2023-2024学年广东省揭阳市普宁市国贤学校高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省揭阳市普宁市国贤学校高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则复数的共轭复数( )
A. B. C. D.
3. 已知，为第四象限角，则等于( )
A. B. C. D.
4. 草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近参考数据：，( )
A. 元千克 B. 元千克 C. 元千克 D. 元千克
5. 若平面向量与的夹角为，，，则等于( )
A. B. C. D.
6. 已知的展开式中的系数为，则实数( )
A. B. C. D.
7. 已知，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，，则双曲线的方程可以为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中，正确的命题有( )
A. 已知随机变量服从正态分布，，则
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和
C. 若事件与事件互斥，则事件与事件独立
D. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
10. 已知数列的首项为，且满足，则( )
A. 为等差数列
B. 为递增数列
C. 的前项和
D. 的前项和
11. 已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是以为周期的函数
B. 直线是曲线的对称轴
C. 函数的最大值为，最小值为
D. 若函数在区间上恰有个零点，则
12. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是( )
A. 的最小值为
B. 四面体的体积为
C. 有且仅有一条直线与垂直
D. 存在点，，使为等边三角形
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数，则 ______ ．
14. 已知则 ______ ．
15. 已知函数，，若函数存在零点，则函数一定存在零点，且 ______ ．
16. 一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高．北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”如图深受广大市民的喜爱，它离意着创造非凡、探索未来，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合体如图已知该圆台的底面半径分别和，高为球缺所在球的半径为，则该组合体的体积为______．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列是递增数列，记为数列的前项和，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
若，数列的前项和为，求证：．
18. 本小题分
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，，且且满足．
求角的大小；
求周长的取值范围．
19. 本小题分
如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
证明：平面；
若，，在线段上不含端点，是否存在点，使得二面角
的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
20. 本小题分
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生
女生
合计
根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了名男生和名女生示范点球射门已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求人进球总次数的分布列和数学期望．
附：．
21. 本小题分
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，求的最大值．
22. 本小题分
已知函数．
当时，证明：；
若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
，
因此，．
故选：．
解出集合、，利用并集的定义可求得集合．
本题考查了一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，则．
故选：．
利用复数的除法求出，再由共轭复数的定义求得．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，为第四象限角，
，，，
．
又，
故选：．
根据，为第四象限角，可以判断，再根据，可选出答案．
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限的符号，通过筛选、排除，选出答案．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知，解得，
由，可得，
故选：．
利用指数运算，化简求的值．
本题考查了指数函数模型在实际问题中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为平面向量与的夹角为，，，
所以，，
所以．
故选：．
先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．
本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由于的展开式的通项公式为
故的展开式中的系数为，则实数．
故选：．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：得，
再由对数运算可得．
当时，令，则，
所以在递减，则．
所以，
故．
故选：．
使用对数恒等式和对数运算对，进行化简放缩比大小，找到中间值，结合三角不等式，判断与的大小．
本题考查对数恒等式、对数运算法则、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，
如图所示，过点作于点．
，，，
，，
，可得，
故，得．
，，故点，
将代入双曲线中，
得，化简得，则，
解得或舍去，结合选项可知B正确．
故选：．
根据双曲线的定义及勾股定理得出，再根据点在双曲线上求双曲线方程．
本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，随机变量服从正态分布，，则，A正确；
对于，两边同时取对数可得，则，
又因，所以，，所以，，故B正确；
对于，若事件与事件互斥，则事件与事件不会同时发生，则事件与事件一定不独立，C错误；
对于，若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及概率与统计中相关计算、概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，故A错误；
因为，
所以，显然递增，故B正确；
因为，
，
所以，
故，故C正确；
因为，
所以的前项和，
故D正确．
故选：．
由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和．
本题是等差数列、等比数列的综合应用题，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前项和等，需要很强的数学运算能力以及对概念的熟悉运用能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，
是以为周期的函数，故A正确；
对于，有，故B错误；
对于，由知只需考虑在区间上的最大值，
当时，令，
则，
易知在区间上单调递减，
的最大值为，最小值为；
当时，令，
则，
易知在区间上单调递增，
的最大值为，最小值为，
综合可知：函数的最大值为，最小值为，故C正确；
对于，是以为周期的函数，
可以先研究函数在区间上的零点个数，易知，
当时，令，解得或，
，则，
则在区间上无解，
在区间上仅有一解，
当时，令，解得或，
，则
则在区间上无解，
在区间上也无解，
综合可知：函数在区间上有两个零点，分别为和，
又是以为周期的函数，
若，则在区间上恰有个零点，
又已知函数在区间上恰有个零点，
，故D正确．
故选：．
根据周期函数定义判断即可；根据函数对称轴定义判断即可；由知是以为周期的函数，所以根据求解在区间上的最大值即可判断选项C，利用在区间上的零点个数即可判断选项D．
本题主要考查命题真假的判断，利用三角函数的图像和性质，进行分类讨论是解决本题的关键，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于：是正方体，
平面，平面，
又平面，平面，
，，
是与的公垂线段，
公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，
当，分别与，重合时，最短为，A正确；
对于：是正方体，
平面平面，又平面，
平面，
当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离，
由可知，当点在上运动时，到的距离不变，
的面积不变，所以，B正确；
对于：当，分别与，重合时，；
当为中点，与重合时，，C错误；
对于：如图以点为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
，
，
，
为等边三角形，
由，得，
得，即，
由，得，
，
，解得或，
或，故D正确．
故选：．
由公垂线的性质判断；由线面平行的性质判断；举反例判断；设，，由等边三角形三边相等，判断．
本题考查空间中距离的最值的求解，四面体的体积的求解，线线垂直的判断，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以．
故答案为：．
由解析式先求，再求即得．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知，
即，
故．
故．
则．
故答案为：．
根据辅助角公式可得，再根据二倍角与诱导公式求解即可．
本题考查了辅助角公式，重点考查了二倍角与诱导公式，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：存在零点，是方程的根，
即，．
由，得，
得．
即一定是方程的一个根，也就是函数一定存在零点，且．
故答案为：．
由函数存在零点求得值，代入函数，在求解方程得答案．
本题考查函数零点的判定，考查函数零点与方程根的关系，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意得可得截面图形如图所示：
由题意得，，，，
在中，
则球缺的高，
球缺的体积为，
，
组合体的体积为，
故答案为：
根据题意，作出截面图形，求出球缺的高，分别求出球缺的体积和圆台的体积，即可得出答案．
本题考查棱柱、棱台的体积，考查转化思想，考查运算能力和直观想象，属于中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，且，
，，成等比数列，
，
，
，且，，
；
证明：，
．
【解析】由等差数列基本量的计算直接求得；
由裂项相消法求出的前项和为即可．
本题考查等差数列的通项公式和裂项相消法求数列的前项和，属于中档题．
18.【答案】解：，，且，
，
由正弦定理得，
故，即，
又，，则，
又，则；
由得，
由正弦定理得且，，
，，
，
为锐角三角形，
，解得，
，
，即
故周长的取值范围为．
【解析】由题意得，利用正弦定理得，即，即可得出答案；
由正弦定理得，，可得，利用三角函数的性质，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面；
假设在线段上不含端点，存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设面的一个法向量为，
则，则可取，
因为在线段上不含端点，
所以可设，，
所以，
设面的一个法向量为，
则，则可取，
所以，，
解得或，
又，
所以，
所以存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
【解析】过点作于点，由面面垂直的性质可知平面，进而可得，再由线面垂直的性质可知，由此可证得平面；
建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式结合已知条件即可得出结论．
本题考查线面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生
女生
合计
则，
所以依据的独立性检验，能认为该校学生喜欢足球与性别有关；
依题意得人进球总次数的所有可能取值为，，，，
所以，，，，
所以的分布列如下：
所以的数学期望为．
【解析】根据已知条件完普列联表，然后计算的值，进一步由独立性检验的方法即可求解；
依题意得人进球总次数的所有可能取值为，，，，根据独立事件的概率公式求得，，，，从而得到的分布列，进而得到的数学期望．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
21.【答案】解：设椭圆的焦距为，
由题可得：，
解得：，
椭圆的标准方程为；
设直线的方程为：且，，
联立方程，整理得：，
由，可得，
且，，
又由原点到的距离，
由圆锥曲线的弦长公式，
可得，
，
令，
可得，
当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
【解析】由题可得：，求解即可；
设直线的方程为：且，，联立方程组可得，，利用点到直线的距离公式和弦长公式，求得，结合基本不等式即可求得．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，求三角形的面积等，属于中档题．
22.【答案】解：证明：当时，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则，
又，
所以；
若关于的不等式恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增，
又，
此时关于的不等式不成立；
当时，
因为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数单调递减，
又，，，
所以当时，，
故整数的最小值为．
【解析】由题意，将代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解；
构造函数，将问题转化成关于的不等式恒成立，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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