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初中数学人教版八年级上册 第十五章 15.3分式方程
一、单选题
1．（2020八下·济南期中）解分式方程 ，去分母得（ ）
A．1﹣2（x﹣5）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣5）＝3
C．1﹣2x﹣10＝﹣3 D．1﹣2x+10＝3
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】方程变形得： ，
去括号得：1﹣2（x﹣5）＝﹣3，
故答案为：A．
【分析】分式方程整理后，找出最简公分母，去分母得到结果，即可作出判断．
2．若分式方程 的解是 ，则a等于（ ）.
A． B．5 C． D．-5
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把x＝ 代入方程得：
去分母得：5（10a 2）＝48a，即50a 10＝48a，
解得：a＝5，
经检验a＝5是分式方程的解.
故答案为：B.
【分析】根据分式方程解的定义，将x的值代入原方程，即可得出一个关于a的方程，求解并检验即可.
3．下面是分式方程的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：A、不是方程，故A答案错误；
A、方程的分母中没有未知数，故B错误；
C、方程的分母中没有未知数，故C错误；
D、是分式方程，故D正确.
故答案为：D.
【分析】分母中含有未知数的方程就是分式方程，根据定义即可一一判断得出答案.
4．（2019八上·港南期中）关于x的分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：x+1=a，
由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，
代入整式方程得：a=5，
故答案为：D.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值.
5．（2019八下·惠安期末）若x=4是分式方程 的根，则a的值为
A．9 B． C．13 D．
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把x=4代入分式方程得： ，
去分母得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【分析】把x＝4代入分式方程计算即可求出a的值．
6．（2020八下·济南期中）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（ ）
A． ＋ ＝4 B． － ＝20
C． － ＝4 D． － ＝20
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】由题意得
－ ＝4
故答案为：C．
【分析】根据题意列出方程即可．
7．（2020八下·泉州期中）若关于x的分式方程 无解，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】去分母得： 由分式方程无解得到x 3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=4
故答案为：D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-3=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
8．（2020八下·金山月考）用换元法解方程 ，设 ，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ 可化为 ，即 ．
故答案为:D．
【分析】由 ，则 ，然后将其代入原方程即可.
9．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
二、填空题
10．（2020八下·眉山期末）某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，设提速前列车的平均速度为x
km/h，则列方程为 .
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是 小时，
列车提速后行驶s+50km用的时间是 小时，
因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，
所以列方程是 .
【分析】根据提速前行驶skm和提速后行驶（s+50）km的时间相同即可列方程.
11．（2020八上·椒江期末）对于两个非零代数式，定义一种新的运算： .若 ，则x= .
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：据题意得：
x@(x-2)=，
∴=1，
解分式方程，去分母得：x-2+x2=x(x-2)，
解得：x=.
故答案为：.
【分析】根据题中新定义，把x@(x-2)变形为=1，解这个分式方程即可. 注意解分式方程时要检验.
12．（2020八下·佛山期中）已知关于 x 的方程 2 - 有增根，则k＝ ．
【答案】0
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边都乘以 ，
得： ，
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得： ，
当 时， ．
故答案为：0．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母 ，得到 ，然后代入化为整式方程即可算出 的值．
13．（2020八下·江阴期中）关于x的分式方程 的解为负数，则a的取值范围是 .
【答案】a＞1且a≠2
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1
解得:a＞1且a≠2,
故答案为: a＞1且a≠2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可
14．（2020八下·黄石期中）已知并联电路中的总电阻关系为 = + ，那么R2= （用R、R1表示）
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ = +
∴ = － =
∴R2=
故答案为： .
【分析】先将等式变形，再根据分式的减法法则计算即可.
三、计算题
15．（2017八下·庐江期末）解方程：
【答案】解：方程两边同乘（x+1）(x-1)，得
（x-1）2+5（x+1）=4，
解得x1=﹣1，x2=﹣2，
经检验，x1=﹣1是增根，x2=﹣2是原方程的解，
故原方程的解是x=﹣2．
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】两边同乘以x2-1可将原方程转化为一元二次方程求解，根据x不能等于±1对解进行检验。
16．（2020·安源模拟）解方程：
【答案】解：2-x-3=-(5-x)
-x-x=-5+3-2
x=2
检验2-x=2-2=0
∴此分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母化成一元一次方程，根据一元一次方程的步骤解出x的值，再检验，即可得出答案.
17．已知关于x的方程 无解,求a的值.
【答案】解：原方程无解，
∴最简公分母x（x 2）＝0，即x＝2或x＝0；
方程的两边同乘以x(x-2)
并整理得a（x 2） 4＝0，
∴ax＝4＋2a，
若a＝0，该方程无解；
若a≠0，
将x＝0代入得a（0 2） 4＝0，
解得：a＝ 2，
将x＝2代入得a 0 4＝0，a无解，
综上所述a＝ 2或0．
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】由分式方程无解得到最简公分母为0，求出x的值，原方程去分母转为化整式方程，然后分a＝0与a≠0两种情况考虑，将求出x的值代入计算即可求出a的值．
四、解答题
18．（2018八下·嘉定期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园。已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园。问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？
【答案】解：设甲平均每小时行驶x千米，
则 ，
化简为： ，
解得： ，
经检验 不正确， 是原方程的解，
答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米。
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设乙平均每小时骑行x千米，则甲平均每小时骑行（x+2）千米，根据题意可得，同样20千米的距离，乙比甲多走30分钟，据此列方程求解．
19．（2017八下·简阳期中）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？
【答案】解：设该厂原来每天加工x个零件，
由题意得：
解得x=50
经检验：x=50是原分式方程的解
答：该厂原来每天加工50个零件.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力.
20．（2020八下·东坡期中）甲、乙两地相距360千米，一辆贩毒车从甲地往乙地接头取货，警方截取情报后，立即组织干警从甲地出发，前往乙地缉拿这伙犯罪分子，结果警车与贩毒车同时到达，将犯罪分子一网打尽．已知贩毒车比警车早出发1小时15分，警车与贩毒车的速度比为4∶3，求贩毒车和警车的速度．
【答案】解：设警车的速度为4xkm/h，则贩毒车的速度为3xkm/h，
根据题意得： ，
解得：x=24，
经检验，x= 24 是原方程的根，
∴原方程的根为x=24．
∴警车的速度为：4×24 = 96（km/h），贩毒车的速度为：3×24 =72（km/h）．
答：警车的速度为96 km/h，贩毒车的速度为72km/h．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设警车的速度为4xkm/h，则贩毒车的速度为3xkm/h，根据警车与贩毒车之间的时间关系建立方程求出其解，即可得出结果．
21．为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．
（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？
（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？
【答案】（1）解：设B工程公司单独完成需要x天，
根据题意得：45× +54（ + ）=1，
解得：x=120，
经检验x=120是分式方程的解，且符合题意，
答：B工程公司单独完成需要120天。
（2）解：根据题意得：m× +n× =1，
整理得：n=120﹣ m，
∵m＜46，n＜92，
∴120﹣ m＜92，
解得42＜m＜46，
∵m为正整数，
∴m=43，44，45，
又∵120﹣ m为正整数，
∴m=45，n=90，
答：A、B两个工程公司各施工建设了45天和90天．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）把该项工程总量看成单位1，再由工作效率×工作时间=工作总量，分别表示出甲、乙的工作量，合作完成该项工程，即甲、乙的工作量和为1。列出方程即可求解。
（2）根据甲、乙的工作量和为1，可建立n关于m 的关系式，再根据m＜46，n＜92，即可确定m的范围,确定出m值后继而可确定n的值。
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初中数学人教版八年级上册 第十五章 15.3分式方程
一、单选题
1．（2020八下·济南期中）解分式方程 ，去分母得（ ）
A．1﹣2（x﹣5）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣5）＝3
C．1﹣2x﹣10＝﹣3 D．1﹣2x+10＝3
2．若分式方程 的解是 ，则a等于（ ）.
A． B．5 C． D．-5
3．下面是分式方程的是（ ）.
A． B．
C． D．
4．（2019八上·港南期中）关于x的分式方程 有增根，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2019八下·惠安期末）若x=4是分式方程 的根，则a的值为
A．9 B． C．13 D．
6．（2020八下·济南期中）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（ ）
A． ＋ ＝4 B． － ＝20
C． － ＝4 D． － ＝20
7．（2020八下·泉州期中）若关于x的分式方程 无解，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020八下·金山月考）用换元法解方程 ，设 ，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019八下·伊春开学考）关于 的分式方程 的解为正实数，则实数 的取值范围是
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
二、填空题
10．（2020八下·眉山期末）某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，设提速前列车的平均速度为x
km/h，则列方程为 .
11．（2020八上·椒江期末）对于两个非零代数式，定义一种新的运算： .若 ，则x= .
12．（2020八下·佛山期中）已知关于 x 的方程 2 - 有增根，则k＝ ．
13．（2020八下·江阴期中）关于x的分式方程 的解为负数，则a的取值范围是 .
14．（2020八下·黄石期中）已知并联电路中的总电阻关系为 = + ，那么R2= （用R、R1表示）
三、计算题
15．（2017八下·庐江期末）解方程：
16．（2020·安源模拟）解方程：
17．已知关于x的方程 无解,求a的值.
四、解答题
18．（2018八下·嘉定期末）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园。已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园。问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？
19．（2017八下·简阳期中）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？
20．（2020八下·东坡期中）甲、乙两地相距360千米，一辆贩毒车从甲地往乙地接头取货，警方截取情报后，立即组织干警从甲地出发，前往乙地缉拿这伙犯罪分子，结果警车与贩毒车同时到达，将犯罪分子一网打尽．已知贩毒车比警车早出发1小时15分，警车与贩毒车的速度比为4∶3，求贩毒车和警车的速度．
21．为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．
（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？
（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】方程变形得： ，
去括号得：1﹣2（x﹣5）＝﹣3，
故答案为：A．
【分析】分式方程整理后，找出最简公分母，去分母得到结果，即可作出判断．
2．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把x＝ 代入方程得：
去分母得：5（10a 2）＝48a，即50a 10＝48a，
解得：a＝5，
经检验a＝5是分式方程的解.
故答案为：B.
【分析】根据分式方程解的定义，将x的值代入原方程，即可得出一个关于a的方程，求解并检验即可.
3．【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：A、不是方程，故A答案错误；
A、方程的分母中没有未知数，故B错误；
C、方程的分母中没有未知数，故C错误；
D、是分式方程，故D正确.
故答案为：D.
【分析】分母中含有未知数的方程就是分式方程，根据定义即可一一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：x+1=a，
由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，
代入整式方程得：a=5，
故答案为：D.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值.
5．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把x=4代入分式方程得： ，
去分母得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【分析】把x＝4代入分式方程计算即可求出a的值．
6．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】由题意得
－ ＝4
故答案为：C．
【分析】根据题意列出方程即可．
7．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】去分母得： 由分式方程无解得到x 3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=4
故答案为：D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-3=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
8．【答案】D
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ 可化为 ，即 ．
故答案为:D．
【分析】由 ，则 ，然后将其代入原方程即可.
9．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
去分母，得
x+m+2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程 的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即 ≠2， ＞0，
解得m≠2且m＜6
故答案为：D.
【分析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
10．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是 小时，
列车提速后行驶s+50km用的时间是 小时，
因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，
所以列方程是 .
【分析】根据提速前行驶skm和提速后行驶（s+50）km的时间相同即可列方程.
11．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：据题意得：
x@(x-2)=，
∴=1，
解分式方程，去分母得：x-2+x2=x(x-2)，
解得：x=.
故答案为：.
【分析】根据题中新定义，把x@(x-2)变形为=1，解这个分式方程即可. 注意解分式方程时要检验.
12．【答案】0
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】方程两边都乘以 ，
得： ，
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得： ，
当 时， ．
故答案为：0．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母 ，得到 ，然后代入化为整式方程即可算出 的值．
13．【答案】a＞1且a≠2
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】分式方程去分母得:2x+a=x+1
解得:x=1-a,
由分式方程解为负数,得到1-a<0,且1-a≠-1
解得:a＞1且a≠2,
故答案为: a＞1且a≠2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为负数,求出a的范围即可
14．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵ = +
∴ = － =
∴R2=
故答案为： .
【分析】先将等式变形，再根据分式的减法法则计算即可.
15．【答案】解：方程两边同乘（x+1）(x-1)，得
（x-1）2+5（x+1）=4，
解得x1=﹣1，x2=﹣2，
经检验，x1=﹣1是增根，x2=﹣2是原方程的解，
故原方程的解是x=﹣2．
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】两边同乘以x2-1可将原方程转化为一元二次方程求解，根据x不能等于±1对解进行检验。
16．【答案】解：2-x-3=-(5-x)
-x-x=-5+3-2
x=2
检验2-x=2-2=0
∴此分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母化成一元一次方程，根据一元一次方程的步骤解出x的值，再检验，即可得出答案.
17．【答案】解：原方程无解，
∴最简公分母x（x 2）＝0，即x＝2或x＝0；
方程的两边同乘以x(x-2)
并整理得a（x 2） 4＝0，
∴ax＝4＋2a，
若a＝0，该方程无解；
若a≠0，
将x＝0代入得a（0 2） 4＝0，
解得：a＝ 2，
将x＝2代入得a 0 4＝0，a无解，
综上所述a＝ 2或0．
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】由分式方程无解得到最简公分母为0，求出x的值，原方程去分母转为化整式方程，然后分a＝0与a≠0两种情况考虑，将求出x的值代入计算即可求出a的值．
18．【答案】解：设甲平均每小时行驶x千米，
则 ，
化简为： ，
解得： ，
经检验 不正确， 是原方程的解，
答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米。
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设乙平均每小时骑行x千米，则甲平均每小时骑行（x+2）千米，根据题意可得，同样20千米的距离，乙比甲多走30分钟，据此列方程求解．
19．【答案】解：设该厂原来每天加工x个零件，
由题意得：
解得x=50
经检验：x=50是原分式方程的解
答：该厂原来每天加工50个零件.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力.
20．【答案】解：设警车的速度为4xkm/h，则贩毒车的速度为3xkm/h，
根据题意得： ，
解得：x=24，
经检验，x= 24 是原方程的根，
∴原方程的根为x=24．
∴警车的速度为：4×24 = 96（km/h），贩毒车的速度为：3×24 =72（km/h）．
答：警车的速度为96 km/h，贩毒车的速度为72km/h．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设警车的速度为4xkm/h，则贩毒车的速度为3xkm/h，根据警车与贩毒车之间的时间关系建立方程求出其解，即可得出结果．
21．【答案】（1）解：设B工程公司单独完成需要x天，
根据题意得：45× +54（ + ）=1，
解得：x=120，
经检验x=120是分式方程的解，且符合题意，
答：B工程公司单独完成需要120天。
（2）解：根据题意得：m× +n× =1，
整理得：n=120﹣ m，
∵m＜46，n＜92，
∴120﹣ m＜92，
解得42＜m＜46，
∵m为正整数，
∴m=43，44，45，
又∵120﹣ m为正整数，
∴m=45，n=90，
答：A、B两个工程公司各施工建设了45天和90天．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）把该项工程总量看成单位1，再由工作效率×工作时间=工作总量，分别表示出甲、乙的工作量，合作完成该项工程，即甲、乙的工作量和为1。列出方程即可求解。
（2）根据甲、乙的工作量和为1，可建立n关于m 的关系式，再根据m＜46，n＜92，即可确定m的范围,确定出m值后继而可确定n的值。
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