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高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量的坐标表示
一、单选题
1．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。
2．（2020高一上·抚州期末）若向量 ，且 与 共线，则实数 的值为（ ）
A．-1 B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】 ，
, ,
与 共线,
,解得： 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算求出向量 与 的坐标，再利用两向量共线的坐标表示，进而求出k的值。
3．（2020高一上·合肥期末）已知向量 ， ， ，则向量 可用向量 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】根据平面向量基本定理,可设
代入可得
即 ,解得
所以
故答案为：B
【分析】根据平面向量基本定理,设 .代入坐标,由坐标运算即可求得参数.
4．（2020高一下·北京期末）已知向量 ， ，满足 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】向量 ， ，
，
故答案为：D
【分析】由向量平行的坐标运算求解即可.
5．（2020高一下·北京期末）已知向量 ， ，且 ，则 的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】设
由 ，且 ，所以 ①
又 ，所以 ②
由①②可知： 或
故向量 或
故答案为：B
【分析】设 的坐标，然后根据 以及 ，简单计算，可得结果.
6．（2020高一下·通州期末）在下列各组向量中，互相垂直的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ， ，
【答案】A
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】若两个向量 、 垂直，则 ，
对于A， ，满足条件；
对于B， ，不满足条件；
对于C， ，不满足条件；
对于D， ，不满足条件；
故答案为：A
【分析】求出两向量的数量积，根据两垂直向量的数量积关系进行判断．
7．（2020高一下·温州期末）设△ABC的三个内角为A，B，C，向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
，
故答案为：B
【分析】利用向量的数量积公式进行化简，转化为三角函数问题，即可求出结果.
8．（2020高一下·天津期末）设 R，向量 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．10
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】 向量 且 ，
， ，
从而 ，
因此 ，
故答案为：C．
【分析】利用两向量垂直数量积为0，再利用数量积的坐标表示，再结合向量共线的坐标表示，从而建立关于x，y的方程组，从而求出x，y的值，从而求出向量的坐标表示，从而结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标表示，从而用向量求模的坐标公式，从而求出向量的模。
9．（2020高一下·天津期末）已知向量 ，则与 平行的单位向量的坐标为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由已知 ，所以与 平行的单位向量为 或 ．
故答案为：D．
【分析】由单位向量的定义，计算 ，即得．
10．（2020高一下·宜宾期末）已知向量 ， ，则 与 （ ）
A．平行且同向 B．垂直
C．平行且反向 D．不垂直也不平行
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由于 ，所以 与 垂直.
故答案为：B
【分析】通过计算 判断出 的关系.
二、多选题
11．（2020高一下·沈阳期末）设向量 ， ，则下列叙述错误的是（ ）
A．若 时，则 与 的夹角为钝角
B． 的最小值为2
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．若 ，则 或
【答案】C,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】对于A选项，若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，则 ，
解得 且 ，A选项中的命题正确；
对于B选项， ，当且仅当 时，等号成立，B选项中的命题正确；
对于C选项， ，与 共线的单位向量为 ，即与 共线的单位向量为 或 ，C选项中的命题错误；
对于D选项， ，即 ，解得 ，D选项中的命题错误.
故答案为：CD.
【分析】根据 与 的夹角为钝角，得出 且 与 不共线，求出k的取值范围，可判断A选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B选项的正误；根据与 共线的单位向量为 可判断C选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D选项的正误.
三、填空题
12．（2020高一上·百色期末）已知 ，则 在 方向上的投影为 .
【答案】3
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；空间向量的投影向量
【解析】【解答】根据投影的概念可得 在 方向上的投影为： 。
故答案为：3。
【分析】利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而结合已知条件和数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，从而求出向量 在向量 方向上的投影。
13．（2020高一下·宣城期末）已知向量 是平面的一组基底，若 ，则 在基底 下的坐标为 ，那么 在基底 下的坐标为 .
【答案】
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】【解答】解：设 ，
解得
故 ，则 在基底 下的坐标为 .
故答案为：
【分析】设 ，再根据 得到方程组，解得.
14．（2020高一下·杭州月考）向量 ， ，且 ，则 ， ．
【答案】-2；-20
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】 ， ，且 ， ，解得 ，则 ，
因此， .
故答案为：-2；-20.
【分析】利用共线向量的坐标表示可得出关于n的等式，可求得n的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可计算得出 的值.
15．（2020高一下·开封期末）已知向量 ， ，若 ，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵ ，向量 ，
∴ ，易知 ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】由向量平行得关系式，可求得 ．
16．（2020高一下·宝坻月考）已知向量 ， ，则向量 的坐标是 ．
【答案】(2,3)
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】
【分析】利用 ，代入点坐标，即可．
四、解答题
17．（2020高一上·百色期末）已知平面向量 ， 且 与 共线.
（1）求 的值；
（2） 与 垂直，求实数 的值.
【答案】（1）解：由题意得： ，
因为 与 共线
所以 ，
解得
（2）解：由（1）可知 ，于是 ，
而 ，
由于 ，
从而 ，
解得：
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出共线向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出m的值。
（2） 由（1）可知 ， 再利用向量的坐标运算，进而求出垂直向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而求出实数 的值 。
18．（2020高一上·抚州期末）已知向量 ，设函数 ．
（1）求 的最小正周期及对称轴；
（2）当 时，求函数 的值域．
【答案】（1）解：
函数 的最小正周期为
对称轴为
（2）解：由得当 ，
，
函数 的值域为
【知识点】函数的值域；平面向量数量积的坐标表示；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标运算结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出函数f(x)的最小正周期；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的对称轴。
（2）利用换元法将正弦型函数f(x)转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数在 的值域。
19．（2020高一下·海南期末）已知向量 ．
（1）若 ，求k的值；
（2）若 ，求m的值.
【答案】（1）解：
即
（2）解：
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量共线坐标关系得方程，解方程得k的值；（2）根据向量垂直坐标关系得方程，解方程得m的值；
20．（2020高一下·温州期末）已知 是同一平面内的三个向量，其中 .
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ，且 ，求 与 的夹角θ的余弦值.
【答案】（1）解：设 ，因为 ，所以 ， ①
又因为 ，所以 ， ②
由①②联立，解得 或
（2）解：由已知 ，可得 ，
又由 ， ，解得 ，所以
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）设 ，由 ，和 ，列出方程组，求得 的值，即可求解；（2）由 ，求得 ，结合夹角公式，即可求解.
21．（2020高一下·开鲁期末）已知向量 ， ，
（1）若 ，求 的值﹔
（2）若 ，求 值.
【答案】（1）解：由 得， ，
，
（2）解：由 得，
，
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由向量垂直知数量积为0，化简即可求解（2）根据向量平行的性质，可得 ，根据弦化切即可求解.
22．（2020高一下·沈阳期末）已知向量 ， .
（1）求 的值 ；
（2）求向量 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）解：向量 （1，1）， （﹣3，4），
则 （4，﹣3），
∴| | 5
（2）解：由（1）向量 与 夹角的余弦值为
cos ，
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可；（2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值．
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高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 平面向量的坐标表示
一、单选题
1．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2020高一上·抚州期末）若向量 ，且 与 共线，则实数 的值为（ ）
A．-1 B． C．1 D．2
3．（2020高一上·合肥期末）已知向量 ， ， ，则向量 可用向量 表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高一下·北京期末）已知向量 ， ，满足 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
5．（2020高一下·北京期末）已知向量 ， ，且 ，则 的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·通州期末）在下列各组向量中，互相垂直的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ， ，
7．（2020高一下·温州期末）设△ABC的三个内角为A，B，C，向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高一下·天津期末）设 R，向量 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．10
9．（2020高一下·天津期末）已知向量 ，则与 平行的单位向量的坐标为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
10．（2020高一下·宜宾期末）已知向量 ， ，则 与 （ ）
A．平行且同向 B．垂直
C．平行且反向 D．不垂直也不平行
二、多选题
11．（2020高一下·沈阳期末）设向量 ， ，则下列叙述错误的是（ ）
A．若 时，则 与 的夹角为钝角
B． 的最小值为2
C．与 共线的单位向量只有一个为
D．若 ，则 或
三、填空题
12．（2020高一上·百色期末）已知 ，则 在 方向上的投影为 .
13．（2020高一下·宣城期末）已知向量 是平面的一组基底，若 ，则 在基底 下的坐标为 ，那么 在基底 下的坐标为 .
14．（2020高一下·杭州月考）向量 ， ，且 ，则 ， ．
15．（2020高一下·开封期末）已知向量 ， ，若 ，则 ．
16．（2020高一下·宝坻月考）已知向量 ， ，则向量 的坐标是 ．
四、解答题
17．（2020高一上·百色期末）已知平面向量 ， 且 与 共线.
（1）求 的值；
（2） 与 垂直，求实数 的值.
18．（2020高一上·抚州期末）已知向量 ，设函数 ．
（1）求 的最小正周期及对称轴；
（2）当 时，求函数 的值域．
19．（2020高一下·海南期末）已知向量 ．
（1）若 ，求k的值；
（2）若 ，求m的值.
20．（2020高一下·温州期末）已知 是同一平面内的三个向量，其中 .
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ，且 ，求 与 的夹角θ的余弦值.
21．（2020高一下·开鲁期末）已知向量 ， ，
（1）若 ，求 的值﹔
（2）若 ，求 值.
22．（2020高一下·沈阳期末）已知向量 ， .
（1）求 的值 ；
（2）求向量 与 夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。
2．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】 ，
, ,
与 共线,
,解得： 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算求出向量 与 的坐标，再利用两向量共线的坐标表示，进而求出k的值。
3．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】根据平面向量基本定理,可设
代入可得
即 ,解得
所以
故答案为：B
【分析】根据平面向量基本定理,设 .代入坐标,由坐标运算即可求得参数.
4．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】向量 ， ，
，
故答案为：D
【分析】由向量平行的坐标运算求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】设
由 ，且 ，所以 ①
又 ，所以 ②
由①②可知： 或
故向量 或
故答案为：B
【分析】设 的坐标，然后根据 以及 ，简单计算，可得结果.
6．【答案】A
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】若两个向量 、 垂直，则 ，
对于A， ，满足条件；
对于B， ，不满足条件；
对于C， ，不满足条件；
对于D， ，不满足条件；
故答案为：A
【分析】求出两向量的数量积，根据两垂直向量的数量积关系进行判断．
7．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】
，
故答案为：B
【分析】利用向量的数量积公式进行化简，转化为三角函数问题，即可求出结果.
8．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】 向量 且 ，
， ，
从而 ，
因此 ，
故答案为：C．
【分析】利用两向量垂直数量积为0，再利用数量积的坐标表示，再结合向量共线的坐标表示，从而建立关于x，y的方程组，从而求出x，y的值，从而求出向量的坐标表示，从而结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标表示，从而用向量求模的坐标公式，从而求出向量的模。
9．【答案】D
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由已知 ，所以与 平行的单位向量为 或 ．
故答案为：D．
【分析】由单位向量的定义，计算 ，即得．
10．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由于 ，所以 与 垂直.
故答案为：B
【分析】通过计算 判断出 的关系.
11．【答案】C,D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】对于A选项，若 与 的夹角为钝角，则 且 与 不共线，则 ，
解得 且 ，A选项中的命题正确；
对于B选项， ，当且仅当 时，等号成立，B选项中的命题正确；
对于C选项， ，与 共线的单位向量为 ，即与 共线的单位向量为 或 ，C选项中的命题错误；
对于D选项， ，即 ，解得 ，D选项中的命题错误.
故答案为：CD.
【分析】根据 与 的夹角为钝角，得出 且 与 不共线，求出k的取值范围，可判断A选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B选项的正误；根据与 共线的单位向量为 可判断C选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D选项的正误.
12．【答案】3
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；空间向量的投影向量
【解析】【解答】根据投影的概念可得 在 方向上的投影为： 。
故答案为：3。
【分析】利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而结合已知条件和数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，从而求出向量 在向量 方向上的投影。
13．【答案】
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】【解答】解：设 ，
解得
故 ，则 在基底 下的坐标为 .
故答案为：
【分析】设 ，再根据 得到方程组，解得.
14．【答案】-2；-20
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】 ， ，且 ， ，解得 ，则 ，
因此， .
故答案为：-2；-20.
【分析】利用共线向量的坐标表示可得出关于n的等式，可求得n的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可计算得出 的值.
15．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵ ，向量 ，
∴ ，易知 ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】由向量平行得关系式，可求得 ．
16．【答案】(2,3)
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】
【分析】利用 ，代入点坐标，即可．
17．【答案】（1）解：由题意得： ，
因为 与 共线
所以 ，
解得
（2）解：由（1）可知 ，于是 ，
而 ，
由于 ，
从而 ，
解得：
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出共线向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出m的值。
（2） 由（1）可知 ， 再利用向量的坐标运算，进而求出垂直向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而求出实数 的值 。
18．【答案】（1）解：
函数 的最小正周期为
对称轴为
（2）解：由得当 ，
，
函数 的值域为
【知识点】函数的值域；平面向量数量积的坐标表示；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标运算结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出函数f(x)的最小正周期；再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的对称轴。
（2）利用换元法将正弦型函数f(x)转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数在 的值域。
19．【答案】（1）解：
即
（2）解：
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）根据向量共线坐标关系得方程，解方程得k的值；（2）根据向量垂直坐标关系得方程，解方程得m的值；
20．【答案】（1）解：设 ，因为 ，所以 ， ①
又因为 ，所以 ， ②
由①②联立，解得 或
（2）解：由已知 ，可得 ，
又由 ， ，解得 ，所以
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）设 ，由 ，和 ，列出方程组，求得 的值，即可求解；（2）由 ，求得 ，结合夹角公式，即可求解.
21．【答案】（1）解：由 得， ，
，
（2）解：由 得，
，
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）由向量垂直知数量积为0，化简即可求解（2）根据向量平行的性质，可得 ，根据弦化切即可求解.
22．【答案】（1）解：向量 （1，1）， （﹣3，4），
则 （4，﹣3），
∴| | 5
（2）解：由（1）向量 与 夹角的余弦值为
cos ，
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可；（2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值．
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