初中数学北师大版七年级下学期 第一章 1.5 平方差公式
一、单选题
1．（2020八上·武威月考）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020八上·海沧开学考）计算 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2020七下·天府新期末）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 B．a2﹣ab＝a(a﹣b)
C．a2﹣b2＝(a﹣b)2 D．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)
4．（2020七下·福田期中）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形.根据图形能验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020八上·长春月考） （ ）= 4a4-9b4，括号内应填（ ）
A．2a2+3b2 B．2a2-3b2 C．-2a2-3b2 D．-2a2+3b2
6．（2020九上·静安期末）已知 ， ，那么ab的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2020七下·仪征期末）若 ，则 = .
8．（2020七下·顺德月考）如果a+b＝8，a2－b2＝24，那么a－b＝ ．
9．（2020八上·许昌期末）计算： .
10．（2019七下·覃塘期末）因式分解：m2-9=
11．（2019七下·滦南期末）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 ．
12．（2020八上·上蔡月考）观察下列各式：1×3＝22﹣1，3×5＝42﹣1，5×7＝62﹣1，…请你把发现的规律用含n（n为正整数）的等式表示为 .
三、计算题
13．（2020七下·溧阳期末）计算：
（1）
（2）(x-y+3)(x+y-3)
（3）
（4）
四、解答题
14．（2020七下·株洲期末）已知： ， ，求 的值．
15．（2020七下·中卫月考）原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 可以用平方差公式；
B、 ，可以用平方差公式；
C、 ，可以用平方差公式；
D、 ，不能用平方差公式；
故答案为：D.
【分析】平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；其中a是完全相同项，b是互为相反项，根据这个特征逐一验证即可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】可根据平方差公式进行计算，即(a+b)(a-b)=a2-b2.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；
拼成的长方形的面积为：(a+b)×(a﹣b)，
所以得出：a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)，
故答案为：D．
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为(a+b)，宽为(a﹣b)，根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：(a+b)×(a﹣b)，因为面积相等，进而得出结论．
4．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2-b2；
通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a-b），
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）．
故答案为：B．
【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=a2-b2，新的图形面积等于（a+b）（a-b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ = 4a4-9b4，
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式求解即可．
6．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式进行计算，即可得到答案.
7．【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：-1.
【分析】利用平方差公式将原多项式分解因式，然后整体代入进行计算，即可得到答案.
8．【答案】3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2＝24，
∴（a+b）（a﹣b）＝24，
∵a+b＝8，
∴8（a﹣b）＝24，
∴a﹣b＝3，
【分析】先根据平方差公式进行变形，再代入，即可求出答案．
9．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 ，
=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】首先把2019×2021化成（2020-1）×（2020+1），然后运用平方差公式计算即可.
10．【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： m2-9= m2-32= （m+3）（m-3） ；
故答案为： （m+3）（m-3） .
【分析】原式变形后符合a2-b2形式，根据平方差公式直接分解因式即可。
11．【答案】20
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
将 代入得：原式
故答案为：20．
【分析】先利用平方差公式： 化简所求式子，再将已知式子的值代入求解即可．
12．【答案】（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：规律为（2n﹣1）（2n+1）=（2n）2﹣1，故答案为（2n﹣1）（2n+1）=（2n）2﹣1.
【分析】观察各个等式中数字的特点，都是三个连续的奇数，然后根据此规律写出符合题意的等式。
13．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
=5
（4）解：
=1
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【分析】（1）通过同底数幂相乘和幂的乘方进行计算的原则进行作答；（2）把式子变形为 ，再根据平方差公式进行解答；（3）通过同底数幂相乘，底数不变，指数相加的原则进行作答；（4）把式子变形为 ，再根据平方差公式进行解答.
14．【答案】解：
整理得：
因为 ，
所以
又
所以
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式整理 得 ，根据 可进一步求出 的值．
15．【答案】解：设改造后正方形绿地的边长为xm；
则改造前的长是（x＋2），宽是（x 2）；
根据题意有：2（x＋2）（x 2）＝x2，
即2（x2 4）＝x2，
解可得x2＝8；
答：改造后正方形绿地的面积为8m2.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】设改造后正方形绿地的边长为xm，根据题意，可得改造前的长方形的边长，由改造后的面积是原绿地面积的2倍，可得关系式，解可得答案.
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一、单选题
1．（2020八上·武威月考）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、 可以用平方差公式；
B、 ，可以用平方差公式；
C、 ，可以用平方差公式；
D、 ，不能用平方差公式；
故答案为：D.
【分析】平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；其中a是完全相同项，b是互为相反项，根据这个特征逐一验证即可判断求解.
2．（2020八上·海沧开学考）计算 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】可根据平方差公式进行计算，即(a+b)(a-b)=a2-b2.
3．（2020七下·天府新期末）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 B．a2﹣ab＝a(a﹣b)
C．a2﹣b2＝(a﹣b)2 D．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；
拼成的长方形的面积为：(a+b)×(a﹣b)，
所以得出：a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)，
故答案为：D．
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为(a+b)，宽为(a﹣b)，根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：(a+b)×(a﹣b)，因为面积相等，进而得出结论．
4．（2020七下·福田期中）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形.根据图形能验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2-b2；
通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a-b），
∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）．
故答案为：B．
【分析】边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积=a2-b2，新的图形面积等于（a+b）（a-b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．
5．（2020八上·长春月考） （ ）= 4a4-9b4，括号内应填（ ）
A．2a2+3b2 B．2a2-3b2 C．-2a2-3b2 D．-2a2+3b2
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ = 4a4-9b4，
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式求解即可．
6．（2020九上·静安期末）已知 ， ，那么ab的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】利用平方差公式进行计算，即可得到答案.
二、填空题
7．（2020七下·仪征期末）若 ，则 = .
【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：-1.
【分析】利用平方差公式将原多项式分解因式，然后整体代入进行计算，即可得到答案.
8．（2020七下·顺德月考）如果a+b＝8，a2－b2＝24，那么a－b＝ ．
【答案】3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2＝24，
∴（a+b）（a﹣b）＝24，
∵a+b＝8，
∴8（a﹣b）＝24，
∴a﹣b＝3，
【分析】先根据平方差公式进行变形，再代入，即可求出答案．
9．（2020八上·许昌期末）计算： .
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 ，
=
=
=1.
故答案为：1.
【分析】首先把2019×2021化成（2020-1）×（2020+1），然后运用平方差公式计算即可.
10．（2019七下·覃塘期末）因式分解：m2-9=
【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： m2-9= m2-32= （m+3）（m-3） ；
故答案为： （m+3）（m-3） .
【分析】原式变形后符合a2-b2形式，根据平方差公式直接分解因式即可。
11．（2019七下·滦南期末）若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 ．
【答案】20
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
将 代入得：原式
故答案为：20．
【分析】先利用平方差公式： 化简所求式子，再将已知式子的值代入求解即可．
12．（2020八上·上蔡月考）观察下列各式：1×3＝22﹣1，3×5＝42﹣1，5×7＝62﹣1，…请你把发现的规律用含n（n为正整数）的等式表示为 .
【答案】（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意可得：规律为（2n﹣1）（2n+1）=（2n）2﹣1，故答案为（2n﹣1）（2n+1）=（2n）2﹣1.
【分析】观察各个等式中数字的特点，都是三个连续的奇数，然后根据此规律写出符合题意的等式。
三、计算题
13．（2020七下·溧阳期末）计算：
（1）
（2）(x-y+3)(x+y-3)
（3）
（4）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
=5
（4）解：
=1
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【分析】（1）通过同底数幂相乘和幂的乘方进行计算的原则进行作答；（2）把式子变形为 ，再根据平方差公式进行解答；（3）通过同底数幂相乘，底数不变，指数相加的原则进行作答；（4）把式子变形为 ，再根据平方差公式进行解答.
四、解答题
14．（2020七下·株洲期末）已知： ， ，求 的值．
【答案】解：
整理得：
因为 ，
所以
又
所以
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式整理 得 ，根据 可进一步求出 的值．
15．（2020七下·中卫月考）原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积.
【答案】解：设改造后正方形绿地的边长为xm；
则改造前的长是（x＋2），宽是（x 2）；
根据题意有：2（x＋2）（x 2）＝x2，
即2（x2 4）＝x2，
解可得x2＝8；
答：改造后正方形绿地的面积为8m2.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】设改造后正方形绿地的边长为xm，根据题意，可得改造前的长方形的边长，由改造后的面积是原绿地面积的2倍，可得关系式，解可得答案.
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