人教A版（2019） 必修一2.2 基本不等式
一、单选题
1．（2020高一下·丽水期末）已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】
,
当且仅当 时取等号
故答案为：B
【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.
2．（2020高一下·宜宾期末）若正数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】依题意 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为9.
故答案为：D
【分析】利用基本不等式求得 的最大值.
3．（2020高二下·六安月考）设 、 、 ， ， ， ，则 、 、 三数（ ）
A．都小于 B．至少有一个不大于
C．都大于 D．至少有一个不小于
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由基本不等式得 ，
当且仅当 时，等号成立，因此，若 、 、 三数都小于 ，则 与 矛盾，即 、 、 三数至少有一个不小于 ，
故选D.
【分析】利用基本不等式计算出 ，于此可得出结论.
4．（2020高一下·哈尔滨期末）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ， 当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故答案为：C
【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解 的最小值即可.
5．（2020高一下·大庆期末）若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数m的取值范围
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】正实数 满足 则 =4，
当且仅当 ， 取得最小值4．
由x 有解，可得 解得 或 ．
故答案为：B ．
【分析】不等式 有解，即为 大于 的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．
6．（2020高二下·吉林期中）已知不等式 对任意实数x、y恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 .
若 ，则 ，从而 无最小值，不合乎题意；
若 ，则 ， .
①当 时， 无最小值，不合乎题意；
②当 时， ，则 不恒成立；
③当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.
所以， ，解得 ，因此，实数 的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】由题意可知， ，将代数式 展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a的不等式，解出即可.
7．（2020·杭州模拟）如果正数 满足 ，那么（ ）
A． ，且等号成立时 的取值唯一
B． ，且等号成立时 的取值唯一
C． ，且等号成立时 的取值不唯一
D． ，且等号成立时 的取值不唯一
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
当且仅当 等号成立，
即 ，
当且仅当 等号成立，
且 等号成立
故答案为：A
【分析】利用基本不等式及等号成立的条件即可得到.
8．（2020·成都模拟）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 满足 ，
则
，
当且仅当 时取等号，
故选： ．
【分析】所求 的分母特征，利用 变形构造 ，再等价变形 ，利用基本不等式求最值.
二、多选题
9．（2020高二上·徐州期末）若 ，则下列不等式,其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题：
由基本不等式可得： ，所以A符合题意；
当 时， ，所以B不符合题意；
，所以 ，
即 ，所以C符合题意；
因为 ，所以
即 ，所以D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.
10．（2019高二上·烟台期中）下列说法正确的是（ ）.
A．若 ， ，则 的最大值为4
B．若 ，则函数 的最大值为-1
C．若 ， ，则 的最小值为1
D．函数 的最小值为9
【答案】B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于 ，取 得到 ，错误；
对于 ， ， 时等号成立，正确；
对于 ，取 满足等式，此时 ，错误；
对于 ，
，当 时等号成立，正确.
故答案为：
【分析】依次判断每个选项，通过特殊值排除 和利用均值不等式计算得到答案.
11．（2019高二上·菏泽期中）设 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A.当 时， 成立，A符合题意；
B.当 时， ，等号成立的条件是 ，当 时， ，等号成立的条件是 ，B不正确；
C.当 时， ，所以 ，C符合题意；
D. ，所以 ，等号成立的条件是当且仅当 ，即 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.
12．（2019高一上·葫芦岛月考）已知正数a，b满足 ，ab的最大值为t，不等式 的解集为M，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵正数 ， 满足 ，
∴ ，即 的最大值为 ，当且仅当 时，取等号.
∵ 的解集为 ，∴ .
故答案为：BC.
【分析】由基本不等式 ，可求 的最大值，然后解二次不等式可得 ，结合选项即可判断．
三、填空题
13．（2020·天津）已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
14．（2020·江苏）已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
15．（2020高一下·宜宾期末）若正数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】依题意 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.所以 的最小值为 .
故答案为：16
【分析】利用基本不等式求得 的最小值.
16．（2020高二下·台州期末）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数m的取值范围 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，当且仅当 ，
即 时等号成立，所以 ，解得 .
故答案为：
【分析】利用“1”的替换求出 的最小值 ，再解不等式 即可.
17．（2020高二下·杭州期末）若正数a，b满足 ，则ab的最小值是 ．
【答案】25
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】依题意 为正数，且 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值是25.
故答案为：25
【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此即可求得 的最小值.
18．（2020高一下·嘉兴期中）已知 ， ， ，则 的最小值为 ．
【答案】12
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 得出
令 ， ，则
当且仅当 ，即 时取等号
的最小值为12
故答案为：12
【分析】利用换元法，令 ，得出 ，结合基本不等式，即可得出 的最小值.
19．（2020高二下·宜宾月考）已知 ，若点 在直线 上，则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 在 上，
， ，
，
设 ，则 ，
，
当 ，即 时，“=”成立，
，
即 的最小值为 ，故答案为 .
【分析】由 在直线 上，可得 ，设 ，则 ，原式化为 ，展开后利用基本不等式可得结果.
20．（2019高一上·辽宁月考）已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的范围是 .
【答案】a≤18
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】
又 ， ，
那么
当且仅当 ， 时取等号．
不等式 恒成立，
所以 ．
故答案为： ．
【分析】利用消元法，消去其中一个参数后，利用基本不等式求解最小值．
四、解答题
21．（2020·徐州模拟）已知 ， ，且 ，
求证： ．
【答案】证明：设 ， ，因为 ， ，所以 ， ，且 ，
.
当且仅当 ，即 时，上述等号成立，原命题得证．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】设 ， ，可得出 ，然后利用基本不等式可证得 .
22．（2020高一下·宁波期中）已知 ， ， ，
（1）求 的最大值.
（2）求 的最小值.
【答案】（1）解：法一： ，
因此 ，∴
因此 的最大值为 ，当且仅当 时取等号
法二：∵
∴ ，当且仅当 时取等号
因此 的最大值为
（2）解：
当且仅当 ，即 ， 时取等号
因此 的最小值为16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用结论 ,(当且仅当 时等号成立)得到，也可对 平方变形处理.（2）把 与所求 相乘，构造和的形式用基本不等式求最值.
23．（2020·海南模拟）已知 都是正数，求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵ ，∴ ，当且仅当 时等号成立，
同理可得， ，
∴ ，即 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
同理可得 ， ，
∴ ，
即 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）因为 ，同理可得， ，三个式子相加，即可得到本题答案；（2）因为 ，同理可得， ， ，三个式子相加，即可得到本题答案.
24．（2020高二下·柳州模拟）已知正实数 满足 .
（1）求 的最小值.
（2）证明：
【答案】（1）解：因为 ，所以
因为 ，所以 （当且仅当 ，即 时等号成立），
所以
（2）证明：
因为 ，所以
故 （当且仅当 时，等号成立）
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.
25．（2019高二上·延吉期中）
（1）已知 ，求函数 的最大值；
（2）已知 (正实数集)，且 ，求 的最小值；
（3）已知 ， ，且 ，求 的最大值．
【答案】（1）解： , ,故 ．
．
,
,
当且仅当 ,即 或 (舍)时,等号成立,
故当 时, ．
（2）解： , , ,
．
当且仅当 ,且 ,即 时等号成立,
∴当 , 时, ．
（3）解： ,
当且仅当 ,即 , 时取最大值,
所以 有最大值 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1) 将 再对 进行基本不等式求最值即可. (2)利用 ,再展开用基本不等式即可.(3)利用 在 中拼凑出 再利用基本不等式即可.
1 / 1人教A版（2019） 必修一2.2 基本不等式
一、单选题
1．（2020高一下·丽水期末）已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高一下·宜宾期末）若正数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
3．（2020高二下·六安月考）设 、 、 ， ， ， ，则 、 、 三数（ ）
A．都小于 B．至少有一个不大于
C．都大于 D．至少有一个不小于
4．（2020高一下·哈尔滨期末）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C． D．
5．（2020高一下·大庆期末）若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数m的取值范围
A． B．
C． D．
6．（2020高二下·吉林期中）已知不等式 对任意实数x、y恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．（2020·杭州模拟）如果正数 满足 ，那么（ ）
A． ，且等号成立时 的取值唯一
B． ，且等号成立时 的取值唯一
C． ，且等号成立时 的取值不唯一
D． ，且等号成立时 的取值不唯一
8．（2020·成都模拟）已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·徐州期末）若 ，则下列不等式,其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．（2019高二上·烟台期中）下列说法正确的是（ ）.
A．若 ， ，则 的最大值为4
B．若 ，则函数 的最大值为-1
C．若 ， ，则 的最小值为1
D．函数 的最小值为9
11．（2019高二上·菏泽期中）设 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2019高一上·葫芦岛月考）已知正数a，b满足 ，ab的最大值为t，不等式 的解集为M，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2020·天津）已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
14．（2020·江苏）已知 ，则 的最小值是 ．
15．（2020高一下·宜宾期末）若正数 满足 ，则 的最小值为 .
16．（2020高二下·台州期末）已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数m的取值范围 ．
17．（2020高二下·杭州期末）若正数a，b满足 ，则ab的最小值是 ．
18．（2020高一下·嘉兴期中）已知 ， ， ，则 的最小值为 ．
19．（2020高二下·宜宾月考）已知 ，若点 在直线 上，则 的最小值为 .
20．（2019高一上·辽宁月考）已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的范围是 .
四、解答题
21．（2020·徐州模拟）已知 ， ，且 ，
求证： ．
22．（2020高一下·宁波期中）已知 ， ， ，
（1）求 的最大值.
（2）求 的最小值.
23．（2020·海南模拟）已知 都是正数，求证：
（1） ；
（2） .
24．（2020高二下·柳州模拟）已知正实数 满足 .
（1）求 的最小值.
（2）证明：
25．（2019高二上·延吉期中）
（1）已知 ，求函数 的最大值；
（2）已知 (正实数集)，且 ，求 的最小值；
（3）已知 ， ，且 ，求 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】
,
当且仅当 时取等号
故答案为：B
【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.
2．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】依题意 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为9.
故答案为：D
【分析】利用基本不等式求得 的最大值.
3．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由基本不等式得 ，
当且仅当 时，等号成立，因此，若 、 、 三数都小于 ，则 与 矛盾，即 、 、 三数至少有一个不小于 ，
故选D.
【分析】利用基本不等式计算出 ，于此可得出结论.
4．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ， 当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故答案为：C
【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解 的最小值即可.
5．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】正实数 满足 则 =4，
当且仅当 ， 取得最小值4．
由x 有解，可得 解得 或 ．
故答案为：B ．
【分析】不等式 有解，即为 大于 的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 .
若 ，则 ，从而 无最小值，不合乎题意；
若 ，则 ， .
①当 时， 无最小值，不合乎题意；
②当 时， ，则 不恒成立；
③当 时， ，
当且仅当 时，等号成立.
所以， ，解得 ，因此，实数 的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】由题意可知， ，将代数式 展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a的不等式，解出即可.
7．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
当且仅当 等号成立，
即 ，
当且仅当 等号成立，
且 等号成立
故答案为：A
【分析】利用基本不等式及等号成立的条件即可得到.
8．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 满足 ，
则
，
当且仅当 时取等号，
故选： ．
【分析】所求 的分母特征，利用 变形构造 ，再等价变形 ，利用基本不等式求最值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题：
由基本不等式可得： ，所以A符合题意；
当 时， ，所以B不符合题意；
，所以 ，
即 ，所以C符合题意；
因为 ，所以
即 ，所以D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.
10．【答案】B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于 ，取 得到 ，错误；
对于 ， ， 时等号成立，正确；
对于 ，取 满足等式，此时 ，错误；
对于 ，
，当 时等号成立，正确.
故答案为：
【分析】依次判断每个选项，通过特殊值排除 和利用均值不等式计算得到答案.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A.当 时， 成立，A符合题意；
B.当 时， ，等号成立的条件是 ，当 时， ，等号成立的条件是 ，B不正确；
C.当 时， ，所以 ，C符合题意；
D. ，所以 ，等号成立的条件是当且仅当 ，即 ，D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.
12．【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵正数 ， 满足 ，
∴ ，即 的最大值为 ，当且仅当 时，取等号.
∵ 的解集为 ，∴ .
故答案为：BC.
【分析】由基本不等式 ，可求 的最大值，然后解二次不等式可得 ，结合选项即可判断．
13．【答案】4
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ， ,
，当且仅当 =4时取等号，
结合 ,解得 ，或 时，等号成立.
故答案为：4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵
∴ 且
∴ ，当且仅当 ，即 时取等号.
∴ 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题设条件可得 ，可得 ，利用基本不等式即可求解.
15．【答案】16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】依题意 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.所以 的最小值为 .
故答案为：16
【分析】利用基本不等式求得 的最小值.
16．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，当且仅当 ，
即 时等号成立，所以 ，解得 .
故答案为：
【分析】利用“1”的替换求出 的最小值 ，再解不等式 即可.
17．【答案】25
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】依题意 为正数，且 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值是25.
故答案为：25
【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此即可求得 的最小值.
18．【答案】12
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 得出
令 ， ，则
当且仅当 ，即 时取等号
的最小值为12
故答案为：12
【分析】利用换元法，令 ，得出 ，结合基本不等式，即可得出 的最小值.
19．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 在 上，
， ，
，
设 ，则 ，
，
当 ，即 时，“=”成立，
，
即 的最小值为 ，故答案为 .
【分析】由 在直线 上，可得 ，设 ，则 ，原式化为 ，展开后利用基本不等式可得结果.
20．【答案】a≤18
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】
又 ， ，
那么
当且仅当 ， 时取等号．
不等式 恒成立，
所以 ．
故答案为： ．
【分析】利用消元法，消去其中一个参数后，利用基本不等式求解最小值．
21．【答案】证明：设 ， ，因为 ， ，所以 ， ，且 ，
.
当且仅当 ，即 时，上述等号成立，原命题得证．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】设 ， ，可得出 ，然后利用基本不等式可证得 .
22．【答案】（1）解：法一： ，
因此 ，∴
因此 的最大值为 ，当且仅当 时取等号
法二：∵
∴ ，当且仅当 时取等号
因此 的最大值为
（2）解：
当且仅当 ，即 ， 时取等号
因此 的最小值为16
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用结论 ,(当且仅当 时等号成立)得到，也可对 平方变形处理.（2）把 与所求 相乘，构造和的形式用基本不等式求最值.
23．【答案】（1）解：∵ ，∴ ，当且仅当 时等号成立，
同理可得， ，
∴ ，即 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
同理可得 ， ，
∴ ，
即 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）因为 ，同理可得， ，三个式子相加，即可得到本题答案；（2）因为 ，同理可得， ， ，三个式子相加，即可得到本题答案.
24．【答案】（1）解：因为 ，所以
因为 ，所以 （当且仅当 ，即 时等号成立），
所以
（2）证明：
因为 ，所以
故 （当且仅当 时，等号成立）
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.
25．【答案】（1）解： , ,故 ．
．
,
,
当且仅当 ,即 或 (舍)时,等号成立,
故当 时, ．
（2）解： , , ,
．
当且仅当 ,且 ,即 时等号成立,
∴当 , 时, ．
（3）解： ,
当且仅当 ,即 , 时取最大值,
所以 有最大值 ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1) 将 再对 进行基本不等式求最值即可. (2)利用 ,再展开用基本不等式即可.(3)利用 在 中拼凑出 再利用基本不等式即可.
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