初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.5 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2019九上·瑞安月考）抛物线y=x2+2x+3与y轴的交点为（ ）
A．(0，2) B．(2，0) C．(0，3) D．(3，0)
2．（2019九上·宁波月考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)的对应值如下表所示：
x … 0 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
则方程ax2+bx+1.37=0的根是（ ）
A．0或4 B． 或4- C．1或5 D．无实根
3．（2019九上·新泰月考）已知函数y=（k-1）x2-4x+4与x轴只有一个交点，则k的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且
C． D． 或1
4．（2019九上·萧山期中）已知函数 ，并且 ， 是方程 的两个根，则实数 ， ， ， 的大小关系可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·鄂尔多斯期中）已知函数 ，其几对对应值如表，判断方程 为常数）的根的个数（ ）
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 -0.01 0.02 0.04
A．0 B．1 C．2 D．1或2
6．（2019九上·义乌月考）若关于x的方程x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴的交点有（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．不能确定
二、填空题
7．（2020九上·温州期末）抛物线y=x2-9与y轴的交点坐标为 。
8．（2019九上·天台月考）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是
9．（2019九上·萧山期中）抛物线 与 轴有 个交点．
10．（2019九上·博白期中）已知关于x的方程2+（x﹣m）（x﹣n）＝0，存在a，b是方程2+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是 .
11．（2019九上·临城期中）对于二次函数 的描述，下列命题：①若 ，则b2-4ac≥0；②若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；③若 ，则二次函数 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；④若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根．其中结论正确的有 （填写所有正确的序号）.
12．（2019九上·西城期中）如图是二次函数y＝﹣x2+4x的图象，若关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是 ．
13．（2019九上·珠海月考）二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=3
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）
故答案为：C
【分析】要求抛物线与y轴的交点坐标，由x=0求出对应的y的值，即可得到答案。
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由列表可知，当x=0时，y=c=0.37，
∴y=ax2+bx+0.37=0 ，
由ax2+bx+1.37=0 ，得ax2+bx+0.37=-1 ，
∵由列表可得当x=，ax2+bx+0.37=-1 ，
∴x=是 ax2+bx+1.37=0的根 ，
∵ 当x=0或x=4时y=ax2+bx+c=0，
∴抛物线的对称轴为x=
∴y=ax2+bx+1.37的对称轴和y=ax2+bx+c一致 ，
∴
解得x2=4-.
故答案为：B.
【分析】先由x=0， 求得C值，从列表中得出当x=，ax2+bx+0.37=-1 ，由此推出∴x=是 ax2+bx+1.37=0的一个根 ，因为二次函数图象是对称图形，且y=ax2+bx+1.37的对称轴和y=ax2+bx+c一致 ，于是求得对称轴方程为x=2， 再结合一根为，代入对称轴方程即可求出另一个根.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；
当k-1≠0，即k≠1时，令y=0可得（k-1）x2-4x+4=0，由函数与x轴只有一个交点可知该方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，
综上可知k的值为1或2，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查函数与x轴的交点，掌握二次函数与x轴只有一个交点的条件是解题的关键，注意分类讨论．当k+1=0时，函数为一次函数必与x轴有一个交点；当k+1≠0时，令y=0可得到关于x的一元二次方程，根据条件可知其判别式为0，可求得k的值．
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
设 ， ，显然m、n是 时对应方程的两个根（不妨设m， 是方程 的两个根，即 ， 是 时两个函数交点的横坐标（不妨设a它们的大体图象在坐标系中如图所示，显然 .
故答案为：D.
【分析】方程 的两个根a,b就是函数 与 两交点的横坐标， m、n是函数与x轴两交点的横坐标，不妨设m5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示：
即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
故答案为：C．
【分析】利用表格中数据得出二次函数图象的大体位置，再结合一元二次方程的性质得出即可．
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴没有交点，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数与x轴相交得y=0，可得关于x的一元二次方程，再根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。”即可判断求解.
7．【答案】(0，-9）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-9
∴此抛物线与y轴的交点坐标为（0，-9）.
故答案为：（0，-9）.
【分析】要求二次函数图象与y轴的交点坐标，利用函数解析式，由x=0求出对应的函数y的值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标。
8．【答案】-2【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：看图象可知，当 -20，
故答案为： -2【分析】 函数值y＞0时， 只要找出图象在x轴上方时自变量x的范围即可.
9．【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令y=0，得 ，
则
方程有两个不相等的实数根，
所以抛物线 与 轴有2个交点．
故答案为：2
【分析】令y=0，得到一元二次方程，求其判别式，根据一元二次方程与二次函数的关系可得解.
10．【答案】m＜a＜b＜n
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令函数y＝2+（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn+2，
∴抛物线开口向上，
令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝﹣2的两个根为a，b，
∵当x＝m或n时，y＝2＞0，
∴实数m，n，a，b的大小关系为m＜a＜b＜n.
【分析】令抛物线解析式中y=0，得到方程的解为a，b，即为抛物线与x轴交点的横坐标为a，b，再由抛物线开口向上得到a＜x＜b时y小于0，得到x=m与n时函数值大于0，即可确定出m，n，a，b的大小关系.
11．【答案】①②③
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①若 ，则 ，
∴ ，故正确；②若 ，则 ，
∵a≠0，
∴ 与 不会同时为0，
∴ ，故正确；③∵ ，
∴二次函数 的图象与x轴有两个交点，而二次函数 与y轴必有一个交点，这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，
∴二次函数 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3，故正确；④∵根据 无法判断△的大小，
∴不能得出一元二次方程 有两个不相等的实数根，故错误，
∴其中结论正确的有①②③，
故答案为：①②③.
【分析】①②可通过变形得到 与0的大小关系，从而进行判断；③可根据 得到二次函数图象与x轴有两个交点，但是不能忽略与y轴的交点可能跟图象与x轴的交点重合，从而进而判断；而④无法得到 与0的大小关系，故错误.
12．【答案】﹣5＜t≤4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】求－x2+4x－t=0，即求－x2+4x=t在1【分析】求－x2+4x－t=0在113．【答案】k＜﹣
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】因为二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，所以△＜0，即（﹣3）2﹣4×（﹣2）k＜0，解得k＜﹣ ，故答案为k＜﹣ ．
【分析】由于二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的二次项系数为-2，所以图像开口向下，同时图象在x轴下方，所以图像与x轴无交点，即△＜0，解得k＜﹣ 。
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一、单选题
1．（2019九上·瑞安月考）抛物线y=x2+2x+3与y轴的交点为（ ）
A．(0，2) B．(2，0) C．(0，3) D．(3，0)
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=3
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）
故答案为：C
【分析】要求抛物线与y轴的交点坐标，由x=0求出对应的y的值，即可得到答案。
2．（2019九上·宁波月考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)的对应值如下表所示：
x … 0 4 …
y … 0.37 -1 0.37 …
则方程ax2+bx+1.37=0的根是（ ）
A．0或4 B． 或4- C．1或5 D．无实根
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由列表可知，当x=0时，y=c=0.37，
∴y=ax2+bx+0.37=0 ，
由ax2+bx+1.37=0 ，得ax2+bx+0.37=-1 ，
∵由列表可得当x=，ax2+bx+0.37=-1 ，
∴x=是 ax2+bx+1.37=0的根 ，
∵ 当x=0或x=4时y=ax2+bx+c=0，
∴抛物线的对称轴为x=
∴y=ax2+bx+1.37的对称轴和y=ax2+bx+c一致 ，
∴
解得x2=4-.
故答案为：B.
【分析】先由x=0， 求得C值，从列表中得出当x=，ax2+bx+0.37=-1 ，由此推出∴x=是 ax2+bx+1.37=0的一个根 ，因为二次函数图象是对称图形，且y=ax2+bx+1.37的对称轴和y=ax2+bx+c一致 ，于是求得对称轴方程为x=2， 再结合一根为，代入对称轴方程即可求出另一个根.
3．（2019九上·新泰月考）已知函数y=（k-1）x2-4x+4与x轴只有一个交点，则k的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且
C． D． 或1
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；
当k-1≠0，即k≠1时，令y=0可得（k-1）x2-4x+4=0，由函数与x轴只有一个交点可知该方程有两个相等的实数根，
∴△=0，即（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，
综上可知k的值为1或2，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查函数与x轴的交点，掌握二次函数与x轴只有一个交点的条件是解题的关键，注意分类讨论．当k+1=0时，函数为一次函数必与x轴有一个交点；当k+1≠0时，令y=0可得到关于x的一元二次方程，根据条件可知其判别式为0，可求得k的值．
4．（2019九上·萧山期中）已知函数 ，并且 ， 是方程 的两个根，则实数 ， ， ， 的大小关系可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
设 ， ，显然m、n是 时对应方程的两个根（不妨设m， 是方程 的两个根，即 ， 是 时两个函数交点的横坐标（不妨设a它们的大体图象在坐标系中如图所示，显然 .
故答案为：D.
【分析】方程 的两个根a,b就是函数 与 两交点的横坐标， m、n是函数与x轴两交点的横坐标，不妨设m5．（2019九上·鄂尔多斯期中）已知函数 ，其几对对应值如表，判断方程 为常数）的根的个数（ ）
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 -0.01 0.02 0.04
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示：
即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
故答案为：C．
【分析】利用表格中数据得出二次函数图象的大体位置，再结合一元二次方程的性质得出即可．
6．（2019九上·义乌月考）若关于x的方程x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴的交点有（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．不能确定
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：x2﹣mx+n＝0没有实数解，则抛物线y＝x2﹣mx+n与x轴没有交点，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数与x轴相交得y=0，可得关于x的一元二次方程，再根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。”即可判断求解.
二、填空题
7．（2020九上·温州期末）抛物线y=x2-9与y轴的交点坐标为 。
【答案】(0，-9）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-9
∴此抛物线与y轴的交点坐标为（0，-9）.
故答案为：（0，-9）.
【分析】要求二次函数图象与y轴的交点坐标，利用函数解析式，由x=0求出对应的函数y的值，即可得到抛物线与y轴的交点坐标。
8．（2019九上·天台月考）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是
【答案】-2【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：看图象可知，当 -20，
故答案为： -2【分析】 函数值y＞0时， 只要找出图象在x轴上方时自变量x的范围即可.
9．（2019九上·萧山期中）抛物线 与 轴有 个交点．
【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令y=0，得 ，
则
方程有两个不相等的实数根，
所以抛物线 与 轴有2个交点．
故答案为：2
【分析】令y=0，得到一元二次方程，求其判别式，根据一元二次方程与二次函数的关系可得解.
10．（2019九上·博白期中）已知关于x的方程2+（x﹣m）（x﹣n）＝0，存在a，b是方程2+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是 .
【答案】m＜a＜b＜n
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令函数y＝2+（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn+2，
∴抛物线开口向上，
令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝﹣2的两个根为a，b，
∵当x＝m或n时，y＝2＞0，
∴实数m，n，a，b的大小关系为m＜a＜b＜n.
【分析】令抛物线解析式中y=0，得到方程的解为a，b，即为抛物线与x轴交点的横坐标为a，b，再由抛物线开口向上得到a＜x＜b时y小于0，得到x=m与n时函数值大于0，即可确定出m，n，a，b的大小关系.
11．（2019九上·临城期中）对于二次函数 的描述，下列命题：①若 ，则b2-4ac≥0；②若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；③若 ，则二次函数 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；④若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根．其中结论正确的有 （填写所有正确的序号）.
【答案】①②③
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①若 ，则 ，
∴ ，故正确；②若 ，则 ，
∵a≠0，
∴ 与 不会同时为0，
∴ ，故正确；③∵ ，
∴二次函数 的图象与x轴有两个交点，而二次函数 与y轴必有一个交点，这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，
∴二次函数 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3，故正确；④∵根据 无法判断△的大小，
∴不能得出一元二次方程 有两个不相等的实数根，故错误，
∴其中结论正确的有①②③，
故答案为：①②③.
【分析】①②可通过变形得到 与0的大小关系，从而进行判断；③可根据 得到二次函数图象与x轴有两个交点，但是不能忽略与y轴的交点可能跟图象与x轴的交点重合，从而进而判断；而④无法得到 与0的大小关系，故错误.
12．（2019九上·西城期中）如图是二次函数y＝﹣x2+4x的图象，若关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是 ．
【答案】﹣5＜t≤4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】求－x2+4x－t=0，即求－x2+4x=t在1【分析】求－x2+4x－t=0在113．（2019九上·珠海月考）二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是 ．
【答案】k＜﹣
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】因为二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，所以△＜0，即（﹣3）2﹣4×（﹣2）k＜0，解得k＜﹣ ，故答案为k＜﹣ ．
【分析】由于二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的二次项系数为-2，所以图像开口向下，同时图象在x轴下方，所以图像与x轴无交点，即△＜0，解得k＜﹣ 。
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