人教版数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆有关的性质
第 2 课时
折一折：
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
在折的过程中你有何发现？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
一、创设情境，引入新知
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
用折叠的方法
●O
说一说
一、创设情境，引入新知
问题：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径 CD⊥AB, 垂足为 E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AE = BE
弧: AC=BC, AD=BD
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理由如下：
把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AE 与 BE 重合，AC 和 BC, AD 与BD 重合．
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·
O
A
B
D
E
C
二、合作交流，探究新知
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
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AC =BC,
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AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
二、合作交流，探究新知
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
二、合作交流，探究新知
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
二、合作交流，探究新知
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
二、合作交流，探究新知
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD 是直径
② CD⊥AB，垂足为 E
③ AE = BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
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证明猜想
二、合作交流，探究新知
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 AE = BE.
（1）CD⊥AB 吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC 与 BC 相等吗？AD 与 BD 相等吗？为什么？
⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
⌒
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（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
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二、合作交流，探究新知
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
二、合作交流，探究新知
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
三、运用新知
解：如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为D，与弧 AB 交于点C，则 D 是 AB 的中点，C 是弧 AB 的中点，CD 就是拱高.
∴ AB = 37，CD = 7.23，
解得R ≈ 27. 3（m）.
即主桥拱半径约为27. 3 m.
= 18.52 + (R - 7.23)2
∴ AD= AB = 18.5m，
OD = OC – CD = R-7.23.
三、运用新知
1. 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为10 cm,
OE = 6 cm,则 AB = cm.
·
O
A
B
E
解析：连接 OA ，∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 16 cm.
16
∴
cm.
四、巩固新知
2. 如图， ⊙ O 的弦 AB＝8cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC ＝ 2cm，求半径 OC 的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC = x cm，则OD = x - 2,根据勾股定理，得
解得 x = 5，
即半径 OC 的长为 5 cm.
X2 = 42 +(x - 2)2，
四、巩固新知
3. 已知：⊙O中弦AB∥CD, 求证：AC ＝ BD.
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.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM， CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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四、巩固新知
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
四、巩固新知
4. 如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，
则弓形的高为＿ ＿＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图 a
图 b
2 cm或 12 cm
四、巩固新知
在圆中有关弦长 a ,半径 r, 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d + h = r
O
A
B
C
·
四、巩固新知
5. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于C，D 两点.你认为 AC 和 BD 有什么关系？为什么？
证明：过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
四、巩固新知
6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧 CD 的圆心),其中CD=600 m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90 m.求这段弯路的半径.
解:连接 OC.
● O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为 R m,则OF = (R - 90) m.
根据勾股定理，得
解得 R = 545.
∴这段弯路的半径约为 545 m.
四、巩固新知
拓展提升：
如图，⊙O 的直径为 10，弦AB = 8, P 为 AB 上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3 cm ≤ OP ≤ 5 cm
B
A
O
P
四、巩固新知
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条
件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
五、归纳小结
再 见