高中数学人教新课标A版 选修2-2 第三章 数系的扩充与复数的引入
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅲ·文）若 ，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
2．（2020·新课标Ⅱ·文）（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
3．（2020·新课标Ⅲ·理）复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·新高考Ⅰ） （ ）
A．1 B． 1 C．i D． i
5．（2020·新课标Ⅰ·文）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．（2020高二下·中山期中）复数 (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2020·新课标Ⅰ·理）若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
8．（2020·北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
9．（2020·浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．（2020高二下·嘉定期末）下列命题中,正确的命题是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 不成立
C． ，则 或
D． ，则 且
11．（2020高二下·呼和浩特期末）若复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2020高二下·洛阳期末）已知a是实数， 是实数，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．
二、多选题
13．（2020高一下·海南期末）设复数z满足 ，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为
D．复数z在复平面内对应的点在直线 上
14．（2020高一下·胶州期中）已知复数 满足 ， ，则实数 的值可能是（ ）
A．1 B．-4 C．0 D．5
15．（2020高一下·沈阳期末）已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且 则下列结论正确的是（ ）．
A． B．z的虚部为
C．z的共轭复数为 D．
16．（2020高一下·句容期中）已知复数 ，则以下说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部为
B．z的共轭复数
C．
D．在复平面内与z对应的点在第二象限
三、填空题
17．（2020·天津）i是虚数单位，复数 ．
18．（2020·江苏）已知i是虚数单位，则复数 的实部是 .
19．（2020·新课标Ⅱ·理）设复数 ， 满足 ， ，则 = .
20．（2020高二下·通辽期末）下列命题（ 为虚数单位）中：①已知 且 ，则 为纯虚数；②当 是非零实数时， 恒成立；③复数 的实部和虚部都是－2；④如果 ，则实数 的取值范围是 ；⑤复数 ，则 ；其中正确的命题的序号是 .
四、解答题
21．（2020高一下·天津期末）已知i虚数单位， .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若复数 的虚部为2，且 的虚部为0，求 .
22．（2020高二下·郑州期末）已知复数 满足 （ 是虚数单位）.
求：
（1）
（2） .
23．（2020高二下·通州期末）已知复数 是虚数单位）.
（1）求 ；
（2）如图，复数 ， 在复平面上的对应点分别是A，B，求 .
24．（2020高二下·东莞期末）已知复数 (i为虚数单位).
（1）若z是纯虚数，求实数 的值；
（2）在复平面内，若z所对应的点在直线 的上方，求实数m的取值范围.
25．（2020高二下·郑州期末）设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数 ；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值.
26．（2020高二下·吉林月考）已知复数 ，i为虚数单位， .
（1）若z是实数，求实数a的值；
（2）若 ，求实数a的值；
（3）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：D
【分析】先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到z即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
3．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
4．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
5．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
6．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵ ，
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，在第一象限，
故答案为：A.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出 的值，根据复数的几何意义可得结果．
7．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可得： ，则 .
故 .
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
8．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意得 ， .
故答案为：B.
【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.
9．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，
可得a﹣2＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．
10．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】A．当 时， ，此时 无法比较大小，故错误；
B．当 时， ，所以 ，所以此时 成立，故错误；
C．根据复数乘法的运算法则可知： 或 ，故正确；
D．当 时， ，此时 且 ，故错误.
故答案为：C.
【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；
B．根据实数的共轭复数还是其本身判断 是否成立；
C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；
D．考虑特殊情况： ，由此判断是否正确.
11．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解： 复数 满足
，
.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.
12．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： 是实数，
，即 ．
．
故答案为：A．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得 值，代入 得答案．
13．【答案】A,C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ，A符合题意；复数z在复平面内对应的点的坐标为 ，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为 ，C符合题意；复数z在复平面内对应的点 不在直线 上，D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
14．【答案】A,B,C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴实数 的值可能是 .
故答案为：ABC.
【分析】设 ，从而有 ，利用消元法得到关于 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.
15．【答案】A,B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解： ，且 ，
复数 在复平面内对应的点位于第二象限
A:
B: 的虚部是
C: 的共轭复数为
D:
故答案为：AB．
【分析】利用复数 的模长运算及 在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.
16．【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ，
∴复数 的虚部为 ， 的共轭复数 ，
复平面内与 对应的点的坐标为 ，在第二象限.
故答案为：CD.
【分析】利用复数的乘除运算可得 ，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
17．【答案】3-2i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：3-2i.
【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
18．【答案】3
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
19．【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】 ，可设 ， ，
，
，两式平方作和得： ，
化简得：
.
故答案为： .
【分析】令 ， ，根据复数的相等可求得 ，代入复数模长的公式中即可得到结果.
20．【答案】②③④
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】对于①， ， 且 ，若 时，则 不是纯虚数，①错误；
对于②，当 是非零实数时，根据基本不等式的性质知 恒成立，②正确；
对于③，复数 ， 的实部和虚部都是 ，③正确；
对于④，如果 ，则 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 ，④正确；
对于⑤，复数 ，则 ， ⑤错误．
综上，正确的命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
【分析】①当 时， 不是纯虚数；
②根据基本不等式的性质知 恒成立；
③化简复数z，得z的实部和虚部都是-2；
④根据模长公式得关于a的不等式，求解即可；
⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．
21．【答案】解：（Ⅰ） ，
所以 ，
（Ⅱ）设 ，
则 ，
因为 的虚部为0，所以，
，即 .
所以 .
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出 后可求其模.（Ⅱ）设 ，利用复数的乘法计算出 后再根据虚部为0求出 ，从而可得 .
22．【答案】（1）解：由题 .即
（2）解：由(1) ，故 ，故 .
即
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】(1)易得 ，再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得 再计算 求模长即可.
23．【答案】（1）解： ，
（2）解： ， ，
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）把 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得 ， ，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
24．【答案】（1）解： 是纯虚数， ，
解得 ，
（2）解：z所对应的点是 ，
所对应的点在直线 的上方，即 ，
化简得 ，即 ，
.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）由复数的分类求解；（2）写出对应点的坐标，点在直线 上方，就是点的坐标适合不等式 代入后不等式可得．
25．【答案】（1）解：设 ， ， .
由题意： .①
，
得 ，
，②
①②联立，解得 ，
得 .
（2）解：由（1）可得
所以
由题意可知 解得 且 且
所以
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）设 ， 且 ，由条件可得 ①， ②．由①②联立的方程组得 、 的值，即可得到 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解 ．
26．【答案】（1）解：由题意 ， ；
（2）解：由已知 ，解得 或 ．
（3）解：复数 对应点坐标为 ，它在第三象限，则 ，解得 ．∴ 的范围是 ．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）由复数模的运算计算；（3）写出对应点坐标，由点所在象限得出不等式，解之可得．
1 / 1高中数学人教新课标A版 选修2-2 第三章 数系的扩充与复数的引入
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅲ·文）若 ，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
故答案为：D
【分析】先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到z即可.
2．（2020·新课标Ⅱ·文）（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：A.
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
3．（2020·新课标Ⅲ·理）复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为：D.
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
4．（2020·新高考Ⅰ） （ ）
A．1 B． 1 C．i D． i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
故答案为：D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
5．（2020·新课标Ⅰ·文）若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】因为 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】先根据 将 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．
6．（2020高二下·中山期中）复数 (其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵ ，
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，在第一象限，
故答案为：A.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出 的值，根据复数的几何意义可得结果．
7．（2020·新课标Ⅰ·理）若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可得： ，则 .
故 .
故答案为：D.
【分析】由题意首先求得 的值，然后计算其模即可.
8．（2020·北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意得 ， .
故答案为：B.
【分析】先根据复数几何意义得z，再根据复数乘法法则得结果.
9．（2020·浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，
可得a﹣2＝0，解得a＝2．
故答案为：C．
【分析】利用复数的虚部为0，求解即可．
10．（2020高二下·嘉定期末）下列命题中,正确的命题是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 不成立
C． ，则 或
D． ，则 且
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】A．当 时， ，此时 无法比较大小，故错误；
B．当 时， ，所以 ，所以此时 成立，故错误；
C．根据复数乘法的运算法则可知： 或 ，故正确；
D．当 时， ，此时 且 ，故错误.
故答案为：C.
【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；
B．根据实数的共轭复数还是其本身判断 是否成立；
C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；
D．考虑特殊情况： ，由此判断是否正确.
11．（2020高二下·呼和浩特期末）若复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解： 复数 满足
，
.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.
12．（2020高二下·洛阳期末）已知a是实数， 是实数，则 的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解： 是实数，
，即 ．
．
故答案为：A．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得 值，代入 得答案．
二、多选题
13．（2020高一下·海南期末）设复数z满足 ，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为
D．复数z在复平面内对应的点在直线 上
【答案】A,C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ，A符合题意；复数z在复平面内对应的点的坐标为 ，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为 ，C符合题意；复数z在复平面内对应的点 不在直线 上，D不正确.
故答案为：AC
【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.
14．（2020高一下·胶州期中）已知复数 满足 ， ，则实数 的值可能是（ ）
A．1 B．-4 C．0 D．5
【答案】A,B,C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】设 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴实数 的值可能是 .
故答案为：ABC.
【分析】设 ，从而有 ，利用消元法得到关于 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.
15．（2020高一下·沈阳期末）已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且 则下列结论正确的是（ ）．
A． B．z的虚部为
C．z的共轭复数为 D．
【答案】A,B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解： ，且 ，
复数 在复平面内对应的点位于第二象限
A:
B: 的虚部是
C: 的共轭复数为
D:
故答案为：AB．
【分析】利用复数 的模长运算及 在复平面内对应的点位于第二象限求出a，再验算每个选项得解.
16．（2020高一下·句容期中）已知复数 ，则以下说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部为
B．z的共轭复数
C．
D．在复平面内与z对应的点在第二象限
【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】 ，
∴复数 的虚部为 ， 的共轭复数 ，
复平面内与 对应的点的坐标为 ，在第二象限.
故答案为：CD.
【分析】利用复数的乘除运算可得 ，根据复数的概念可判断A；根据共轭复数的概念可判断B；根据复数的模可判断C；根据复数的几何意义可判断D.
三、填空题
17．（2020·天津）i是虚数单位，复数 ．
【答案】3-2i
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 .
故答案为：3-2i.
【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
18．（2020·江苏）已知i是虚数单位，则复数 的实部是 .
【答案】3
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
19．（2020·新课标Ⅱ·理）设复数 ， 满足 ， ，则 = .
【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；复数的模
【解析】【解答】 ，可设 ， ，
，
，两式平方作和得： ，
化简得：
.
故答案为： .
【分析】令 ， ，根据复数的相等可求得 ，代入复数模长的公式中即可得到结果.
20．（2020高二下·通辽期末）下列命题（ 为虚数单位）中：①已知 且 ，则 为纯虚数；②当 是非零实数时， 恒成立；③复数 的实部和虚部都是－2；④如果 ，则实数 的取值范围是 ；⑤复数 ，则 ；其中正确的命题的序号是 .
【答案】②③④
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】对于①， ， 且 ，若 时，则 不是纯虚数，①错误；
对于②，当 是非零实数时，根据基本不等式的性质知 恒成立，②正确；
对于③，复数 ， 的实部和虚部都是 ，③正确；
对于④，如果 ，则 ，
解得 ，所以实数 的取值范围是 ，④正确；
对于⑤，复数 ，则 ， ⑤错误．
综上，正确的命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
【分析】①当 时， 不是纯虚数；
②根据基本不等式的性质知 恒成立；
③化简复数z，得z的实部和虚部都是-2；
④根据模长公式得关于a的不等式，求解即可；
⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．
四、解答题
21．（2020高一下·天津期末）已知i虚数单位， .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若复数 的虚部为2，且 的虚部为0，求 .
【答案】解：（Ⅰ） ，
所以 ，
（Ⅱ）设 ，
则 ，
因为 的虚部为0，所以，
，即 .
所以 .
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出 后可求其模.（Ⅱ）设 ，利用复数的乘法计算出 后再根据虚部为0求出 ，从而可得 .
22．（2020高二下·郑州期末）已知复数 满足 （ 是虚数单位）.
求：
（1）
（2） .
【答案】（1）解：由题 .即
（2）解：由(1) ，故 ，故 .
即
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【分析】(1)易得 ，再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得 再计算 求模长即可.
23．（2020高二下·通州期末）已知复数 是虚数单位）.
（1）求 ；
（2）如图，复数 ， 在复平面上的对应点分别是A，B，求 .
【答案】（1）解： ，
（2）解： ， ，
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）把 代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得 ， ，代入 ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
24．（2020高二下·东莞期末）已知复数 (i为虚数单位).
（1）若z是纯虚数，求实数 的值；
（2）在复平面内，若z所对应的点在直线 的上方，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解： 是纯虚数， ，
解得 ，
（2）解：z所对应的点是 ，
所对应的点在直线 的上方，即 ，
化简得 ，即 ，
.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）由复数的分类求解；（2）写出对应点的坐标，点在直线 上方，就是点的坐标适合不等式 代入后不等式可得．
25．（2020高二下·郑州期末）设实部为正数的复数 ，满足 ，且复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
（1）求复数 ；
（2）若 为纯虚数，求实数 的值.
【答案】（1）解：设 ， ， .
由题意： .①
，
得 ，
，②
①②联立，解得 ，
得 .
（2）解：由（1）可得
所以
由题意可知 解得 且 且
所以
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）设 ， 且 ，由条件可得 ①， ②．由①②联立的方程组得 、 的值，即可得到 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解 ．
26．（2020高二下·吉林月考）已知复数 ，i为虚数单位， .
（1）若z是实数，求实数a的值；
（2）若 ，求实数a的值；
（3）若z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：由题意 ， ；
（2）解：由已知 ，解得 或 ．
（3）解：复数 对应点坐标为 ，它在第三象限，则 ，解得 ．∴ 的范围是 ．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据复数的分类求解；（2）由复数模的运算计算；（3）写出对应点坐标，由点所在象限得出不等式，解之可得．
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