初中数学湘教版七年级下册3.3.1运用平方差公式因式分解 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·方城期末）分解因式 结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：D
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.原式提取x，再利用平方差公式分解即可.
2．（2020八下·龙泉驿期末）下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣2x﹣3 C．x2+2x+1 D．x2﹣4
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A．多项式中的两项同号，不能用平方差公式分解因式；
B．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；
C．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；
D．能变形为x2﹣22，符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式．
故答案为：D．
【分析】根据平方差公式的构成特点，逐个判断得结论．
3．（2020七下·大新期末）下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A. =(2+m)(2-m) ，故不符合题意；
B. 不能运用平方差公式因式分解，故符合题意；
C. =(xy+1)(xy-1) ，故不符合题意；
D. =[(m-a)+(m+a)] [(m-a)-(m+a)]=-4am，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】经观察只有B提公因数-1后是平方和的形式，故不能运用平方差公式因式分解，由此可得正确答案选项.
4．（2020八下·宝安月考）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A．a2﹣b2 B．49x2﹣y2z2
C．﹣x2﹣y2 D．16m2n2﹣25p2
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
B、49x2﹣y2z2＝（7x+yz）（7x﹣yz），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
C、﹣x2﹣y2不能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
D、16m2n2﹣25p2＝（4mn﹣5p）（4mn+5p），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此判断即可．
5．（2020七下·长兴期中）若s+t=3，则s2-t2+6t的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵s+t=3
s2-t2+6t
=(s+t)(s-t)+6t
=3(s-t)+6t
=3s-3t+6t
=3(s+t)
=33
=9.
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式可得s2-t2+6t=(s+t)(s-t)+6，把s+t=3代入原式=3(s-t)+6t，即可求得。
6．（2020八上·南丹月考）将 因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：xn+1 xn-1=xn-1(x2-1)=xn 1(x+1)(x 1).
故答案为：D.
【分析】先提公因式xn-1，再用平方差公式进行分解即可.
7．（2020八上·南通期中）已知 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】代数式求值；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】∵ ，
∴ = = =1
故答案为：B.
【分析】由平方差公式代入，即可化简原式。
8．（2020·桂林）因式分解a2﹣4的结果是（ ）
A．（a+2）（a﹣2） B．（a﹣2）2
C．（a+2）2 D．a（a﹣2）
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式＝（a+2）（a﹣2），
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式分解因式即可.
9．多项式x2＋y2、－x2＋y2、－x2－y2、x2＋（－y2）、8x2－y2、（y－x）3＋（x－y）、2x2－y2中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】根据平方差公式的特征依次分析即可。
【解答】能在有理数范围内用平方差公式分解的有－x2＋y2、x2＋（－y2)、2x2－y2、（y－x)3＋（x－y)共4个，
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
10．（2020八下·西安月考）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
信息中的汉字有：华、我、爱、中.
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华.
故答案为：A.
【分析】利用提公因式法分解因式，然后再利用平方差公式进行分解，由题意可得密码信息。
二、填空题
11．（2020九上·哈尔滨月考）把多项式 分解因式的结果为 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为 ．
【分析】首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可得出答案．
12．（2021九上·南宁期末）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式继续分解即可.
13．（2021八上·施秉期末）因式分解：(x＋3)2－9＝ .
【答案】x（x+6）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：(x＋3)2－9=（x+3+3）（x+3-3）=x（x+6），
故答案为：x（x+6）.
【分析】根据平方差公式分解因式即可.
14．（2020七下·义乌期末）已知多项式：①x2+4y2；②﹣ + ；③﹣ ﹣ ；④3x2﹣4y；其中能运用平方差公式分解因式的是 .（填序号即可）
【答案】②
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①x2+4y2不能运用平方差公式分解因式；
②﹣ + 能运用平方差公式分解因式；
③﹣ ﹣ 不能运用平方差公式分解因式；
④3x2﹣4y不能运用平方差公式分解因式，
则能用平方差公式分解的是②.
故答案为：②.
【分析】利用平方差公式的结构特点：有两项，两项的符号相反且两项都能写成平方形式，再逐一判断。
三、解答题
15．（2020七下·高新期末）把下列各式分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）运用提公因式法可得；（2）先提公因式，再运用平方差公式.
16．用平方差公式因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：原式=-3xy(y2-9x2)
=-3xy(y+3x)(y-3x)
（2）解：原式=4a2(x2-4y2)
=4a2(x+2y)(x-2y)
（3）解：原式=a2-8a+2a-16+6a
=a2-16
=(a+4)(a-4)
（4）解：原式=(9x2+y2)(9x2-y2)
=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)提取公因式法进行因式分解，提出-3xy，可得
-3xy(y2-9x2) ，对括号内式子利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。
(2)利用提公因式法进行因式分解，提出公因式4a，可得 4a2(x2-4y2) ，对括号内式子利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。
(3)首先对多项式去括号后合并同类项可得 a2-16 ，对式子利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。
(4)对多项式利用平方差公式进行因式分解，可得 (9x2+y2)(9x2-y2) ，对(9x2-y2) 再利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。
17．（2019七上·闵行月考）试判断 的值与 的大小关系，并证明你的结论.
【答案】解： 原式
．
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先根据平方差公式 ，将原式分解因式， 再找出规律， 进行约分即可 ．
18．（2020七下·拱墅月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.
（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
【答案】（1）∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，
∴36和2020是“和谐数”；
（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.理由如下：
∵ ；
∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.
【知识点】因式分解﹣公式法；定义新运算
【解析】【分析】(1)按照新定义的概念进行验算即可；
(2)读懂题目意思，应用因式分解，把 化成4与整数的乘积的形式即可.
1 / 1初中数学湘教版七年级下册3.3.1运用平方差公式因式分解 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·方城期末）分解因式 结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020八下·龙泉驿期末）下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣2x﹣3 C．x2+2x+1 D．x2﹣4
3．（2020七下·大新期末）下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020八下·宝安月考）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A．a2﹣b2 B．49x2﹣y2z2
C．﹣x2﹣y2 D．16m2n2﹣25p2
5．（2020七下·长兴期中）若s+t=3，则s2-t2+6t的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（2020八上·南丹月考）将 因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020八上·南通期中）已知 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
8．（2020·桂林）因式分解a2﹣4的结果是（ ）
A．（a+2）（a﹣2） B．（a﹣2）2
C．（a+2）2 D．a（a﹣2）
9．多项式x2＋y2、－x2＋y2、－x2－y2、x2＋（－y2）、8x2－y2、（y－x）3＋（x－y）、2x2－y2中，能在有理数范围内用平方差公式分解的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．（2020八下·西安月考）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
二、填空题
11．（2020九上·哈尔滨月考）把多项式 分解因式的结果为 ．
12．（2021九上·南宁期末）分解因式： .
13．（2021八上·施秉期末）因式分解：(x＋3)2－9＝ .
14．（2020七下·义乌期末）已知多项式：①x2+4y2；②﹣ + ；③﹣ ﹣ ；④3x2﹣4y；其中能运用平方差公式分解因式的是 .（填序号即可）
三、解答题
15．（2020七下·高新期末）把下列各式分解因式：
（1）
（2）
16．用平方差公式因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
17．（2019七上·闵行月考）试判断 的值与 的大小关系，并证明你的结论.
18．（2020七下·拱墅月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.
（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：D
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.原式提取x，再利用平方差公式分解即可.
2．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A．多项式中的两项同号，不能用平方差公式分解因式；
B．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；
C．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；
D．能变形为x2﹣22，符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式．
故答案为：D．
【分析】根据平方差公式的构成特点，逐个判断得结论．
3．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A. =(2+m)(2-m) ，故不符合题意；
B. 不能运用平方差公式因式分解，故符合题意；
C. =(xy+1)(xy-1) ，故不符合题意；
D. =[(m-a)+(m+a)] [(m-a)-(m+a)]=-4am，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】经观察只有B提公因数-1后是平方和的形式，故不能运用平方差公式因式分解，由此可得正确答案选项.
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
B、49x2﹣y2z2＝（7x+yz）（7x﹣yz），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
C、﹣x2﹣y2不能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
D、16m2n2﹣25p2＝（4mn﹣5p）（4mn+5p），能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】能运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此判断即可．
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵s+t=3
s2-t2+6t
=(s+t)(s-t)+6t
=3(s-t)+6t
=3s-3t+6t
=3(s+t)
=33
=9.
故答案为：C.
【分析】根据平方差公式可得s2-t2+6t=(s+t)(s-t)+6，把s+t=3代入原式=3(s-t)+6t，即可求得。
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：xn+1 xn-1=xn-1(x2-1)=xn 1(x+1)(x 1).
故答案为：D.
【分析】先提公因式xn-1，再用平方差公式进行分解即可.
7．【答案】B
【知识点】代数式求值；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】∵ ，
∴ = = =1
故答案为：B.
【分析】由平方差公式代入，即可化简原式。
8．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式＝（a+2）（a﹣2），
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式分解因式即可.
9．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】根据平方差公式的特征依次分析即可。
【解答】能在有理数范围内用平方差公式分解的有－x2＋y2、x2＋（－y2)、2x2－y2、（y－x)3＋（x－y)共4个，
故选B.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
10．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
信息中的汉字有：华、我、爱、中.
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华.
故答案为：A.
【分析】利用提公因式法分解因式，然后再利用平方差公式进行分解，由题意可得密码信息。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为 ．
【分析】首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式继续分解即可.
13．【答案】x（x+6）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：(x＋3)2－9=（x+3+3）（x+3-3）=x（x+6），
故答案为：x（x+6）.
【分析】根据平方差公式分解因式即可.
14．【答案】②
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①x2+4y2不能运用平方差公式分解因式；
②﹣ + 能运用平方差公式分解因式；
③﹣ ﹣ 不能运用平方差公式分解因式；
④3x2﹣4y不能运用平方差公式分解因式，
则能用平方差公式分解的是②.
故答案为：②.
【分析】利用平方差公式的结构特点：有两项，两项的符号相反且两项都能写成平方形式，再逐一判断。
15．【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）运用提公因式法可得；（2）先提公因式，再运用平方差公式.
16．【答案】（1）解：原式=-3xy(y2-9x2)
=-3xy(y+3x)(y-3x)
（2）解：原式=4a2(x2-4y2)
=4a2(x+2y)(x-2y)
（3）解：原式=a2-8a+2a-16+6a
=a2-16
=(a+4)(a-4)
（4）解：原式=(9x2+y2)(9x2-y2)
=
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】(1)提取公因式法进行因式分解，提出-3xy，可得
-3xy(y2-9x2) ，对括号内式子利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。
(2)利用提公因式法进行因式分解，提出公因式4a，可得 4a2(x2-4y2) ，对括号内式子利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。
(3)首先对多项式去括号后合并同类项可得 a2-16 ，对式子利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。
(4)对多项式利用平方差公式进行因式分解，可得 (9x2+y2)(9x2-y2) ，对(9x2-y2) 再利用平方差公式进行因式分解，即可得到最后的结果。
17．【答案】解： 原式
．
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先根据平方差公式 ，将原式分解因式， 再找出规律， 进行约分即可 ．
18．【答案】（1）∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，
∴36和2020是“和谐数”；
（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.理由如下：
∵ ；
∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.
【知识点】因式分解﹣公式法；定义新运算
【解析】【分析】(1)按照新定义的概念进行验算即可；
(2)读懂题目意思，应用因式分解，把 化成4与整数的乘积的形式即可.
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