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高中数学人教新课标A版 选修2-2 3.1数系的扩充和复数的概念
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅰ·文）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
2．（2020·浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，
可得a﹣2＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．
3．（2020高一下·海南期末）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】解： ，
故答案为：D.
【分析】根据公式 ，可直接计算得
4．（2020高一下·通州期末）复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】根据共轭复数的定义可得复数 的共轭复数是 .
故答案为：A.
【分析】利用共轭复数的定义直接得到.
5．（2020高二下·哈尔滨期末）已知复数 满足 ，且 为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由于 为纯虚数，设为 ，由 得 ，
即 ，所以 .
故答案为：B
【分析】设出 ，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得 的值.
6．（2020高二下·哈尔滨期末）已知复数 （i为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】 , 所以 .
故答案为：D
【分析】利用复数的求模运算、共轭复数的定义得出答案.
7．（2020高二下·通州期末）已知复数 是虚数单位），那么z的虚部是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数 的虚部为2
故答案为：D.
【分析】直接利用复数的基本概念得答案.
8．（2020高二下·开鲁期末）若复数 ，则复数 对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 ，
故复数z对应的点在第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据周期性得到 ,得到答案.
9．（2020高二下·东莞期末）已知 ， 为虚数单位， ，则 （ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】 ， ，
.
故答案为：A.
【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a,b的方程，解出a,b即可得解.
10．（2020·芜湖模拟）已知复数 （ 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】由 得 ，
故对应的点的坐标为 ，从而求出复数z在复平面内对应的点位于第三象限。
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义，从而求出复数z在复平面内对应的点的坐标，进而根据点的坐标确定复数z在复平面内对应的点所在的象限。
11．（2020·芜湖模拟）设复数z满足 ，则 最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】设 ， ，
， 即 ，
点 在圆 上，
又该圆的圆心为 ，半径为 ，
该圆上所有点到原点的距离最大值为 ，即 ，
.
故答案为：C.
【分析】设 ， ，由题意可得 ，即点 在圆 上，找到圆上的点到原点的距离最大值即可得解.
12．（2020·安徽模拟）已知i为虚数单位，复数z满足 ，则 （ ）
A．4 B．2 C．-4 D．-2
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 ， ， ， .
故答案为：A.
【分析】由已知可求出 ，进而可求 ，则可求出 的值.
13．（2020·滨州模拟）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为 ，
∴ ，又 ，
.
故答案为：A.
【分析】由z在复平面内对应的点为 ，可得 ，然后代入 ，即可得答案.
14．（2020·大连模拟）欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】因为欧拉公式 为虚数单位），
所以 ，因为 ， ， ， ，
所以 表示的复数在复平面中位于第二象限．
故答案为：B．
【分析】利用欧拉公式 ，化简 的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．
二、多选题
15．（2020高一下·句容期中）已知复数 ，则以下说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部为
B．z的共轭复数
C．
D．在复平面内与z对应的点在第二象限
【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ，
∴复数 的虚部为 ， 的共轭复数 ，
复平面内与 对应的点的坐标为 ，在第二象限.
故答案为：CD.
【分析】利用复数的乘除运算可得 ，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
16．（2020高一下·海南期末）设复数z满足 ，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为
D．复数z在复平面内对应的点在直线 上
【答案】A,C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ，A符合题意；复数z在复平面内对应的点的坐标为 ，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为 ，C符合题意；复数z在复平面内对应的点 不在直线 上，D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
17．（2020高一下·沈阳期末）已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且 则下列结论正确的是（ ）．
A． B．z的虚部为
C．z的共轭复数为 D．
【答案】A,B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解： ，且 ，
复数 在复平面内对应的点位于第二象限
A:
B: 的虚部是
C: 的共轭复数为
D:
故答案为：AB．
【分析】利用复数 的模长运算及 在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.
18．（2020高二下·徐州月考）已知复数 满足 ， ，则实数 的值可能是（ ）
A．1 B． C．0 D．5
【答案】A,B,C
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】设 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴实数 的值可能是 .
故选：ABC.
【分析】设 ，从而有 ，利用消元法得到关于 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.
三、填空题
19．（2020高二下·郑州期末）化简： .
【答案】-1-i
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 ，
，
所以原式 .
故答案为：-1-i.
【分析】利用 的幂的性质化简即可得答案.
20．（2020·新课标Ⅱ·理）设复数 ， 满足 ， ，则 = .
【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】 ，可设 ， ，
，
，两式平方作和得： ，
化简得：
.
故答案为： .
【分析】令 ， ，根据复数的相等可求得 ，代入复数模长的公式中即可得到结果.
21．（2020高二下·通州期末）欧拉公式 （其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当 时， ，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将 所表示的复数记为 ，那么 .
【答案】1
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：由题意， ，
.
故答案为：1.
【分析】由已知可得 ，再由复数模的计算公式求解.
22．（2020高二下·上海期末）已知复数z满足 ，则 的最大值是 .
【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】设 ．
则
．
， ．
当 时， ，
所以 ， 的最大值是 ；
当 时， ，
所以 ， 的最大值是 ；
当 时， ，所以 ，
， ．
综上， 的最大值是 ．
故答案为： ．
【分析】设 ，则化简可得 ；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果．
四、解答题
23．（2020高一下·北京期中）已知复数 ，( 为实数)，且 为实数.
（1）求复数 ；
（2）求复数 的模 .
【答案】（1）解：
为实数
，则
（2）解：由（1）可知 ，则
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】（1）根据复数的类型确定 的值，即可得出复数 ；（2）由模长公式求解即可.
24．（2020高二下·西安期中）已知复数 ， ．
（Ⅰ）若 为纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）若 对应的点在直线 上，求m的值．
【答案】解：由题意，复数 ，
则 ，
（Ⅰ）若 为纯虚数，则有 ，
解得： ．
（Ⅱ）根据 对应的点 在 上，
可得 ，
解得： ．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（Ⅰ）将复数整理成代数形式，根据实部为0，虚部不为0，列式可解得结果；
（Ⅱ）根据复数的几何意义得到复数所对应的点，再代入直线方程可解得结果.
25．（2020高一下·天津期末）已知i虚数单位， .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若复数 的虚部为2，且 的虚部为0，求 .
【答案】解：（Ⅰ） ，
所以 ，
（Ⅱ）设 ，
则 ，
因为 的虚部为0，所以，
，即 .
所以 .
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出 后可求其模.（Ⅱ）设 ，利用复数的乘法计算出 后再根据虚部为0求出 ，从而可得 .
26．（2020高二下·郑州期末）设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数 ；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值.
【答案】（1）解：设 ， ， .
由题意： .①
，
得 ，
，②
①②联立，解得 ，
得 .
（2）解：由（1）可得
所以
由题意可知 解得 且 且
所以
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）设 ， 且 ，由条件可得 ①， ②．由①②联立的方程组得 、 的值，即可得到 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解 ．
27．（2020高二下·吉林月考）已知复数 z1=a-2i ， （ ，i为虚数单位）.
（1）若 是纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：依据
根据题意 是纯虚数， ， ；
（2）解：根据题意 在复平面上对应的点在第四象限，可得
，
所以，实数a的取值范围为
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】(1)由纯虚数概念明确实数 的值；(2) 点在第四象限推出实部大于零，虚部小于零.
28．（2020高一下·淄博期中）已知平行四边形OABC的三个顶点 对应的复数为 .
（1）求点B所对应的复数 ；
（2）若 ，求复数 所对应的点的轨迹.
【答案】（1）解：由已知得 ，
∴ ，
∴点 对应的复数 ．
（2）解：设复数 所对应的点 ，
∵ ，
∴点 到点 的距离为1，
∴复数 所对应的点Z的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
且其方程为 .
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据复数加法的几何意义，求得 的坐标即可得到点B对应的复数．（2）根据复数模的意义可得复数z所对应的点的轨迹为圆，并可求得其方程．
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高中数学人教新课标A版 选修2-2 3.1数系的扩充和复数的概念
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅰ·文）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．（2020·浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．（2020高一下·海南期末）
A． B． C． D．
4．（2020高一下·通州期末）复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高二下·哈尔滨期末）已知复数 满足 ，且 为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
6．（2020高二下·哈尔滨期末）已知复数 （i为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二下·通州期末）已知复数 是虚数单位），那么z的虚部是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
8．（2020高二下·开鲁期末）若复数 ，则复数 对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
9．（2020高二下·东莞期末）已知 ， 为虚数单位， ，则 （ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
10．（2020·芜湖模拟）已知复数 （ 为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2020·芜湖模拟）设复数z满足 ，则 最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
12．（2020·安徽模拟）已知i为虚数单位，复数z满足 ，则 （ ）
A．4 B．2 C．-4 D．-2
13．（2020·滨州模拟）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2020·大连模拟）欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
15．（2020高一下·句容期中）已知复数 ，则以下说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部为
B．z的共轭复数
C．
D．在复平面内与z对应的点在第二象限
16．（2020高一下·海南期末）设复数z满足 ，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为
D．复数z在复平面内对应的点在直线 上
17．（2020高一下·沈阳期末）已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且 则下列结论正确的是（ ）．
A． B．z的虚部为
C．z的共轭复数为 D．
18．（2020高二下·徐州月考）已知复数 满足 ， ，则实数 的值可能是（ ）
A．1 B． C．0 D．5
三、填空题
19．（2020高二下·郑州期末）化简： .
20．（2020·新课标Ⅱ·理）设复数 ， 满足 ， ，则 = .
21．（2020高二下·通州期末）欧拉公式 （其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当 时， ，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将 所表示的复数记为 ，那么 .
22．（2020高二下·上海期末）已知复数z满足 ，则 的最大值是 .
四、解答题
23．（2020高一下·北京期中）已知复数 ，( 为实数)，且 为实数.
（1）求复数 ；
（2）求复数 的模 .
24．（2020高二下·西安期中）已知复数 ， ．
（Ⅰ）若 为纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）若 对应的点在直线 上，求m的值．
25．（2020高一下·天津期末）已知i虚数单位， .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若复数 的虚部为2，且 的虚部为0，求 .
26．（2020高二下·郑州期末）设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数 ；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值.
27．（2020高二下·吉林月考）已知复数 z1=a-2i ， （ ，i为虚数单位）.
（1）若 是纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
28．（2020高一下·淄博期中）已知平行四边形OABC的三个顶点 对应的复数为 .
（1）求点B所对应的复数 ；
（2）若 ，求复数 所对应的点的轨迹.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
2．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，
可得a﹣2＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．
3．【答案】D
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】解： ，
故答案为：D.
【分析】根据公式 ，可直接计算得
4．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】根据共轭复数的定义可得复数 的共轭复数是 .
故答案为：A.
【分析】利用共轭复数的定义直接得到.
5．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由于 为纯虚数，设为 ，由 得 ，
即 ，所以 .
故答案为：B
【分析】设出 ，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得 的值.
6．【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】 , 所以 .
故答案为：D
【分析】利用复数的求模运算、共轭复数的定义得出答案.
7．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数 的虚部为2
故答案为：D.
【分析】直接利用复数的基本概念得答案.
8．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 ，
故复数z对应的点在第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据周期性得到 ,得到答案.
9．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】 ， ，
.
故答案为：A.
【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a,b的方程，解出a,b即可得解.
10．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】由 得 ，
故对应的点的坐标为 ，从而求出复数z在复平面内对应的点位于第三象限。
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义，从而求出复数z在复平面内对应的点的坐标，进而根据点的坐标确定复数z在复平面内对应的点所在的象限。
11．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】设 ， ，
， 即 ，
点 在圆 上，
又该圆的圆心为 ，半径为 ，
该圆上所有点到原点的距离最大值为 ，即 ，
.
故答案为：C.
【分析】设 ， ，由题意可得 ，即点 在圆 上，找到圆上的点到原点的距离最大值即可得解.
12．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】 ， ， ， .
故答案为：A.
【分析】由已知可求出 ，进而可求 ，则可求出 的值.
13．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为 ，
∴ ，又 ，
.
故答案为：A.
【分析】由z在复平面内对应的点为 ，可得 ，然后代入 ，即可得答案.
14．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】因为欧拉公式 为虚数单位），
所以 ，因为 ， ， ， ，
所以 表示的复数在复平面中位于第二象限．
故答案为：B．
【分析】利用欧拉公式 ，化简 的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．
15．【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ，
∴复数 的虚部为 ， 的共轭复数 ，
复平面内与 对应的点的坐标为 ，在第二象限.
故答案为：CD.
【分析】利用复数的乘除运算可得 ，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
16．【答案】A,C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ，A符合题意；复数z在复平面内对应的点的坐标为 ，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为 ，C符合题意；复数z在复平面内对应的点 不在直线 上，D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
17．【答案】A,B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解： ，且 ，
复数 在复平面内对应的点位于第二象限
A:
B: 的虚部是
C: 的共轭复数为
D:
故答案为：AB．
【分析】利用复数 的模长运算及 在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.
18．【答案】A,B,C
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】设 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴实数 的值可能是 .
故选：ABC.
【分析】设 ，从而有 ，利用消元法得到关于 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.
19．【答案】-1-i
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】 ，
，
所以原式 .
故答案为：-1-i.
【分析】利用 的幂的性质化简即可得答案.
20．【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】 ，可设 ， ，
，
，两式平方作和得： ，
化简得：
.
故答案为： .
【分析】令 ， ，根据复数的相等可求得 ，代入复数模长的公式中即可得到结果.
21．【答案】1
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：由题意， ，
.
故答案为：1.
【分析】由已知可得 ，再由复数模的计算公式求解.
22．【答案】
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】设 ．
则
．
， ．
当 时， ，
所以 ， 的最大值是 ；
当 时， ，
所以 ， 的最大值是 ；
当 时， ，所以 ，
， ．
综上， 的最大值是 ．
故答案为： ．
【分析】设 ，则化简可得 ；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果．
23．【答案】（1）解：
为实数
，则
（2）解：由（1）可知 ，则
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】（1）根据复数的类型确定 的值，即可得出复数 ；（2）由模长公式求解即可.
24．【答案】解：由题意，复数 ，
则 ，
（Ⅰ）若 为纯虚数，则有 ，
解得： ．
（Ⅱ）根据 对应的点 在 上，
可得 ，
解得： ．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（Ⅰ）将复数整理成代数形式，根据实部为0，虚部不为0，列式可解得结果；
（Ⅱ）根据复数的几何意义得到复数所对应的点，再代入直线方程可解得结果.
25．【答案】解：（Ⅰ） ，
所以 ，
（Ⅱ）设 ，
则 ，
因为 的虚部为0，所以，
，即 .
所以 .
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出 后可求其模.（Ⅱ）设 ，利用复数的乘法计算出 后再根据虚部为0求出 ，从而可得 .
26．【答案】（1）解：设 ， ， .
由题意： .①
，
得 ，
，②
①②联立，解得 ，
得 .
（2）解：由（1）可得
所以
由题意可知 解得 且 且
所以
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）设 ， 且 ，由条件可得 ①， ②．由①②联立的方程组得 、 的值，即可得到 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解 ．
27．【答案】（1）解：依据
根据题意 是纯虚数， ， ；
（2）解：根据题意 在复平面上对应的点在第四象限，可得
，
所以，实数a的取值范围为
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】(1)由纯虚数概念明确实数 的值；(2) 点在第四象限推出实部大于零，虚部小于零.
28．【答案】（1）解：由已知得 ，
∴ ，
∴点 对应的复数 ．
（2）解：设复数 所对应的点 ，
∵ ，
∴点 到点 的距离为1，
∴复数 所对应的点Z的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
且其方程为 .
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据复数加法的几何意义，求得 的坐标即可得到点B对应的复数．（2）根据复数模的意义可得复数z所对应的点的轨迹为圆，并可求得其方程．
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