2.3 简谐运动的回复力和能量 学案（含答案 学生版+教师版）

3　简谐运动的回复力和能量
[学习目标]　1.理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征(重点)。2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律(重点)。3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律(重难点)。
一、简谐运动的回复力
如图所示为水平方向的弹簧振子模型。
(1)当小球离开O点后，是什么力使其回到平衡位置的？
(2)使小球回到平衡位置的力与小球离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
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1．回复力
(1)定义：使振动物体回到______________的力。
(2)方向：总是指向________________。
(3)表达式：F＝________。式中“－”号表示F与x方向相反。
2．简谐运动
理论上可以证明，如果物体所受的力具有__________的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置_______的大小成_______，并且总是指向________________，质点的运动就是简谐运动。
在劲度系数为k，原长为L0的固定于一点的弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球做上下振动，弹簧始终没有超出弹性限度，小球的振动是简谐运动吗？如果是，什么力充当回复力？
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1．回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。
2．简谐运动的回复力公式中，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。例如丙图中，木块做简谐运动的回复力F＝－x＝－kx，其中比例系数k和弹簧的劲度系数k0不同。
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。
(1)小球做简谐运动，它的位移方向和加速度的方向相反。(　　)
(2)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　　)
例1　如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向B位置
例2　(2022·江苏亭湖高中高二期中)如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板上，下端挂一质量为m的小球，小球静止后，再向下将弹簧拉长x，然后放手，小球开始振动。
(1)请证明小球的振动为简谐运动；
(2)求小球运动到最高点的加速度。
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判断振动物体是否做简谐运动的方法
1．振动物体的回复力满足F＝－kx；
2．振动物体的位移x与时间t满足x＝Asin (t＋φ)函数关系
3．物体的振动图像是正弦曲线。
二、简谐运动的能量
如图所示为水平弹簧振子，小球在A、B之间做往复运动。
(1)从A到B的运动过程中，小球的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果使小球振动的振幅增大，小球回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？
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1．能量转化
弹簧振子运动的过程就是______和______互相转化的过程。
(1)在最大位移处，______最大，______为零。
(2)在平衡位置处，______最大，______最小。
2．能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能______，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种____________的模型。
3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，________越大，机械能越大。
如图所示，A、B两个物体与轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。
(1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化？
(2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化？
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1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。
2．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小时，势能转化为动能，位移增大时，动能转化为势能。
(1)在简谐运动中，任意时刻的动能与势能之和保持不变。(　　)
(2)振幅越大的弹簧振子，系统机械能也一定越大。(　　)
(3)物体在向平衡位置运动时，由于物体振幅减小，故总机械能减小。(　　)
例3　在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是(　　)
A．OB越长，系统的机械能越小
B．在运动过程中，物块A的机械能守恒
C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小
D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小
例4　如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知(　　)
A．在0.1 s时，由于位移为零，所以弹簧振子的能量为零
B．在0.2 s时，弹簧振子具有最大势能
C．在0.35 s时，弹簧振子的能量尚未达到最大值
D．在0.4 s时，振子的动能最大
三、简谐运动中各物理量的变化
如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为______，大小逐渐______；回复力方向为______，大小逐渐______；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐______；势能逐渐______。(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)
1.如图所示为水平的弹簧振子示意图。
(1)当小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；当小球衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。
(2)当小球位于A′到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O到A点之间时位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；A′→O→A过程中，速度方向向右，A→O→A′过程中，速度方向向左。
2．说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同，关键看各矢量的方向性。
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。
(1)当做简谐运动的物体的位移减小时，其速度和加速度的方向一定相同。(　　)
(2)当做简谐运动的物体的速度变化最快时，其动能最大。(　　)
(3)当做简谐运动的物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小。(　　)
(4)在做简谐运动的物体的动能相等的两个时刻，其加速度一定相同。(　　)
例5　(2022·江苏徐州市高二期末)将弹簧一端固定在铁架台的支架上，另一端和手机相连。将手机由静止状态竖直下拉一段距离后释放。手机内置的加速度传感器记录下手机上下振动时加速度与时间的关系(取竖直向下为加速度的正方向)，如图所示。则(　　)
A．a、b对应时刻，手机的速度相同
B．a、c对应时刻，手机振动的回复力相同
C．从c到b对应的时间为半个周期
D．从a到c对应的时间内，弹簧的弹性势能先减小后增大
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
3　简谐运动的回复力和能量
[学习目标]　1.理解回复力的概念，知道回复力在机械振动中的特征(重点)。2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律(重点)。3.会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子在振动过程中动能、势能、总能量的变化规律(重难点)。
一、简谐运动的回复力
如图所示为水平方向的弹簧振子模型。
(1)当小球离开O点后，是什么力使其回到平衡位置的？
(2)使小球回到平衡位置的力与小球离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
答案　(1)弹簧的弹力使小球回到平衡位置。
(2)弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
1．回复力
(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。
(2)方向：总是指向平衡位置。
(3)表达式：F＝－kx。式中“－”号表示F与x方向相反。
2．简谐运动
理论上可以证明，如果物体所受的力具有F＝－kx的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
在劲度系数为k，原长为L0的固定于一点的弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球做上下振动，弹簧始终没有超出弹性限度，小球的振动是简谐运动吗？如果是，什么力充当回复力？
答案　规定向下为正方向，在平衡位置b点，有mg＝kx0，小球在c点受到的弹力大小为F′＝k(x＋x0)，小球在c点的回复力F＝mg－F′＝mg－k(x＋x0)＝mg－kx－kx0＝－kx，回复力满足F＝－kx，是简谐运动。弹簧弹力和重力的合力充当回复力。
1．回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供，它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。
2．简谐运动的回复力公式中，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定，与振幅无关。例如丙图中，木块做简谐运动的回复力F＝－x＝－kx，其中比例系数k和弹簧的劲度系数k0不同。
3．简谐运动的加速度
由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反。
(1)小球做简谐运动，它的位移方向和加速度的方向相反。(　√　)
(2)回复力的大小与速度的大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小。(　×　)
例1　如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C．小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D．小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向B位置
答案　A
解析　弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误；回复力总是指向平衡位置，故D错误。
例2　(2022·江苏亭湖高中高二期中)如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板上，下端挂一质量为m的小球，小球静止后，再向下将弹簧拉长x，然后放手，小球开始振动。
(1)请证明小球的振动为简谐运动；
(2)求小球运动到最高点的加速度。
答案　(1)见解析　(2)，方向竖直向下
解析　(1)取竖直向下为正方向，当小球到达平衡位置时，设弹簧伸长了x0，
则有mg＝kx0
当小球向下偏离平衡位置x时有
F回＝mg－k(x0＋x)，
解得F回＝－kx
故小球的振动为简谐运动。
(2)由简谐运动的对称性得，小球在最高点和最低点的加速度大小相等，方向相反。在最低点时，对小球受力分析，
由牛顿第二定律得mg－k(x0＋x)＝ma，
解得小球运动到最低点时的加速度大小为a＝
故小球运动到最高点时的加速度大小为a＝，方向竖直向下。
判断振动物体是否做简谐运动的方法
1．振动物体的回复力满足F＝－kx；
2．振动物体的位移x与时间t满足x＝Asin (t＋φ)函数关系
3．物体的振动图像是正弦曲线。
二、简谐运动的能量
如图所示为水平弹簧振子，小球在A、B之间做往复运动。
(1)从A到B的运动过程中，小球的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果使小球振动的振幅增大，小球回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？
答案　(1)小球的动能先增大后减小；弹簧的弹性势能先减小后增大；总机械能保持不变。
(2)小球回到平衡位置的动能增大；振动系统的机械能增大；振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关。
1．能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
2．能量特点
在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3．对于弹簧的劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。
如图所示，A、B两个物体与轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。
(1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化？
(2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化？
答案　(1)不变，在M点时，系统的动能为零，弹性势能最大，拿走A物体后，振动系统的弹性势能不变，总能量不变，最大动能也不发生变化。
(2)变小，在O点时弹簧弹性势能为零，振动系统的动能最大，拿走A物体后，振动系统的最大动能减小，总能量减小，最大弹性势能也将减小。
1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。
2．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。物体的位移减小时，势能转化为动能，位移增大时，动能转化为势能。
(1)在简谐运动中，任意时刻的动能与势能之和保持不变。(　√　)
(2)振幅越大的弹簧振子，系统机械能也一定越大。(　×　)
(3)物体在向平衡位置运动时，由于物体振幅减小，故总机械能减小。(　×　)
例3　在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是(　　)
A．OB越长，系统的机械能越小
B．在运动过程中，物块A的机械能守恒
C．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小
D．物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小
答案　C
解析　做简谐运动的物体的机械能跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，系统的机械能越大，A错误；在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，B错误；在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处动能最大，势能最小，C正确，D错误。
例4　如图所示为某个弹簧振子做简谐运动的振动图像，由图像可知(　　)
A．在0.1 s时，由于位移为零，所以弹簧振子的能量为零
B．在0.2 s时，弹簧振子具有最大势能
C．在0.35 s时，弹簧振子的能量尚未达到最大值
D．在0.4 s时，振子的动能最大
答案　B
解析　弹簧振子做简谐运动，弹簧振子的能量不变，不为零，A错；在0.2 s时位移最大，弹簧振子具有最大势能，B对；弹簧振子的能量不变，在0.35 s时弹簧振子的能量与其他时刻相同，C错；在0.4 s时振子的位移最大，动能为零，D错。
三、简谐运动中各物理量的变化
如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐______。(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)
答案　正　减小　负　减小　负　增大　增大　减小
1.如图所示为水平的弹簧振子示意图
。
(1)当小球远离平衡位置过程中，位移增大，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；当小球衡位置过程中，位移减小，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。
(2)当小球位于A′到O点之间时，位移方向向左，回复力和加速度方向均向右；当小球位于O到A点之间时位移方向向右，回复力和加速度方向均向左；A′→O→A过程中，速度方向向右，A→O→A′过程中，速度方向向左。
2．说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同，关键看各矢量的方向性。
(2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep最小，Ek最大。
(1)当做简谐运动的物体的位移减小时，其速度和加速度的方向一定相同。(　√　)
(2)当做简谐运动的物体的速度变化最快时，其动能最大。(　×　)
(3)当做简谐运动的物体的加速度与速度反向时，其回复力正在减小。(　×　)
(4)在做简谐运动的物体的动能相等的两个时刻，其加速度一定相同。(　×　)
例5　(2022·江苏徐州市高二期末)将弹簧一端固定在铁架台的支架上，另一端和手机相连。将手机由静止状态竖直下拉一段距离后释放。手机内置的加速度传感器记录下手机上下振动时加速度与时间的关系(取竖直向下为加速度的正方向)，如图所示。则(　　)
A．a、b对应时刻，手机的速度相同
B．a、c对应时刻，手机振动的回复力相同
C．从c到b对应的时间为半个周期
D．从a到c对应的时间内，弹簧的弹性势能先减小后增大
答案　C
解析　由题意和图像可知，a、b对应时刻，手机速度大小相等、方向相反，故A错误；a时刻手机在平衡位置上方，回复力向下，c时刻手机在平衡位置下方，回复力向上，方向相反，故B错误；c、b两时刻加速度等大反向，再根据图像的特点可以看出两个时刻的时间间隔为半个周期，故C正确；从a到c对应的时间内，手机的加速度从向下的逐渐变为向上的，由受力分析可知弹簧一直处于伸长状态，伸长量在增大，故弹簧弹性势能一直增大，故D错误。
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
1．分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
2．分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。