2023-2024学年湖南省岳阳县高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省岳阳县高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 集合，则( )
A. B. C. D.
2. 在下列函数中，为偶函数的是( )
A. B. C. D.
3. 函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
4. 若、是两个不重合的平面，
若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；
若外一条直线与内的一条直线平行，则；
以上说法中成立的有个．( )
A. B. C. D.
5. 函数在上的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6. 如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为( )
A. B. C. D.
7. 若正实数、满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，若、、互不相等，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知命题：“，”，则( )
A. ：， B. ：，
C. 是假命题 D. 是真命题
10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是( )
A. ，则，
B. 若，则关于的不等式的解集为
C. 若为常数，且，则的最小值为
D. 若，的解集一定不为
11. 已知直线与曲线相交于，两点，与曲线相交于，两点，、、的横坐标分别为，，，则( )
A. B. C. D.
12. 如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 当为线段上的中点时，
B. 的最大值为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. “”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______．
14. 已知正数，满足，则的最大值为______ ．
15. 设函数当时，的值域为 ；若的最小值为，则的取值范围是 ．
16. 半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体若该二十四等边体的体积为，则原正方体的外接球的表面积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
记内角，，的对边分别为，，已知，点在边上，C.
证明：
若，求．
18. 本小题分
甲乙两人进行象棋比赛，先胜三局的人晋级，假设甲每局获胜的概率为不考虑平局，
若比赛三局后结束，求甲晋级的概率；
若已知晋级的是甲，求比赛三局后结束的概率．
19. 本小题分
已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．
求数列，的通项公式；
记，若数列的前项和为，数列的前项和为，探究：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
20. 本小题分
如图，是三棱锥的高，，，为的中点．
证明：平面；
若，，，求二面角的正弦值．
21. 本小题分
已知函数，是自然对数的底数，若，且恰为的极值点．
证明：；
求在区间上零点的个数．
22. 本小题分
已知双曲线：，设是双曲线上任意一点，为坐标原点，为双曲线右焦点，，为双曲线的左右顶点．
已知：无论点在右支的何处，总有，求的取值范围；
设过右焦点的直线交双曲线于，两点，若存在直线，使得为等边三角形，求的值；
若，，动点在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线：分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，试说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合相等的性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是中档题．
由集合相等得到是方程的解，且方程两个实数解相等，由此能求出，的值，得到结果．
【解答】
解：集合，
，
解得，，
．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数奇偶性的判断，属基础题．
由函数奇偶性的判断求解即可．
【解答】
解：对于选项A，的定义域为，，即函数不为偶函数；
对于选项B，的定义域为，，即函数不为偶函数；
对于选项C，的定义域为，其定义域关于原点对称，，即函数为偶函数；
对于选项D，的定义域为，其定义域不关于原点对称，即函数不为偶函数，
故选：．

3.【答案】
【解析】解：由于连续函数满足，，
且函数在区间上单调递增，故函数的零点所在的区间为．
故选：．
由于连续函数满足，，根据函数零点判定定理，由此求得函数的零点所在的区间．
本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，由直线与平面、平面与平面平行的判定可得，故正确；
设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则与可能垂直也可能不垂直，故错误；
若外一条直线与内的一条直线平行，由直线与平面平行的判定可得，故正确．
以上说法正确的有个．
故选：．
由直线与平面、平面与平面平行的判定判断；由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，，
有，，排除，
故选：．
根据题意，由函数的解析式计算、的值，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，注意函数值符号的分析，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，，
在中，，，
则，
在中，由正弦定理得，
所以，所以，
在中，，
故选：．
利用正弦定理求解即可．
本题考查解三角形的应用题的解题思路，侧重考查了正弦定理，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
正实数、满足，，
，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为，
的最小值为，
故选：．
将所给的式子变形得到，再利用基本不等式求得它的最小值即可．
本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键和难点，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：函数，图象如图所示：
若，，互不相等，且，
令，则，，
故，
故选：．
画出函数的图象，根据，，互不相等，且，我们令，我们易根据对数的运算性质，及的取值范围得到的取值范围
本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，，故A对，错，
令，
则，
当或时，，故单调递减，
当或时，，故单调递增，
又，，
故恒成立，
故真，
故选：．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
10.【答案】
【解析】解：由题意，关于的不等式的解集为，
对于中，若，即不等式的解集为空集，
根据二次函数的性质，则满足，，所以A错误；
对于中，若，可得和是方程两个实根，且，
可得，解得，，
则不等式，可化为，
即，解得或，
即不等式的解集为，所以B正确；
对于中，若为常数，可得是唯一的实根，且，
则满足，解得，
所以，
令，因为且，可得，且，
则，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以C错误；
对于中，当时，函数表示开口向下的抛物线，
所以当，的解集一定不为，所以D正确．
故选：．
选项A中，由二次函数的性质得到，，可判定A错误；选项B中，转化为和是方程的两个实根，求得，，把不等式化简得到，求得的解集，可判定B正确；选项C中，结合二次函数的性质，求得，化简得到，令，结合基本不等式，求得的最大值，可判定C错误；当时，由函数表示开口向下的抛物线，可判定D正确．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
令，得，
当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，，
同理，，
令得，
，，，，
属于在上单调递增，在上单调递减，，
作出函数的图象，如图所示，
由得，故A正确；
在上单调递增，，，，，故B错；
在单调递减，，正确；
正确．
故选：．
画出函数图像，得到，，的范围，由得出A正确，由得出B错误，由得出C正确，由得出D正确．
本题考查了曲线与方程，函数的单调性的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：
设，
所以，，，
设，则，
由于，所以，整理得，，则，，
对于：当为上的中点时，则，故，故A正确；
对于：，由于，当时的最大值为，故B正确；
对于：由于，，所以，故的取值范围为，故C正确；
对于：，，故的取值范围为，故D错误．
故选：．
首先建立平面直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算和向量的线性运算判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：平面直角坐标系，向量的坐标运算，向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
13.【答案】
【解析】解：是的必要不充分条件，
，，
，
实数的取值范围为，
故答案为：．
由充要条件的定义，得到，，求解即可．
本题考查了充要条件的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，当且仅当时等号成立．
所以目标式最大值为．
故答案为：．
由题设将目标式化为，应用基本不等式求最大值即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：函数的图象和性质，不等式的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于较难题．
直接利用函数的关系式画出函数的图象，进一步求出函数的值域；
分类讨论分析求解即可．
【解答】
解：函数当时，，
根据函数的解析式，画出函数的图象，如图所示：
根据函数的图象，函数的值域为．
由于函数的最小值为，根据函数的图象，
由，则，仅当时等号成立，
所以，在上递减，且最小值为，
对于在上，当时，；当时，
，无最小值；
显然，时，的最小值不为，不合题意；
当，此时必有，可得
故实数的取值范围为
故答案为：；

16.【答案】
【解析】解：令原正方体的棱长为，原正方体的外接球的半径为，
因为该二十四等边体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得，
所以解得，即，
因为正方体的体对角线就是外接球的直径，
所以，即，
所以则原正方体的外接球的表面积为．
故答案为：．
令原正方体的棱长为，原正方体的外接球的半径为，由该二十四等边体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得，可得，解得，再根据正方体的体对角线就是外接球的直径可以求得，从而可求表面积．
本题考查几何体的外接球问题，属中档题．
17.【答案】解：证明：由正弦定理知，，
，，
，
，
即，
．
；
由知，
，
，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，舍；
当时，；
综上所述，．
【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理，难度不大．
利用正弦定理求解；
要能找到隐含条件：和互补，从而列出等式关系求解．
18.【答案】解：根据题意，比赛三局后结束，甲晋级，表示三局甲全获胜，
设比赛三局后甲晋级为事件，
则甲晋级的概率为；
设甲晋级为事件，比赛三局后结束为事件，
有三种情况，
比赛三场且这三场比赛甲都获胜，其概率，
比赛四场前三场甲胜两场第四场比赛甲获胜，其概率为，
比赛五场前四场比赛甲胜两场，第五场比赛甲获胜，其概率为，
所以，
则，
由条件概率公式可知．
【解析】根据题意，比赛三局后结束，甲晋级，表示三局甲全获胜，利用独立重复试验的概率公式求解，
根据题意，设甲晋级为事件，比赛三局后结束为事件，求出和，利用条件概率公式求解．
本题考查概率的应用，注意相互独立事件和条件概率的计算，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
整理，得，
解得，
，，
对于数列：依题意，由，
可得，
即，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，．
由，可得
，
则，
，
两式相减，
可得
，
，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
故是定值，且定值为．
【解析】先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式，对于数列，将递推公式进行转化推导可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，通过计算数列的通项公式即可得到数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法计算出前项和的表达式，进一步根据数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的求和公式计算出前项和的表达式，最后计算出的表达式，即可判断是否为定值．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】解：证明：连接，，依题意，平面，
又平面，平面，则，，
，
又，，则≌，
，
延长交于点，又，则在中，为中点，连接，
在中，，分别为，的中点，则，
平面，平面，
平面；
过点作，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于，，由知，
又，则，
，
设，则，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
设锐二面角的平面角为，则，
，即二面角正弦值为．
【解析】连接，，可证得，延长交于点，可证得，由此得证；
建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面及平面的法向量，利用向量的夹角公式得解．
本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：由题意，得，
因为为函数的极值点，
所以，
令，显然是的零点，
则，在上单调递增，
因为，，
所以在上有唯一的零点，
所以．
由知，，，，
当时，由，，，得，，
所以在上单调递减，，
所以在区间上不存在零点；
当时，设，则，
(ⅰ)若，令，
则，
所以在上单调递减，
因为，，
所以存在，满足；
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
(ⅱ)若，令，
则，
所以在区间上单调递减，
所以，
又因为，
所以，在上单调递减；
(ⅲ)若，则，在上单调递减，
由(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)得，在上单调递增，在单调递减，
因为，，
所以存在使得，
所以，当时，，在上单调递增，
所以；
当时，，在上单调递减，
因为，，
所以在区间上有且只有一个零点，
综上，在区间上的零点个数为．
【解析】本题考查了函数的单调性，极值，零点问题，考查三角函数的性质，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．
求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于的不等式，从而证明结论成立；
求出函数的导数，通过讨论的范围，结合三角函数的性质以及函数的单调性判断函数的零点个数即可．
22.【答案】解：设点，，，
要使，则，代入化简得，
，，
又，，所以的取值范围是；
要使为等边三角形，则，即，直线的斜率不存在，
设直线：，则，，要使为等边三角形，，
，又，；
设点，则，
直线：，则，
直线：，则，
由点在双曲线上关于轴的对称性得，
若存在点，使得恒成立，则点只能在轴上，设，
若，则，
，解得或，
即存在定点，坐标为或．
【解析】设点坐标，分别求出和的长度，比较大小，得到的取值范围；
要使为等边三角形，则，即，直线斜率不存在，设直线：，可得，进而可求得的值；
设点的坐标，再计算出点和的坐标，由点在双曲线上关于轴的对称性得，若存在点，使得恒成立，点只能在轴上，再设，根据，算出的值．
本题考查了双曲线中，，的关系及转换，解析几何类型题目多与几何关系有关，多画图，找到变量间的几何关系，再根据圆锥曲线的对称性，猜测出定点可能存在的位置比如轴、轴等注意利用向量的关系来解方程会简单一些．本题属于难题．
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