初中数学湘教版七年级下册第二章 整式的乘法 单元测试（提高篇）
一、单选题
1．（2020七下·覃塘期末）若 ，则 的值为（ ）
A．-64 B．-48 C．48 D．64
2．（2020七下·杭州期末）我们知道：若am＝an（a＞0且a≠1），则m＝n.设5m＝3，5n＝15，5p＝75.现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2020七下·孝感期中）已知多项式 的积中x的一次项系数为零，则m的值是（ ）
A．1 B．–1 C．–2 D．
4．（2020七下·温州期末）如图所示，以长方形 的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长之和为 ，面积之和为 ，则长方形 的面积为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
5．（2020七下·仪征期末）已知 M = a2 - a ， N = a -1（ a 为任意实数），则 M 、 N 的大小关系为（ ）
A．M＞ N B．M≥N C．M＜ N D．M≤ N
6．（2020七下·郏县期末）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到 个代数恒等式：① ；② ；③ ；④ 其中正确的有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
7．（2020七下·枣庄期中）已知实数 满足 ，且 ，则a-b的值为（ ）
A．6 B．-6 C．14 D．-14
8．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=( )
A．24 B．25
C．26 D．28
9．（2019七下·漳州期末）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
10．（2020七下·郑州期末）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙。若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．33 B．30 C．27 D．24
11．（2019七下·兰州月考）观察下列各式及其展开式：（ ）
……
你猜想 的展开式第三项的系数是（ ）
A．66 B．55 C．45 D．36
12．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
二、填空题
13．（2019七上·义乌月考）观察下列各数，按照某种规律在横线上填上一个适当的数。
， ， ， ， ， .
14．（2020七下·昌平期末）观察、归纳：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
⑴（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝ ﹣1；
⑵计算：1+2+22+…+22019＝ ．
15．（2019七下·顺德月考） 的个位数字是 ．
16．一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：22-12=3，则3就是智慧数；22-02=4，则4就是智慧数．
从0开始第7个智慧数是 ；不大于200的智慧数共有 ．
17．（2010·华罗庚金杯竞赛）在2001、2002、…、2010这10个数中，不能表示成两个平方数差的数有 个。
18．（2019七下·涡阳期末）已知a2+ab+b2=7，a2-ab+b2=9，则（a+b）2= ．
三、解答题
19． 用乘法公式计算下列各式的值
（1）
（2）(2+1)(22+1)(24+1) (22n+1)
20．计算：（a－b）2m-1·（b－a）2m·（a－b）2m+1，其中m为正整数．
21．证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的两倍．
22．（2020七上·林西期末）阅读探究，理解应用，根据乘方的意义填空，并思考：
（1）
（2）
（3） （m，n是正整数）
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：
根据你发现的规律，完成下列问题：
计算： ； ；
；
（4）已知 ， ，求 的值．
23．（2020七上·长春期中）已知 ， ， ．
（1）当 ， 时， ， ．
（2）当 ， 时， ， ．
（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论： （n为正整数）．
（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如 ， ，…．应用上述等式，求 的值．
24．（2020七下·怀宁期中）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
25．（2020七下·新昌期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 .
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？
如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由.
26．（2019七下·合肥期中）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算：
（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
（1）填空：（3i﹣2）（3+i）＝ ；（1+2i）3（1﹣2i）3＝ ；
（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）a的值；
（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵x2-x-m=（x+n）（x+7）=x2+（7+n）x+7n，
∴7+n=-1，7n=-m
解之：n=-8，m=56
∴m-n=56-（-8）=64.
故答案为：D.
【分析】利用多项式乘以多项式的法则将等式的右边去括号，再根据对应项的系数相等，建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后求出m-n的值。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵5m＝3，
∴5n＝15＝5×3＝5×5m＝51+m，
∴n＝1+m，
∵5p＝75＝52×3＝52+m，
∴p＝2+m，
∴p＝n+1，
①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，故此结论正确；
②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，故此结论错误；
③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）
＝1+m2+2m﹣2m﹣m2
＝1，故此结论正确；
故正确的是：①③.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系.
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】x2-mx+1）（x-2）=x3-2x2-mx2+2mx+x-2=x3+（-2-m）x2+（2m+1）x-2，
∵（x2-x+1）（x-2）的积中x的一次项系数为零，
∴2m+1=0，
解得：m= ，
故答案为：D．
【分析】由题意先根据多项式乘以多项式法则去括号、合并同类项，再根据多项式的积中的一次项系数为0可得关于m的方程，解方程即可求解.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，由题意得，
πa+πb=14π，即：a+b=14，
π×（ ）2+π×（ ）2=29π，即：a2+b2=116，
∴ab= [（a+b）2 （a2+b2）]= （196 116）=40.
故答案为：C.
【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据四个半圆的周长之和为14π，可得a+b=14，根据面积之和为29π，可得a2+b2=116，进而根据完全平方公式的恒等变形求出ab的值即可.
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：B.
【分析】求出M-N的值，再利用平方的非负性可作出判断。
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：观察图形可知，从图中得到4个代数恒等式：
①x（x+y）=x2+xy；②x2+3xy+2y2=（x+y）（x+2y）；④x2+2xy+y2=（x+y）2.
故答案为：C.
【分析】可通过构建长方形，利用长方形的面积的不同形式来验证等式.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式的两个式子推导即可.
8．【答案】A
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【分析】由题意m，n，p，q是四个互不相同的正整数，又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，因为4=-1×2×（-2)×1，然后对应求解出m、n、p、q，从而求解．
【解答】∵m，n，p，q互不相同的是正整数，
又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，
∵4=1×4=2×2，
∴4=-1×2×（-2)×1，∴（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=-1×2×（-2)×1，
∴可设6-m=-1，6-n=2，6-p=-2，6-q=1，
∴m=7，n=4，p=8，q=5，
∴m+n+p+q=7+4+8+5=24，
故选A．
【点评】此题是一道竞赛题，难度较大，不能硬解，要学会分析，把4进行分解因式，此题主要考查多项式的乘积，是一道好题
9．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意， ，
可知，展开式中第二项为
展开式中含 项的系数是2019.
故答案为： D .
【分析】根据表中系数找出规律，根据x2018是（x+1）2019的展开式中的第二项，即可可解决问题.
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b
由图甲得：S1=(a-b)2=3，即：a2-2ab+b2=3
由图乙得：S2=(a+b)2-a2-b2=30，化简得：2ab=30
∴a2+b2-30=3
∴a2+b2=33
故答案为：A.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，把图甲和图乙中的阴影面积用a、b的代数式表示出来，可以得到两个等式，进而得出答案.
11．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：观察上面式子，总结规律可得 的展开式第三项系数为 ，所以 的展开式第三项的系数是
故答案为：C.
【分析】利用各个等式中第三项的系数，可得 的展开式第三项系数为 ，然后将n=10代入计算即可.
12．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
13．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【解答】解：，,,,
；
由此可得：第n项为, 则第6项为.
故答案为：.
【分析】依次分别求出每项数值和项数的关系，得出一般规律，照此求出第6项数值即可.
14．【答案】xn+1；22020﹣1
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据以上等式的规律可得：（1）（x﹣1）（xn+…+ x2+x+1）＝xn+1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+22019）＝22020﹣1，
故答案为：xn+1，22020﹣1．
【分析】（1）由前3个式子归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）在所求的式子的左边乘以(2－1)，再利用得出的规律计算即可求出值．
15．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（32-1）（32+1）（34+1）···（332+1）+1
=（34-1）（34+1）···（332+1）+1
=（38-1）···（332+1）+1
=364-1+1
=364
∴其个位数字为1.
【分析】根据平方差公式，将式子进行变形，根据公式计算得到结果即可。
16．【答案】8；151
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律．
①∵02-02=0，∴0是智慧，
②因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数， ③因为（n+2）2-n2=4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数．
由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，
从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20…
即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．
∴从0开始第7个智慧数是：8；
故答案为：8；
（ 2 ）∵200÷4=50，
∴不大于200的智慧数共有：50×3+1=151．
故答案为：151．
【分析】根据题意先找到智慧数的分布规律，由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数，所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数；由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，得到从0开始第7个智慧数是8.
17．【答案】3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：对x=n2-m2=（n+m）（n-m），（m＜n，m，n为整数）
因为n+m与n-m同奇同偶，所以x是奇数或是4的倍数，
在2001、2002、…、2010这10个数中，奇数有5个，能被4整除的数有2个，
所以能表示成两个平方数差的数有5+2=7个，
则不能表示成两个平方数差的数有10-7=3个．
故答案为：3．
【分析】根据平方差公式得到n+m与n-m同奇同偶，得到x是奇数或是4的倍数，这10个数中，奇数有5个，能被4整除的数有2个，所以能表示成两个平方数差的数有5+2个；不能表示成两个平方数差的数有10-7个.
18．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2+ab+b2=7①，a2-ab+b2=9②，
∴①+②得：2（a2+b2）=16，即a2+b2=8，
①-②得：2ab=-2，即ab=-1，
则原式=a2+b2+2ab=8-2=6，
故答案为：6
【分析】已知两等式相加减求出a2+b2与ab的值，原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
19．【答案】（1）解：原式=20002-1999×（2000+1），
=20002-1999×2000-1999×1，
=2000×（2000-1999）-1999，
=2000-1999，
=1.
（2）解：原式=，
=（22-1）（22+1）（24+1）……（22n+1），
=（24-1）（24+1）……（22n+1），
=24n-1.
【知识点】有理数的乘法运算律；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将2001拆分成2000+1，再利用乘法分配律计算即可.
（2）分子分母同时乘以2-1，利用平方差公式化简计算即可.
20．【答案】 因为m为正整数，所以2m为正偶数，
则
因为m为正整数，所以2m-1,2m+1都是正奇数，
则
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【分析】根据整式的运算性质，结合（a-b）以及（b-a）的符号关系，分别进行讨论，得到答案即可。
21．【答案】证明：设较小的奇数为2n-1，则较大的奇数为2n+1，
∵（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数；
∵2n+1+2n-1=4n，
∴（2n+1）2-（2n-1）2=2【（2n+1）+（2n-1）】，
∴两个连续奇数的平方差等于这两个数的和的两倍.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】设较小的奇数为2n-1，则较大的奇数为2n+1，分别求出这两个数的平方差和这两个数的和，即可得证.
22．【答案】（1）7
（2）5
（3）； （ ， 为正整数）；；；
（4）因为 ，且 ， ，
所以 ．
【知识点】同底数幂的乘法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：7；（2） ；
故答案为：5；（3） ；
故答案为： ；
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有： （m、n为正整数）；
① ； ； ；
故答案为： ； ； ；
【分析】（1）直接根据乘方的意义即可写出答案；（2）直接根据乘方的意义即可写出答案；（3）根据乘方的意义解答即可；从底数和指数两个角度进行总结即得规律；①根据总结的规律解答即可；②根据 代入数据计算即可．
23．【答案】（1）-32；-32
（2）1000000；1000000
（3）
（4）解：
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】（1）当 ， 时， ， ．（2）当 ， 时， ， ．（3） （n为正整数）．
【分析】（1）将a、b值分别代入计算即可；
（2）将a、b值分别代入计算即可；
（3）根据（1）（2）结论得出 （n为正整数）；
（4）先将原式化为 ，再利用总结的规律得出，然后计算即得.
24．【答案】（1）-11
（2）63.5
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：
1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0
∴a=-3．
（4）2021．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
25．【答案】（1）
（2）
（3）解：能拼成长方形.
如图.（不止一种）画图正确得分.
等式： .
（等式左右两边交换不扣分）
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【分析】 (1) 图1阴影部分面积为S1=a2-b2，图1阴影部分面积为S2=，根据展开前后图形的面积相等得到S1=S2，所以 ;
(2) 图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab，图4的面积S4=(a+b)2,因为图4为图3的四个图形拼成，所以S3=S4，即 ；
(3) 图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab，画出的长方形的面积S=(a+b)(2a+b)，因为画出的长方形为图5的六个图形拼成，所以S5=S，即 .
26．【答案】（1）7i﹣9；125
（2）解：∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，
又a+bi是（1+2i）2的共轭复数，
∴a＝﹣3，b＝﹣4，
∴（b﹣a）a＝（﹣4+3）﹣3＝﹣1，
∴（b﹣a）a的值为﹣1
（3）解：∵（a+i）（b+i）＝1﹣3i，
∴ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，
∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3，
∴ab＝2，a+b＝﹣3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣2×2＝5，
∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，
i2+i3+i4+…+i2019有2018个加数，2018÷4＝504…2，
∴i2+i3+i4+…+i2019＝0+i2018+i2019＝i2016 i2+i2016 i3＝﹣1﹣i，
∴（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）＝5（﹣1﹣i）＝﹣5﹣5i．
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：（3i﹣2）（3+i）＝9i﹣3﹣6﹣2i＝7i﹣9；
（1+2i）3（1﹣2i）3＝[（1+2i）（1﹣2i）]3＝（1﹣4i2）3＝（1+4）3＝125；
故答案为：7i﹣9；125
【分析】（1）按照定义计算即可；（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5=-1-i+1+i=0，4个一组，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案．
1 / 1初中数学湘教版七年级下册第二章 整式的乘法 单元测试（提高篇）
一、单选题
1．（2020七下·覃塘期末）若 ，则 的值为（ ）
A．-64 B．-48 C．48 D．64
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵x2-x-m=（x+n）（x+7）=x2+（7+n）x+7n，
∴7+n=-1，7n=-m
解之：n=-8，m=56
∴m-n=56-（-8）=64.
故答案为：D.
【分析】利用多项式乘以多项式的法则将等式的右边去括号，再根据对应项的系数相等，建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后求出m-n的值。
2．（2020七下·杭州期末）我们知道：若am＝an（a＞0且a≠1），则m＝n.设5m＝3，5n＝15，5p＝75.现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n；②m+n＝2p﹣1；③n2﹣mp＝1.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵5m＝3，
∴5n＝15＝5×3＝5×5m＝51+m，
∴n＝1+m，
∵5p＝75＝52×3＝52+m，
∴p＝2+m，
∴p＝n+1，
①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，故此结论正确；
②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，故此结论错误；
③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）
＝1+m2+2m﹣2m﹣m2
＝1，故此结论正确；
故正确的是：①③.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系.
3．（2020七下·孝感期中）已知多项式 的积中x的一次项系数为零，则m的值是（ ）
A．1 B．–1 C．–2 D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】x2-mx+1）（x-2）=x3-2x2-mx2+2mx+x-2=x3+（-2-m）x2+（2m+1）x-2，
∵（x2-x+1）（x-2）的积中x的一次项系数为零，
∴2m+1=0，
解得：m= ，
故答案为：D．
【分析】由题意先根据多项式乘以多项式法则去括号、合并同类项，再根据多项式的积中的一次项系数为0可得关于m的方程，解方程即可求解.
4．（2020七下·温州期末）如图所示，以长方形 的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长之和为 ，面积之和为 ，则长方形 的面积为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，由题意得，
πa+πb=14π，即：a+b=14，
π×（ ）2+π×（ ）2=29π，即：a2+b2=116，
∴ab= [（a+b）2 （a2+b2）]= （196 116）=40.
故答案为：C.
【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据四个半圆的周长之和为14π，可得a+b=14，根据面积之和为29π，可得a2+b2=116，进而根据完全平方公式的恒等变形求出ab的值即可.
5．（2020七下·仪征期末）已知 M = a2 - a ， N = a -1（ a 为任意实数），则 M 、 N 的大小关系为（ ）
A．M＞ N B．M≥N C．M＜ N D．M≤ N
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：
∴
故答案为：B.
【分析】求出M-N的值，再利用平方的非负性可作出判断。
6．（2020七下·郏县期末）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到 个代数恒等式：① ；② ；③ ；④ 其中正确的有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：观察图形可知，从图中得到4个代数恒等式：
①x（x+y）=x2+xy；②x2+3xy+2y2=（x+y）（x+2y）；④x2+2xy+y2=（x+y）2.
故答案为：C.
【分析】可通过构建长方形，利用长方形的面积的不同形式来验证等式.
7．（2020七下·枣庄期中）已知实数 满足 ，且 ，则a-b的值为（ ）
A．6 B．-6 C．14 D．-14
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵
∴
∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式的两个式子推导即可.
8．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=( )
A．24 B．25
C．26 D．28
【答案】A
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【分析】由题意m，n，p，q是四个互不相同的正整数，又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，因为4=-1×2×（-2)×1，然后对应求解出m、n、p、q，从而求解．
【解答】∵m，n，p，q互不相同的是正整数，
又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，
∵4=1×4=2×2，
∴4=-1×2×（-2)×1，∴（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=-1×2×（-2)×1，
∴可设6-m=-1，6-n=2，6-p=-2，6-q=1，
∴m=7，n=4，p=8，q=5，
∴m+n+p+q=7+4+8+5=24，
故选A．
【点评】此题是一道竞赛题，难度较大，不能硬解，要学会分析，把4进行分解因式，此题主要考查多项式的乘积，是一道好题
9．（2019七下·漳州期末）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则 展开式中含 项的系数是
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意， ，
可知，展开式中第二项为
展开式中含 项的系数是2019.
故答案为： D .
【分析】根据表中系数找出规律，根据x2018是（x+1）2019的展开式中的第二项，即可可解决问题.
10．（2020七下·郑州期末）如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙。若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．33 B．30 C．27 D．24
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b
由图甲得：S1=(a-b)2=3，即：a2-2ab+b2=3
由图乙得：S2=(a+b)2-a2-b2=30，化简得：2ab=30
∴a2+b2-30=3
∴a2+b2=33
故答案为：A.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，把图甲和图乙中的阴影面积用a、b的代数式表示出来，可以得到两个等式，进而得出答案.
11．（2019七下·兰州月考）观察下列各式及其展开式：（ ）
……
你猜想 的展开式第三项的系数是（ ）
A．66 B．55 C．45 D．36
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：观察上面式子，总结规律可得 的展开式第三项系数为 ，所以 的展开式第三项的系数是
故答案为：C.
【分析】利用各个等式中第三项的系数，可得 的展开式第三项系数为 ，然后将n=10代入计算即可.
12．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，
∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．
故答案为：A．
【分析】平方具有非负性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2 最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即总不小于2
二、填空题
13．（2019七上·义乌月考）观察下列各数，按照某种规律在横线上填上一个适当的数。
， ， ， ， ， .
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；幂的乘方
【解析】【解答】解：，,,,
；
由此可得：第n项为, 则第6项为.
故答案为：.
【分析】依次分别求出每项数值和项数的关系，得出一般规律，照此求出第6项数值即可.
14．（2020七下·昌平期末）观察、归纳：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
⑴（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝ ﹣1；
⑵计算：1+2+22+…+22019＝ ．
【答案】xn+1；22020﹣1
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
根据以上等式的规律可得：（1）（x﹣1）（xn+…+ x2+x+1）＝xn+1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+22019）＝22020﹣1，
故答案为：xn+1，22020﹣1．
【分析】（1）由前3个式子归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）在所求的式子的左边乘以(2－1)，再利用得出的规律计算即可求出值．
15．（2019七下·顺德月考） 的个位数字是 ．
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（32-1）（32+1）（34+1）···（332+1）+1
=（34-1）（34+1）···（332+1）+1
=（38-1）···（332+1）+1
=364-1+1
=364
∴其个位数字为1.
【分析】根据平方差公式，将式子进行变形，根据公式计算得到结果即可。
16．一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：22-12=3，则3就是智慧数；22-02=4，则4就是智慧数．
从0开始第7个智慧数是 ；不大于200的智慧数共有 ．
【答案】8；151
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律．
①∵02-02=0，∴0是智慧，
②因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数， ③因为（n+2）2-n2=4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数．
由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，
从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20…
即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．
∴从0开始第7个智慧数是：8；
故答案为：8；
（ 2 ）∵200÷4=50，
∴不大于200的智慧数共有：50×3+1=151．
故答案为：151．
【分析】根据题意先找到智慧数的分布规律，由平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数，所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数；由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，得到从0开始第7个智慧数是8.
17．（2010·华罗庚金杯竞赛）在2001、2002、…、2010这10个数中，不能表示成两个平方数差的数有 个。
【答案】3
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：对x=n2-m2=（n+m）（n-m），（m＜n，m，n为整数）
因为n+m与n-m同奇同偶，所以x是奇数或是4的倍数，
在2001、2002、…、2010这10个数中，奇数有5个，能被4整除的数有2个，
所以能表示成两个平方数差的数有5+2=7个，
则不能表示成两个平方数差的数有10-7=3个．
故答案为：3．
【分析】根据平方差公式得到n+m与n-m同奇同偶，得到x是奇数或是4的倍数，这10个数中，奇数有5个，能被4整除的数有2个，所以能表示成两个平方数差的数有5+2个；不能表示成两个平方数差的数有10-7个.
18．（2019七下·涡阳期末）已知a2+ab+b2=7，a2-ab+b2=9，则（a+b）2= ．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2+ab+b2=7①，a2-ab+b2=9②，
∴①+②得：2（a2+b2）=16，即a2+b2=8，
①-②得：2ab=-2，即ab=-1，
则原式=a2+b2+2ab=8-2=6，
故答案为：6
【分析】已知两等式相加减求出a2+b2与ab的值，原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
三、解答题
19． 用乘法公式计算下列各式的值
（1）
（2）(2+1)(22+1)(24+1) (22n+1)
【答案】（1）解：原式=20002-1999×（2000+1），
=20002-1999×2000-1999×1，
=2000×（2000-1999）-1999，
=2000-1999，
=1.
（2）解：原式=，
=（22-1）（22+1）（24+1）……（22n+1），
=（24-1）（24+1）……（22n+1），
=24n-1.
【知识点】有理数的乘法运算律；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将2001拆分成2000+1，再利用乘法分配律计算即可.
（2）分子分母同时乘以2-1，利用平方差公式化简计算即可.
20．计算：（a－b）2m-1·（b－a）2m·（a－b）2m+1，其中m为正整数．
【答案】 因为m为正整数，所以2m为正偶数，
则
因为m为正整数，所以2m-1,2m+1都是正奇数，
则
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【分析】根据整式的运算性质，结合（a-b）以及（b-a）的符号关系，分别进行讨论，得到答案即可。
21．证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的两倍．
【答案】证明：设较小的奇数为2n-1，则较大的奇数为2n+1，
∵（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数；
∵2n+1+2n-1=4n，
∴（2n+1）2-（2n-1）2=2【（2n+1）+（2n-1）】，
∴两个连续奇数的平方差等于这两个数的和的两倍.
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】设较小的奇数为2n-1，则较大的奇数为2n+1，分别求出这两个数的平方差和这两个数的和，即可得证.
22．（2020七上·林西期末）阅读探究，理解应用，根据乘方的意义填空，并思考：
（1）
（2）
（3） （m，n是正整数）
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有：
根据你发现的规律，完成下列问题：
计算： ； ；
；
（4）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）7
（2）5
（3）； （ ， 为正整数）；；；
（4）因为 ，且 ， ，
所以 ．
【知识点】同底数幂的乘法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：7；（2） ；
故答案为：5；（3） ；
故答案为： ；
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，则有： （m、n为正整数）；
① ； ； ；
故答案为： ； ； ；
【分析】（1）直接根据乘方的意义即可写出答案；（2）直接根据乘方的意义即可写出答案；（3）根据乘方的意义解答即可；从底数和指数两个角度进行总结即得规律；①根据总结的规律解答即可；②根据 代入数据计算即可．
23．（2020七上·长春期中）已知 ， ， ．
（1）当 ， 时， ， ．
（2）当 ， 时， ， ．
（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论： （n为正整数）．
（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如 ， ，…．应用上述等式，求 的值．
【答案】（1）-32；-32
（2）1000000；1000000
（3）
（4）解：
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】（1）当 ， 时， ， ．（2）当 ， 时， ， ．（3） （n为正整数）．
【分析】（1）将a、b值分别代入计算即可；
（2）将a、b值分别代入计算即可；
（3）根据（1）（2）结论得出 （n为正整数）；
（4）先将原式化为 ，再利用总结的规律得出，然后计算即得.
24．（2020七下·怀宁期中）好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
【答案】（1）-11
（2）63.5
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：
1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0
∴a=-3．
（4）2021．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
25．（2020七下·新昌期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 .
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？
如果可以，请画出草图，并写出相应的等式.如果不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）解：能拼成长方形.
如图.（不止一种）画图正确得分.
等式： .
（等式左右两边交换不扣分）
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【分析】 (1) 图1阴影部分面积为S1=a2-b2，图1阴影部分面积为S2=，根据展开前后图形的面积相等得到S1=S2，所以 ;
(2) 图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab，图4的面积S4=(a+b)2,因为图4为图3的四个图形拼成，所以S3=S4，即 ；
(3) 图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab，画出的长方形的面积S=(a+b)(2a+b)，因为画出的长方形为图5的六个图形拼成，所以S5=S，即 .
26．（2019七下·合肥期中）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算：
（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
（1）填空：（3i﹣2）（3+i）＝ ；（1+2i）3（1﹣2i）3＝ ；
（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）a的值；
（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）的值．
【答案】（1）7i﹣9；125
（2）解：∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，
又a+bi是（1+2i）2的共轭复数，
∴a＝﹣3，b＝﹣4，
∴（b﹣a）a＝（﹣4+3）﹣3＝﹣1，
∴（b﹣a）a的值为﹣1
（3）解：∵（a+i）（b+i）＝1﹣3i，
∴ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，
∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3，
∴ab＝2，a+b＝﹣3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣2×2＝5，
∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，
i2+i3+i4+…+i2019有2018个加数，2018÷4＝504…2，
∴i2+i3+i4+…+i2019＝0+i2018+i2019＝i2016 i2+i2016 i3＝﹣1﹣i，
∴（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）＝5（﹣1﹣i）＝﹣5﹣5i．
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：（3i﹣2）（3+i）＝9i﹣3﹣6﹣2i＝7i﹣9；
（1+2i）3（1﹣2i）3＝[（1+2i）（1﹣2i）]3＝（1﹣4i2）3＝（1+4）3＝125；
故答案为：7i﹣9；125
【分析】（1）按照定义计算即可；（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5=-1-i+1+i=0，4个一组，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案．
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