浙江省2021年数学学考模拟卷
一、单选题
1．（2020高一上·铜山期中）已知集合 ， ，则 （ ）
A．{0} B．{1} C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合 ， ，
根据集合的交集的运算，可得 .
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解.
2．（2020高一下·北京期中）函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】因为函数
所以最小正周期是
故答案为：A
【分析】根据三角函数的周期公式求解.
3．（2020高一上·河南月考）计算： （ ）.
A．5 B．25 C．±5 D．±25
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 ，
故答案为：A.
【分析】直接根据指数的运算性质即可得结果.
4．（2020高二上·天津月考）直线 的倾斜角为（ ）
A．90° B．30° C．0° D．180°
【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：因为直线方程为 ，所以
所以直线的倾斜角 ，满足 ，
所以直线 的倾斜角为
故答案为：B
【分析】先求直线的斜率，再根据斜率求倾斜角.
5．（2020高一上·北京期中）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由函数解析式，知： ，
解之得： 且 ，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式的性质求定义域即可.
6．（2020高二上·郓城月考）已知空间向量 ， ，且 ，则实数 （ ）
A． B．-3 C． D．6
【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，即： ，
所以 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案.
7．（2020高二上·保定期中）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意双曲线标准方程为 ， ， ，焦点在 轴，
渐近线方程为 ，
故答案为：C．
【分析】根据双曲线方程写出 ，根据焦点位置得渐近线方程．
8．（2020高二上·林芝期末）若x，y满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A．-5 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线 到可行域边界 的位置，由此求得目标函数的最大值为 .
故答案为：D.
【分析】画出可行域，向上平移基准直线 到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.
9．（2020高二下·上饶期末）若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A．12 B．36 C．27 D．6
【答案】B
【知识点】由三视图还原几何体；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知：该三棱柱的底面为高为 的正三角形，边长为 ，底面面积为 ，三棱柱的高为4，则三棱柱的体积为 。
【分析】利用三视图还原立体几何图形为棱柱，再利用三视图中的数据对应棱柱中线段的长度结合已知条件此棱柱是一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的几何图形，再利用正三角形的结构特征和线面垂直的定义推出线线垂直，求出三棱柱底面的边长和高，从而结合三角形面积公式求出三棱柱底面的面积，最后再用棱柱的体积公式求出这个棱柱的体积。
10．（2019高一上·株洲月考）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】原不等式等价于 或 或
或 或 或 或 或 ．
D符合题意．
故答案为：D
【分析】讨论 与-2与1的大小关系，将绝对值拿掉，再解不等式即可．
11．（2020高一下·无锡期中）已知两条直线m，n和平面 ，那么下列命题中的真命题为（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则 或
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】对于A选项，若 ， ，则 或 ，A不符合题意
对于B选项，若 ， ，则 或 与 相交或异面，B不符合题意
对于C选项，若 ， ，则 或 ，C不符合题意
对于D选项，若 ， ，则 或 ，D符合题意
故答案为：D
【分析】利用线面平行的判定与性质，即可得出结论
12．（2020高二上·台州开学考）等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则当 取得最大值时， （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】因为等差数列 中 ， ，
所以可知数列 单调递减，且 ，
所以 取得最大值时， 7，
故答案为：C
【分析】由等差数列中 可知数列递减，又 可知 ，即可求解.
13．（2019·黄山模拟）设a>0且a≠1，则“b>a”是“logab>1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件
【解析】【解答】解：由,因此b>a是的既不充分也不必要.
故答案为：D
【分析】利用对数函数的单调性解对a分情况解出不等式即可得出结论。
14．（2020·泰安模拟）已知函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】令 即 ，解得 .
若 有意义，则 即 .
故答案为：D.
【分析】根据 定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.
15．（2020高三上·和平期中）函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由题， 的定义域为 ，
因为 ，所以 是偶函数，图象关于 轴对称，故排除A、C；
又因为 ，则当 时， ， ，所以 ，
故答案为：D
【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C，再由 时， 的趋向性判断选项即可
16．（2020高一下·温州期末）若实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ，
则
，
当且仅当 且 时取等号，
即 时取等号，
此时取得最小值3．
故答案为：B．
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．
17．在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．
∴|MP|=|PF|，
∴|PO|﹣|PF|=|PO|﹣|PM|=|MO|（定值），
又显然|MO|＜|FO|，
∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的双曲线．
故选：A．
【分析】根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PO|﹣|PF|=|PO|﹣|PM|=|MO|结果为定值，进而根据双曲线的定义推断出点P的轨迹．
18．（2020高二下·衢州期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱 中，D是棱 的中点，记直线
与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题可知，直三棱柱 的底面为锐角三角形，D是棱 的中点，
设三棱柱 是棱长为 的正三棱柱，
以 为原点，在平面 中，过 作 的垂线为 轴，
为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ， ，
直线 与直线 所成的角为 ， ，
，
直线 与平面 所成的角为 ， ，
平面 的法向量 ，
，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
取 ，得 ，
二面角 的平面角为 ，
由图可知， 为锐角，即 ，
，
，
由于 在区间 上单调递减，
，则 .
故答案为：A.
【分析】设三棱柱 是棱长为 的正三棱柱，D是棱 的中点，以A为原点，在平面 中，过A作 的垂线为x轴， 为y轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法和空间夹角公式分别求出 ， 和 ，即可比较出 的大小.
二、填空题
19．（2019高一上·杭州期中）已知函数 则 ， ．
【答案】3；9
【知识点】函数的值
【解析】【解答】∵函数
∴ ，所以 .
故答案为：3；9．
【分析】根据函数解析式，直接代入，即可得出结果.
20．（2020高二上·辽源月考）直线 经过椭圆 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对直线 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故椭圆的右焦点坐标为 ，上顶点坐标为 ，
则 ，则 ，
故椭圆离心率 .
故答案为： .
【分析】求得直线在 轴上的截距，则可得 ，再求得 ，则离心率得解.
21．（2018高二上·武邑月考）已知数列 满足： ，且 ，则 ；
【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由 可得： ，结合 有：
， ， ，
则数列 是周期为3的数列，则 .
【分析】根据所给数列的递推式得出数列 是周期为3的数列，根据周期性得出结果。
22．（2020高三上·奉新月考）已知等腰直角三角形 中， ， 顺次为线段 的九等分点，则 的最大值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系
等腰直角三角形 中， ，
，
，
，
，
，
或 时 最大，
此时 .
故答案为：
【分析】先建立平面直角坐标系，求出点的坐标，将 用坐标表示出来，再求出最大值.
三、解答题
23．（2020高三上·合肥月考）已知：在 中，三个内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，且 ， ．
（1）当 时，求 的面积；
（2）当 为锐角三角形时，求 的取值范围．
【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，∴ ．
当 时，由 得 ．
又∵ ，∴ ．
由余弦定理得， ，
∴ ，解得 或 ．
当 时， 的面积 ；
当 时， 的面积
（2）解：∵ 为锐角三角形， ，
∴ ，∴ ．
依题意得 ，∴ ．
∴
，
， ，
的取值范围是
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理得 ，建立 的方程，结合已知 ，求出 ，再由余弦定理，求出 ，即可得出结论；（2）根据（1）得出 ，由已知锐角三角形，求出 范围，将 代入所求式子，利用三角恒等变换，化所求为正弦型三角函数，结合正弦函数的性质，即可求解.
24．（2020高二下·丽水期末）如图，直线l与抛物线 相交于 两点，与x轴交于点Q，且 ， 于点 .
（1）当 时，求m的值；
（2）当 时，求 与 的面积之积 的取值范围.
【答案】（1）解：当直线l与抛物线 相交于 两点时，斜率不为零，
设直线 方程为 ，其中
由 ，消去 得 ，
设 ， ，
则有 ， ，
，
，即 ，
，直线 为： ，点 ，
，
，即
而
解得 ；
（2）解：由（1）得 ， ，
，
，且 ，
所以直线 与直线 斜率均存在，
又 ，
，即 ，又由（1）
，
，
，
，
，
当 时， 去最大值 ，
当 时， 去最小值 ，
的取值范围为 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设直线 方程为 ，与抛物线联立， ， ，利用韦达定理，代入 ，可得 ，再根据 ，利用斜率乘积为-1，列方程求解即可；（2）由（1）可得 ，再根据 ，求出 ，结合（1）中的 消去n，通过三角形面积公式可得 ， ，相乘，转化为二次函数的最值求解即可.
25．（2020高二下·宁波月考）已知函数 是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数 在区间 上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）求不等式 的解集.
【答案】（1）解：设 ，则 ，所以
因为 是奇函数，所以
所以
（2）解： 的图像为
因为函数 在区间 上单调递增
所以
所以
（3）解：由 可得 ，即
当 时 ，由图像可得
当 时 ，由图像可得
综上：
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象
【解析】【分析】（1）利用 即可求出 ；（2）画出图像，观察图像即可建立不等式求解；（3）由 可得 ，然后分 和 两种情况讨论，每种情况结合图像即可得到答案.
1 / 1浙江省2021年数学学考模拟卷
一、单选题
1．（2020高一上·铜山期中）已知集合 ， ，则 （ ）
A．{0} B．{1} C． D．
2．（2020高一下·北京期中）函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高一上·河南月考）计算： （ ）.
A．5 B．25 C．±5 D．±25
4．（2020高二上·天津月考）直线 的倾斜角为（ ）
A．90° B．30° C．0° D．180°
5．（2020高一上·北京期中）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
6．（2020高二上·郓城月考）已知空间向量 ， ，且 ，则实数 （ ）
A． B．-3 C． D．6
7．（2020高二上·保定期中）双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·林芝期末）若x，y满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A．-5 B．1 C．2 D．4
9．（2020高二下·上饶期末）若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A．12 B．36 C．27 D．6
10．（2019高一上·株洲月考）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2020高一下·无锡期中）已知两条直线m，n和平面 ，那么下列命题中的真命题为（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则 或
12．（2020高二上·台州开学考）等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则当 取得最大值时， （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
13．（2019·黄山模拟）设a>0且a≠1，则“b>a”是“logab>1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2020·泰安模拟）已知函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2020高三上·和平期中）函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2020高一下·温州期末）若实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为（ ）
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
18．（2020高二下·衢州期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱 中，D是棱 的中点，记直线
与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
19．（2019高一上·杭州期中）已知函数 则 ， ．
20．（2020高二上·辽源月考）直线 经过椭圆 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于 ．
21．（2018高二上·武邑月考）已知数列 满足： ，且 ，则 ；
22．（2020高三上·奉新月考）已知等腰直角三角形 中， ， 顺次为线段 的九等分点，则 的最大值为 ．
三、解答题
23．（2020高三上·合肥月考）已知：在 中，三个内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，且 ， ．
（1）当 时，求 的面积；
（2）当 为锐角三角形时，求 的取值范围．
24．（2020高二下·丽水期末）如图，直线l与抛物线 相交于 两点，与x轴交于点Q，且 ， 于点 .
（1）当 时，求m的值；
（2）当 时，求 与 的面积之积 的取值范围.
25．（2020高二下·宁波月考）已知函数 是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数 在区间 上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）求不等式 的解集.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合 ， ，
根据集合的交集的运算，可得 .
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】因为函数
所以最小正周期是
故答案为：A
【分析】根据三角函数的周期公式求解.
3．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】 ，
故答案为：A.
【分析】直接根据指数的运算性质即可得结果.
4．【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：因为直线方程为 ，所以
所以直线的倾斜角 ，满足 ，
所以直线 的倾斜角为
故答案为：B
【分析】先求直线的斜率，再根据斜率求倾斜角.
5．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由函数解析式，知： ，
解之得： 且 ，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式的性质求定义域即可.
6．【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，即： ，
所以 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意双曲线标准方程为 ， ， ，焦点在 轴，
渐近线方程为 ，
故答案为：C．
【分析】根据双曲线方程写出 ，根据焦点位置得渐近线方程．
8．【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线 到可行域边界 的位置，由此求得目标函数的最大值为 .
故答案为：D.
【分析】画出可行域，向上平移基准直线 到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.
9．【答案】B
【知识点】由三视图还原几何体；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知：该三棱柱的底面为高为 的正三角形，边长为 ，底面面积为 ，三棱柱的高为4，则三棱柱的体积为 。
【分析】利用三视图还原立体几何图形为棱柱，再利用三视图中的数据对应棱柱中线段的长度结合已知条件此棱柱是一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的几何图形，再利用正三角形的结构特征和线面垂直的定义推出线线垂直，求出三棱柱底面的边长和高，从而结合三角形面积公式求出三棱柱底面的面积，最后再用棱柱的体积公式求出这个棱柱的体积。
10．【答案】D
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】原不等式等价于 或 或
或 或 或 或 或 ．
D符合题意．
故答案为：D
【分析】讨论 与-2与1的大小关系，将绝对值拿掉，再解不等式即可．
11．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】对于A选项，若 ， ，则 或 ，A不符合题意
对于B选项，若 ， ，则 或 与 相交或异面，B不符合题意
对于C选项，若 ， ，则 或 ，C不符合题意
对于D选项，若 ， ，则 或 ，D符合题意
故答案为：D
【分析】利用线面平行的判定与性质，即可得出结论
12．【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】因为等差数列 中 ， ，
所以可知数列 单调递减，且 ，
所以 取得最大值时， 7，
故答案为：C
【分析】由等差数列中 可知数列递减，又 可知 ，即可求解.
13．【答案】D
【知识点】充分条件；必要条件；充要条件
【解析】【解答】解：由,因此b>a是的既不充分也不必要.
故答案为：D
【分析】利用对数函数的单调性解对a分情况解出不等式即可得出结论。
14．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】令 即 ，解得 .
若 有意义，则 即 .
故答案为：D.
【分析】根据 定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.
15．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由题， 的定义域为 ，
因为 ，所以 是偶函数，图象关于 轴对称，故排除A、C；
又因为 ，则当 时， ， ，所以 ，
故答案为：D
【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C，再由 时， 的趋向性判断选项即可
16．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ，
则
，
当且仅当 且 时取等号，
即 时取等号，
此时取得最小值3．
故答案为：B．
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．
17．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．
∴|MP|=|PF|，
∴|PO|﹣|PF|=|PO|﹣|PM|=|MO|（定值），
又显然|MO|＜|FO|，
∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的双曲线．
故选：A．
【分析】根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PO|﹣|PF|=|PO|﹣|PM|=|MO|结果为定值，进而根据双曲线的定义推断出点P的轨迹．
18．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题可知，直三棱柱 的底面为锐角三角形，D是棱 的中点，
设三棱柱 是棱长为 的正三棱柱，
以 为原点，在平面 中，过 作 的垂线为 轴，
为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ， ，
直线 与直线 所成的角为 ， ，
，
直线 与平面 所成的角为 ， ，
平面 的法向量 ，
，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
取 ，得 ，
二面角 的平面角为 ，
由图可知， 为锐角，即 ，
，
，
由于 在区间 上单调递减，
，则 .
故答案为：A.
【分析】设三棱柱 是棱长为 的正三棱柱，D是棱 的中点，以A为原点，在平面 中，过A作 的垂线为x轴， 为y轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法和空间夹角公式分别求出 ， 和 ，即可比较出 的大小.
19．【答案】3；9
【知识点】函数的值
【解析】【解答】∵函数
∴ ，所以 .
故答案为：3；9．
【分析】根据函数解析式，直接代入，即可得出结果.
20．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】对直线 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故椭圆的右焦点坐标为 ，上顶点坐标为 ，
则 ，则 ，
故椭圆离心率 .
故答案为： .
【分析】求得直线在 轴上的截距，则可得 ，再求得 ，则离心率得解.
21．【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由 可得： ，结合 有：
， ， ，
则数列 是周期为3的数列，则 .
【分析】根据所给数列的递推式得出数列 是周期为3的数列，根据周期性得出结果。
22．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系
等腰直角三角形 中， ，
，
，
，
，
，
或 时 最大，
此时 .
故答案为：
【分析】先建立平面直角坐标系，求出点的坐标，将 用坐标表示出来，再求出最大值.
23．【答案】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，∴ ．
当 时，由 得 ．
又∵ ，∴ ．
由余弦定理得， ，
∴ ，解得 或 ．
当 时， 的面积 ；
当 时， 的面积
（2）解：∵ 为锐角三角形， ，
∴ ，∴ ．
依题意得 ，∴ ．
∴
，
， ，
的取值范围是
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理得 ，建立 的方程，结合已知 ，求出 ，再由余弦定理，求出 ，即可得出结论；（2）根据（1）得出 ，由已知锐角三角形，求出 范围，将 代入所求式子，利用三角恒等变换，化所求为正弦型三角函数，结合正弦函数的性质，即可求解.
24．【答案】（1）解：当直线l与抛物线 相交于 两点时，斜率不为零，
设直线 方程为 ，其中
由 ，消去 得 ，
设 ， ，
则有 ， ，
，
，即 ，
，直线 为： ，点 ，
，
，即
而
解得 ；
（2）解：由（1）得 ， ，
，
，且 ，
所以直线 与直线 斜率均存在，
又 ，
，即 ，又由（1）
，
，
，
，
，
当 时， 去最大值 ，
当 时， 去最小值 ，
的取值范围为 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设直线 方程为 ，与抛物线联立， ， ，利用韦达定理，代入 ，可得 ，再根据 ，利用斜率乘积为-1，列方程求解即可；（2）由（1）可得 ，再根据 ，求出 ，结合（1）中的 消去n，通过三角形面积公式可得 ， ，相乘，转化为二次函数的最值求解即可.
25．【答案】（1）解：设 ，则 ，所以
因为 是奇函数，所以
所以
（2）解： 的图像为
因为函数 在区间 上单调递增
所以
所以
（3）解：由 可得 ，即
当 时 ，由图像可得
当 时 ，由图像可得
综上：
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的图象
【解析】【分析】（1）利用 即可求出 ；（2）画出图像，观察图像即可建立不等式求解；（3）由 可得 ，然后分 和 两种情况讨论，每种情况结合图像即可得到答案.
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