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人教新课标A版 必修一2.2.1对数与对数运算
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅰ·文）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2019高一上·苍南月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2019高一上·吉林期中）已知 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
4．（2019高一上·友好期中） （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（2019高一上·石嘴山期中）下列等式成立的是（ ）．
A．log2(8－4)＝log2 8－log2 4 B． ＝
C．log2 23＝3log2 2 D．log2(8＋4)＝log2 8＋log2 4
6．（2020高一下·海淀期中）若实数a，b满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
7．（2019高一上·延安期中）表达式 的运算结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019高一上·西安期中）已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为（ ）
A． B．60 C． D．
9．（2019高一上·西安期中）根据有关资料显示，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1082，则下列各数中与 最接近的是（ ）(参考数据：lg 3≈0.48)
A．1033 B．1053 C．1091 D．1093
10．（2020高二下·诸暨期中）已知log43＝p，log325＝q，则lg5＝（ ）
A． B． C． D．
11．（2019高一上·临泉月考）设 ，则（ ）
A．0
12．（2020·华安模拟）对于任意实数 ，符号 表示 的整数部分，即 是不超过 的最大整数，例如 ； ；则 的值为（ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
二、多选题
13．（2020·潍坊模拟）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
14．（2020高二下·宁波期中）若 ，则 ； .
15．（2019高一上·银川期中）已知 ，则 ．
16．（2020·吉林模拟）已知 ， ，现有下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ .其中所有正确结论的编号是 .
17．（2020高一上·大庆期末）计算： ．
18．（2020高一上·那曲期末）计算 .
19．（2019高一上·仁寿期中） （ 且 ）， ，则 .
四、解答题
20．（2019高一上·东台期中）计算下列式子的值：
（1） ；
（2） .
21．（2019高一上·中山月考）
（1）计算： ；
（2）已知 ( ) ，求 的值.
22．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
23．（2019高一上·长春期中）
（1）求值 ；
（2）已知 ， ，试用 、 表示 .
24．（2018高一上·杭州期中）已知函数 ；
（1）若 ，求 的值；
（2）若区间 上存在 ，使得方程 成立，求实数 的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到 ，即 ，进而求得 ，得到结果.
2．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 则
故答案为：C
【分析】利用指对互化求解即可.
3．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
，
故答案为：C
【分析】根据对数的性质及指数幂的运算法则求解即可.
4．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
故答案为：A
【分析】根据对数运算性质化简求值即可.
5．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】根据对数的运算性质逐个进行判断可得，A，B，D都不符合对数的运算性质，C符合．所以C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案．
6．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
．
故答案为：D．
【分析】先将指数式化成对数式，求出 ，再利用换底公式的推论 以及对数的运算法则即可求出．
7．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
故答案为：A
【分析】直接利用对数的运算法则得到答案.
8．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝ ，而logmx＝ ，logmy＝ ，故logmz＝ －logmx－logmy＝ ，即logzm＝60.
故答案为：B
【分析】先求出logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝ ，再计算出logmz，即得logzm的值.
9．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意：M≈3361，N≈1082，
根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴ 1091．
故答案为：C．
【分析】根据对数的性质可得：3＝10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
10．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：（换底公式） ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】计算 ,利用对数换底公式、对数运算性质变形，化为 的式子后可得 .
11．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】 =log112+log113+log114+log115=log11（2×3×4×5）=log11120．
∴log1111=1故答案为：B．
【分析】根据对数性质化简为同底数的对数的和，再根据对数运算性质化简求结果,最后确定取值范围.
12．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】由题意可知： ， ，
， 个1，18个
．
故答案为： ．
【分析】直接利用新定义，化简求解即可．
13．【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由 ， ，得 ， ，则
，
，
，
故正确的有：
故答案为： .
【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得.
14．【答案】9；6
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】若 ，则 ， .
故答案为：9 ； 6
【分析】利用对数的运算可得 ，再利用对数的运算性质即可求解.
15．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】依题意， .
故填： .
【分析】利用对数运算公式，化简所求表达式，求得表达式的值.
16．【答案】②③
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： ， ，得 ， ， ，则 ， ， .故所有正确结论的编号是②③.
故答案为：②③
【分析】将指数式转化为对数式，再根据对数的运算性质验证.
17．【答案】-1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因为 ，故填 .
【分析】利用分数指数幂的运算性质和指数与对数的运算性质化简求值。
18．【答案】22
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
故答案为：22
【分析】先算出每一个对数式的值,再代入进行乘法和加减运算即可.
19．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】 （ 且 ）
由指数与对数的转化,可得
由换底公式化简可得
代入 可得
即 ,则 ,因为 且
所以
故答案为:
【分析】根据对数与指数的转化,用 表示出 ,利用换底公式化简,代入等式后即可求得 的值.
20．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质进行计算即可；（2）利用幂指数性质来进行计算即可．
21．【答案】（1）解：原式 .
（2）解：
,
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）结合对数的运算性质化简即可；（2）结合两次平方关系即可求得 .
22．【答案】解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0，设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，所以t1＋t2＝2，t1·t2＝ .又因为a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，所以t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝ .所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝2× ＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】利用对数的运算法则，结合韦达定理，即可得出结论。
23．【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：由换底公式得 ，又 ，
因此， .
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用指数的运算律、对数的运算律、换底公式以及对数恒等式可得出结果；（2）由换底公式可得出 ，然后利用换底公式可得出 ，并利用对数 和 表示分子和分母，代入化简计算即可.
24．【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以
（2）解：由
,
因为 ，
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）将x和代入，结合对数式的运算法则，解对数方程，即可求出相应的x；
（2）分离参数，构造新的函数，采用换元法，结合二次函数的性质，即可求出实数a的取值范围.
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人教新课标A版 必修一2.2.1对数与对数运算
一、单选题
1．（2020·新课标Ⅰ·文）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由 可得 ，所以 ，
所以有 ，
故答案为：B.
【分析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到 ，即 ，进而求得 ，得到结果.
2．（2019高一上·苍南月考）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】 则
故答案为：C
【分析】利用指对互化求解即可.
3．（2019高一上·吉林期中）已知 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
，
故答案为：C
【分析】根据对数的性质及指数幂的运算法则求解即可.
4．（2019高一上·友好期中） （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
故答案为：A
【分析】根据对数运算性质化简求值即可.
5．（2019高一上·石嘴山期中）下列等式成立的是（ ）．
A．log2(8－4)＝log2 8－log2 4 B． ＝
C．log2 23＝3log2 2 D．log2(8＋4)＝log2 8＋log2 4
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】根据对数的运算性质逐个进行判断可得，A，B，D都不符合对数的运算性质，C符合．所以C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案．
6．（2020高一下·海淀期中）若实数a，b满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
．
故答案为：D．
【分析】先将指数式化成对数式，求出 ，再利用换底公式的推论 以及对数的运算法则即可求出．
7．（2019高一上·延安期中）表达式 的运算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
故答案为：A
【分析】直接利用对数的运算法则得到答案.
8．（2019高一上·西安期中）已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为（ ）
A． B．60 C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝ ，而logmx＝ ，logmy＝ ，故logmz＝ －logmx－logmy＝ ，即logzm＝60.
故答案为：B
【分析】先求出logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝ ，再计算出logmz，即得logzm的值.
9．（2019高一上·西安期中）根据有关资料显示，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1082，则下列各数中与 最接近的是（ ）(参考数据：lg 3≈0.48)
A．1033 B．1053 C．1091 D．1093
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意：M≈3361，N≈1082，
根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴ 1091．
故答案为：C．
【分析】根据对数的性质可得：3＝10lg3≈100.48，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．
10．（2020高二下·诸暨期中）已知log43＝p，log325＝q，则lg5＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：（换底公式） ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】计算 ,利用对数换底公式、对数运算性质变形，化为 的式子后可得 .
11．（2019高一上·临泉月考）设 ，则（ ）
A．0【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】 =log112+log113+log114+log115=log11（2×3×4×5）=log11120．
∴log1111=1故答案为：B．
【分析】根据对数性质化简为同底数的对数的和，再根据对数运算性质化简求结果,最后确定取值范围.
12．（2020·华安模拟）对于任意实数 ，符号 表示 的整数部分，即 是不超过 的最大整数，例如 ； ；则 的值为（ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】由题意可知： ， ，
， 个1，18个
．
故答案为： ．
【分析】直接利用新定义，化简求解即可．
二、多选题
13．（2020·潍坊模拟）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由 ， ，得 ， ，则
，
，
，
故正确的有：
故答案为： .
【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得.
三、填空题
14．（2020高二下·宁波期中）若 ，则 ； .
【答案】9；6
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】若 ，则 ， .
故答案为：9 ； 6
【分析】利用对数的运算可得 ，再利用对数的运算性质即可求解.
15．（2019高一上·银川期中）已知 ，则 ．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】依题意， .
故填： .
【分析】利用对数运算公式，化简所求表达式，求得表达式的值.
16．（2020·吉林模拟）已知 ， ，现有下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ .其中所有正确结论的编号是 .
【答案】②③
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： ， ，得 ， ， ，则 ， ， .故所有正确结论的编号是②③.
故答案为：②③
【分析】将指数式转化为对数式，再根据对数的运算性质验证.
17．（2020高一上·大庆期末）计算： ．
【答案】-1
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】因为 ，故填 .
【分析】利用分数指数幂的运算性质和指数与对数的运算性质化简求值。
18．（2020高一上·那曲期末）计算 .
【答案】22
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】
故答案为：22
【分析】先算出每一个对数式的值,再代入进行乘法和加减运算即可.
19．（2019高一上·仁寿期中） （ 且 ）， ，则 .
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】 （ 且 ）
由指数与对数的转化,可得
由换底公式化简可得
代入 可得
即 ,则 ,因为 且
所以
故答案为:
【分析】根据对数与指数的转化,用 表示出 ,利用换底公式化简,代入等式后即可求得 的值.
四、解答题
20．（2019高一上·东台期中）计算下列式子的值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质进行计算即可；（2）利用幂指数性质来进行计算即可．
21．（2019高一上·中山月考）
（1）计算： ；
（2）已知 ( ) ，求 的值.
【答案】（1）解：原式 .
（2）解：
,
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）结合对数的运算性质化简即可；（2）结合两次平方关系即可求得 .
22．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
【答案】解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0，设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，所以t1＋t2＝2，t1·t2＝ .又因为a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，所以t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝ .所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝2× ＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】利用对数的运算法则，结合韦达定理，即可得出结论。
23．（2019高一上·长春期中）
（1）求值 ；
（2）已知 ， ，试用 、 表示 .
【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：由换底公式得 ，又 ，
因此， .
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】（1）利用指数的运算律、对数的运算律、换底公式以及对数恒等式可得出结果；（2）由换底公式可得出 ，然后利用换底公式可得出 ，并利用对数 和 表示分子和分母，代入化简计算即可.
24．（2018高一上·杭州期中）已知函数 ；
（1）若 ，求 的值；
（2）若区间 上存在 ，使得方程 成立，求实数 的取值范围。
【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
所以
（2）解：由
,
因为 ，
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）将x和代入，结合对数式的运算法则，解对数方程，即可求出相应的x；
（2）分离参数，构造新的函数，采用换元法，结合二次函数的性质，即可求出实数a的取值范围.
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