高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 7.1 复数的概念和复数的几何意义
一、单选题
1．（2020高一下·宝坻月考）已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i为虚数单位),若z<6,则实数m＝（ ）
A．2 B．2或－4 C．4 D．－2或4
2．（2020高一下·河西期中）若复数 为纯虚数，则实数 的值为 （ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-1或1
3．（2020高一下·滨海期中）若 （ 是虚数单位），则 的值分别等于（ ）
A．3，-2 B．3，2 C．3，-3 D．-1，4
4．（2020高一下·宁波期中）i是虚数单位，若集合S= ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高二上·永州期末）已知 是虚数单位，复数 的虚部为（ ）
A．-2 B．2 C． D．1
6．（2021·吉安模拟）已知 为实数，复数 （ 为虚数单位），复数 的共轭复数为 ，若 为纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2020高三上·泰州期末）若复数 ，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z的虚部为 B．
C． D．
8．（2020高三上·南开期中）已知i为虚数单位，复数 ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2020高三上·奉新月考）已知复数 ，则“ ”是“ 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2020高三上·营口月考） ， 是锐角三角形 的两个内角，则复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2020高一下·通州期末）复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020高一下·天津期末）复数 （ 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．（2020高二下·连云港期末）已知 为虚数单位，复数 ，则 的虚部是（ ）
A． B．5 C． D．-5
二、多选题
14．（2021·湛江模拟）若复数 ，则（ ）
A．|z|=2 B．|z|=4
C．z的共轭复数 = +i D．
15．（2020高一下·海南期末）设复数z满足 ，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为
D．复数z在复平面内对应的点在直线 上
16．（2020高一下·沈阳期末）已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且 则下列结论正确的是（ ）．
A． B．z的虚部为
C．z的共轭复数为 D．
三、填空题
17．（2020高三上·黄浦期中）若复数 是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数 ．
18．（2019高二下·上海期末）若a、 ，且 ，则 .
19．（2020高三上·黄浦期中）已知复数 （ ， 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且 ，则复数 .
20．（2020高一下·大兴期末）设复数z＝1+i，则z的模|z|＝ .
四、解答题
21．（2020高一下·红桥期中）已知 是虚数单位，复数 ．
（Ⅰ）当复数z为实数时，求m的值；
（Ⅱ）当复数z为虚数时，求m的值；
（Ⅲ）当复数z为纯虚数时，求m的值．
22．（2020高二下·吉林月考）已知复数 ，i为虚数单位， .
（1）若z是实数，求实数a的值；
（2）若 ，求实数a的值；
（3）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.
23．（2020高一下·天津期中）当实数m取什么值时，复数 分别满足下列条件？
（1）复数Z实数；
（2）复数Z纯虚数；
（3）复平面内，复数Z对应的点位于直线 上.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为z<6,故 为实数,故 ,即 ,解得 或 .
当 时 成立；当 时, 不满足.故
故答案为：A
【分析】根据虚数不能比较大小与z<6可知 为实数,故虚部为0,进而求得 的值,再根据z<6
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为 则有 。
故答案为：C
【分析】利用复数为纯虚数的判断方法，从而求出满足要求的实数x的值。
3．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：由题可知， ，
即 ，所以 ，
即 的值分别等于 .
故答案为：B.
【分析】根据复数的加法运算得出 ，再根据相等复数的定义，即可求出a和b的值.
4．【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由 可得， ， ， ， 。
故答案为：B
【分析】利用虚数单位i的性质结合元素与集合的关系，从而找出正确的选项。
5．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】复数 的虚部为-2.
故答案为：A.
【分析】利用复数虚部的定义即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】∵ 为纯虚数，
∴ ，则 ，
∴ ，
则 ，
故答案为：B
【分析】首先利用复数为纯虚数求出，可得出 ，求出 的共轭复数为，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 的虚部为 ，A不符合题意； ，B不符合题意； ，C不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：D
【分析】由复数的基本概念判断A与C；求出判断B；利用复数代数形式的乘除运算判断D。
8．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】由
即复数 ，
所以复数对应的点为 位于第二象限.
故答案为：B
【分析】根据三角函数的诱导公式，求得复数 ，结合复数的几何意义，即可求解.
9．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】复数 为纯虚数，则 ，且 ，解得 ，所以“ ”
是“ 为纯虚数”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】解出复数 为纯虚数a的取值范围，即可得解.
10．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 ， 是锐角三角形 的两个内角，则 ，则 ，
， ，
故 ，即 ，
故 ，即 ，
故 对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据锐角三角形得到，根据三角函数单调性得到，，即可得到答案。
11．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】根据共轭复数的定义可得复数 的共轭复数是 .
故答案为：A.
【分析】利用共轭复数的定义直接得到.
12．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】复数 对应的坐标为 ，在第四象限.
故答案为：D
【分析】求得z对应的坐标，由此得出正确选项.
13．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为复数 ，
所以复数 的虚部是-5，
故答案为：D
【分析】根据复数的定义直接得解；
14．【答案】A,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】依题意 ，A选项正确，B选项错误.
，C选项正确.
，D选项错误.
故答案为：AC
【分析】 利用复数模的定义即可判断选项A，B，利用共轭复数的定义即可判断选项C，利用复数的运算法则求出z2，即可判断选项D．
15．【答案】A,C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ，A符合题意；复数z在复平面内对应的点的坐标为 ，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为 ，C符合题意；复数z在复平面内对应的点 不在直线 上，D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
16．【答案】A,B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解： ，且 ，
复数 在复平面内对应的点位于第二象限
A:
B: 的虚部是
C: 的共轭复数为
D:
故答案为：AB．
【分析】利用复数 的模长运算及 在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.
17．【答案】2
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 复数 是纯虚数， ， .
故答案为2．
【分析】根据纯虚数的概念即可求解．
18．【答案】0
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，所以 ，因此， .
故答案为：0.
【分析】利用复数的乘法法则和复数相等可得出关于a、b的方程组，解出a、b 的值，进而可求得a+b的值.
19．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 .
又因为 在复平面内对应的点位于第二象限，所以 .
所以 .
故答案为：
【分析】根据 得到 ，解方程即可.
20．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为复数z＝1+i，则z的模|z|= .
故答案为： .
【分析】直接代入模长公式即可.
21．【答案】解：复数 .
（Ⅰ）当复数 为实数时，有 或 .
（Ⅱ）当复数 为虚数时，有 且 .
（Ⅲ）当复数 为纯虚数时，有 ，解得 .
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（Ⅰ）根据虚部为0，求m；（Ⅱ）根据虚部不为0，求m；（Ⅲ）根据实部为0，虚部不为0，求m.
22．【答案】（1）解：由题意 ， ；
（2）解：由已知 ，解得 或 ．
（3）解：复数 对应点坐标为 ，它在第三象限，则 ，解得 ．∴ 的范围是 ．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）由复数模的运算计算；（3）写出对应点坐标，由点所在象限得出不等式，解之可得．
23．【答案】（1）解：由题可知，复数 ，
当 为实数时，则虚部为0，
由 ，解得： 或
（2）解：当Z纯虚数时，实部为0且虚部不为0，
由 ，解得：
（3）解：当Z对应的点位于直线 上时，则 ，
即：实部与虚部的和为0，
由 ，解得： 或 ．
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）由虚部为0，求解m值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m值．
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一、单选题
1．（2020高一下·宝坻月考）已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i为虚数单位),若z<6,则实数m＝（ ）
A．2 B．2或－4 C．4 D．－2或4
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为z<6,故 为实数,故 ,即 ,解得 或 .
当 时 成立；当 时, 不满足.故
故答案为：A
【分析】根据虚数不能比较大小与z<6可知 为实数,故虚部为0,进而求得 的值,再根据z<6
2．（2020高一下·河西期中）若复数 为纯虚数，则实数 的值为 （ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-1或1
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为 则有 。
故答案为：C
【分析】利用复数为纯虚数的判断方法，从而求出满足要求的实数x的值。
3．（2020高一下·滨海期中）若 （ 是虚数单位），则 的值分别等于（ ）
A．3，-2 B．3，2 C．3，-3 D．-1，4
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：由题可知， ，
即 ，所以 ，
即 的值分别等于 .
故答案为：B.
【分析】根据复数的加法运算得出 ，再根据相等复数的定义，即可求出a和b的值.
4．（2020高一下·宁波期中）i是虚数单位，若集合S= ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】由 可得， ， ， ， 。
故答案为：B
【分析】利用虚数单位i的性质结合元素与集合的关系，从而找出正确的选项。
5．（2020高二上·永州期末）已知 是虚数单位，复数 的虚部为（ ）
A．-2 B．2 C． D．1
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】复数 的虚部为-2.
故答案为：A.
【分析】利用复数虚部的定义即可得出答案。
6．（2021·吉安模拟）已知 为实数，复数 （ 为虚数单位），复数 的共轭复数为 ，若 为纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】∵ 为纯虚数，
∴ ，则 ，
∴ ，
则 ，
故答案为：B
【分析】首先利用复数为纯虚数求出，可得出 ，求出 的共轭复数为，即可得出答案。
7．（2020高三上·泰州期末）若复数 ，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．z的虚部为 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 的虚部为 ，A不符合题意； ，B不符合题意； ，C不符合题意；
，D符合题意.
故答案为：D
【分析】由复数的基本概念判断A与C；求出判断B；利用复数代数形式的乘除运算判断D。
8．（2020高三上·南开期中）已知i为虚数单位，复数 ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】由
即复数 ，
所以复数对应的点为 位于第二象限.
故答案为：B
【分析】根据三角函数的诱导公式，求得复数 ，结合复数的几何意义，即可求解.
9．（2020高三上·奉新月考）已知复数 ，则“ ”是“ 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念
【解析】【解答】复数 为纯虚数，则 ，且 ，解得 ，所以“ ”
是“ 为纯虚数”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】解出复数 为纯虚数a的取值范围，即可得解.
10．（2020高三上·营口月考） ， 是锐角三角形 的两个内角，则复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 ， 是锐角三角形 的两个内角，则 ，则 ，
， ，
故 ，即 ，
故 ，即 ，
故 对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据锐角三角形得到，根据三角函数单调性得到，，即可得到答案。
11．（2020高一下·通州期末）复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】根据共轭复数的定义可得复数 的共轭复数是 .
故答案为：A.
【分析】利用共轭复数的定义直接得到.
12．（2020高一下·天津期末）复数 （ 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】复数 对应的坐标为 ，在第四象限.
故答案为：D
【分析】求得z对应的坐标，由此得出正确选项.
13．（2020高二下·连云港期末）已知 为虚数单位，复数 ，则 的虚部是（ ）
A． B．5 C． D．-5
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为复数 ，
所以复数 的虚部是-5，
故答案为：D
【分析】根据复数的定义直接得解；
二、多选题
14．（2021·湛江模拟）若复数 ，则（ ）
A．|z|=2 B．|z|=4
C．z的共轭复数 = +i D．
【答案】A,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】依题意 ，A选项正确，B选项错误.
，C选项正确.
，D选项错误.
故答案为：AC
【分析】 利用复数模的定义即可判断选项A，B，利用共轭复数的定义即可判断选项C，利用复数的运算法则求出z2，即可判断选项D．
15．（2020高一下·海南期末）设复数z满足 ，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为
D．复数z在复平面内对应的点在直线 上
【答案】A,C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ，A符合题意；复数z在复平面内对应的点的坐标为 ，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为 ，C符合题意；复数z在复平面内对应的点 不在直线 上，D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
16．（2020高一下·沈阳期末）已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且 则下列结论正确的是（ ）．
A． B．z的虚部为
C．z的共轭复数为 D．
【答案】A,B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解： ，且 ，
复数 在复平面内对应的点位于第二象限
A:
B: 的虚部是
C: 的共轭复数为
D:
故答案为：AB．
【分析】利用复数 的模长运算及 在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.
三、填空题
17．（2020高三上·黄浦期中）若复数 是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数 ．
【答案】2
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 复数 是纯虚数， ， .
故答案为2．
【分析】根据纯虚数的概念即可求解．
18．（2019高二下·上海期末）若a、 ，且 ，则 .
【答案】0
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，所以 ，因此， .
故答案为：0.
【分析】利用复数的乘法法则和复数相等可得出关于a、b的方程组，解出a、b 的值，进而可求得a+b的值.
19．（2020高三上·黄浦期中）已知复数 （ ， 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且 ，则复数 .
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 .
又因为 在复平面内对应的点位于第二象限，所以 .
所以 .
故答案为：
【分析】根据 得到 ，解方程即可.
20．（2020高一下·大兴期末）设复数z＝1+i，则z的模|z|＝ .
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为复数z＝1+i，则z的模|z|= .
故答案为： .
【分析】直接代入模长公式即可.
四、解答题
21．（2020高一下·红桥期中）已知 是虚数单位，复数 ．
（Ⅰ）当复数z为实数时，求m的值；
（Ⅱ）当复数z为虚数时，求m的值；
（Ⅲ）当复数z为纯虚数时，求m的值．
【答案】解：复数 .
（Ⅰ）当复数 为实数时，有 或 .
（Ⅱ）当复数 为虚数时，有 且 .
（Ⅲ）当复数 为纯虚数时，有 ，解得 .
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（Ⅰ）根据虚部为0，求m；（Ⅱ）根据虚部不为0，求m；（Ⅲ）根据实部为0，虚部不为0，求m.
22．（2020高二下·吉林月考）已知复数 ，i为虚数单位， .
（1）若z是实数，求实数a的值；
（2）若 ，求实数a的值；
（3）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：由题意 ， ；
（2）解：由已知 ，解得 或 ．
（3）解：复数 对应点坐标为 ，它在第三象限，则 ，解得 ．∴ 的范围是 ．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）由复数模的运算计算；（3）写出对应点坐标，由点所在象限得出不等式，解之可得．
23．（2020高一下·天津期中）当实数m取什么值时，复数 分别满足下列条件？
（1）复数Z实数；
（2）复数Z纯虚数；
（3）复平面内，复数Z对应的点位于直线 上.
【答案】（1）解：由题可知，复数 ，
当 为实数时，则虚部为0，
由 ，解得： 或
（2）解：当Z纯虚数时，实部为0且虚部不为0，
由 ，解得：
（3）解：当Z对应的点位于直线 上时，则 ，
即：实部与虚部的和为0，
由 ，解得： 或 ．
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）由虚部为0，求解m值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m值．
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