初中数学苏科版八年级下册 9.3 平行四边形的性质 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·海州期末）平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对边相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，
∴平行四边形不一定具有的性质是C选项.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等进行判断.
2．（2020八下·河池期末）在 中， ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=∠C=100°，
∴∠B=180°-∠A=80°.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补进行解答即可.
3．（2020八上·黄陂开学考）如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论一定成立的是（ ）
A．AC=BC B．AO=OC C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B选项成立；A，C，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质“①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分”即可判断求解.
4．（2020八下·上虞期末）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，已知AE=2，ED=4，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： CE平分∠BCD
∴ ∠ECD=∠BCE
∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ AD//BC
∴∠BCE=∠DEC
∴∠ECD=∠DEC
∴CD=DE=4
AD=AE+ED=2+4=6
平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×（6+4）=20；
故答案为：C.
【分析】根据角平分线和平行四边形的性质，可以得出CD=DE=4，AD=AE+ED=6，进而得出平行四边形的周长。
5．（2020八下·无锡期中）如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足.如果∠A=120°，∠BCE的度数为( )
A．20° B．30° C．40° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，∠A=120°
∴∠B=180°-120°=60°
又∵CE⊥AB
∴∠BCE=90°-∠B=30°
故答案为：B.
【分析】根据题意可得因为平行四边形对边平行，所以由两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠B=180°，由已知易证∠BEC=90°，所以在Rt△BEC中，由三角形的内角和定理知∠BCE=30°.
6．（2020八上·安阳月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，
∴AB=CD，
当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，
∴选项A正确；
当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项B正确；
当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，
∴选项C不正确；
当∠AED=∠CFB时，由AAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项D正确；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论.
7．（2020八下·重庆期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3.则AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.5
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】 四边形ABCD是平行四边形，
，
BE平分 ，CE平分 ，
，
，
，
在 中， ，
则 ，
，
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据角平分线的性质可得 ，然后根据三角形的内角和定理可得 ，最后根据勾股定理可得BC的长，由此即可得.
8．（2020八下·哈尔滨期中）在平行四边形ABCD中， ，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE若平行四边形ABCD的周长为20cm，则 的周长为（ ）
A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E
∴EC=EA
∴△CDE的周长为CD+DE+EC=CD+DE+EA=CD+AD
∵平行四边形ABCD的周长为20cm，
∴CD+AD=10cm
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质得到EC=EA，然后求得△CDE的周长为CD+ AD，从而结合平行四边形的周长求解．
9．（2019八下·滕州期末）如图所示，在直角坐标系内，原点O恰好是 ABCD对角线的交点，若A点坐标为（2，3），则C点坐标为（ ）
A．（－3，－2） B．（－2，3）
C．（－2，－3） D．（2，－3）
【答案】C
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】由题可知 ABCD关于点O中心对称,
∴点A和点C关于点O中心对称,
∵A（2，3），
∴C（－2，－3）
故答案为：C.
【分析】根据图像,利用中心对称即可解题.
10．（2020八下·西山期末）如图， 的对角线 交于点 平分 交 于点 连接 .下列结论： ； 平分 ； ； ，其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD＝ AD＝ BC，
∴E是BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝ ∠CED＝30°，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，
∴S ABCD＝CD BD＝AB BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠ADB＝30°＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝AB，故③正确；
∵O是BD的中点，E是BC的中点，
∴OE是△CBD的中位线，
∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，
∵OC是△BCD的中线，
∴S△BOC＝S△COD，
∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，
故答案为：D.
【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S ABCD＝AD BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC.
二、填空题
11．（2020八下·越秀期中）在 ABCD中，AB：BC=4：3，周长为28cm，则AD= cm．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵ ABCD中，AB：BC=4：3，周长是28cm，
∴设AB=4x，则BC=3x，AB+BC=14cm，
∴7x=14，
解得x=2，
所以AD=BC=6cm；
故答案是6
【分析】根据平行四边形的对边相等，即可求解．
12．（2020八下·大理期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是 ， ， ，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有 个.
【答案】3
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
①AB为对角线时，点D的坐标为（3，-3），
②BC为对角线时，点D的坐标为（7，3），
③AC为对角线时，点D的坐标为（-3，3），
综上所述，点D的坐标是（7，3），（-3，3），（3，-3）.
故答案为：3.
【分析】作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解.
13．（2020八下·定边期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝9，∠B＝30°，则 ABCD的面积是 .
【答案】18
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，
∵直角△ABE中，∠B＝30°，AB＝4，
∴AE＝ AB＝ ×4＝2，
∴平行四边形ABCD面积＝BC AE＝9×2＝18，
故答案为：18.
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面积根据即可求出其面积.
14．（2020八上·肇东期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝7，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是 ．
【答案】24
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE．
∵AD∥BC，
∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，
∴CD＝CE＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）＝2×（7＋5）＝24．
故答案为：24．
【分析】利用平行四边形的性质，可得AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC，由角平分线的定义及平行线的性质得出∠ADE＝∠CDE，∠CED＝∠ADE，由等量代换可得∠CED＝∠CDE，利用等角对等边可得CD＝CE，由于CE＝BC﹣BE＝5，即得CD=5，利用平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）即可求出结论.
15．（2020八下·咸安期末）如图， 中， 和 的平分线分别交 于E、F两点， 、 交与点G，若 ， ，则 .
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
和 的平分线分别交 于 ， 两点，
， ，
， ，
， ，
；
在 中， ， ，
， ，
，
， 和 的平分线分别交 于E，F两点，
，
，
.
故答案为：4.
【分析】由在 中， 和 的平分线分别交 于E，F两点，易得 ，又由已知条件可求得 的长，即可利用勾股定理求得 的值.
16．（2020八下·无锡期中）如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处.若∠1=∠2=42°，则∠B为 °.
【答案】117
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B AB＝42°
∵将 ABCD沿对角线AC折叠
∴∠BAC＝∠B AC＝21°
∴∠B＝180° ∠2 ∠BAC＝117°
故答案为：117°
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠B AB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B AC＝21°，即可求解.
17．（2020八下·江阴期中）如图，已知 ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 .
【答案】9
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝2与OC交于点M，与x轴交于点F，
直线x＝7与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝2与直线x＝7均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中， ，
∴△OAF≌△BCD（ASA）.
∴BD＝OF＝2，
∴OE＝7+2＝9，
∴OB＝ .
∵OE的长不变，
∴当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝9.
故答案为：9.
【分析】过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E.则OB＝ .由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，即可得出答案.
18．（2020八下·济南期中）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝ BC，连结OE.下列结论：
①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝ BC，成立的结论有 ．(填序号)
【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB= BC，
∴AE= BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①符合题意；
∵AC⊥AB，
∴S ABCD=AB AC，故②符合题意，
∵AB= BC，OB= BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③不符合题意；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE= AB，
∴OE= BC，故④符合题意．
故答案为：①②④．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB= BC，得到AE= BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①符合题意；由于AC⊥AB，得到S ABCD=AB AC，故②符合题意，根据AB= BC，OB= BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③不符合题意；根据三角形的中位线定理得到OE= AB，于是得到OE= BC，故④符合题意．
三、解答题
19．（2020八下·大理期末）如图，点E，F为 ABCD的对角线BD上的两点，连接AE，CF，∠AEB＝∠CFD.求证：AE＝CF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴ ∠ABE=∠CDF ，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
∴AE＝CF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB＝CD， AB∥CD，根据二直线平行 ∠ABE＝∠CDF，由AAS证明证得△ABE≌△CDF，继而证得结论.
20．（2020八下·湖北期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点.
求证：BE＝DF
【答案】证明：∵ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,AO=CO,
∵E、F分别是OA、OC的中点,
∴EO=FO,
又∵∠COD=∠BOE,
∴△BOE≌△DOF(SAS),
∴BE=DF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据题意可得BO=DO,再由E、F是AO、CO的中点可得EO=FO,即可证全等求出BE=DF.
21．（2020八下·泸县期末）如图，E是 ABCD的边AB的中点，连接CE并延长交DA的延长线于F，若BC＝8，求DF的长．
【答案】解：∵E是 ABCD的边AB的中点，
∴AE＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB＝8，AD∥CB，
∴∠F＝∠BCE，
在△AEF和△BEC中， ，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴AF＝CB＝8，
∴DF＝AD+AF＝16.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，AD∥CB，由平行线的性质得出∠F＝∠BCE，由AAS证明△AEF≌△BEC，得出AF＝CB＝8，即可求出DF的长.
22．（2020八下·海州期末）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF.请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明.
【答案】解：猜想：BE∥DF，BE＝DF.
证明：如图1
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，∠1＝∠2，
又∵CE＝AF，
∴△BCE≌△DAF.
∴BE＝DF，∠3＝∠4.
∴BE∥DF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得对角相等，对边相等，然后利用SAS证明 △BCE≌△DAF，则得BE=DF，∠3=∠4，然后根据平行线的判定定理可得BE∥DF.
23．（2020八下·曲阜期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中 ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴ED＝BF，
∴BD﹣CF＝BD﹣DE，
∴BE＝DF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD然后证明△ABF≌△CDE，进而可得BF＝DE，再利用等式的性质进行计算即可．
24．（2019八下·孝南月考）如图，已知E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.
（1）请写出图中全等三角形（不再添加辅助线）．
（2）求证：△ABE≌△CDF；
【答案】（1）解：①△ABC≌△CDA（SSS）；②△BCE≌△DAF（SAS）；③△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠FCD，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法即可得出 ：①△ABC≌△CDA（SSS）；②△BCE≌△DAF（SAS）；③△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等得出 AB=CD，AB∥CD， 根据二直线平行，内错角星等得出 ∠BAE=∠FCD， 根据垂直的定义得出 ∠AEB=∠CFD=90°， 从而利用AAS判断出 △ABE≌△CDF 。
25．（2020八下·新蔡期末）如图所示，已知点E，F在 ABCD的对角线BD上，且BE=DF.
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）AE∥CF.
【答案】（1）证明：在 ABCD中，AB∥CD且AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF.
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等的性质得到AB∥CD且AB=CD，所以∠ABE=∠CDF，所以两三角形全等；（2）根据全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CFD，所以它们的邻补角相等，根据内错角相等，两直线平行即可得证.
26．（2020八下·重庆期末）如图， ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD＝2∠DBC，AE⊥BD于点E.
（1）若∠ADB＝25°，求∠BAE的度数；
（2）求证：AB＝2OE.
【答案】（1）解：在平行四边形ABCD中，AD BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
∵∠ABD＝2∠DBC，∠ADB＝25°，
∴∠ABD＝2×25°＝50°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°；
（2）证明：如图，取AB的中点F，连接EF、OF，
∵AE⊥BD，
∴EF＝BF＝ AB，
∴∠ABD＝∠BEF，
∵AO＝CO，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF BC，
∴∠DBC＝∠EOF，
根据三角形的外角性质，∠BEF＝∠EFO＋∠EOF，
又∵∠ABD＝2∠DBC，
∴∠EFO＝∠EOF，
∴EF＝OE，
∴OE＝ AB，
∴AB＝2OE.
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行可得AD BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC＝∠ADB，然后求出∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠BAE；
（2）取AB的中点F，连接EF、OF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝BF＝ AB，根据等边对等角可得∠ABD＝∠BEF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OF BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC＝∠EOF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFO＝∠EOF，再根据等角对等边可得EF＝OE，从而得证.
27．（2020八下·丽水期末）如图，在 中， 平分 交 于点M.
（1）若 ，求 的长；
（2）若 是 的中点，连结 ，求证： 平分
【答案】（1）解： 四边形 是平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
；
（2）解：如图，延长 ， ，交于点E，则 ，
，
， ，
是 的中点，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
平分 .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到 ；（2）延长 ， ，交于点E，依据 ，即可得到 ，再根据 ，即可得出 平分 .
28．（2020八下·北镇期末）如图，在 中，点O是对角线 的交点， 过点O且垂直于 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∵∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA）
∴OE=OF；
（2）解：∵OE=OF，OE=3.5，
∴EF=2OE=7，
又∵EF⊥AD，
∴S□ABCD= AD×EF=63
∴AD=9.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和ASA证明△AEO≌△CFO即可解决问题；（2）首先根据OE的长度和 求出EF的长度，然后利用S□ABCD= AD×EF即可求解.
1 / 1初中数学苏科版八年级下册 9.3 平行四边形的性质 同步训练
一、单选题
1．（2020八下·海州期末）平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对边相等
2．（2020八下·河池期末）在 中， ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020八上·黄陂开学考）如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论一定成立的是（ ）
A．AC=BC B．AO=OC C． D．
4．（2020八下·上虞期末）如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，已知AE=2，ED=4，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
5．（2020八下·无锡期中）如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足.如果∠A=120°，∠BCE的度数为( )
A．20° B．30° C．40° D．60°
6．（2020八上·安阳月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB
7．（2020八下·重庆期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3.则AD的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.5
8．（2020八下·哈尔滨期中）在平行四边形ABCD中， ，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE若平行四边形ABCD的周长为20cm，则 的周长为（ ）
A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm
9．（2019八下·滕州期末）如图所示，在直角坐标系内，原点O恰好是 ABCD对角线的交点，若A点坐标为（2，3），则C点坐标为（ ）
A．（－3，－2） B．（－2，3）
C．（－2，－3） D．（2，－3）
10．（2020八下·西山期末）如图， 的对角线 交于点 平分 交 于点 连接 .下列结论： ； 平分 ； ； ，其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
11．（2020八下·越秀期中）在 ABCD中，AB：BC=4：3，周长为28cm，则AD= cm．
12．（2020八下·大理期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是 ， ， ，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有 个.
13．（2020八下·定边期末）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝9，∠B＝30°，则 ABCD的面积是 .
14．（2020八上·肇东期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝7，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是 ．
15．（2020八下·咸安期末）如图， 中， 和 的平分线分别交 于E、F两点， 、 交与点G，若 ， ，则 .
16．（2020八下·无锡期中）如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处.若∠1=∠2=42°，则∠B为 °.
17．（2020八下·江阴期中）如图，已知 ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 .
18．（2020八下·济南期中）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝ BC，连结OE.下列结论：
①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝ BC，成立的结论有 ．(填序号)
三、解答题
19．（2020八下·大理期末）如图，点E，F为 ABCD的对角线BD上的两点，连接AE，CF，∠AEB＝∠CFD.求证：AE＝CF.
20．（2020八下·湖北期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点.
求证：BE＝DF
21．（2020八下·泸县期末）如图，E是 ABCD的边AB的中点，连接CE并延长交DA的延长线于F，若BC＝8，求DF的长．
22．（2020八下·海州期末）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE＝AF.请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明.
23．（2020八下·曲阜期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．
24．（2019八下·孝南月考）如图，已知E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC.
（1）请写出图中全等三角形（不再添加辅助线）．
（2）求证：△ABE≌△CDF；
25．（2020八下·新蔡期末）如图所示，已知点E，F在 ABCD的对角线BD上，且BE=DF.
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）AE∥CF.
26．（2020八下·重庆期末）如图， ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD＝2∠DBC，AE⊥BD于点E.
（1）若∠ADB＝25°，求∠BAE的度数；
（2）求证：AB＝2OE.
27．（2020八下·丽水期末）如图，在 中， 平分 交 于点M.
（1）若 ，求 的长；
（2）若 是 的中点，连结 ，求证： 平分
28．（2020八下·北镇期末）如图，在 中，点O是对角线 的交点， 过点O且垂直于 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，
∴平行四边形不一定具有的性质是C选项.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等进行判断.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=∠C=100°，
∴∠B=180°-∠A=80°.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补进行解答即可.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B选项成立；A，C，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质“①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分”即可判断求解.
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： CE平分∠BCD
∴ ∠ECD=∠BCE
∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ AD//BC
∴∠BCE=∠DEC
∴∠ECD=∠DEC
∴CD=DE=4
AD=AE+ED=2+4=6
平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×（6+4）=20；
故答案为：C.
【分析】根据角平分线和平行四边形的性质，可以得出CD=DE=4，AD=AE+ED=6，进而得出平行四边形的周长。
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，∠A=120°
∴∠B=180°-120°=60°
又∵CE⊥AB
∴∠BCE=90°-∠B=30°
故答案为：B.
【分析】根据题意可得因为平行四边形对边平行，所以由两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠B=180°，由已知易证∠BEC=90°，所以在Rt△BEC中，由三角形的内角和定理知∠BCE=30°.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，
∴AB=CD，
当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，
∴选项A正确；
当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项B正确；
当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，
∴选项C不正确；
当∠AED=∠CFB时，由AAS判定△ABE≌△CDF，
∴选项D正确；
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】 四边形ABCD是平行四边形，
，
BE平分 ，CE平分 ，
，
，
，
在 中， ，
则 ，
，
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据角平分线的性质可得 ，然后根据三角形的内角和定理可得 ，最后根据勾股定理可得BC的长，由此即可得.
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E
∴EC=EA
∴△CDE的周长为CD+DE+EC=CD+DE+EA=CD+AD
∵平行四边形ABCD的周长为20cm，
∴CD+AD=10cm
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质得到EC=EA，然后求得△CDE的周长为CD+ AD，从而结合平行四边形的周长求解．
9．【答案】C
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】由题可知 ABCD关于点O中心对称,
∴点A和点C关于点O中心对称,
∵A（2，3），
∴C（－2，－3）
故答案为：C.
【分析】根据图像,利用中心对称即可解题.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD＝ AD＝ BC，
∴E是BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝ ∠CED＝30°，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，
∴S ABCD＝CD BD＝AB BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠ADB＝30°＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝AB，故③正确；
∵O是BD的中点，E是BC的中点，
∴OE是△CBD的中位线，
∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，
∵OC是△BCD的中线，
∴S△BOC＝S△COD，
∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，
故答案为：D.
【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S ABCD＝AD BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC.
11．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵ ABCD中，AB：BC=4：3，周长是28cm，
∴设AB=4x，则BC=3x，AB+BC=14cm，
∴7x=14，
解得x=2，
所以AD=BC=6cm；
故答案是6
【分析】根据平行四边形的对边相等，即可求解．
12．【答案】3
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
①AB为对角线时，点D的坐标为（3，-3），
②BC为对角线时，点D的坐标为（7，3），
③AC为对角线时，点D的坐标为（-3，3），
综上所述，点D的坐标是（7，3），（-3，3），（3，-3）.
故答案为：3.
【分析】作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解.
13．【答案】18
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，
∵直角△ABE中，∠B＝30°，AB＝4，
∴AE＝ AB＝ ×4＝2，
∴平行四边形ABCD面积＝BC AE＝9×2＝18，
故答案为：18.
【分析】过点A作AE⊥BC于E，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面积根据即可求出其面积.
14．【答案】24
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE．
∵AD∥BC，
∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，
∴CD＝CE＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）＝2×（7＋5）＝24．
故答案为：24．
【分析】利用平行四边形的性质，可得AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC，由角平分线的定义及平行线的性质得出∠ADE＝∠CDE，∠CED＝∠ADE，由等量代换可得∠CED＝∠CDE，利用等角对等边可得CD＝CE，由于CE＝BC﹣BE＝5，即得CD=5，利用平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）即可求出结论.
15．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
和 的平分线分别交 于 ， 两点，
， ，
， ，
， ，
；
在 中， ， ，
， ，
，
， 和 的平分线分别交 于E，F两点，
，
，
.
故答案为：4.
【分析】由在 中， 和 的平分线分别交 于E，F两点，易得 ，又由已知条件可求得 的长，即可利用勾股定理求得 的值.
16．【答案】117
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B AB＝42°
∵将 ABCD沿对角线AC折叠
∴∠BAC＝∠B AC＝21°
∴∠B＝180° ∠2 ∠BAC＝117°
故答案为：117°
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠B AB＝42°，由折叠的性质可得∠BAC＝∠B AC＝21°，即可求解.
17．【答案】9
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝2与OC交于点M，与x轴交于点F，
直线x＝7与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝2与直线x＝7均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中， ，
∴△OAF≌△BCD（ASA）.
∴BD＝OF＝2，
∴OE＝7+2＝9，
∴OB＝ .
∵OE的长不变，
∴当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝9.
故答案为：9.
【分析】过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E.则OB＝ .由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，即可得出答案.
18．【答案】①②④
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB= BC，
∴AE= BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①符合题意；
∵AC⊥AB，
∴S ABCD=AB AC，故②符合题意，
∵AB= BC，OB= BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③不符合题意；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE= AB，
∴OE= BC，故④符合题意．
故答案为：①②④．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB= BC，得到AE= BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①符合题意；由于AC⊥AB，得到S ABCD=AB AC，故②符合题意，根据AB= BC，OB= BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③不符合题意；根据三角形的中位线定理得到OE= AB，于是得到OE= BC，故④符合题意．
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴ ∠ABE=∠CDF ，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
∴AE＝CF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出AB＝CD， AB∥CD，根据二直线平行 ∠ABE＝∠CDF，由AAS证明证得△ABE≌△CDF，继而证得结论.
20．【答案】证明：∵ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,AO=CO,
∵E、F分别是OA、OC的中点,
∴EO=FO,
又∵∠COD=∠BOE,
∴△BOE≌△DOF(SAS),
∴BE=DF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据题意可得BO=DO,再由E、F是AO、CO的中点可得EO=FO,即可证全等求出BE=DF.
21．【答案】解：∵E是 ABCD的边AB的中点，
∴AE＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB＝8，AD∥CB，
∴∠F＝∠BCE，
在△AEF和△BEC中， ，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴AF＝CB＝8，
∴DF＝AD+AF＝16.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC＝8，AD∥CB，由平行线的性质得出∠F＝∠BCE，由AAS证明△AEF≌△BEC，得出AF＝CB＝8，即可求出DF的长.
22．【答案】解：猜想：BE∥DF，BE＝DF.
证明：如图1
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，∠1＝∠2，
又∵CE＝AF，
∴△BCE≌△DAF.
∴BE＝DF，∠3＝∠4.
∴BE∥DF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得对角相等，对边相等，然后利用SAS证明 △BCE≌△DAF，则得BE=DF，∠3=∠4，然后根据平行线的判定定理可得BE∥DF.
23．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中 ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴ED＝BF，
∴BD﹣CF＝BD﹣DE，
∴BE＝DF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD然后证明△ABF≌△CDE，进而可得BF＝DE，再利用等式的性质进行计算即可．
24．【答案】（1）解：①△ABC≌△CDA（SSS）；②△BCE≌△DAF（SAS）；③△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠FCD，
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法即可得出 ：①△ABC≌△CDA（SSS）；②△BCE≌△DAF（SAS）；③△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等得出 AB=CD，AB∥CD， 根据二直线平行，内错角星等得出 ∠BAE=∠FCD， 根据垂直的定义得出 ∠AEB=∠CFD=90°， 从而利用AAS判断出 △ABE≌△CDF 。
25．【答案】（1）证明：在 ABCD中，AB∥CD且AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF.
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等的性质得到AB∥CD且AB=CD，所以∠ABE=∠CDF，所以两三角形全等；（2）根据全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CFD，所以它们的邻补角相等，根据内错角相等，两直线平行即可得证.
26．【答案】（1）解：在平行四边形ABCD中，AD BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
∵∠ABD＝2∠DBC，∠ADB＝25°，
∴∠ABD＝2×25°＝50°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣50°＝40°；
（2）证明：如图，取AB的中点F，连接EF、OF，
∵AE⊥BD，
∴EF＝BF＝ AB，
∴∠ABD＝∠BEF，
∵AO＝CO，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF BC，
∴∠DBC＝∠EOF，
根据三角形的外角性质，∠BEF＝∠EFO＋∠EOF，
又∵∠ABD＝2∠DBC，
∴∠EFO＝∠EOF，
∴EF＝OE，
∴OE＝ AB，
∴AB＝2OE.
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行可得AD BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC＝∠ADB，然后求出∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠BAE；
（2）取AB的中点F，连接EF、OF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝BF＝ AB，根据等边对等角可得∠ABD＝∠BEF，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OF BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBC＝∠EOF，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFO＝∠EOF，再根据等角对等边可得EF＝OE，从而得证.
27．【答案】（1）解： 四边形 是平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
；
（2）解：如图，延长 ， ，交于点E，则 ，
，
， ，
是 的中点，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
平分 .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到 ；（2）延长 ， ，交于点E，依据 ，即可得到 ，再根据 ，即可得出 平分 .
28．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，OA=OC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
∵∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA）
∴OE=OF；
（2）解：∵OE=OF，OE=3.5，
∴EF=2OE=7，
又∵EF⊥AD，
∴S□ABCD= AD×EF=63
∴AD=9.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和ASA证明△AEO≌△CFO即可解决问题；（2）首先根据OE的长度和 求出EF的长度，然后利用S□ABCD= AD×EF即可求解.
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