，为了明确这m份水样究竟哪份或哪几份含有该细菌，需要对这 份再逐份检测，此时这m份水样样本的检测总次数为 ．针对这n份水样样本，先采取混合检测，剩余的水样样本再逐份检测．假设在接受检测的水样样本中，每份样本是否含有该细菌相互独立，且每份样本含有该细菌的概率均为 ．
（1）若 ， ，设所有水样样本检测结束时检测总次数为X，求X的分布列；
（2）假设 ，在混合检测中，取其中k（ 且 ）份水样样本，记这 份样本需要检测的总次数为Y．若Y的数学期望 ，求p（用k表示），并求当 时p的估计值（结果保留三位有效数字）．
参考数据： ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由题意可得 ，则
故答案为：D
【分析】根据分布列概率之和为1，建立方程求解.
2．【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由题意可得 ， ， ，则 .
故答案为：B
【分析】根据分布列可得 ， ，即可确定m的取值范围.
3．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意可理解为条件概率，则可由条件概率公式得； ,
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件结合条件概率求概率公式，从而求出事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 ，
故答案为：D。
【分析】利用随机变量的分布列结合求期望公式，从而求出E（X）的值。
5．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设 ， ，
由题意， ，且 ，
解得 ， ，
，
故答案为：C．
【分析】设 ， ，则由 ， ，列出方程组，求出 ， ，由此能求出 .
6．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】 表示前k个球为白球，第 个球为红球，
，
，
，
所以 ，
故答案为：C．
【分析】 表示前k个球为白球，第 个球为红球，则 ．由此计算可得结论．
7．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由随机变量的分布列的性质，可得 ，解得 ，
则 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由随机变量的分布列的性质，求得 ，再由期望的计算公式，求得 ，进而求得 ，得到答案.
8．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】样本数据 ， ， ， 的标准差为 ，所以方差为64，
由 可得数据 ， ， ， 的方差为 ，所以标准差为 。
故答案为：C
【分析】利用标准差和方差的关系式结合已知条件，由 可得数据 ， ， ， 的方差，进而求出数据 ， ， ， 的标准差。
9．【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】 且 ，则
即
解得
故答案为：A
【分析】根据随机变量 和 的关系得到 ，概率和为1，联立方程组解得答案.
10．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意，设 ，则 ，
又 ，解得 ，
所以 ， ，
则 ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】设 ，可得 ，结合 ，可求出P，进而可求出方差 ，再结合 ，可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解： ， ，
令 ，则 ， ；
故答案为：B
【分析】代入期望公式，用作差法易比较期望的大小；取 ，计算期望和方差，方差的大小易比较.
12．【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 的可能取值为：0，1，2，3，4，
则 ，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
p
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，
，
又因为 ，
解得 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】由题意， 的可能取值为：0，1，2，3，4，求得相应的概率，列出分布列，求得其期望和方差，再根据 ，利用 ， 求解即可.
13．【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】 随机变量 的分布列为 ,
， 解得 ，
A符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意.
故答案为：A、B、C.
【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得 ，即可判断A、D；由 即可判断B；由 即可判断C；即可得解.
14．【答案】-62
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为 服从二项分布 ，所以
所以
【分析】先根据二项分布数学期望公式得 ，再求 .
15．【答案】6
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率为 ，由题知 ，则 ，即 ，所以正整数n的最小值为6.
故答案为：6
【分析】先计算出实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率，根据二项分布期望公式列不等式，解不等式求得 的最小值.
16．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意得分为 的概率都是 ，
任两个卡片差的绝对值有1，2，3，得分分别为1.2，2.4，3.6，
概率分别为：得分1.2的概率是 ，得分2.4的概率是 ，得分为3.6的概率是 ，
因此所求期望为 ．
故答案为： ．
【分析】求出各得分的概率，利用期望公式计算期望．
17．【答案】；
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】①由题意可得
解得 .
因为 ，
所以 的最大值是 ，
②因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 的最大值是
【分析】①根据概率性质求得 ，计算出 的范围；②计算出 结合二次函数性质求解取值范围.
18．【答案】（1）解：随机变量 的取值为0，1，3
所以概率分布列为：
0 1 3
（2）解：
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求得当ξ分别为0,1,3时的概率,列分布列；（2）代入期望和方差公式可得结论.
19．【答案】（1）解：记事件“一次试验中，选择第 套方案并试验成功”为 ， ，2，则 ．
3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率
．
（2）解：X的可能值为0，1，2，3，则 ，
， ，1，2，3，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）记事件“一次试验中，选择第 套方案并试验成功”为 ， ，2，则 ，由此能求出3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率 ；（2） 的可能值为0，1，2，3，则 ， ， ，1，2，3，由此能求出 的分布列和期望．
20．【答案】（1）解：由题意，随机变量X的可能取值为 .
，
，
，
，
.
则随机变量X的分布列为：
X 2 3 4 5 6
P
（2）解：由（1）可知，
随机变量X的数学期望
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）随机变量X的可能取值为 ，分别求出每种情况所对应的概率，进而可得出X的分布列；（2）结合X的分布列，及数学期望的公式，求解即可.
21．【答案】（1）解：依题意，随机变量E的可能取值是2，3，4，5，6，
因为P（ξ=2）= ，
P（ξ=3）= ，
P（ξ=4）= ，
P（ξ=5）= ，
P（ξ=6）= ，
所以当ξ=6时，其发生的概率最小，最小值为 。
（2）解：由（1）知E（ξ）=2× +3× +4× +5× +6× = 。
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合随机变量的分布列，从而推出当ξ=6时，其发生的概率最小，最小值为 。
（2）利用随机变量的分布列结合随机变量的期望公式，从而求出随机变量ξ的数学期望E（ξ）。
22．【答案】（1）解：设服装店某季度销售M型号童裤获得的利润为X（单位：元）．
当需求量为30时， ，
当需求量为40时， ，
当需求量为50时， ．
所以 ， ．
故X的分布列为
X 400 600
P
则 （元）．
所以服装店今年销售M型号童裤获得的利润均值为533.3元．
（2）解：设销售M型号童裤获得的利润为Y．
依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，
则服装店每年该季度购进的M型号童裤的件数取值可能为30件，40件，50件．
当购进M型号童裤30件时，
；
当购进 型号童裤40件时，
；
当购进 型号童裤50件时，
．
所以服装店每年该季度在购进40件M型号童裤时所获得的平均利润最大．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出利润X的可能值，根据过去18年中销售量的频数表，得出 对应的概率，得到X的分布列，求出期望；（2）分别求出购进M型号童裤30件、40件、50件时，利润的期望值，比较即可得出结论.
23．【答案】（1）解：依题意得X的可能取值为2，4，
且 ，
则X的分布列为
X 2 4
P
（2）解：由题可知Y的所有可能取值为1， ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，即 ，
则 ，即 ．
当 时， ．
故p的估计值为0.258．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）随机变量X的可能取值为2，4，利用独立重复试验的概率计算公式即可求出分布列.（2）根据题意求出Y的所有可能取值为1， ，利用独立重复试验的概率计算公式求出Y的分布列，再利用数学期望的计算公式即可求解
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人教新课标A版 选修2-3 2.1离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．（2020高二下·莲湖期末）已知随机变量 的分布列如下，则 （　　）
X 0 1 2 3
P p
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由题意可得 ，则
故答案为：D
【分析】根据分布列概率之和为1，建立方程求解.
2．（2020高二下·莲湖期末）若随机变量 的分布列如下：
X -3 -2 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当 时， 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】由题意可得 ， ， ，则 .
故答案为：B
【分析】根据分布列可得 ， ，即可确定m的取值范围.
3．（2020高二下·通辽期末）一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则事件A发生的条件下事件B发生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意可理解为条件概率，则可由条件概率公式得； ,
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件结合条件概率求概率公式，从而求出事件A发生的条件下事件B发生的概率。
4．（2020高二下·海林期末）若随机变量X的分布列如下表，则 （　　）
X 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 ，
故答案为：D。
【分析】利用随机变量的分布列结合求期望公式，从而求出E（X）的值。
5．（2020高二下·重庆期末）随机变量X的取值范围为0，1，2，若 ，则D（X）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】设 ， ，
由题意， ，且 ，
解得 ， ，
，
故答案为：C．
【分析】设 ， ，则由 ， ，列出方程组，求出 ， ，由此能求出 .
6．（2020高二下·莲湖期末）一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量 ，则 （　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】 表示前k个球为白球，第 个球为红球，
，
，
，
所以 ，
故答案为：C．
【分析】 表示前k个球为白球，第 个球为红球，则 ．由此计算可得结论．
7．（2020高二下·东莞期末）随机变量 的分布列如下表所示，则 （　　）
X -2 -1 1
P a
A．0 B． C．-1 D．-2
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由随机变量的分布列的性质，可得 ，解得 ，
则 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】由随机变量的分布列的性质，求得 ，再由期望的计算公式，求得 ，进而求得 ，得到答案.
8．（2020高一下·胶州期中）若样本数据 的标准差为8，则数据 ， ， ， 的标准差为（　　）
A．8 B．15 C．16 D．32
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】样本数据 ， ， ， 的标准差为 ，所以方差为64，
由 可得数据 ， ， ， 的方差为 ，所以标准差为 。
故答案为：C
【分析】利用标准差和方差的关系式结合已知条件，由 可得数据 ， ， ， 的方差，进而求出数据 ， ， ， 的标准差。
9．（2020高二下·呼和浩特期末）已知随机变量 和 ，其中 ，且 ，若 的分布列如下表，则m的值为（　　）
ξ 1 2 3 4
P m n
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】 且 ，则
即
解得
故答案为：A
【分析】根据随机变量 和 的关系得到 ，概率和为1，联立方程组解得答案.
10．（2020高二下·宁波期末）已知随机变量 的取值为 .若 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意，设 ，则 ，
又 ，解得 ，
所以 ， ，
则 ，
所以 .
故答案为：C.
【分析】设 ，可得 ，结合 ，可求出P，进而可求出方差 ，再结合 ，可求出答案.
11．（2020高二下·浙江期末）已知 ，随机变量 的分布列如下表所示，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解： ， ，
令 ，则 ， ；
故答案为：B
【分析】代入期望公式，用作差法易比较期望的大小；取 ，计算期望和方差，方差的大小易比较.
12．（2020高二下·宁波月考）一个长方形塑料箱子中装有20个大小相同的乒乓球，其中标有数字0的有10个，标有数字 的有 个（ ）. 现从该长方形塑料箱子中任取一球，其中 表示所取球的标号. 若 ，则 （　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 的可能取值为：0，1，2，3，4，
则 ，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
p
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，
，
又因为 ，
解得 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】由题意， 的可能取值为：0，1，2，3，4，求得相应的概率，列出分布列，求得其期望和方差，再根据 ，利用 ， 求解即可.
二、多选题
13．（2020高二下·东台期中）设随机变量 的分布列为 ，则 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】 随机变量 的分布列为 ,
， 解得 ，
A符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意.
故答案为：A、B、C.
【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得 ，即可判断A、D；由 即可判断B；由 即可判断C；即可得解.
三、填空题
14．（2020高二下·开鲁期末）已知X服从二项分布 ，则 　 　.
【答案】-62
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为 服从二项分布 ，所以
所以
【分析】先根据二项分布数学期望公式得 ，再求 .
15．（2020高二下·重庆期末）每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次 ，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若 ，则n的最小值为　 　.
【答案】6
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率为 ，由题知 ，则 ，即 ，所以正整数n的最小值为6.
故答案为：6
【分析】先计算出实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率，根据二项分布期望公式列不等式，解不等式求得 的最小值.
16．（2020高二下·东莞期末）有一种游戏，其规则为：每局游戏进行两轮积分，玩家先从标有1 2 3 4的4张卡片中随机抽取一张卡片，将卡片上数字的相反数作为得分；再从标有1 2 3 4的4张卡片中随机抽取两张卡片，将两张卡片数字之差的绝对值的1.2倍作为得分.则玩家玩一局游戏的得分期望为　 　.
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】由题意得分为 的概率都是 ，
任两个卡片差的绝对值有1，2，3，得分分别为1.2，2.4，3.6，
概率分别为：得分1.2的概率是 ，得分2.4的概率是 ，得分为3.6的概率是 ，
因此所求期望为 ．
故答案为： ．
【分析】求出各得分的概率，利用期望公式计算期望．
17．（2020高二下·邢台期中）设随机变量 的分布列如下：
X 0 1 2
P
若 ，则 的最大值是　 　， 的最大值是　 　.
【答案】；
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】①由题意可得
解得 .
因为 ，
所以 的最大值是 ，
②因为 ，
因为 ，所以 ，
所以 的最大值是
【分析】①根据概率性质求得 ，计算出 的范围；②计算出 结合二次函数性质求解取值范围.
四、解答题
18．（2020高二下·奉化期中）编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是 .
（1）求随机变量 的取值和对应的概率，并列出分布列；
（2）求随机变量 的数学期望及方差.
【答案】（1）解：随机变量 的取值为0，1，3
所以概率分布列为：
0 1 3
（2）解：
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求得当ξ分别为0,1,3时的概率,列分布列；（2）代入期望和方差公式可得结论.
19．（2020高二下·天津期末）一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是 ，试验不成功的概率都是 甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套.
（1）求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；
（2）记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X，求X的分布列和期望 .
【答案】（1）解：记事件“一次试验中，选择第 套方案并试验成功”为 ， ，2，则 ．
3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率
．
（2）解：X的可能值为0，1，2，3，则 ，
， ，1，2，3，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）记事件“一次试验中，选择第 套方案并试验成功”为 ， ，2，则 ，由此能求出3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率 ；（2） 的可能值为0，1，2，3，则 ， ， ，1，2，3，由此能求出 的分布列和期望．
20．（2020高二下·宁波期末）一个袋中有10个大小相同的球，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有5个，标号3的球有2个.第一次从袋中任取一个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）.记两次取到球的标号之和为X.
（1）求随机变量X的分布列；
（2）求随机变量X的数学期望.
【答案】（1）解：由题意，随机变量X的可能取值为 .
，
，
，
，
.
则随机变量X的分布列为：
X 2 3 4 5 6
P
（2）解：由（1）可知，
随机变量X的数学期望
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）随机变量X的可能取值为 ，分别求出每种情况所对应的概率，进而可得出X的分布列；（2）结合X的分布列，及数学期望的公式，求解即可.
21．（2020·江苏模拟）口袋里装有大小相同的小球8个，其中红色球3个，黄色球3个，蓝色球2个。第一次从口袋里任意取球一个，记下颜色后放回口袋，第二次再任意取球一个，记下颜色后放回口袋，规定取到红色球记1分，取到黄色球记2分，取到蓝色球记3分．第一次与第二次取到球的得分之和为ξ。
（1）当ξ为何值时，其发生的概率最小？请说明理由；
（2）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）。
【答案】（1）解：依题意，随机变量E的可能取值是2，3，4，5，6，
因为P（ξ=2）= ，
P（ξ=3）= ，
P（ξ=4）= ，
P（ξ=5）= ，
P（ξ=6）= ，
所以当ξ=6时，其发生的概率最小，最小值为 。
（2）解：由（1）知E（ξ）=2× +3× +4× +5× +6× = 。
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合随机变量的分布列，从而推出当ξ=6时，其发生的概率最小，最小值为 。
（2）利用随机变量的分布列结合随机变量的期望公式，从而求出随机变量ξ的数学期望E（ξ）。
22．（2020·菏泽模拟）某服装店每年春季以每件15元的价格购入M型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的M型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的M型号童裤将以每件10元的价格低价处理（根据经验，1个月内完全能够把M型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进M型号童裤）．该服装店统计了过去18年中每年该季度M型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．
前2月内的销售量（单位：件） 30 40 50
频数（单位：年） 6 8 4
（1）若今年该季度服装店购进M型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售M型号童裤获取利润X的分布列和期望；（结果保留一位小数）
（2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件M型号童裤时所获得的平均利润最大．
【答案】（1）解：设服装店某季度销售M型号童裤获得的利润为X（单位：元）．
当需求量为30时， ，
当需求量为40时， ，
当需求量为50时， ．
所以 ， ．
故X的分布列为
X 400 600
P
则 （元）．
所以服装店今年销售M型号童裤获得的利润均值为533.3元．
（2）解：设销售M型号童裤获得的利润为Y．
依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，
则服装店每年该季度购进的M型号童裤的件数取值可能为30件，40件，50件．
当购进M型号童裤30件时，
；
当购进 型号童裤40件时，
；
当购进 型号童裤50件时，
．
所以服装店每年该季度在购进40件M型号童裤时所获得的平均利润最大．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先求出利润X的可能值，根据过去18年中销售量的频数表，得出 对应的概率，得到X的分布列，求出期望；（2）分别求出购进M型号童裤30件、40件、50件时，利润的期望值，比较即可得出结论.
23．（2020高二下·莲湖期末）某环保小组为了检测n（ 且 ）条河流是否含有某种细菌，现对这n条河流进行取样检测（每一条河流取一份水样样本）．以往的检测方法是将样本逐份检测，为了提高检测的效率，该环保小组设计了混合检测法，其步骤如下：将其中m（ 且 ）份水样样本分别取样混合在一起检测，若检测结果不含该细菌，则这 份水样样本只要检测这一次即可；若检测结果含有该细菌，为了明确这m份水样究竟哪份或哪几份含有该细菌，需要对这 份再逐份检测，此时这m份水样样本的检测总次数为 ．针对这n份水样样本，先采取混合检测，剩余的水样样本再逐份检测．假设在接受检测的水样样本中，每份样本是否含有该细菌相互独立，且每份样本含有该细菌的概率均为 ．
（1）若 ， ，设所有水样样本检测结束时检测总次数为X，求X的分布列；
（2）假设 ，在混合检测中，取其中k（ 且 ）份水样样本，记这 份样本需要检测的总次数为Y．若Y的数学期望 ，求p（用k表示），并求当 时p的估计值（结果保留三位有效数字）．
参考数据： ．
【答案】（1）解：依题意得X的可能取值为2，4，
且 ，
则X的分布列为
X 2 4
P
（2）解：由题可知Y的所有可能取值为1， ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，即 ，
则 ，即 ．
当 时， ．
故p的估计值为0.258．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）随机变量X的可能取值为2，4，利用独立重复试验的概率计算公式即可求出分布列.（2）根据题意求出Y的所有可能取值为1， ，利用独立重复试验的概率计算公式求出Y的分布列，再利用数学期望的计算公式即可求解
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