初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.1 命题、定理与证明
一、单选题
1．（2020八上·长丰期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．作角A的平分线 D．内错角相等
2．（2020·泸县）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
3．（2020八上·昌平期末）在命题①若 那么a=b；②当m=2时， 是正比例函数；③ 时， ；④三角形的外角和是360°；其中假命题是( ）
A．①② B．①④ C．①②③④ D．②③④
4．（2020八下·柯桥期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，当用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB＝PC
C．∠APB＝∠APC D．∠B≠∠C
5．（2020八下·巴彦淖尔期中）下列命题：
①两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③菱形的每一条对角线平分一组对角；
④顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形；
⑤平行四边形对角线相等．
其中正确的命题为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2020八上·海曙期末）能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是（ ）
A．120°，60° B．95°，105° C．30°，60° D．90°，90°
7．（2020八上·来宾期末）有下列语句：①两点之间，线段最短；②画两条平行的直线：③过直线外一点作已知直线的垂线：④如果两个角的和是90°，那么这两个角互余。其中是命题的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
8．（2020八上·淅川期末）用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
9．（2020八上·鄞州期末）为了说明“若a≤b，则ac≤bc”是假命题，c的值可以取（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
二、填空题
10．（2020八上·昌平期末）若 那么a=b，请举出一个反例，说明该命题是假命题
11．（2020八上·常德期末）将“三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和”改写成“如果…，那么…”的形式为 。
三、解答题
12．（2018八上·江干期末）写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由．
13．（2019八上·秀洲月考）证明:等腰三角形两腰上的中线相等
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．
故答案为：C．
【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，不符合；
B、应该是矩形的对角线相等且互相平分，符合；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，不符合；
D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，不符合；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可.
3．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若 那么a=±b；故①是假命题；②当m=2时， ，故②是假命题； 时， ，故③是真命题； ④三角形的外角和是360°；故④是真命题，假命题为①②，
故答案为：A
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB＝PC成立.
故答案为：B.
【分析】假设结论PB≠PC不成立，PB＝PC成立.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】①两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故不合题意；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故不合题意；
③菱形的每一条对角线平分一组对角，符合题意；
④顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形，符合题意；
⑤平行四边形对角线互相平分，故不合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
6．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、120°+60°=180°，这两个角一个是锐角，一个是钝角，故A不符合题意；
B、95°+105°=180°，这两个角一个是锐角，一个是钝角，故B不符合题意；
C、30°+60°=90°，这两个角互余，故C不符合题意；
D、90°+90°=180°，这两个角都是直角，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】以如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角为假命题的两个角都是直角，根据选项可得答案。
7．【答案】D
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解： ①两点之间，线段最短，是命题，正确；
②“画两条平行的直线”，没有结论，不符合命题的格式，错误；
③"过直线外一点作已知直线的垂线"，没有结论，不符合命题的格式，错误：
④如果两个角的和是90°，那么这两个角互余，正确.
故答案为：D.
【分析】因为命题由条件和结论两部分组成，如果只有条件，没有结论，不能看作是命题；如果有结论，而无条件也不能看作命题；据此逐项分析即可判断.
8．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案。
9．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：若a≤b，而c为负数或0时，根据不等式的基本性质，ac≤bc不成立，这时“若a≤b，则ac≤bc”是假命题.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的基本性质找出c的值使ac≤bc不成立进行判断即可. 任何一个命题非真即假，要判断一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
10．【答案】（-2）2=22，但是-2≠2．
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：“已知a2=b2，那么a=b”，
请举出一个反例：（-2）2=22，但是-2≠2，
故答案为：（-2）2=22，但是-2≠2．
【分析】利用乘方的性质分析举出反例得出即可．
11．【答案】如果是一个角是三角形的外角，那么这个外角等于与它不相邻两内角的和.
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：“三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果是一个角是三角形的外角，那么这个外角等于与它不相邻两内角的和.
【分析】按照“如果”表示的是条件，“那么”表示的是结论改写即可.
12．【答案】解：命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．
如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD=BE，
∵BC=BC，
∴△CBD≌△BCE（HL），
∴∠DBC=∠ECB，
∴△ABC为等腰三角形．
【知识点】逆命题
【解析】【分析】根据命题与逆命题的性质判断即可.
13．【答案】解：如图，已知在△ABC中，AB=AC,BD、CE分别是AC和AB边上的中线求证：BD=CE证明：∵BD、CE分别是AC和AB边上的中线，∴AB=2AE，AC=2AD∵AB=AC，∴AE=AD；在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE.
【知识点】全等三角形的判定与性质；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】先找出此命题的题设和结论，再根据题设和结论画出图形，结合图形根据题设写出已知，根据结论写出求证，根据三角形中线的定义可证得AB=2AE，AC=2AD，再证明AE=AD，然后利用SAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
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一、单选题
1．（2020八上·长丰期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．作角A的平分线 D．内错角相等
【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．
故答案为：C．
【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．
2．（2020·泸县）下列命题是假命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，不符合；
B、应该是矩形的对角线相等且互相平分，符合；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，不符合；
D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，不符合；
故答案为：B．
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质解题即可.
3．（2020八上·昌平期末）在命题①若 那么a=b；②当m=2时， 是正比例函数；③ 时， ；④三角形的外角和是360°；其中假命题是( ）
A．①② B．①④ C．①②③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若 那么a=±b；故①是假命题；②当m=2时， ，故②是假命题； 时， ，故③是真命题； ④三角形的外角和是360°；故④是真命题，假命题为①②，
故答案为：A
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
4．（2020八下·柯桥期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，当用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．AB≠AC B．PB＝PC
C．∠APB＝∠APC D．∠B≠∠C
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设结论PB≠PC不成立，即：PB＝PC成立.
故答案为：B.
【分析】假设结论PB≠PC不成立，PB＝PC成立.
5．（2020八下·巴彦淖尔期中）下列命题：
①两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③菱形的每一条对角线平分一组对角；
④顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形；
⑤平行四边形对角线相等．
其中正确的命题为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】①两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故不合题意；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故不合题意；
③菱形的每一条对角线平分一组对角，符合题意；
④顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形，符合题意；
⑤平行四边形对角线互相平分，故不合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
6．（2020八上·海曙期末）能说明命题“如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的两个角是（ ）
A．120°，60° B．95°，105° C．30°，60° D．90°，90°
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、120°+60°=180°，这两个角一个是锐角，一个是钝角，故A不符合题意；
B、95°+105°=180°，这两个角一个是锐角，一个是钝角，故B不符合题意；
C、30°+60°=90°，这两个角互余，故C不符合题意；
D、90°+90°=180°，这两个角都是直角，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】以如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，另一个是钝角为假命题的两个角都是直角，根据选项可得答案。
7．（2020八上·来宾期末）有下列语句：①两点之间，线段最短；②画两条平行的直线：③过直线外一点作已知直线的垂线：④如果两个角的和是90°，那么这两个角互余。其中是命题的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】D
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解： ①两点之间，线段最短，是命题，正确；
②“画两条平行的直线”，没有结论，不符合命题的格式，错误；
③"过直线外一点作已知直线的垂线"，没有结论，不符合命题的格式，错误：
④如果两个角的和是90°，那么这两个角互余，正确.
故答案为：D.
【分析】因为命题由条件和结论两部分组成，如果只有条件，没有结论，不能看作是命题；如果有结论，而无条件也不能看作命题；据此逐项分析即可判断.
8．（2020八上·淅川期末）用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案。
9．（2020八上·鄞州期末）为了说明“若a≤b，则ac≤bc”是假命题，c的值可以取（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：若a≤b，而c为负数或0时，根据不等式的基本性质，ac≤bc不成立，这时“若a≤b，则ac≤bc”是假命题.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的基本性质找出c的值使ac≤bc不成立进行判断即可. 任何一个命题非真即假，要判断一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
二、填空题
10．（2020八上·昌平期末）若 那么a=b，请举出一个反例，说明该命题是假命题
【答案】（-2）2=22，但是-2≠2．
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：“已知a2=b2，那么a=b”，
请举出一个反例：（-2）2=22，但是-2≠2，
故答案为：（-2）2=22，但是-2≠2．
【分析】利用乘方的性质分析举出反例得出即可．
11．（2020八上·常德期末）将“三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和”改写成“如果…，那么…”的形式为 。
【答案】如果是一个角是三角形的外角，那么这个外角等于与它不相邻两内角的和.
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：“三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果是一个角是三角形的外角，那么这个外角等于与它不相邻两内角的和.
【分析】按照“如果”表示的是条件，“那么”表示的是结论改写即可.
三、解答题
12．（2018八上·江干期末）写出命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由．
【答案】解：命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是两边上的高相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．
如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD=BE，
∵BC=BC，
∴△CBD≌△BCE（HL），
∴∠DBC=∠ECB，
∴△ABC为等腰三角形．
【知识点】逆命题
【解析】【分析】根据命题与逆命题的性质判断即可.
13．（2019八上·秀洲月考）证明:等腰三角形两腰上的中线相等
【答案】解：如图，已知在△ABC中，AB=AC,BD、CE分别是AC和AB边上的中线求证：BD=CE证明：∵BD、CE分别是AC和AB边上的中线，∴AB=2AE，AC=2AD∵AB=AC，∴AE=AD；在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE.
【知识点】全等三角形的判定与性质；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】先找出此命题的题设和结论，再根据题设和结论画出图形，结合图形根据题设写出已知，根据结论写出求证，根据三角形中线的定义可证得AB=2AE，AC=2AD，再证明AE=AD，然后利用SAS可证得△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
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