初中数学湘教版七年级下册2.2.1平方差公式 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·岑溪期末）计算 的结果是（ ）
A．2a-4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝（2＋a）（2 a）＝ ，
故答案为：C.
【分析】先把原式化成（2+a）（2-a）的形式，然后直接利用平方差公式进行计算，即可求解.
2．（2020七下·张掖期末）下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．(a3+b3)(a3﹣b3) B．(a2+b2)(b2﹣a2)
C．(2x2y+1)(2x2y﹣1) D．(x2﹣2y)(2x+y2)
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】选项A中，a3与a3相等，b3与 b3互为相反数，故能用平方差公式计算；
选项B中，a2与 a2互为相反数，b2与b2相等，故能用平方差公式计算；
选项C中，2x2y与2x2y相等，1与－1互为相反数，故能用平方差公式计算；
选项D中，x2与2x、－2y与y2均不相等也不互为相反数，故不能用平方差公式计算；
综上所述，答案选D.
【分析】由互为相反数的两多项式相乘才能用平方差公式计可得正确答案.
3．（2020七下·天府新期末）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 B．a2﹣ab＝a(a﹣b)
C．a2﹣b2＝(a﹣b)2 D．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；
拼成的长方形的面积为：(a+b)×(a﹣b)，
所以得出：a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)，
故答案为：D．
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为(a+b)，宽为(a﹣b)，根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：(a+b)×(a﹣b)，因为面积相等，进而得出结论．
4．（2020七下·河南月考）在下列多项式中，与 相乘的结果是 的多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】（ ）（ ）= .
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2逐一判断即可.
5．（2020七上·上海期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. ，不能用平方差公式计算，故A不符合题意；
B. ，不能用平方差公式计算，故B不符合题意；
C. ，可以用平方差公式计算，故C符合题意；
D. ，不能用平方差公式计算，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式对选项进行判断即可。
6．（2020七下·南岸期末）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. ，正确；
B. ，正确；
C. ，错误；
D. ，正确.
故答案为：C.
【分析】平方差公式： ，根据公式分别计算判断即可。
7．（2020七下·三水期末）为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（ ）
A．[(a+c)﹣b] [(a﹣c)+b] B．[(a﹣b)+c][(a+b)﹣c]
C．[a﹣(b+c)] [a+(b﹣c)] D．[a﹣(b﹣c)] [a+(b﹣c)]
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]．
选项A，B，C不符合平方差公式的结构特征，只有选项D是正确的，
故答案为：D．
【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项．
8．（2020七下·济南期末）已知 ， 则 的值是（ ）
A．11 B．15 C．56 D．60
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b=7，a-b=8，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=7×8=56．
故答案为：C．
【分析】直接利用平方差公式将a2-b2分解为(a+b)(a-b)，代入数据后即可得出结论．
9．（2020七下·高邑月考）计算（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1）的结果是（ ）
A．x +1 B．x ﹣1 C．（x+1） D．（x﹣1）
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1），
＝（x4+1）（x2+1）（x2﹣1），
＝（x4+1）（x4﹣1），
＝x8﹣1．
故答案为：B．
【分析】多次利用平方差公式计算即可.
10．（2020七下·鼓楼期中）分别表示出下图阴影部分的面积，可以验证公式（ ）
A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a-b)2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=(a+b)(a-b) D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：梯形面积等于： ，
正方形中阴影部分面积为：a2-b2，
故a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：C.
【分析】直接利用图形面积求法得出等式，进而得出答案.
二、填空题
11．（2020七下·仪征期末）若 ，则 = .
【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：-1.
【分析】利用平方差公式将原多项式分解因式，然后整体代入进行计算，即可得到答案.
12．（2020七下·毕节期末）计算：
【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 =-1
故答案为：-1.
【分析】将2021×2019转化为（2020+1）（2020-1），再利用平方差公式进行计算。
13．（2020七下·鼓楼期末）如果有理数x，y满足方程组 那么x2－y2＝ .
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】 ，
①×2得，2x+2y=8③，
②+③得，4x=9，
解得x= ，
把x= 代入①得， +y=4，
解得y= ，
∴方程组的解是 ，
∴x2-y2=（ ）2-（ ）2= .
【分析】把第一个方程乘以2，然后利用加减消元法求解得到x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解.
14．（2020七下·太原期中）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式 ．
【答案】(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图①中阴影部分面积＝(a+2)(a﹣2)，图②中阴影部分面积＝a2﹣4，
∵图①和图②的阴影面积相等，
∴(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4，
故答案为：(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4．
【分析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．
三、综合题
15．（2020七上·上海期中）计算：
【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式计算即可.
16．（2020七下·上海期中）计算：
【答案】
．
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方
【解析】【分析】逆用积的乘方，再运用平方差公式计算即可．
17．（2020七下·中卫月考）对于算式 .
（1）不用计算器，你能计算出来吗；
（2）求出它计算的结果的个位是几.
【答案】（1）解：原式＝（3 1）（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）＋1
＝（32 1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）＋1
＝（34 1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）＋1
＝（332 1）（332＋1）＋1
＝364.
（2）解：根据31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243发现四次一循环，
∵64÷4＝16，
∴364的末位数字为1.
【知识点】平方差公式及应用；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）将2转化为（3 1），与（3＋1）配成平方差公式，其结果为（32 1），与（32＋1）又配成平方差公式，依此类推，可得结果.（2）根据31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243发现四次一循环，利用这一规律即可确定答案.
18．（2020七下·定兴期末）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
① ；
② ；
③ ；
……
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1， (其中 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；
【答案】解：第五个算式为：112-92=8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n-1（其中 n 为正整数），
则（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=2×4n=8n．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．
19．（2020七下·肃州期末）如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 .（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 .
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 .
②计算：
③计算：
【答案】（1）
（2）a-b；a+b；(a+b)(a-b)
（3） 或
（4）3； ；
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图1可知：阴影部分的面积为
故答案为： ；
（ 2 ）由图2可知：长方形的宽为：a-b；长为a+b；面积为：
故答案为：a-b；a+b； ；
（ 3 ）由（1）（2）可得： 或 ；
故答案为： 或
（4）①∵ ， ， ∴∴，
故答案为：3；
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出结论；
（2）分别用a、b表示出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式即可得出结论；
（3）利用（1）（2）的结论即可得出公式；
（4）①将 因式分解，然后代入求值即可；②利用平方差公式进行简便运算即可；③利用平方差公式进行简便运算即可.
1 / 1初中数学湘教版七年级下册2.2.1平方差公式 同步训练
一、单选题
1．（2020七下·岑溪期末）计算 的结果是（ ）
A．2a-4 B． C． D．
2．（2020七下·张掖期末）下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．(a3+b3)(a3﹣b3) B．(a2+b2)(b2﹣a2)
C．(2x2y+1)(2x2y﹣1) D．(x2﹣2y)(2x+y2)
3．（2020七下·天府新期末）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝(a﹣b)2 B．a2﹣ab＝a(a﹣b)
C．a2﹣b2＝(a﹣b)2 D．a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)
4．（2020七下·河南月考）在下列多项式中，与 相乘的结果是 的多项式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020七上·上海期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020七下·南岸期末）下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
7．（2020七下·三水期末）为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（ ）
A．[(a+c)﹣b] [(a﹣c)+b] B．[(a﹣b)+c][(a+b)﹣c]
C．[a﹣(b+c)] [a+(b﹣c)] D．[a﹣(b﹣c)] [a+(b﹣c)]
8．（2020七下·济南期末）已知 ， 则 的值是（ ）
A．11 B．15 C．56 D．60
9．（2020七下·高邑月考）计算（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1）的结果是（ ）
A．x +1 B．x ﹣1 C．（x+1） D．（x﹣1）
10．（2020七下·鼓楼期中）分别表示出下图阴影部分的面积，可以验证公式（ ）
A．(a+b)2=a2+2ab+b2 B．(a-b)2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=(a+b)(a-b) D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
二、填空题
11．（2020七下·仪征期末）若 ，则 = .
12．（2020七下·毕节期末）计算：
13．（2020七下·鼓楼期末）如果有理数x，y满足方程组 那么x2－y2＝ .
14．（2020七下·太原期中）如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式 ．
三、综合题
15．（2020七上·上海期中）计算：
16．（2020七下·上海期中）计算：
17．（2020七下·中卫月考）对于算式 .
（1）不用计算器，你能计算出来吗；
（2）求出它计算的结果的个位是几.
18．（2020七下·定兴期末）老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律.请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
① ；
② ；
③ ；
……
试写出符合上述规律的第五个算式；
验证：设两个连续奇数为2n+1， (其中 为正整数)，并说明它们的平方差是8的倍数；
19．（2020七下·肃州期末）如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 .（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 .
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 .
②计算：
③计算：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝（2＋a）（2 a）＝ ，
故答案为：C.
【分析】先把原式化成（2+a）（2-a）的形式，然后直接利用平方差公式进行计算，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】选项A中，a3与a3相等，b3与 b3互为相反数，故能用平方差公式计算；
选项B中，a2与 a2互为相反数，b2与b2相等，故能用平方差公式计算；
选项C中，2x2y与2x2y相等，1与－1互为相反数，故能用平方差公式计算；
选项D中，x2与2x、－2y与y2均不相等也不互为相反数，故不能用平方差公式计算；
综上所述，答案选D.
【分析】由互为相反数的两多项式相乘才能用平方差公式计可得正确答案.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；
拼成的长方形的面积为：(a+b)×(a﹣b)，
所以得出：a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)，
故答案为：D．
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为(a+b)，宽为(a﹣b)，根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：(a+b)×(a﹣b)，因为面积相等，进而得出结论．
4．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】（ ）（ ）= .
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. ，不能用平方差公式计算，故A不符合题意；
B. ，不能用平方差公式计算，故B不符合题意；
C. ，可以用平方差公式计算，故C符合题意；
D. ，不能用平方差公式计算，故D不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式对选项进行判断即可。
6．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. ，正确；
B. ，正确；
C. ，错误；
D. ，正确.
故答案为：C.
【分析】平方差公式： ，根据公式分别计算判断即可。
7．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]．
选项A，B，C不符合平方差公式的结构特征，只有选项D是正确的，
故答案为：D．
【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项．
8．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b=7，a-b=8，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=7×8=56．
故答案为：C．
【分析】直接利用平方差公式将a2-b2分解为(a+b)(a-b)，代入数据后即可得出结论．
9．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】（x4+1）（x2+1）（x+1）（x﹣1），
＝（x4+1）（x2+1）（x2﹣1），
＝（x4+1）（x4﹣1），
＝x8﹣1．
故答案为：B．
【分析】多次利用平方差公式计算即可.
10．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：梯形面积等于： ，
正方形中阴影部分面积为：a2-b2，
故a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：C.
【分析】直接利用图形面积求法得出等式，进而得出答案.
11．【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：-1.
【分析】利用平方差公式将原多项式分解因式，然后整体代入进行计算，即可得到答案.
12．【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】 =-1
故答案为：-1.
【分析】将2021×2019转化为（2020+1）（2020-1），再利用平方差公式进行计算。
13．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】 ，
①×2得，2x+2y=8③，
②+③得，4x=9，
解得x= ，
把x= 代入①得， +y=4，
解得y= ，
∴方程组的解是 ，
∴x2-y2=（ ）2-（ ）2= .
【分析】把第一个方程乘以2，然后利用加减消元法求解得到x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解.
14．【答案】(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图①中阴影部分面积＝(a+2)(a﹣2)，图②中阴影部分面积＝a2﹣4，
∵图①和图②的阴影面积相等，
∴(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4，
故答案为：(a+2)(a﹣2)＝a2﹣4．
【分析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．
15．【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】利用平方差公式计算即可.
16．【答案】
．
【知识点】平方差公式及应用；积的乘方
【解析】【分析】逆用积的乘方，再运用平方差公式计算即可．
17．【答案】（1）解：原式＝（3 1）（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）＋1
＝（32 1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）＋1
＝（34 1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）＋1
＝（332 1）（332＋1）＋1
＝364.
（2）解：根据31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243发现四次一循环，
∵64÷4＝16，
∴364的末位数字为1.
【知识点】平方差公式及应用；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）将2转化为（3 1），与（3＋1）配成平方差公式，其结果为（32 1），与（32＋1）又配成平方差公式，依此类推，可得结果.（2）根据31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243发现四次一循环，利用这一规律即可确定答案.
18．【答案】解：第五个算式为：112-92=8×5；
验证：设两个连续奇数为 2n+1，2n-1（其中 n 为正整数），
则（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）=2×4n=8n．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【分析】仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．
19．【答案】（1）
（2）a-b；a+b；(a+b)(a-b)
（3） 或
（4）3； ；
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图1可知：阴影部分的面积为
故答案为： ；
（ 2 ）由图2可知：长方形的宽为：a-b；长为a+b；面积为：
故答案为：a-b；a+b； ；
（ 3 ）由（1）（2）可得： 或 ；
故答案为： 或
（4）①∵ ， ， ∴∴，
故答案为：3；
【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得出结论；
（2）分别用a、b表示出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式即可得出结论；
（3）利用（1）（2）的结论即可得出公式；
（4）①将 因式分解，然后代入求值即可；②利用平方差公式进行简便运算即可；③利用平方差公式进行简便运算即可.
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