2015连线中考数学一轮复习系列专题7：一元二次方程

基础知识
知识点一、一元二次方程的概念
只含有一个未知数（一元），且未知数的最高 ( http: / / www.21cnjy.com )次数是2（二次），这样的整式方程叫一元二次方程.一元二次方程的三个特征：①一个未知数；②未知数的最高次数是2；③整式方程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过 ( http: / / www.21cnjy.com )整理，都能化成如下一般形式ax2 +bx+c=0＝0 (其中a、b、c为常数，a≠0), a是二次项系数，b是一次项系数，c为常数项.
知识点二、一元二次方程的解法
1. 开平方法 形如的一元二次方程，用直接开平方法，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
2. 配方法 把一个一元二次方程通过配方成形如：的形式，当n≥0时，再使用直接开平方法求解．配方的基本策略是：当二次项系数为1时，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方.需要说明的是，配方只是一个将等式变形的过程，配方的目的是将方程转化为直接开平方法降次求解，
3. 公式法 它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程（a≠0）的求根公式：.
4. 因式分解法 因式分解法是将方程 ( http: / / www.21cnjy.com )右边化为0，左边分解为两个一次因式的乘积的形式，根据A·B=0，则A=0或B=0 ，将方程转化为两个一元一次方程求解.这种方法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法.
5. 图像法 二次函数y = ax2 +bx + c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标即为方程
ax2 +bx + c = 0 的解.
知识点三、一元二次方程的根的判别式
1. 一元二次方程ax2 +bx+c = 0 (a≠0)
b2 – 4ac > 0 方程有两个不相等的实数根；
b2 – 4ac = 0 方程有两个相等的实数根；
b2 – 4ac < 0 方程无实数根；
使用判别式的几点说明：
①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时≥0，切勿丢掉等号；
②如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a、b、c的值；
③使用判别式的前提是方程是一元二次方程，即二次项系数a≠0,当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑.
2. 一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：
（1）不解方程，判定根的情况.
（2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围.
（3）应用判别式证明方程根的情况.
知识点四、 一元二元方程根与系数的关系
如果方程（a≠0）的两个实数根是、，那么
＋＝，·＝.
知识点五、一元二次方程的应用
1. 列一元二次方程解应用题的步骤：
主要是审、设、列、解、检验（既要是方程的解，还要符合实际意义）、答.
2. 几种常见的一元二次方程应用问题
① 平均变化率问题：
变化率是指变化数与基数的比 ( http: / / www.21cnjy.com )．若基数为a，变化率为x，则一次变化后的值为a(1±x) ，两次变化后的值为a(1±x)2； 说明：增长用“+”，降低用“-”.
② 面积问题
解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，利用面积计算公式列出方程
③利润问题
单个利润 = 单个售价 – 单个进价
总利润 = 单个利润×销售数量
典型例题解析
例1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x2 + 4x - 1 B. kx2 +4x – 1 = 0 (k为常数)
C. (x+1)2 = x2 D. (x-2)2 = 3(x+1)
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例2. （淄博）一元二次方程的根是（ ）
A． B．，
C．， D． ，
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例3. （内蒙古自治区）关于x的一元二次方程（a+1）x2－4x－1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 （ ）
A．a＞－5 B．a＞－5且a≠－1 C．a＜－5 D．a≥－5且a≠－1
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例4. （南通）设α、β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝
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例5. （北京）已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0（m≠0）.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值.
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例6. （沈阳）某公司今年销售一种产品 ( http: / / www.21cnjy.com )，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率.
答案：设这个增长率为x.
依题意得： 20(1+x)2—20(1+x）=4.8
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例7. （襄阳） 为响应市委市政府 ( http: / / www.21cnjy.com )提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图8所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
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图8
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例8. 某水果批发商经销一种高档水 ( http: / / www.21cnjy.com )果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（Ⅰ）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表：
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（Ⅱ）列出方程，并求问题的解．
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巩固训练
1. 方程x（x+1）= x+1的解是（　　）
A．1 B．0 C．-1或0 D．1或-1
2. （聊城）用配方法解一元二次方程式ax2+bx+c=0(a≠0)，此方程可变形为（ ）
A． 　　　　　　B．
C．　　　　　　 D．
3（荆州）已知α是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，则下面对α的估计正确的是( )
A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3
4（攀枝花）若方程x2+x－1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）
A．α+β=－1 B．αβ=－1 C．α2+β2=3 D．+=－1
5. （天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
6. (抚州) 关于x的一元二次方程x2－5x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k可能的最大整数为 .
7. （内江）若关于x的一元二次方程(k－1) x 2＋2x－2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是( )
A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1
8. （丽水）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的
通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面
积都为78，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程________．
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9. 用适当的方法解下列方程
（1）3x（x – 2）=2（2 – x） （2） x2 – 6x+8=0．
(3) 2x2 – 4x+1=0． (4) (x - 1) (x+2) = 1
10. （株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
11. (山西)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
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12.（朝阳）长城汽车销售公司5月份销售某型 ( http: / / www.21cnjy.com )号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售辆超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x正为整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润45万元，那么该月需要售出多少辆汽车？（注：销售利润＝销售价－进价）
中考预测
1. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为（　　）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
2. 下列关于x的方程有实数根的是 (　　)
A. x2-x+1=0　　 B. x2+x+1=0
C. (x-1)(x+2)=0　 D. (x-1)2+1=0
3. 一元二次方程x2－2x+m=0有两个实数根，则m应满足的条件是（ ）
A.m＞1 B．m=1 C.m＜1 D．m≤1
4. x1，x2是一二次方程3（x－1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（ ）
A．x1小于－1，x2大于3 B．x1小于－2，x2大于3
C．x1，x2 在－1和3之间 D．x1，x2都小于3
5. 若关于x的方程m(x ( http: / / www.21cnjy.com )＋h)2＋k＝0(m、h、k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解 ( )
A．x1＝－6，x2＝－1 B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝2
6. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系. 每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元. 要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可以列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b=a2－ab，例如1※3=12－1×3.若x※4=0，则x=_________
8. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2－12x＋k=0的两个根，则k的值是 .
9. 已知m、n是方程x2 –x–1=0的两实数根，则的值为 .
10. 已知关于x的方程
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根
11. （新疆乌鲁木齐） ( http: / / www.21cnjy.com )某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在月份的水平.
⑴求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
⑵购进新设备需一次性支付640万元，使 ( http: / / www.21cnjy.com )用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费）
12. 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图（1）所示）是边长为0.5米的正方形ABCD．点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的价格依次为每平方米30元、20元、10元．若将此种地砖按图（2）所示的形式铺设，则中间的阴影部分组成正方形EFGH．已知烧制该种地砖平均每块需加工费0.35元，若要CE长大于0.1米，且每块地砖的成本价为4元（成本价=材料费用+加工费用），则CE长应为多少米？
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( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )（2）∵方程有两个相等的实数根，
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中考预测
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∴x1=0.2，x2=0.05（不合题意舍去）．答：CE的长应为0.2m．