【精品解析】人教A版（2019） 必修一 2.1 等式性质与不等式性质

人教A版（2019） 必修一 2.1 等式性质与不等式性质
一、单选题
1．（2020高一下·邯郸期中）已知 ，且 .下列不等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020高一下·成都期中）若 ，则一定有（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高一下·宁波期中）设 ， ，则A,B 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一下·吉林期中）下列命题中：① ， ；② ， ；③ ；④ ；正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2020高二下·都昌期中）已知 ， 其中 ，则m，n的大小关系为（　　）
A． B． C． D．大小不确定
6．（2020高二上·吉林期末）若a、b、c，d∈R，则下面四个命题中，正确的命题是（　　）
A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－aC．若a>b，则ac2>bc2 D．若a>b，c>d，则ac>bd
7．（2020高三上·长春月考）若实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高三上·长春月考）若实数 ， 满足 ，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2019高一上·阜新月考）若 ， ，则 与 的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．随x值变化而变化
10．（2019高一上·海口月考）已知 ，则 ， ，则 和 的大小关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．与 和 的取值有关
11．（2019高二下·九江期末）已知 ，则 的值（　　）
A．都大于1 B．都小于1
C．至多有一个不小于1 D．至少有一个不小于1
12．（2019高一下·慈利期中）设 ，且 ，则下列四个数中最大的是（　　）
A． B． C． D．
13．（2019高一下·哈尔滨月考）若a，b∈R，①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|＞b，则a2＞b2；③a+b≥2 ，其中说法正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
14．（2019高三上·德州期中）对于实数 、 、 ，下列命题中正确的是（　　）
A．若 ，则 ；
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则 ，
三、填空题
15．（2019高二上·兰州期中）设 ， ，则 与 的大小关系是　 　．
16．（2019高二上·中山月考）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是　 　．
17．（2019高一上·阜新月考）已知 ，类比于我们学习过的“糖水加糖甜更甜”的原理，提炼出“向一杯糖水中加入水，则糖水变淡了”的不等关系式为　 　
四、解答题
18．（2020·桂林模拟）设 ，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： .
19．（2019高一上·凌源月考）
（1）设 ，试比较a与b的大小；
（2）已知 且 ，试比较 与b的大小.
20．（2019高一上·葫芦岛月考）设 .
（1）当 时，比较 的大小；
（2）当 时，比较 的大小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 ，且 ，
， .
故答案为：B.
【分析】由 和 ，得 ，根据不等式的性质可得选项.
2．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】由题可得 ,则 ,
因为 , 则 , ,则有 ,
所以 ,即
故答案为：C
【分析】由题,可得 ,且 ,即 ,整理后即可得到作出判断.
3．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因 ,故 ,
故答案为：B.
【分析】利用a,b的取值范围，再利用同号为正，从而求出 ,进而推出 ,再利用完全平方关系式和左右两边同时平方，从而选出A,B的大小关系。
4．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】① ， 由不等式的加法得 ，所以该命题正确；
② ， 是错误的，如： ，满足已知，但是 不满足 ，所以该命题错误；
③ ，所以 ，所以该命题正确；
④ 所以 ，所以该命题正确.
故答案为：C
【分析】①利用不等式的加法法则判断；②可以举反例判断；③利用不等式性质判断；④可以利用作差法判断.
5．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 ，所以， ．
故答案为：C．
【分析】作差法，用 ，判断其符号.
6．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：对于 ，例如 ， ， ，则不满足，故 错误，
对于 ，若 ，则 ，则 ，成立，故 正确，
对于 ，若 ，则不成立，故 错误，
对于 ，例如 ， ， ， ，则不满足，故 错误，
故答案为： ．
【分析】对于 ， ， 举反例即可判断，对于 ，根据不等式的性质即可判断．
7．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解:∵ ,∴ ,∴ .
又∵ ,∴ ,
∴ 的取值范围(-2,3).
故答案为：A.
【分析】先求出-2b的范围,再根据不等式的性质求出a-2b的范围.
8．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解:∵ ,∴由 ,
得 ,当且仅当 时等号成立,
∴ 的最小值是 .
故答案为： .
【分析】由 ,利用均值不等 ,可求出 的最小值.
9．【答案】A
【知识点】二次函数的性质；不等关系与不等式
【解析】【解答】因为 ， ，所以， ，故 。
故答案为：A。
【分析】利用作差法结合平方数与0的大小关系，从而比较出 与 的大小。
10．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，∴ 。
故答案为：A。
【分析】作差 与0比较后可得结论。
11．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：令 ，则 ，排除A，B.
令 ，则 ，排除C.
对于D，假设 ，则 ，
相加得 ，矛盾，
故答案为：D.
【分析】取特殊值，结合不等式的性质逐一排除即可.
12．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵0∴a+a∴
∵a∴，即：
∴，即：
∵∴即
又
∴
∴，即：
∴
∴
故答案为：B
【分析】解答此题的关键是熟记不等式的性质及作差比较大小的方法，然后列式比较即可。
13．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解： ， 时，得出 ， 判断①错误；
，且 时，得出 ， 判断②错误；
只有 ， 时， 成立， 判断③错误．
故答案为： ．
【分析】根据不等式的性质及举反例的方法可判断.
14．【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】若 ，则由 得 ，A不符合题意；
若 ，则 ， 　 ，B符合题意；
若 ，则 ，∴ ，∴ ，C符合题意；
若 ，且 同号时，则有 ，因此由 得 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】由不等式的性质判断．
15．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 ，
，
，
，且 ， ，
.
故答案为： .
【分析】首先分别求出 和 平方各是多少，然后判断出 和 的平方的大小关系，即可判断出 和 的大小关系
16．【答案】②⑥
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】令 ， ，排除①， ，排除③选项， ，排除⑤.当 时，排除④.由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.由于 ，故 .故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【分析】对 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
17．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】质量为 克的糖水中含有 克糖,质量百分比为 ,向其中加入 克水后, 质量百分比变为 ,糖水被稀释了,则 .
【分析】质量为 克的糖水中含有 克糖,向其中加入 克水后, 质量百分比变小,可得出不等式.
18．【答案】（1）证明：由
，
（当且仅当时 取等号）
故有
（2）解：
由 ，有
故当 时，
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【分析】（1）利用基本不等式和不等式的可加性，以及完全平方式，即可得证.（2）利用完全平方式和不等式的可加性，以及基本不等式，即可证出.
19．【答案】（1）解： ,所以 .
（2）解：因为 且 ,所以 ,
则 ,所以 .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】(1)利用作差法求 的正负即可判断(2)利用作差法换元求 的正负即可.
20．【答案】（1）解：当 时， ，
则 ，
所以 .
（2）解：
①当 时， ，则 ；
②当 时， ，则 ；
③当 时， ，则 .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（1）利用作差法比较 的大小；（2） ，再对 分类讨论得解.
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一、单选题
1．（2020高一下·邯郸期中）已知 ，且 .下列不等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 ，且 ，
， .
故答案为：B.
【分析】由 和 ，得 ，根据不等式的性质可得选项.
2．（2020高一下·成都期中）若 ，则一定有（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】由题可得 ,则 ,
因为 , 则 , ,则有 ,
所以 ,即
故答案为：C
【分析】由题,可得 ,且 ,即 ,整理后即可得到作出判断.
3．（2020高一下·宁波期中）设 ， ，则A,B 的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因 ,故 ,
故答案为：B.
【分析】利用a,b的取值范围，再利用同号为正，从而求出 ,进而推出 ,再利用完全平方关系式和左右两边同时平方，从而选出A,B的大小关系。
4．（2020高一下·吉林期中）下列命题中：① ， ；② ， ；③ ；④ ；正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】① ， 由不等式的加法得 ，所以该命题正确；
② ， 是错误的，如： ，满足已知，但是 不满足 ，所以该命题错误；
③ ，所以 ，所以该命题正确；
④ 所以 ，所以该命题正确.
故答案为：C
【分析】①利用不等式的加法法则判断；②可以举反例判断；③利用不等式性质判断；④可以利用作差法判断.
5．（2020高二下·都昌期中）已知 ， 其中 ，则m，n的大小关系为（　　）
A． B． C． D．大小不确定
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 ，所以， ．
故答案为：C．
【分析】作差法，用 ，判断其符号.
6．（2020高二上·吉林期末）若a、b、c，d∈R，则下面四个命题中，正确的命题是（　　）
A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－aC．若a>b，则ac2>bc2 D．若a>b，c>d，则ac>bd
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：对于 ，例如 ， ， ，则不满足，故 错误，
对于 ，若 ，则 ，则 ，成立，故 正确，
对于 ，若 ，则不成立，故 错误，
对于 ，例如 ， ， ， ，则不满足，故 错误，
故答案为： ．
【分析】对于 ， ， 举反例即可判断，对于 ，根据不等式的性质即可判断．
7．（2020高三上·长春月考）若实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解:∵ ,∴ ,∴ .
又∵ ,∴ ,
∴ 的取值范围(-2,3).
故答案为：A.
【分析】先求出-2b的范围,再根据不等式的性质求出a-2b的范围.
8．（2020高三上·长春月考）若实数 ， 满足 ，则 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解:∵ ,∴由 ,
得 ,当且仅当 时等号成立,
∴ 的最小值是 .
故答案为： .
【分析】由 ,利用均值不等 ,可求出 的最小值.
9．（2019高一上·阜新月考）若 ， ，则 与 的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．随x值变化而变化
【答案】A
【知识点】二次函数的性质；不等关系与不等式
【解析】【解答】因为 ， ，所以， ，故 。
故答案为：A。
【分析】利用作差法结合平方数与0的大小关系，从而比较出 与 的大小。
10．（2019高一上·海口月考）已知 ，则 ， ，则 和 的大小关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．与 和 的取值有关
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，∴ 。
故答案为：A。
【分析】作差 与0比较后可得结论。
11．（2019高二下·九江期末）已知 ，则 的值（　　）
A．都大于1 B．都小于1
C．至多有一个不小于1 D．至少有一个不小于1
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：令 ，则 ，排除A，B.
令 ，则 ，排除C.
对于D，假设 ，则 ，
相加得 ，矛盾，
故答案为：D.
【分析】取特殊值，结合不等式的性质逐一排除即可.
12．（2019高一下·慈利期中）设 ，且 ，则下列四个数中最大的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：∵0∴a+a∴
∵a∴，即：
∴，即：
∵∴即
又
∴
∴，即：
∴
∴
故答案为：B
【分析】解答此题的关键是熟记不等式的性质及作差比较大小的方法，然后列式比较即可。
13．（2019高一下·哈尔滨月考）若a，b∈R，①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|＞b，则a2＞b2；③a+b≥2 ，其中说法正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解： ， 时，得出 ， 判断①错误；
，且 时，得出 ， 判断②错误；
只有 ， 时， 成立， 判断③错误．
故答案为： ．
【分析】根据不等式的性质及举反例的方法可判断.
二、多选题
14．（2019高三上·德州期中）对于实数 、 、 ，下列命题中正确的是（　　）
A．若 ，则 ；
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则 ，
【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】若 ，则由 得 ，A不符合题意；
若 ，则 ， 　 ，B符合题意；
若 ，则 ，∴ ，∴ ，C符合题意；
若 ，且 同号时，则有 ，因此由 得 ，D符合题意．
故答案为：BCD．
【分析】由不等式的性质判断．
三、填空题
15．（2019高二上·兰州期中）设 ， ，则 与 的大小关系是　 　．
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】 ，
，
，
，且 ， ，
.
故答案为： .
【分析】首先分别求出 和 平方各是多少，然后判断出 和 的平方的大小关系，即可判断出 和 的大小关系
16．（2019高二上·中山月考）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是　 　．
【答案】②⑥
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】令 ， ，排除①， ，排除③选项， ，排除⑤.当 时，排除④.由于幂函数 为 上的递增函数，故 ，②是一定成立的.由于 ，故 .故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【分析】对 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
17．（2019高一上·阜新月考）已知 ，类比于我们学习过的“糖水加糖甜更甜”的原理，提炼出“向一杯糖水中加入水，则糖水变淡了”的不等关系式为　 　
【答案】
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】质量为 克的糖水中含有 克糖,质量百分比为 ,向其中加入 克水后, 质量百分比变为 ,糖水被稀释了,则 .
【分析】质量为 克的糖水中含有 克糖,向其中加入 克水后, 质量百分比变小,可得出不等式.
四、解答题
18．（2020·桂林模拟）设 ，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）证明：由
，
（当且仅当时 取等号）
故有
（2）解：
由 ，有
故当 时，
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【分析】（1）利用基本不等式和不等式的可加性，以及完全平方式，即可得证.（2）利用完全平方式和不等式的可加性，以及基本不等式，即可证出.
19．（2019高一上·凌源月考）
（1）设 ，试比较a与b的大小；
（2）已知 且 ，试比较 与b的大小.
【答案】（1）解： ,所以 .
（2）解：因为 且 ,所以 ,
则 ,所以 .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】(1)利用作差法求 的正负即可判断(2)利用作差法换元求 的正负即可.
20．（2019高一上·葫芦岛月考）设 .
（1）当 时，比较 的大小；
（2）当 时，比较 的大小.
【答案】（1）解：当 时， ，
则 ，
所以 .
（2）解：
①当 时， ，则 ；
②当 时， ，则 ；
③当 时， ，则 .
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【分析】（1）利用作差法比较 的大小；（2） ，再对 分类讨论得解.
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